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UJCM CURSO: HIDROLOGIA GENERAL TEMA: METODOS ESTADISTICOS
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MTODO DE GUMBEL.
Para calcular el caudal mximo para un periodo de retorno determinado se usa la ecuacin:
1
Siendo:
2Donde:
Caudal mximo para un periodo de retorno determinado, en m3/s.N= nmero de aos de registro.
Qi =Caudales mximos anuales registrados, en m3/s. , Caudal promedio, en m3/sT= Periodo de retorno.
, Constantes funcin de N, tabla 6.13 (Variables reducidas)= Desviacin estndar de los caudales.Para calcular el intervalo de confianza, o sea, aquel dentro del cual puede variar
dependiendo
del registro disponible se hace lo siguiente:
1.
Si =1-1/T vara entre 0.20 y 0.80, el intervalo de confianza se calcula con la frmula:
3Donde:
N= nmero de aos de registro
=constante en funcin de , tabla 6.14.
= Constantes funcin de N, tabla 6.13= Desviacin estndar de los caudales (ecuacin 2)
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2. Si >0.90, el intervalo se calcula como: 1.14 4
La zona de comprendida entre 0.8 y 0.9 se considera la transicin, donde
es proporcional al
clculo con las ecuaciones 3 y 4, dependiendo del valor de .
El caudal mximo de diseo para un cierto periodo de retorno, ser igual al caudal mximo con la
ecuacin (1), ms el intervalo de confianza, calculado con (3) (4).
+ 5EJEMPLO DEL METODO DE GUMBEL.
Se tiene el registro de caudales mximos de 30 aos para la estacin 9-3 Angostura, como se muestra
en la tabla 6.15.
En este ro se desea construir una presa de almacenamiento.
Calcular el caudal de diseo para el vertedor de demasas, para perodos de retorno 50 y 100 aos
respectivamente.
Ao(1)
Caudal
m3/s(2) Ao(1)
Caudal
m3/s(2)
1970 1660 1985 563
1971 917 1986 520
1972 3800 1987 360
1973 1410 1988 367
1974 2280 1989 658
1975 618 1990 824
1976 683 1991 850
1977 934 1992 1230
1978 779 1993 522
1979 921 1994 581
1980 876 1995 557
1981 740 1996 818
1982 1120 1997 10301983 610 1998 418
1984 1150 1999 953
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SOLUCIN.
Ao(1)
Caudal
m3/s(2) Q2(M3/S)
1970 1660 2755600
1971 917 840889
1972 3800 14440000
1973 1410 1988100
1974 2280 5198400
1975 618 381924
1976 683 466489
1977 934 872356
1978 779 606841
1979 921 848241
1980 876 767376
1981 740 547600
1982 1120 1254400
1983 610 372100
1984 1150 1322500
1985 563 316969
1986 520 270400
1987 360 129600
1988 367 134689
1989 658 432964
1990 824 678976
1991 850 722500
1992 1230 15129001993 522 272484
1994 581 337561
1995 557 310249
1996 818 669124
1997 1030 1060900
1998 418 174724
1999 953 908209
SUMATORIA 28749 40595065
Paso 1.
Calcular el caudal promedio.
=
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=958.3m3/s 958.3918338.89Paso 2.
Clculo de la Desviacin estndar de los caudales.
= 1 4059506530918338.893 0 1 670.6893
Paso 3.
Clculo de los coeficientes N, YN
Paso 4.
Clculo del Caudal Mximo.
Para los periodos de retorno de 50 y 100 aos.
N 1.11238YN 0.53622
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Para T=50
958.3 670.68931.112380.5362250
2993.68m3/s
Para T=100
958.3 670.68931.11238 0.53622100 3411.60m3/sPaso 5.
Clculo de .
=1-1/T
Para T=50aos
=1-1/50=0.98
Para T=100aos
T=1-1/100=0.99
Paso 6.
Clculo del intervalo de confianza. Como en ambos casos vemos que es mayor que 0.90,Utilizaremos la ecuacin:
1.14 ... 687.34m3/s
Paso 7.
Clculo del caudal de diseo.
