Post on 03-Oct-2014
Ciclo
Preuniversitario
GUIA NO 7
VERANO
2011
ÁLGEBRA
- ANÁLISIS
COMBINATORIO
- LOGARITMOS
ARITMÉTICA
- MCD-MCM
GEOMETRÍA
- GEOMETRÍA DEL
ESPACIO
TRIGONOMETRÍA
- ECUACIONES
TRIGONOMÉTRICAS
- RESOLUCIÓN DE
TRIÁNGULOS
RAZ .
MATEMÁTICO
- PSICOTECNICO - RAZONAMIENTO
INDUCTIVO-DEDUCTIVO
HABILIDAD
VERBAL
CÍRCULO DE ESTUDIO HD 2
Jr. Alberto Montellanos 391 – Urb. Apolo – La Victoria – Teléfono : 4735039
ANALISI COMBINATORIO Principio de Adición Si un evento designado como A se puede realizar de “a” maneras distintas y otro cuento B se puede realizar de “b” maneras distintas (A y B no simultáneamente) en total pueden realizarse de “a + b” maneras diferentes. Principio de Multiplicación Si un evento designado por A ocurre de “a” maneras distintas y para cada una de ellas otro evento designado como B ocurre de “b” maneras diferentes, entonces el evento A seguido el otro evento B o ambos A y B ocurren simultáneamente de “a b” maneras distintas. VARIACIONES Definición: * Se toman algunos elementos. * Si importa el orden. A. Variaciones Sin Repetición El número de variaciones de “n” objetos tomados de “k” en “k” es:
k)!-(n
n! Vn
k
Ejemplo: 602!
5!
3)!-(5
5! 5
3 V
Forma Práctica:
factores
2)...-1)(n-n(n
k
nkV
Ejemplo:
210
factores 3
7.6.5 7
3 V
B. Variaciones Con Repetición El número de variaciones con repetición de “n” objetos tomados de “k” en “k” es:
knk
n V
PERMUTACIONES Definición: * Se toman todos los elementos * Si importa el orden A. Permutaciones Sin Repetición
!nPn Donde: n elementos que intervienen B. Permutaciones Con Repetición
... !!!
n! ...,, nP
Donde: n total de elementos, de los cuales algunos de ellos se repiten , ... veces. C. Permutaciones Circulares
)!1(1)( nnPncP
Donde: n elementos que intervienen. D. Permutaciones con Lugares Fijos
)!( mnmnP
Donde: n es el número total y “m” es el número de elementos fijos. COMBINACIONES Definición * Se toman algunos o todos los elementos * No importa el orden. A. Combinaciones Sin Repetición
k)!-(nk!
n! nkC
Ejemplo:
210!6.2.3.4
!6.7.8.9.10
!6 !4
!10
4)!-(104!
10! C10
4
Forma Práctica
!
factores k""
2)...-(n 1)-n(n
knkC
Ejemplo:
2104!
10.9.8.7 C10
4
B. Combinaciones Con Repetición
1-knkC nkCR
APLICACIÓN
1. Para que valor de “n” se verifica la siguiente igualdad:
51n
3n5
CnC
a) 4 b) 6 c) 8 d) 3 e) 5
2. Si “n” verifica: 41
3
242 n
nC
nCnC
a) 3 b) 4 c) 2 d) 5 e) 6
3. El equivalente reducido de:
!7
!8!9
!8
!9!10
!9
!10!11
L
a) 55 b) 100 c) 110 d) 280 e) 385
4.
!1!2....!28!29!30
)!30!29!28(...)!4!3!2)(!3!2!1( A
a) 15 b) 7,5 c) 225 d) 30 e) 10
5. Calcular el valor de n+ k que satisfaga la
condición:
910
10645
4kCk
nCnCn
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
6. Encontrar un posible valor de “m+n” en:
2712114106948 nCmCmCmCmCmC
a) 36 b) 37 c) 38 d) 29 e) 40
7. Sabiendo que:
P
3027....10
785
63
41
Calcular el equivalente de :
3128....11
896
79
52S
a P
3128
b) P
3228
c) 13128
P
d) 13228
P e) P
3229
8. Reducir:
1285
131374
3
1374
7136
115212
5
CC
CCCE
a) 3,5 b) 2,5 c) 3 d) 2 e) 1,5
9. Hallar n si:
20!6
!!1
nnn
a) 7 b) 8 c) 10 d) 5 e) 4
10. Calcular “n” si:
x! (x + 1) (x + 2) (x + 3) = 720 a) 3 b) 5 c) 7 d) 8 e) N.A.
11. Calcular “n” en la igualdad.
1331233
13
4 nCnCnC
a) 1 b) 12 c) 13 d) 4 e) N.A.
12. Calcular el valor de x que satisface la
igualdad.
