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CURSO
INGENIERIA SISMO RESISTENTE I
Método de Holzer.- Conceptos Generales.-Procedimiento.- Ejemplo de aplicación.
Ing. Omart Tello Malpartida
El de Holzer es un procedimiento iterativo, basado en aproximaciones graduales, y sirve para determinar los periodos superiores de las vibraciones naturales mediante el sistema de varios puntos de esfuerzos cortantes.
Este método es solamente aplicable a estructuras sencillamente acopladas (estructuras donde la masa de los pisos intermedios esta ligada solo a la masa de los pisos superior e inferior mediante resortes que representan las rigideces de entrepiso correspondientes).
En su forma mas general el método se puede aplicar a cualquier estructura lineal con acoplamiento entre las diferentes masas.
EL METODO DE HOLZER
Ingeniería Sismo Resistente I Ing. Omart Tello Malpartida
1. Supóngase arbitrariamente ω2 mayor que el modo fundamental, previamente obtenido por cualquier método. (es recomendable el obtenido por Stodola)
2. Supóngase la amplitud del movimiento X1 de la primera masa a partir del apoyo. Conviene suponer un valor unitario. Esta amplitud supuesta es también igual al desplazamiento ΔX1 del primer entrepiso. X1 =ΔX1 =1
3. Calcúlese la fuerza cortante en el primer resorte, V1 = K1 ΔX1 donde K1 es la rigidez del entrepiso, y la fuerza de inercia en la primera masa, F1 = M1ω2X1.
El procedimiento es:
Ingeniería Sismo Resistente I Ing. Omart Tello Malpartida
5. Por equilibrio determínese la fuerza cortante en el segundo resorte: V2=V1 – F1.
Obténgase la deformación de este último,ΔX2= V2/ K2 .
Calcúlese la amplitud del desplazamiento de la segunda masa, X2 = X1 + ΔX2 , y la fuerza de inercia en la misma, F2 = M2 ω2 X2 .
6. Repítanse los pasos (4) a (5) con el tercer resorte y la tercera masa.
El procedimiento es:
Ingeniería Sismo Resistente I Ing. Omart Tello Malpartida
7. Continúese el proceso hasta llegar a la última masa. Si se satisface el equilibrio entre la fuerza cortante del último resorte y la fuerza de inercia de la masa aludida, la frecuencia escogida y las amplitudes calculadas corresponden a un modo natural de vibración. Por lo general, tales fuerzas no son iguales y su diferencia constituye un residuo.
8. Se repite el proceso para distintos valores de ω2
9. Se grafica la curva ω2 Vs R
El procedimiento es:
Ingeniería Sismo Resistente I Ing. Omart Tello Malpartida
Ingeniería Sismo Resistente I Ing. Omart Tello Malpartida
Residuos Vs ω2
10. Cuando se está probando un valor de Xi suficientemente próximo al correspondiente a un modo de vibrar (cuando el residuo es pequeño), se encuentra que una aproximación más precisa de dicha frecuencia es: (Crandall y Strang, 1957).
Mejorando la aproximación
Afinado Hallado
Ingeniería Sismo Resistente I Ing. Omart Tello Malpartida
W3 = 200 ton
W2 = 400 ton
W1 = 400 ton
K3 = 80 ton/cm
K2 = 200 ton/cm
K1 = 200 ton/cm
Ejemplo numérico:
Ingeniería Sismo Resistente I Ing. Omart Tello Malpartida
NIVEL 1 2 3 RK1 M1 K2 M2 K3 M3
ton/cm ton-seg2/cm ton/cm ton-seg2/cm ton/cm ton-seg2/cmω2 RESIDUO
200 0.408 200 0.408 80 0.204Xi 1.000 0.980 -1.569Δxi 1.000 -0.02 -2.549
Vi = Ki . ΔXi 200 -4 -203.92500
Fi = Mi . ω2 .Xi 204 199.92 -160.038
- 43.882
1. Asumir ω2 , recomendable para iniciar el modo fundamental obtenido por Stodola
2. Asumir en el 1er entrepiso: X1 = ΔX1 = 1
3. Calcúlese la fuerza cortante en el primer resorte, V1 = K1 . ΔX1y la fuerza de inercia en la primera masa, F1 = M1.ω2.X1.