+ Para T=50
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2993.68 + 687.34 3681.023/ Para T=100
3411.60 + 687.34 4098.943/
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MTODO DE NASH
Nash considera que el valor del caudal para un determinado periodo de retorno se puede calcular
con la ecuacin:
+loglog + 1 6Donde:, = constantes en funcin del registro de caudales mximos anuales.=caudal mximo para un periodo de retorno determinado, en m3/s=periodo de retorno, en aos.Los parmetros
se estiman utilizando el mtodo de mnimos cuadrados, con la ecuacin lineal:
+ , utilizando las siguientes ecuaciones:
7 = = 8
Siendo:
loglog + 1 9Donde:
N= nmero de aos de registro
=caudales mximos anuales registrados, en m3/s = , Caudal medio, en m3/s.
= constante para cada caudal registrado, en funcin de su periodo de retorno correspondiente. = , valor medio de lasPara calcular los valores de correspondientes a los se ordenan estos en forma decreciente,asignndole a cada uno nmero de orden ; al mximo le corresponder el valor 1, al inmediato
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siguiente 2, etc. Entonces, el valor del periodo de retorno para se calcular utilizando la formulade Weibull con la ecuacin:
+ 1
10Finalmente el valor de se obtiene sustituyendo el valor (10) en (9).El valor dentro del cual puede variar el calculado por la ecuacin (6), se obtiene como:
2 1 + 1 2 1 11Siendo:
De la ecuacin (11), se ve que solo vara con X, la cual se calcula de la ecuacin (9), sustituyendo elvalor del periodo de retorno para el cual se calcul el . Todos los dems trminos queintervienen en la ecuacin (11) se obtienen de los datos.
El caudal mximo de diseo correspondiente a un determinado periodo de retorno ser igual al
caudal mximo obtenido de la ecuacin (6), ms el intervalo de confianza calculado segn la
ecuacin (11), es decir:
+
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EJEMPLO DEL METODO DE NASH
Para los mismos datos de la tabla 6.15, del ejemplo 6.7, calcular el caudal de diseo utilizando el
mtodo de Nash para periodo de retorno de 50 y 100 aos.
TABLA 6.15. CAUDALES MXIMOS
Ao(1) Caudal m3/s(2) Ao(1) Caudal m3/s(2)
1970 1660 1985 563
1971 917 1986 520
1972 3800 1987 360
1973 1410 1988 367
1974 2280 1989 658
1975 618 1990 824
1976 683 1991 850
1977 934 1992 12301978 779 1993 522
1979 921 1994 581
1980 876 1995 557
1981 740 1996 818
1982 1120 1997 1030
1983 610 1998 418
1984 1150 1999 953
Solucin:
1.- Ordenando en forma descendente, los valores de los caudales de la columna 2, de la tabla 6.15 se
obtiene la tabla 6.16
2.- Clculos Preliminares
+ /m X= log log
+ +
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m (1) Caudal m3/s(2) T (3) T/(T-1) (4) X (5) Q*X (6) Q2 (7) X2 (8)
1 3800 31.0000 1.0333 -1.8465 -7016.61 14440000 3.4095
2 2280 15.5000 1.0690 -1.5381 -3506.97 5198400 2.3659
3 1660 10.3333 1.1071 -1.3545 -2248.54 2755600 1.8348
4 1410 7.7500 1.1481 -1.2219 -1722.83 1988100 1.4930
5 1230 6.2000 1.1923 -1.1170 -1373.88 1512900 1.2476
6 1150 5.1667 1.2400 -1.0296 -1183.99 1322500 1.0600
7 1120 4.4286 1.2917 -0.9541 -1068.58 1254400 0.9103
8 1030 3.8750 1.3478 -0.8873 -913.90 1060900 0.7873
9 953 3.4444 1.4091 -0.8270 -788.12 908209 0.6839
10 934 3.1000 1.4762 -0.7717 -720.81 872356 0.5956
11 921 2.8182 1.5500 -0.7205 -663.57 848241 0.5191
12 917 2.5833 1.6316 -0.6724 -616.61 840889 0.4521
13 876 2.3846 1.7222 -0.6269 -549.19 767376 0.3930
14 850 2.2143 1.8235 -0.5835 -495.98 722500 0.3405
15 824 2.0667 1.9375 -0.5418 -446.40 678976 0.2935
16 818 1.9375 2.0667 -0.5013 -410.08 669124 0.2513
17 779 1.8235 2.2143 -0.4619 -359.81 606841 0.2133
18 740 1.7222 2.3846 -0.4232 -313.15 547600 0.1791
19 683 1.6316 2.5833 -0.3849 -262.90 466489 0.1482
20 658 1.5500 2.8182 -0.3468 -228.21 432964 0.1203
21 618 1.4762 3.1000 -0.3086 -190.71 381924 0.0952
22 610 1.4091 3.4444 -0.2699 -164.66 372100 0.0729
23 581 1.3478 3.8750 -0.2304 -133.88 337561 0.0531
24 563 1.2917 4.4286 -0.1896 -106.74 316969 0.035925 557 1.2400 5.1667 -0.1468 -81.76 310249 0.0215
26 522 1.1923 6.2000 -0.1011 -52.75 272484 0.0102
27 520 1.1481 7.7500 -0.0510 -26.49 270400 0.0026
28 418 1.1071 10.3333 0.0061 2.57 174724 0.0000
29 367 1.0690 15.5000 0.0757 27.77 134689 0.0057
30 360 1.0333 31.0000 0.1736 62.49 129600 0.0301
SUMATORIA 28749 -17.8528 -25554.28 40595065 17.6256
3.- Calculo del Qm y Xm
Qm= 958.30 m3/s.