45022xCxV
a) 5 b) 7 c) 8 d) 6 e) N.A.
13. Calcular “n” en.
np
CnpC 2
102
2
a) 5 b) 2 c) 4 d) 7 e) N.A.
14. Calcular “m” en:
33
38
mnCmC
a) 13 b) 11 c) 10 d) 8 e) N.A.
15. Simplificar:
2113
218
208
147
186
185
CC
CCCCE
a) 1/2 b) 2 c) 4 d) 8 e) N.A.
16. Hallar 43nV si 110
2nV
a) 210 b) 110 c) 10 d) 0 e) N.A.
17. Hallar “x”.
xCxC2
2023
3
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
18. Calcular “x” en:
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4502
.2
xCxV
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 6
19. Calcular “n” y “p” en la igualdad
np
CnpC 2
102
2
a) 2 y b) 4 y 6 c) 2 y 3 d) 4 y 5 e) 4 y 10
20. Hallar “n” en: 57
24
132
n
nn
C
CC
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
21. Hallar “x”.
xCxC2
2023
3
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
22. Calcular “x” en:
4502
.2
xCxV
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 6
23. Calcular “n” y “p” en la igualdad
np
CnpC 2
102
2
a) 2 y b) 4 y 6 c) 2 y 3 d) 4 y 5 e) 4 y 10
24. Hallar “n” en: 57
24
132
n
nn
C
CC
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
25. ¿De cuántas formas se puede seleccionar una consonante y una vocal de la palabra “estudio”? a) 8 b) 10 c) 12
d) 14 e) 16 26. En una biblioteca hay 10 libros de R.M y
6 de R.V. ¿De cuántas maneras pueden colocarse 5 libros en un estante de los cuales 3 sean de RM y 2 de RV.
a) 1 200 b) 1 500 c) 1 600 d) 1 800 e) 600
27. ¿De cuántas maneras se puede repartir
12 objetos entre 4 personas?. a) 720 b) 1 440 c) 1 200
d) 11 880 e) 600 28. Se va a colorear un mapa de 4 países, de
colores diferentes para cada país, si hay disponibles 6 colores diferentes. ¿De cuantas maneras diferentes se puede colorear el mapa?.
a) 36 b) 72 c) 240
d) 360 e) 420
29. Un estudiante de la academia tiene que
contestar 8 d 10 preguntas en un examen. Si las tres primeras son obligatorias. ¿de cuántas maneras puede escoger las preguntas?.
a) 45 b) 24 c) 36
d) 18 e) 21
30. ¿De cuantas maneras puede
seleccionarse un comité de 4 o más personas, si hay 10 personas disponibles?.
a) 24 b) 420 c) 572
d) 210 e) 848
31. Con 7 hombres y 5 mujeres se van a
formar comités mixtos de 6 personas. ¿De cuántas maneras pueden formarse si en el comité hay dos mujeres?.
a) 175 b) 210 c) 420
d) 350 e) N.A
32. Un turista desea viajar de Lima a Cuzco y
tiene a su disposición 4 líneas aéreas y 6 líneas terrestres. ¿De cuántas maneras diferente podrá viajar?.
a) 24 b) 10 c) 8
d) 16 e) 6
33. Para las elecciones del 2000 hay 5
candidatos para presidente y 4 para alcalde. ¿De cuántas maneras de pueden elegir personas para estos dos cargos?.
a) 24 b) 9 c) 18
d) 20 e) 16
34. Si yo tengo para vestir 5 pantalones; 4
camisas y 3 pares de zapatos, ¿de cuántas maneras me podré vestir?.
a) 56 b) 60 c) 48
d) 52 e) 64
35. El disco compacto de Shakira “¿Dónde
están los ladrones?” se puede comprar en tres supermercados diferentes. En el primero es posible en 6 stands; en el segundo en 5 stands; en el tercer supermercado en 5 stands. ¿De cuántas maneras podrá adquirir dicho producto?
a) 120 b) 48 c) 15
d) 16 e) 60
36. Si en una olimpiada 6 atletas: Guillermo;
William; Isidoro; Edward; Santiago y Fortunato compiten en una carrera de 1000m con vallas, ¿de cuántas maneras Fortunato ganará la carrera?.
a) 24 b) 720 c) 96
d) 120 e) 48
37. ¿De cuántas maneras pueden colocarse
en un estante 5 libros?.
a) 24 b) 120 c) 96
d) 48 e) 60
38. ¿De cuántas formas pueden ordenarse 5
personas en una hielera si una de ellas debe estar siempre en uno de los extremos?
a) 24 b) 48 c) 72
d) 36 e) 120
39. ¿De cuántas maneras diferentes se
pueden acomodar 4 personas en una fila de asientos dejando los 2 asientos libres siempre juntos?
