Post on 12-Feb-2018
Equilibrio
Ignacio Romeroignacio.romero@upm.es
Escuela Tecnica Superior de Ingenieros IndustrialesUniversidad Politecnica de Madrid
Resistencia de Materiales, Curso 2015/16
Modelos Equilibrio Calculo de reacciones y esfuerzos Diagramas
Outline
1 Modelos
2 Equilibrio
3 Calculo de reacciones y esfuerzos
4 Diagramas
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1. Modelos
Modelos Equilibrio Calculo de reacciones y esfuerzos Diagramas
Objetivos
1. El comportamiento (mecanico) de los cuerpos reales es muycomplejo.
2. Desde siempre, el hombre ha formulado modelos que permitenpredecir la respuesta de los cuerpos ante estımulos externos (conmenor o mayor exito)
3. Los modelos mas precisos son mas complejos.
Modelos intuitivos
La partícula
El sólido rígido
El sólido deformable
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El solido deformable
• Un modelo muy exacto para predecirla deformacion de los cuerpos
• Basado en ecuaciones en derivadasparciales
∇ · σ + ρb = 0
σ = Cε
ε =1
2
(∇u+∇Tu
)Ω
Γu
Γt
fv
fs
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El modelo del solido prismatico
• El modelo de solido prismatico es muy complejo
• Cuando la geometrıa del solido es sencilla, se pueden obtenersoluciones bastante exactas con un esfuerzo mucho menor ←objeto de la Resistencia de Materiales
• Un solido prismatico es el generado por una seccion plana cuandosu centro de masa recorre una curva llamada directriz y la secciones ortogonal a la curva.
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Ejemplos
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El triedro principal de la seccion
En cada seccion trasversal de un solido prismatico se puede definirun triedro:
• El origen en el centro de masa
• El eje x normal, saliente
• Los ejes y, z en las direcciones principales de la seccion, formandoun triedo directo
x y
z
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2. Equilibrio
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Equilibrio estatico
Un solido se encuentra en equilibrio estatico cuando la resultantede todas las fuerzas que actuan sobre el y el momento de estas
respecto de cualquier punto son cero, es decir,∑i
Fi = 0 ,∑j
Mj +∑i
ri × F i = 0.
Observaciones:
• El momento es respecto de cualquier punto.
• Cuando un solido esta en equilibrio estatico, tambien lo estacualquier region del mismo.
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Fuerza interna y momento interno
Al considerar solo una parte de un solido en equilibrio:
• Esta ha de estar en equilibrio estatico
• Si solo tenemos en cuenta las acciones exteriores sobre estaregion, puede que no esten equilibradas ¿?
• Hay que considerar las fuerzas y momentos que la parte eliminadaefectua
• La fuerza y el momento resultante de esta interaccion tienen elvalor necesario para que se cumplan las ecuaciones del equilibrioestatico en la parte considerada y son la fuerza y el momentointernos.
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Esfuerzos
Los esfuerzos son las componentes de la fuerza y el momentointerno en el triedo de la seccion
N
Mz
Mt
Ty
Tz
My
• N : esfuerzo normal
• Tx, Ty: esfuerzoscortantes
• Mt : Momento torsor
• My,Mz : Momentosflectores
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Reacciones
Para impedir a un cuerpo/estructura que se desplace, se puedesujetar, restringiendo su movimiento.
Las reacciones son las fuerzas/momentos que una restriccion ejercesobre un cuerpo para evitar que este se desplace
Observaciones:
• Las reacciones nunca son conocidas a priori. Hay que calcularlas.
• Las reacciones tendran el valor necesario para cumplir lasrestricciones, pero siempre garantizando que el cuerpo este enequilibrio estatico.
• En los cuerpos prismaticos, se consideran solo los movimientos delas secciones: el vector desplazamiento y el vector giro. En 2D:dos desplazamientos y un giro.
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Restricciones en 2D
Apoyo
• Restriccion: uX = uY = 0
• Posibles reacciones: RX , RY
Y
X
RY
RX
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Restricciones en 2D-2
Apoyo movil
• Restriccion: uN = 0
• Posibles reacciones: R
Y
X
R
Y
X
R
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Restricciones en 2D-3
Empotramiento
• Restriccion: uX = uY = θ = 0
• Posibles reacciones:RX , RY ,MR
Y
X
RY
RXMR
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3. Calculo de reacciones y
esfuerzos
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Libertades
Una libertad mecanica es un tipo de enlace entre solidos que anulaalguno(s) de las fuerzas y momentos que entre ellos se transmiten
En 2D:
1. Deslizadera: anula N .
2. Ranura: anula fuerza en una direccion
3. Rotula o articulacion: anula Mz o My
4. (Libertad a cortante): anula Ty o Tz
En 3D hay un tipo mas: libertad torsional.
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Grado de indeterminacion estatica
El grado de indeterminacion estatica o hiperestaticidad es elnumero de incognitas en una estructura (reacciones y/o esfuerzos)
cuyo valor no podemos conocer unicamente a partir de lasecuaciones del equilibrio estatico
NH = NR− 3 + 3×NC −NL
• Si NH = 0 decimos que la estructura es isostatica.
• Si NH > 0, la estructura es hiperestatica.
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Ejemplos
!
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Calculo de reacciones y esfuerzos
• En estructuras isostaticas, las reacciones se calculan imponiendoel equilibrio estatico global de la estructura (El equilibrio demomentos solo se puede imponer en un punto).
• Si la estructura tiene libertades, es imprescindible usar lasecuaciones adicionales que estas proporcionan.
• Los esfuerzos en una seccion cualquiera de una estructura seobtienen cortando esta, separando ambas caras del corte, eimponiendo el equilibrio estatico de las partes separadas,incluyendo los esfuerzos que aparecen en las nuevas superficiescreadas.
• Los esfuerzos en las caras separadas son iguales y de sentidocontrario.
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4. Diagramas
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Leyes y diagramas
Las leyes de esfuerzos son expresiones matematicas que indican deforma unıvoca el valor (y sentido) de los esfuerzos en un solido a lolargo de su directriz.
Los diagramas de esfuerzos son representaciones graficas de lasleyes, y deben de estar acotados de forma que el valor numerico ysentido de los esfuerzos este unıvocamente determinado.
Hay varias notaciones validas, pero siempre se debe de indicar elsentido!.
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Sentidos
En problemas 2D los esfuerzos tienen los siguientes sentidos:
N T M
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Notacion compacta
Corchete de Macaulay: 〈x〉 =
x si x ≥ 0
0 si x < 0
x a1
M1
a2
M2
F1
b1
F2
b2c1 d1
q1
c2 d2
q2
T (x) =
Np∑i=1
Pi〈x− bi〉0 +Nq∑i=1
qi(〈x− ci〉 − 〈x− di〉)
M(x) =
Nm∑i=1
Mi〈x− ai〉0 +Np∑i=1
Pi〈x− bi〉1 +Nq∑i=1
qi2(〈x− ci〉2 − 〈x− di〉2),
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