Xm= -0.5951
= =
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4.- Calculo de los Parmetros a y b;
b= -1206.30
a= 240.44
5.- Calculo del Caudal Mximo.
T= 50 aos Qmax= 2721.5684 m3/s.
T= 100 aos Qmax= 3087.3544 m3/s.
6.- Calculo de las desviaciones estndar y covarianza
Sxx= 210.0451
Sqq= 391346949Sxq= -253378.0648
7.- Calculo del Intervalo de Confianza
El valor de X se calcula para cada periodo de retorno
T= 50 aos X= -2.0568T= 100 aos X= -2.3600
T= 50 aos Q= 429.5426 m3/s.
T= 100 aos Q= 491.4601 m3/s.
= =
+ +
2 1 + 1 2 1 X= log log
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8.- Calculo del Caudal de Diseo
T= 50 aos Qd= 3151.11 m3/s.
T= 100 aos Qd= 3578.81 m3/s.
+
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MTODO DE LEVEDIEV.
Este mtodo est basado en suponer que los caudales mximos anuales son variables aleatorias
Pearson tipo III. El caudal de diseo se obtiene a partir de la frmula:
+ 1 2
Donde:
+ 1 13Y
14Los trminos que aparecen en las ecuaciones anteriores tienen el siguiente significado.
A=Coeficiente que vara de 0.7 a 1.5, dependiendo del nmero de aos del registro. Cuantos ms
aos de registro haya, menor ser el valor del coeficiente. Si N es mayor de 40aos, se toma el valor
de 0.7.
= coeficiente de asimetra, se calcula como: 1
= 15Por otra parte, Levediev recomienda tomar los siguientes valores:
2Para avenidas producidas por deshielo. 3Para avenidas producidas por tormentas. 5Para avenidas producidas por tormentas en cuencas ciclnicas.Entre estos valores y el que se obtiene de la ecuacin (15), se escoge el mayor
= coeficiente de variacin, que se obtiene de la ecuacin:
1= 16=coeficiente que depende de los valores de (ecuacion16) y de la probabilidad P=1/T, su valor seencuentra de la figura 6.3
N= Aos de observacin.
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=intervalo de confianza, en m3/s=caudal de diseo, en m3/s=caudales mximos anuales observados, en m3/s=caudal promedio, en m3/s, el cual se obtiene de: = 17=Caudal mximo probable obtenido para un periodo de retorno determinado, en m3/s.
EJEMPLO DEL MTODO DE LEVEDIEV.
Para los mismos datos de la tabla 6.15, del ejemplo 6.7, calcular el caudal de diseo utilizando el
mtodo de Levediev para periodo de retorno de 50 y 100 aos.