a) 210 b) 320 c) 180
d) 240 e) 280
40. ¿De cuántas maneras podrá vestirse una
persona que tiene 6 camisas (3 iguales); 5 pantalones (2 iguales) y 4 pares de zapatos (2 iguales).
a) 48 b) 56 c) 42
d) 52 e) 50
41. ¿Cuántas parejas de baile se pueden
formar con 6 varones y 8 mujeres?.
a) 36 b) 24 c) 48
d) 6 e) 56
42. ¿Cuántos números de 4 cifras significativas y diferentes entre sí existen en el sistema decimal?
a) 428 b) 2 016 c) 336
d) 1 260 e) 3 024
43. ¿Cuántos números de 8 cifras tienen
como producto de cifras 105?
a) 280 b) 288 c) 336
d) 672 e) 576
44. En un campamento 5 amigos conversan
alrededor de una fogata. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar alrededor de dicha fogata?
a) 24 b) 48 c) 60
d) 72 e) 120
45. ¿De cuántas formas diferentes se pueden
ubicar en un automóvil 5 personas; sabiendo que sólo 3 de ellas saben conducir?
a) 72 b) 36 c) 56
d) 64 e) 48
46. ¿Cuántos triángulos diferentes se pueden
formar uniendo los 6 vértices de un hexágono?.
a) 10 b) 12 c) 18
d) 20 e) 24
47. Si el número de combinaciones de “x”
objetos tomados de 6 en 6 es 30 veces mayor que el de combinaciones de esos objetos tomados de 4 en 4. Hallar “x”.
a) 10 b) 12 c) 8
d) 14 e) N.A
48. De todos los números non capicúas de 7
cifras que empiezan y terminan en 7. ¿Cuántos tienen 4 cifras de segundo orden o 2 en la cifra de cuarto orden?.
a) 1 000 b) 9 000 c) 18 000
d) 1 711 e) 1 611
49. De cuantas maneras diferentes puede un
Padre repartir 12 regalos entre sus 3 hijos , si el mayor debe recibir 6 regalos y los menores 3 regalos cada uno.
a) 55 440 b) 48 260 c) 72 320 d) 68 320 e) 42 620
50. Seis hombres y seis mujeres compiten
realizando cierta tarea, si los seis primeros puestos son ocupados por 4 hombres y dos mujeres, determine el número de casos.
a) 4320x6¡ b) 11 200x6¡ c) 3 240x6¡ d) 3600x6¡ e) 225x6¡
51. Halle el numero de maneras diferentes
en que se pueden formar números enteros positivos con los dígitos 3 , 4 , 5 , 6 , 7 de manera que los dígitos no se repitan. a) 320 b) 325 c) 300 d) 120 e) 720
52. De 9 números positivos y 6 números
negativos, se escogen 4 números al azar y se les multiplica. Calcule el número de formas en que se puede escoger, de tal manera que el producto sea positivo. a) 362 b) 315 c) 650 d) 681 e) 670
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LOGARITMOS
Entonces: Log
bN = N = b
Ejemplos: Log
525 = 2; por que: 25 = 52
Log1/3
9 = -2; por que: 9 = (1/3)-2
Log31 = 0 ; por que: 1 = 3º
IDENTIDAD FUNDAMENTAL De la definición tenemos: = Log
bN…(1)
Tenemos que: b = N ……(2) Reemplazando: (1) en (2)
NLogbNb Identidad Fundamental
x > 0 a R+ - {1} PROPIEDADES
1. 01Logb
Log31 = 0
2. 1bLogb
Log33 = 1 ; log
55 = 1
3. Logxab = Log
xa + Log
xb
Log10
6 = Log10
2 + Log10
3
4. Logx(a/b) = Log
xa - Log
xb
Log10 2
3 = Log
103 - Log
102
5. NLogm
nnNa
Logam
6. bLogaLog ab
1
23
13
2
LogLog
7. bLog
aLogaLog
x
xb
38
3
85
5 LogLog
Log
RReeggllaa ddee CCaaddeennaa 8. Log
ba . Log
cb . Log
dc = Log
da
Log35 . Log
23 . Log
252 = Log
255 = 52
5Log
CCOOLLOOGGAARRIITTMMOO Se define cologaritmo de un número al logaritmo del inverso multiplicativo de dicho número es decir: Colog
bN = Log
b(1/N) = -Log
bN
Ejemplo
33
1133
13log
3332727LogLogLogCo
= 3
1
AANNTTIILLOOGGAARRIITTMMOO
NbNaritmoAntib
log
Ejemplo Antilog
38 = 38
Además: Ejemplo 1
5153
53 35
3
LogLog
APLICACIÓN 01. Resolver la ecuación logarítmica:
0)x(loglog77x
a) 7 b) 7 c) 1/7
d) 1 e)7
7
02. Resolver la ecuación:
2
1
3log)6log()17log(
)3(log2log2
xx
x
a) 9 b) 1/9 c) 2
d) 6 e) 1
03. Resolver:
0log1log1log1 xpcbaLog
a) a b) bc c) p
d) 1 e) 0
04. Calcular:
3
168
5Log
a) 20 b) 9 c) 15/4
d) 20/9 e) 9/20
05. Resolver la ecuación:
01.0loglog
logloglog x
xanti.Cox
a) 2 b) 1/2 c) -1
d) 1/10 e) N.a.