4. Se calcula la fuerza cortante en el segundo resorte: V2 = V1 – F1
6. Repítanse los pasos (4) a (5) con el tercer resorte y la tercera masa.
5. Con el valor de V2, se calcula la deflexión del 2do entrepiso: ΔX2= V2/ K2
y el desplazamiento del 2do entrepiso : X2= X1 + ΔX2
Con este ultimo valor se calcula la fuerza de inercia de la 2da masa: F2 = M2.ω2.X2
7. Se continua el proceso hasta la ultima masa, en este ultimo entrepiso se determina el residuo: R = V3 – F3
8.- Se repite el proceso para diferentes valores de ω2
K M K M K Mton/cm ton-seg2/cm ton/cm ton-seg2/cm ton/cm ton-seg2/cm
200 0.408 200 0.408 80 0.204X 1.000 1.751 2.539ΔX 1.000 0.751 0.788V 200.0 150.2 63.1F 49.8 87.2 63.2X 1.000 1.388 0.234ΔX 1.000 0.388 -1.154V 200.0 77.6 -92.3F 122.4 169.9 14.3X 1.000 0.980 -1.569ΔX 1.000 -0.02 -2.549V 200.0 -4.0 -203.9F 204.0 199.9 -160.0X 1.000 0.776 -2.159ΔX 1.000 -0.224 -2.935V 200.0 -44.8 -234.8F 244.8 190.0 -264.2X 1.000 -0.040 -2.436ΔX 1.000 -1.04 -2.396V 200.0 -208.0 -191.7F 408.0 -16.3 -496.9X 1.000 -0.652 -0.459ΔX 1.000 -1.652 0.193V 200.0 -330.4 15.4F 530.4 -345.8 -121.8X 1.000 -1.060 1.899ΔX 1.000 -2.06 2.959V 200.0 -412.0 236.7F 612.0 -648.7 581.1
500 -43.882
305.264
1300 137.211
1500 -344.374
METODO DE HOLZER
ω2 RESIDUO
-106.634
600 29.443
1000
122
300
-0.140
9.- Se grafica los valores de R y ω2, determinándose las intersecciones de la curva con el eje ω2, estos valores corresponden a los diferentes modos de vibración.
GRAFICO DE RESIDUOS
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
0 500 1000 1500 2000
W2
R Serie1
ω2 = 122
ω2 = 560
ω2 = 1373
Cuando se está probando un valor de Xi suficientemente próximo al correspondiente a un modo de vibrar (cuando el residuo es pequeño), se encuentra que una aproximación más precisa de dicha frecuencia es: (Crandall y Strang, 1957)
10.- Para mejorar la aproximación
Afinado Hallado
Segundo Modo de Vibración
2 2 ..
i i
i i
V XF X
ω ωΔ
= ∑∑
K M K M K Mton/cm ton-seg2/cm ton/cm ton-seg2/cm ton/cm ton-seg2/cm
200 0.408 200 0.408 80 0.204X 1.000 0.858 -1.948ΔX 1.000 -0.142 -2.805V 200.0 -28.5 -224.4F 228.5 195.9 -222.5 833.63 562.52X 1.000 0.852 -1.962 829.90ΔX 1.000 -0.148 -2.814V 200.000 -29.509 -225.155F 229.509 195.646 -225.146 838.04 562.53
838.02T = 0.265 seg
560
562.52
SEGUNDO MODO DE VIBRACION
ω2 RESIDUO
-1.9
-0.009
2 200 1.000 28.5 0.142 225.5 1.948560 562.52228.5 1.000 195.9 0.858 225.5 1.948
x x xxx x x
ω + += =
+ +
Primer Modo de Vibración
2 2 ..
i i
i i
V XF X
ω ωΔ
= ∑∑
2 200 1.000 150.2 0.751 63.1 0.788122 121.8849.8 1.000 87.2 1.751 63.2 2.539
x x xxx x x
ω + += =
+ +
K M K M K Mton/cm ton-seg2/cm ton/cm ton-seg2/cm ton/cm ton-seg2/cm
200 0.408 200 0.408 80 0.204X 1.000 1.751 2.539ΔX 1.000 0.751 0.788V 200.0 150.2 63.1F 49.8 87.2 63.2 362.54 121.88X 1.000 1.751 2.541 362.90ΔX 1.000 0.751 0.790V 200.000 150.273 63.182F 49.727 87.091 63.182 362.81 121.88
362.81T = 0.569 seg
ω2 RESIDUO
PRIMER MODO DE VIBRACION
122 -0.1
121.88 0.000
Tercer Modo de Vibración
2 2 ..
i i
i i
V XF X
ω ωΔ
= ∑∑
2 200 1.000 360.2 1.801 85.5 1.1061373 1374.34560.2 1.000 448.7 0.801 85.4 0.305
x x xxx x x
ω + += =
+ +
K M K M K Mton/cm ton-seg2/cm ton/cm ton-seg2/cm ton/cm ton-seg2/cm
200 0.408 200 0.408 80 0.204X 1.000 -0.801 0.305ΔX 1.000 -1.801 1.106V 200.0 -360.2 88.5F 560.2 -448.7 85.4 946.52 1374.34X 1.000 -0.804 0.320 945.59ΔX 1.000 -1.804 1.124V 200.0 -360.7 89.9F 560.7 -450.6 89.8 951.68 1374.41X 1.000 -0.804 0.321 951.63ΔX 1.000 -1.804 1.125V 200.000 -360.759 89.976F 560.759 -450.735 89.976
T = 0.169 seg
TERCER MODO DE VIBRACION
1373 3.0
ω2 RESIDUO
1374.34 0.1
1374.41 0.000
PRIMER MODO
3
0
2
4
6
8
10
0.000 1.000 2.000 3.000
SEGUNDO MODO
0
2
4
6
8
10
-3.000 -2.000 -1.000 0.000 1.000 2.000
TERCER MODO
0
2
4
6
8
10
-1.000 -0.500 0.000 0.500 1.000 1.500
¿ Preguntas ….?