TABLA 6.15. CAUDALES MXIMOS
Ao(1) Caudal m3/s(2) Ao(1) Caudal m3/s(2)
1970 1660 1985 563
1971 917 1986 520
1972 3800 1987 360
1973 1410 1988 367
1974 2280 1989 658
1975 618 1990 824
1976 683 1991 850
1977 934 1992 1230
1978 779 1993 522
1979 921 1994 5811980 876 1995 557
1981 740 1996 818
1982 1120 1997 1030
1983 610 1998 418
1984 1150 1999 953
SOLUCION1.- Obtencin del Caudal Medio
2.- Clculos Previos
Qm= 958.30 m3/seg =
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AOQ (m3/seg)
1970 1660 0.7322 0.5362 0.3926
1971 917 -0.0431 0.0019 -0.0001
1972 3800 2.9654 8.7933 26.07541973 1410 0.4714 0.2222 0.1047
1974 2280 1.3792 1.9022 2.6236
1975 618 -0.3551 0.1261 -0.0448
1976 683 -0.2873 0.0825 -0.0237
1977 934 -0.0254 0.0006 0.0000
1978 779 -0.1871 0.0350 -0.0065
1979 921 -0.0389 0.0015 -0.0001
1980 876 -0.0859 0.0074 -0.0006
1981 740 -0.2278 0.0519 -0.0118
1982 1120 0.1687 0.0285 0.00481983 610 -0.3635 0.1321 -0.0480
1984 1150 0.2000 0.0400 0.0080
1985 563 -0.4125 0.1702 -0.0702
1986 520 -0.4574 0.2092 -0.0957
1987 360 -0.6243 0.3898 -0.2434
1988 367 -0.6170 0.3807 -0.2349
1989 658 -0.3134 0.0982 -0.0308
1990 824 -0.1401 0.0196 -0.0028
1991 850 -0.1130 0.0128 -0.0014
1992 1230 0.2835 0.0804 0.0228
1993 522 -0.4553 0.2073 -0.0944
1994 581 -0.3937 0.1550 -0.0610
1995 557 -0.4188 0.1754 -0.0734
1996 818 -0.1464 0.0214 -0.0031
1997 1030 0.0748 0.0056 0.0004
1998 418 -0.5638 0.3179 -0.1792
1999 953 -0.0055 0.0000 0.0000
SUMATORIA 28749 14.2049 28.0063
PROMEDIO 958.30
N= 30
3.- Calculo del coeficiente de Variacin Cv.
-1 ( ) ( )
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Cv= 0.6881
4.- Determinacin del Coeficiente de Asimetra Cs.
Cs= 2.8652
Por otra parte, Levediev recomienda tomar los siguientes valores:
Para avenidas producidas por deshielo.
Para avenidas producidas por tormentas.
Para avenidas producidas por tormentas en cuencas ciclnicas.
Entre estos valores y el que se obtiene de la ecuacin (15), se escoge el mayor.
Consideramos que las avenidas es producida por tormentas
Cs= 2.0643
De los dos coeficientes de asimetra se selecciona el mayor
Cs= 2.8652
5.- Obtencin del coeficiente K
Nos vamos a la tabla con la probabilidad y coeficiente de asimetra y encontramos K.
Periodo de Retorno probabilidad Cs KT= 50 aos 2.00% 2.8652 3.12
T= 100 aos 1.00% 2.8652 3.98
6.- Calculo de Er Coeficiente que depende del coeficiente de variacin (Cv).
Nos vamos al grafico y con la probabilidad y el Cv y encontramos el Er.
=
=
7/24/2019 Hidroligia Ultimo
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UJCM CURSO: HIDROLOGIA GENERAL TEMA: METODOS ESTADISTICOS
Docente: ING.KARLA CORNEJO LECAROS pgina 17
Periodo de Retorno probabilidad Cv Er
T= 50 aos 2.00% 0.6881 0.95
T= 100 aos 1.00% 0.6881 1.02
7.- Calculo del Caudal Mximo
Periodo de Retorno Qmax unidad
T= 50 aos 3015.68 m3/seg
T= 100 aos 3582.78 m3/seg
8.- Calculo del Intervalo de Confianza
A=Coeficiente que vara de 0.7 a 1.5, dependiendo del nmero de aos del registro. Cuantos ms
aos de registro haya, menor ser el valor del coeficiente. Si N es mayor de 40aos, se toma el valorde 0.7.
A= 0.85
Periodo de Retorno
unidad
T= 50 aos 444.60 m3/seg
T= 100 aos 567.12 m3/seg
9.- Calculo del Caudal de Diseo
Periodo de Retorno Qd unidad
T= 50 aos 3460.28 m3/seg
T= 100 aos 4149.90 m3/seg
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