06. Resolver la ecuación:
25logln5log33loglnlog
5 353 xx
a) 1/e b) e c) 10
d) 1/10 e) N.a.
07. Resolver la ecuación:
2)43(3log x
a) x < , 3/2> b) x <- , - 3/2>
c) x IR d) IR - {1}
e) N.a.
08. Resolver la inecuación:
2)52(3/1log x
a) < , 2> b)<- , 0> c) IR - {2}
d) <-2 , > e) N.a.
09. Resolver la ecuación:
e
x
ex
exx
1ln
log
ln
lnlog
. Hallar “x”.
a) e9e/11 b) e3e/7 c) e5e/7
d) e11e/9 e) N.a
10. Calcular el valor de “x” en:
871229ln 24
xx
e
a) 4 b) 2 c) 3
d) 5 e) 6
11. Calcular el valor de:
5log20log25log E ,
si log 2 = 0.30103
a) 0,69897 b) 0,3615 c) 0,7257
d) 0,2117 e) 0,8436
12. Calcular el valor de.
8
25.781logE , si log 2 = 0.30103
a) 0.3615 b) 0.8737 c) 0.3737
d) 0.69897 e) 1.7257
13. Calcular el número de cifras que tendrá
el desarrollo de:
205293282 xxE
Si: log 2 = 0.30103 , log 3 = 0,47712
a) 25 b) 28 c) 32
d) 37 e) 36
14. Si se cumple que:
1logloglog.log caabaa
Calcular “x” en: xc
xbaa xlog
loglog
a) 2a b) 1/a c) bc
d) ab/c e) 1
15. Calcular:
437
4573
LogLog
Log
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 7
16. Calcular:
8135,09)25,0( 16 LogLogLog
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) N.a
17. Calcular:
243
32
9
52
16
75LogLogLogP
a) Log 3 b) Log 2 c) Log 5
d) Log 6 e) N.a
18. Calcular el valor de:
E = 25
145522
7
77
Log
LogLog
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 7
19. Siendo: Logb a = 2, calcular:
3 46 abLogLogR
a) – 1 b) 1 c) 2
d) 2 e) – 2
20. Encontrar el mayor de 2 números, uno es
el doble del otro, cuya diferencia es igual
a la diferencia de sus logaritmos
a) Log 2 b) Log 4 c) Log 6
d) Log 8 e) Log 5
21. Si: Log(xy) x = 4, calcule:
S = Logxy
y
xy3
a) 11/6 b) 2/3 c) ¼
d) 3/7 e) N.a
22. Calcular el siguiente producto indicado si
tiene 12 factores
Log16 20 . Log20 24. Log24 28 ................
a) 3/2 b) 1 c) 0
d) 2/3 e) 4/5
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23. Reducir la expresión:
S = Logxyx . Logxy Y [Logx y + Logy x + 2]
a) x b) y c) x/y
d) y/x e) 1
24. Si a b = (Log3a) (Log3b)
Hallar: 35 9
a) 27 b) 45 c) 15
d) 25 e) 9
25. Calcule “x” en:
7572 aa LogxxLog = 343
a) a b) a3 c) a5
d) a4 e) a2
26. Hallar “x” en:
Log x =2+0,5 (Log18 +Log8 –2Log25)
a) 36 b) 42 c) 48
d) 54 e) 60
27. Resolver:
Log (2 – x) + Log (3 – x) = Log 20
a) 7 b) – 7 c) – 2
d) 2 e) 14
28. Si: Log x – 3 Log 2 = 1
hallar “x”:
a) 2 b) 8 c) 80
d) 40 e) 1
29. Halle de:
20)(102
xxLog
a) 4 b) 3 c) 6
d) 7 e) 4 y – 5
30. En la siguiente ecuación:
522832
1)9( LogxLogxLog
un valor “x” es:
a) 15 b) 10 c) 12
d) 9 e) 11
31. Si: 10x = 18 ; 10y = 12 entonces el valor
de Log 6 es:
a) 3
2 xy b)
3
yx c)
3
xy
d) 3
2 yx e)
3
yx
32. Resolver:
antilog4 x = antilog2 {colog6 (3Log33)}
a) – 1 b) 0 c) 2
d) 16 e) Log6 1
3
33. Hallar “x” en:
xxCo
xantiCo
LogLog
logloglog
310
a) 3 b) 1/3 c) 1
d) ¼ e) 4
34. Encontrar el valor de E, donde:
E = Antilog10
c
a
cb
c
ba
b
a log
)(loglog
log
)(loglog
log
)(loglog
a) abc b) abc c) 0
d) 1 e) a + b + c
35. Dados las condiciones:
nyeznxey 1
1
,1
1
Encontrar: x en términos de z. (e =
2.71828384...)
