Post on 12-Jul-2022
Introduccion Teoria de Errores Aritmetica del computador
Aritmetica del Computador
Hermes Pantoja Carhuavilca
Facultad de Ingenierıa MecanicaUniversidad Nacional de Ingenierıa
Metodos Numericos
Hermes Pantoja Carhuavilca Aritmetica del Computador
Introduccion Teoria de Errores Aritmetica del computador
Contenido
1 Introduccion
2 Teoria de Errores
3 Aritmetica del computador
Hermes Pantoja Carhuavilca Aritmetica del Computador
Introduccion Teoria de Errores Aritmetica del computador
Introduccion al estudio de metodos computacionales
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Introduccion Teoria de Errores Aritmetica del computador
Aproximacion y Errores
Los calculos numericos inevitablemente conducen a errores
Estos son de dos clases principales:
1. Errores de Redondeo
Errores asociados con la representacion inexacta de numerosreales por la computadora.Errores asociados con la maquina.
2. Errores de Truncamiento
Errores asociados con el uso de un procedimiento numericoaproximado para reemplazar una expresion matematica exacta.Error asociados con el algoritmos matematico.
Ambos conducen al error total.
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Fuentes de errores
Los errores en el calculo matematico tienen varia fuentes:
El modelado que da origen al problema matematico.
Incertidumbre de los datos del problema.
La codificacion del modelo.
Errores de redondeo.
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Error absoluto, relativo y precision
Consideremos ”A” el valor exacto de la medida de cierta magnitud(en general desconocida) y sea ”a” un valor conocido que sellamara aproximacion de ”A”. Evidentemente la buena cualidad dela aproximacion es de acuerdo a cuan proximo esta ”a” de ”A”.
Error Absoluto
Llamamos error absoluto del numero aproximado ”a” al valor:
ξa = |A− a|
y todo numero ξ∗a ≥ ξa, se denominara cota del error absoluto.
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Error absoluto, relativo y precision
Error Relativo
Llamamos error relativo del numero aproximado ”a” al valor:
δa =|A− a||A|
, A 6= 0
y todo numero δ∗a ≥ δa, se denominara cota del error relativo.
Ejemplo
Calcular el error absoluto y el error relativo:
a)p = 0,4 p = 0,41; b)p = 40 p = 41
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Error absoluto, relativo y precision
Precision
Dado un ε > 0 (pequeno) decimos que el valor ”a” aproxima a”A” con una precision ε si:
ξa = |A− a| ≤ ε
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Definiciones
Sean ”A” y ”a” dos numeros reales. Se dice que ”a” es unaaproximacion de ”A” con ”n” cifras decimales exactas (o que ”A”y ”a” coinciden en ”n” cifras decimales), si ”n” es el mayor enterono negativo tal que
ξa ≤ 0,5× 10−n
Ejemplo
Verificar que a = 3,1415 aproxima a A = π = 3,141592... con trescifras decimales exactas
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Definiciones
Sean ”A” y ”a” dos numeros reales, con A6= 0. Se dice que ”a” esuna aproximacion de ”A” con ”n” cifras decimales significativasexactas (o que ”A” y ”a” coinciden en ”n” cifras decimalessignificativas), si ”n” es el mayor entero no negativo tal que
δa ≤ 5× 10−n
Ejemplo
Verificar que a = 124,45 aproxima a A = 123,45 con dos cifrassignificativas exactas
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Exactitud vs Precision
Exactitud : Se refiere a que tan cercano esta el valor calculado omedido del valor verdadero.Precision: Se refiere a que tan cercanos se encuentran, uno deotros, diversos valores calculados o medidos.
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Propagacion de errores
Al resolver un problema utilizando metodos numericos, el error quese genera sera consecuencia de un cumulo de errores ocurridos enpasos sucesivos, se debe estudiar la mecanica de ”propagacion” delos mismos a lo largo del calculo.
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Propagacion de errores
Propagacion de errores en sumas y diferencias
Datos iniciales:x ± ξx y ± ξySea su suma q = x + y y su diferencia q = x − y
¿Cual es la incertidumbre, ξq?
El error absoluto de la suma y de la diferencia de dos o masmagnitudes es la suma de los errores absolutos de dichasmagnitudes:
q = x ± y ⇒ ξq ≈ ξx + ξy
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Propagacion de errores
Ejemplo:En un experimento se introducen dos lıquidos en un matraz yse quiere hallar la masa total del lıquido. Se conocen:M1 = Masa del matraz 1 + contenido = 540± 10gm1 = Masa del matraz 1 = 72± 1gM2 = Masa del matraz 2 + contenido = 940± 20gm2 = Masa del matraz 2 = 97± 1gLa masa de lıquido sera:
M = (M1 −m1) + (M2 −m2) = 1311g
Su error:
ξM = ξM1 + ξm1 + ξM2 + ξm2 = 32g
El resultado se expresara:
M = 1311± 32gHermes Pantoja Carhuavilca Aritmetica del Computador
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Propagacion de errores
Propagacion de errores en productos y cocientesDatos iniciales:
x ± ξx = x
(1± ξx|x |
)y ± ξy = y
(1± ξy|y |
)Sea su producto q = xy y su cociente q = x/y¿Cual es la incertidumbre, ξq?El error relativo del producto y el cociente es igual a la sumade los errores relativos de dichas magnitudes:
q = xy ⇒ ξq|q|≈ ξx|x |
+ξy|y |
q = x/y ⇒ ξq|q|≈ ξx|x |
+ξy|y |
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Ejemplo:Para medir la altura de un arbol L, se mide la longitud de susombra L1, la altura de un objeto de referencia L2, y lalongitud de su sombra L3. Por semejanza:
L = L1.L2
L3
Realizadas las medidas resultan:
L1 = 200± 2cm, L2 = 100,0± 0,4cm L3 = 10,3± 0,2cm
Por tanto
L = 200.100
10= 2000cm
su error sera
ξL|L|≈ ξL1
|L1|+ξL2
|L2|=
2
200+
0,4
100+
0,2
10,3
= (1 + 0,4 + 2) % = 3,4 %→ ξL =3,4
1002000 = 68
L = 2000± 68cm
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Propagacion de errores
Error en funcion de una variableDatos iniciales:x ± ξx . Sea q = f (x) una funcion cualquiera.