a) zlog.1
1
10 b) log z c) loge z
d) ze log1
1
e) nze 1
1
36. Sabiendo que: a2 + b2 = 14ab a>0
b>0; reducir la expresión:
ba
ba 11log
2
1
4log
a) 14 b) 7 c) 1
d) 0 e) –2
37. Sabiendo que b > 0 ; b = 1 ; x > 0, además:
antilogb cologb logb x = b
1.
Calcular el valor de: logb (- cologb antilogx
b).
a) 3 b) 2 c) – 5
d) 2
1 e) 0
38. De las condiciones: {a; b; c} = N – {1}
logabc a = 7 ; logabc b= 4.
Señale el equivalente de:
c
baabc
3log
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
39. Luego de resolver:
52
log1
1210
xx
x
Indicar el reciproco de la solución
aumentada el 1/5
a) 5/4 b) 4/5 c) 1/5
d) 5 e) 1
40. Resolver:
1
332log
42log1
xx
x
a) 5 b) + 1 c) 3
d) 4 e)7
41. Calcular el producto de las soluciones de:
)2(log2 xx x
a) – 1/3 b)3 c) 5
d) 2 e) 5
42. Siendo x > 0 y conociendo:
log log log x = log
3log49log53249log.4 32
log
Halle: 5 loglog
5
1log x
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
43. Del sistema adjunto:
4
log)1;0(3
yx
xy
Señale la suma de los cuadrados de todos
sus soluciones:
a) 12 b) 15 c) 17
d) 20 e) 24
44. Luego de resolver el sistema:
nny
xnxyn
ynxn
26loglog
loglog
Señale: y
x
a) 7 b) 9 c) 10
d) 13 e) 15
45. Si: x > 0 ; y > 0 ; x y ; xy 1
Donde: 4
log21
)(log21
y
y
x
yxy
Halle un valor de:
)(loglog xy
y
xy
xxy
a) 3/2 b) ½ c) 5/2
d) 7/2 e) 1/7
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MCM – MCD
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) Se llama MCD de un conjunto de dos o más números enteros positivos, al número que cumple dos condiciones: Es divisor común de los números dados. Es el mayor posible. Ejemplo: Sean los números 32 y 40 32 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 40 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ; 10 ; 20 ; 40 Los divisores comunes son: 1; 2; 4; 8, de los cuales el mayor es 8, entonces MCD (32 ; 40) = 8 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) Se llama MCM de un conjunto de dos o más números enteros positivos, al número positivo que cumple dos condiciones: Es un múltiplo común de todos los
números. Es el menor posible. Ejemplo: Sean los números 12 y 8 12 12; 24 ; 36 ; 48 ; 60 ; 72 ; 84 ; 96 ; ... 8 8 ; 16 ; 24 ; 32 ; 40 ; 48 ; 56 ; 64 ; 72 ; ... Los múltiplos comunes son: 24 ; 48 ; 72 ; ...., de los cuales el menor es 24, entonces MCM (12 ; 8) = 24 DETERMINACIÓN DEL MCD Y MCM 1. POR DESCOMPOSICIÓN SIMULTÁNEA: Ejemplos: Hallar el MCD (360 ; 480) 360 – 480 2 180 – 240 2 90 – 120 2 45 – 60 3 15 – 20 5 3 – 4 Hallar el MCM (120 ; 200) 120– 200 2 60– 100 2 30– 50 2 15– 25 5 3– 5 3 1– 5 5 1– 1 2. POR DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA: Ejemplo: Dados los números: 120 = 23 . 3 . 5 200 = 23 . 52
MCD (120 ; 200) = 23 . 5 ...... Factores comunes elevados al menor exponente MCM (120 ; 200) = 23 . 3 . 52... Todos los factores elevados al mayor exponente OBSERVACIONES:
1. Si: N = a
N = b
2. Si: N = a r
N = b r
N = c r
PROPIEDADES Si a un conjunto de dos o más números enteros los dividimos entre su MCD, los cocientes que se obtienen son números PESI. Es decir, si el MCD (A; B; C) = K, entonces:
PESI son r y q ; p
.
.
.
rKCrK
C
qKBqK
B
pKApK
A
Los cocientes de dividir el MCM de un conjunto de dos o más enteros entre cada uno de ellos son siempre PESI. Es decir, si el MCM (A; B; C) = m, entonces:
PESI son 3p y ;2p ;1
3
2
1
p
pC
m
pB
m
pA
m
El producto de dos enteros positivos, siempre es igual al producto de su MCD por su MCM, es decir: OBSERVACIONES: Sean A y B dos números PESI, entonces: MCD (A; B) = 1 MCM (A; B) = A . B
Sean dos números A y B, tal que A = B (“A”
contiene a “B”), entonces: MCD (A; B) = B MCM (A; B) = A Si a un conjunto de dos o más números enteros se les multiplica por una misma cantidad, su MCD y su MCM también quedan multiplicada por dicha cantidad. Es decir: MCD (A; B) = K
MCD (Am ; Bn) = Kn MCM (A; B) = m
MCM (An ; Bn) = mn El MCM de dos números es el producto de los factores comunes y no comunes.
. . MCD
. MCD
. MCD A
MCM
B
APLICACIÓN 1. El MCM de dos números de los cuales
uno contiene el otro es el (......) de ellos. A) mayor C) producto E) N.A. B) menor D) cociente
2. El MCD de dos números es el producto
de ellos (......) por su MCM. A) multiplicado C) sumado E) N.A. B) dividido D) restado
3. El MCM de 2 números primos entre sí es
(......). A) El cociente de ellos B) El producto de ellos C) El mayor de ellos D) No se puede determinar E) El menor de ellos
4. Dos números son tales que su MCD es 17 y su suma es 102. ¿Cuál es el mayor de los números? A) 102 B) 85 C) 68 D) 51 E) N.A.
5. Hallar la diferencia de 2 números
enteros sabiendo que su MCD es 48 y su suma 288. A) 96 B) 192 C) 240 D) 288 E) 144
6. ¿Cuántas parejas de números son tales
que su MCD sea 9 y su suma sea 45? A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 5
7. ¿Cuántos pares de números suman 476 y
tienen como MCD a 28? A) 1 B) 6 C) 8 D) 13 E) 16
8. El producto de dos números es 5915 y el MCD de ellos es 13. Hallar el mayor si ambos son menores que 100. A) 65 B) 91 C) 142 D) 78 E) 133
9. Determinar dos números tales que su
MCD es 11 y la diferencia de sus cuadrados es 2904. Dar el número de soluciones: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
10. La suma de dos números es 667 y el
cociente de su MCM y su MCD es 120. Dar el mayor de ellos. A) 232 B) 435 C) 572 D) 115 E) 552
11. Si a, b son dos naturales positivos y se
sabe que: MCD (a, b) = 5 y MCM (a, b) = 320. Hallar el producto de los números a y b. A) 800 B) 1600 C) 1200 D) 1500 E) F.D.
12. La suma de dos números es igual a 99.
Sabiendo además que su máximo común divisor es 9, ¿cuántos pares de números cumplen tales condiciones? A) 10 B) 8 C) 5 D) 3 E) N.A.
13. El producto de dos números es 3402 y su
MCD es 9. ¿Cuántos pares de números cumplen con dicha condición? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
14. Los cuadrados de dos números difieren
en 3375 y su MCD es 15. Hallar la suma de los números. A) 144 B) 225 C) 175 D) 150 E) 425
15. ¿Cuántos números menores que 80
tienen con 360 un MCD igual a 4? A) 6 B) 2 C) 3 D) 5 E) 4
16. Hallar A B, si A + B = 150 y MCM (A, B)
= 180. A) 5400 B) 360 C) 9000 D) 6000 E) 7200
A . B = MCD (A; B) . MCM (A; B)
Factores comunes
MCD (360 ;
480) = 23 . 3 . 5
MCD (360 ;
480) = 120
Todos los factores
MCM (120 ;
200) = 23 . 3 .