¿Cual es la incertidumbre, ξq ?
ξq = f (x + ξx)− f (x) ≈ df (x)
dxξx
Si x se mide con un error ξx y se utiliza para calcularq = f (x), el error aboluto de q viene dado por:
ξq =
∣∣∣∣df (x)
dx
∣∣∣∣ ξxHermes Pantoja Carhuavilca Aritmetica del Computador
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Propagacion de errores
Error en funcion de varias variablesLas reglas para el calculo de errores que hemos visto se puedendeducir de una formula mas general que nos permite resolvercasos mas complicados.Sean las medidas x e y con errores ξx y ξy usadas paracalcular:
q = f (x , y)
Mediante un desarrollo en serie para el caso de varias variables:
f (x + ξx , y + ξy ) = f (x , y) + |∂f∂x|ξx + |∂f
∂y|ξy + . . .
con lo que:
ξq = f (x + ξx , y + ξy )− f (x , y) ≈ |∂f∂x|ξx + |∂f
∂y|ξy
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Aritmetica del Computador
Las operaciones de suma, resta, multiplicacion y division en elsistema de punto flotante (F), se denota por ⊕,,⊗,�respectivamente. Estas operaciones estan definidas por:x ⊕ y = fl(fl(x) + fl(y))x y = fl(fl(x)− fl(y))x ⊗ y = fl(fl(x)× fl(y))x � y = fl(fl(x)÷ fl(y)), fl(y) 6= 0, y 6= 0Estas operaciones no son cerradas sobre F, pues en algunos casosse genera underflow u overflow;
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Representacion de numeros del computador
Los computadores trabajan con aritmetica real usando un sistemadenominado de ”punto flotante”. Suponen un numero real quetiene la expansion binaria:Numero Normalizado
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Notacion Normalizada
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Ejemplo
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Conversion entre bases: ejemplos
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Conversion entre bases: ejemplos
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Estandar IEEE-754
Precision Simple: 32 bits
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Estandar IEEE-754
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Ejemplo
¿Cual es la representacion en simple precision de: 347,625?
Solucion:
Convertir a binario: 347,625 = 101011011,101
Normalizar el numero (mover el punto decimal hasta que hayaun solo 1 a la izquierda)101011011,101 = 1,01011011101× (28)
mantisa: 01011011101
exponente:Bias = 2(8−1) − 1 = 127exp = E + 127 −→ exp = 8 + 127 = 135 = 10000111
El numero es positivo: bit de signo 0
Resultado: 01000011101011011101000000000000
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Ejemplos:
Ejemplo
¿Cual es el valor de: 1 01111100 11000000000000000000000?
Solucion:
El bit de signo es 1:numero negativo
El exponente exp contiene 01111100 = 124
La mantisa es 0,11000 . . . = 0,75
El valor es:
(−1)× (1 + 0,75)× (2(124−127)) = −1,75× (2(−3)) = −0,21875
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Notas importantes sobre el estandar IEEE 754
Como cero no es directamente representable en estandar IEEE 754,entonces dependiendo del exponente y la mantisa del numerocodificado, algunas representaciones tienen significadosparticulares, ası como se resume en la siguiente tabla:
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Estandar IEEE-754
Precision Doble: 64 bits
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Desbordamiento
Se puede producir cuando se operan dos datos y el resultadoexcede la capacidad de almacenamiento seleccionada.
Definicion (Overflow)
Se produce cuando el numero es muy grande y se excede el lımitemaximo de almacenamiento.
Definicion (Underflow)
Se produce cuando el numero es muy prqueno y se execede ellımite mınimo de almacenamiento.
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El Epsilon (ε) de la Maquina
Definicion
El epsilon de la maquina es la distancia entre 1 y el siguientenumero maquina, se denota por eps.
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Los numero maquina binarios
Cardinalidad
F (s + 1,m,M, 2) = 2(s+1).(M −m + 1) + 1
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Ejemplo
Indicar los numeros que se pueden representar en el sistemaF (3,−2, 2, 2), ademas de su cardinalidad
Solucion:
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Ejercicio:Vamos a considerar un hipotetico computador que en numeros depunto flotantes estan representados en una palabra de 16-bit. Unejemplo se muestra en la Figura 1:
Muestre la representacion en punto flotante y los bits del:
1 El numero eps (epsilon de la maquina)
2 Mayor valor positivo normalizado
3 Menor valor positivo normalizado
4 El numero 1 y -10.375
5 El infinito y NaN
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Solucion
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Solucion
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Cambio de Base
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Ejemplo:
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