52
MCM (120 ;
200) = 600
N =
);( baMCM
N = rcbaMCM
);;(
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17. Siendo la suma de 2 números igual a 85 y su MCM igual a 102, determinar su diferencia. A) 20 B) 17 C) 15 D) 31 E) 28
18. La suma de 2 números es 39 y su MCM es
40 veces su MCD. ¿Cuál es su diferencia? A) 8 B) 9 C) 12 D) 6 E) 7
19. Dos números son entre sí como 40 es a
75; además su MCM es 1080. Halle la suma de dichos números. A) 230 B) 225 C) 216 D) 207 E) 184
20. Hallar la suma de dos números sabiendo que su MCD es 144 y que tienen respectivamente 33 y 35 divisores. A) 11664 C) 9216 E) 20880 B) 20800 D) 5280
21. Calcular el valor de “N” sabiendo que:
MCM [500 – N ; 770 – N] = 1053 A) 410 B) 472 C) 419 D) 412 E) 370
22. ¿Cuántas parejas de números existen
cuyo MCM sea igual a 180 veces su MCD? A) 16 B) 24 C) 32 D) 4 E) 8
23. Sabiendo que el MCM de N, N+1 y 3N es
546. Hallar el MCM de N+2 y 2N+1. A) 80 B) 105 C) 135 D) 225 E) 315
24. El producto de dos números es 11 340 y
su MCM es 630. ¿Cuáles son estos números? Dar su suma. A) 158 B) 218 C) 220 D) 198 E) 216
25. ¿Cuáles son los dos números primos
entre sí, cuyo MCM es 330 y su diferencia 7? A) 55 y 46 C) 18 y 25 E) 22 y 15 B) 22 y 29 D) 14 y 21
26. El producto de dos números es 8 veces
su mcm y la suma de dichos números es 6 veces su MCD. Hallar los números. A) 9 y 50 C) 3 y 180 E) N.A. B) 6 y 120 D) 8 y 40
27. Hallar 2 números enteros sabiendo que
su producto es 420 veces su MCD y que la suma de sus cuadrados es 21364. A) 140 y 44 C) 142 y 40 E) N.A. B) 138 y 42 D) 140 y 42
28. El MCD de dos números es 18 y el MCD
de otros dos es 24. Si comparamos los 4 números, ¿cuál será su MCD? A) 18 B) 12 C) 3 D) 6 E) 4
29. Hallar 2 números tales que su suma sea
10 veces su MCD y su producto 225 veces su MCD. Dar como respuesta la suma de estos números. A) 140 B) 210 C) 350 D) 410 E) 250
30. Si MCD (9x, 36x) = 99. Hallar “x”
A) 22 B) 9 C) 36 D) 11 E) 13
31. Si MCM (21a, 14a) = 210. Hallar “a”. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
32. Hallar el valor de “N” en los números: A = 12 45N B = 12N 45, sabiendo que su MCM tiene 90 divisores. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
33. Hallar el menor de dos números tales
que su MCM es 216, si la suma de sus cuadrados es 3492. A) 18 B) 24 C) 30 D) 48 E) N.A.
34. La diferencia de dos números es 60 y su
MCM es 120. Calcular la suma de las cifras del mayor de ellos. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
35. Sabiendo que la suma de los cuadrados
de dos números es 13968 y que su MCD es 12, hallar la diferencia de dichos números. A) 50 B) 55 C) 48 D) 60 E) 72
36. Hallar el producto de dos números
enteros; sabiendo que su suma es 225 y que la suma de su MCM y su MCD es 315. A) 1215 C) 12150 E) 31500 B) 12500 D) 3150
37. La suma de los cuadrados de dos
números enteros es 676 si uno de ellos es igual a 12 veces su MCD. Determinar la diferencia de los números. A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
38. Hallar el MCD de (51207 – 1) y (51349 – 1)
A) 517 – 1 C) 517 + 1 E) 591 – 1 B) 519 – 1 D) 571 – 1
39. Calcular a . b, si MCM ( ba,ab ) = 336
A) 12 B) 24 C) 32 D) 40 E) 36
40. Se sabe que dos enteros tienen 9
divisores comunes y que además del MCM de estos enteros es 2475. ¿Cuál es la suma de estos enteros? A) 2040 B) 2700 C) 2800 D) 2400 E) 2070
41. Si el número de naranjas que tiene un
vendedor se cuenta de 15 en 15, de 18 en 18 y de 24 en 24 siempre sobra 11. Hallar el número de naranjas si es el menor posible. a) 320 b) 351 c) 371 d) 391 e) 357
42. Se tiene 3 rollos de tela que miden 2442
m, 2772 m, y 3300 m de longitud. Se quiere sacar rollos más pequeños todos de igual longitud. ¿Cuántos de estos rollos como mínimo se podrán obtener en total?. a) 129 b) 137 c) 141 d) 131 e) 128
43. Hallar “k” sabiendo que:
MCD (210 K; 300 K; 420 K) = 1200 a) 20 b) 30 c) 35 d) 40 e) 25
44. Si se sabe que el cuadrado del MCM de 2
números es igual al cubo de su MCD y que la suma de estos números es 180. Hallar su MCD. a) 24 b) 56 c) 36 d) 72 e) 32
45. El cociente de 2 números es igual a su MCD . Si su MCM es igual a 81. El menor de dichos números es: a) 9 b) 18 c) 15 d) 81 e) 36
46. La suma de los cuadrado de 2 números
es 676 y que uno de ellos es 12 veces su MCD. Hallar la diferencia de los números. a) 12 b) 14 c) 13 d) 15 e) 16
47. M y N tienen 10 y 9 divisores
respectivamente. Si ambos números tienen los mismos factores primos. ¿Cuál es el menor valor que puede tomar el MCD de M y N?. a) 10 b) 18 c) 24 d) 36 e) 12
48. El MCD de 2 números es 18. Uno de ellos
tiene 21 divisores y el otro tiene 10. ¿Cuál es el MCM?. a) 5134 b) 5194 c) 5184 d) 5224 e) 5124
49. El MCD de )4()2( cbba y )2(0 bac es 126.
Hallar: a + b + c a) 5 b) 8 c) 10 d) 9 e) 6
50. ¿Cuál es la máximo diferencia posible
entre 2 números naturales cuya suma es 47040, sabiendo que dichos números tiene 21 divisores comunes?. a) 40720 b) 40768 c) 40728 d) 40528 e) 40764
51. La suma del MCD y el MCM de 2
números es 612. si la razón de los números es 11/3. Hallar la suma de los números. a) 225 b) 243 c) 252 d) 248 e) 280
52. Dos números naturales son entre sí
como 5 es a 9. Si su MCM es 945. ¿Cuánto vale el menor de dichos números?. a) 130 b) 110 c) 125 d) 105 e) 135
53. Dados: A = 3n x 42 , B = 32 x 4n
Hallar “n” sabiendo que el MCM de A y B es 1728 y “n” es mayor que 2. a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 5
54. Hallar “n” si el MCD de A y B es 8000 y A
= 4n x 5n ; B = 12 n x 15 n . a) 2 b) 3 c) 2 d) 1 e) 5
55. Si al calcular el MCD de )1( aab y 83b
por el algoritmo de Euclides se obtuvo: 1; 2; 2 y 8 como cocientes en dicho orden. Calcular “a – b”. Sabiendo que la segunda división se realizó por exceso y a > 3. a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) 8
56. El producto de 2 números es 160. EL
cociente de dividir la media aritmética por la media armónica del MCD y el MCM de dichos números es el número mixto
4013 . Calcular la suma de los números.
a) 40 b) 60 c) 36 d) 28 e) 32
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N
C
DA
L
M
B
P
GEOMETRIA DEL ESPACIO
1. En la siguiente figura, la arista del cubo
mide 2m. ¿Cuál es la longitud menor para ir de M a D recorriendo la superficie del cubo? A) 2 2 1 m
B) 2 5 1 m
C) 2 3m
D) 2 5m
E) 2 6m
2. Hallar el volumen del sólido que se
forma cuando la figura gira 360º alrededor del eje “L”
a) 108 b) 110 c) 90 d) 120 e) 100 3. En el gráfico calcular la relación de
volúmenes del cilindro y del cono recto. a) 3/2 b) 3/4 c) 3 d) 1 e) 2/5 4. Hallar la superficie esférica, si el área de
su círculo máximo es 36. a) 100 u2 b) 144 c) 124 d) 120 e) 152 5. En el gráfico si el volumen de la esfera es
32/3 u2. Calcular el volumen del cilindro.
a) 16 u3 b) 18 c) 30 d) 24 e) 20 6. Calcular el volumen del cono menor: a) 720 u3 b) 868 c) 700 d) 668 e) 768 7. En la figura, en que relación se encuentra
el volumen del cono recto de revolución y el volumen de la esfera inscrita en dicho cono?
a) 3/1 b) 2/1 c) 8/5 d) 4/1 e) 8/3
8. La diagonal del cubo mostrado es 6 3 .
Calcular el volumen de la esfera inscrita en el cubo.
a) 27 b) 36 c) 54 d) 81 e) 288 9. Calcular el volumen del sólido generado
cuando la región sombreada gire alrededor del eje “L”.
a) 8 3
b) 16 3
c) 33
8
d) 33
16
e) 16 2
10. Hallar cuántos galones de pintura son
necesarios para pintar integramente la pieza tubular mostrada sabiendo que un
galón rinde 18m2. a) 4,9 galones aproximadamente b) 7,3 galones aproximadamente c) 15,4 galones aproximadamente d) 16,3 galones aproximadamente e) 17,9 galones aproximadamente 11. En un cesto se han colocado dos pelotas
de igual radio y el volumen de uno de ellos es de 32/3. Hallar el volumen del cesto.
a) 16 b) 22 c) 42 d) 30 e) N.A. 12. ¿Qué parte del volumen del cilindro es el
volumen del cono? a) 1/2 b) 1/3 c) 2/3 d) 1/4 e) 3/4 13. En el gráfico, el radio de la esfera es 2u.
Hallar el radio de la base del cono recto.
a) 2 3
b) 6 c) 4
d) 4 3
e) 3 3
14. En el cono recto, hallar:
i. área lateral ii. área total iii. volumen a) 120 ; 150 ; 100 b) 60 ; 96 ; 144 c) 60 ; 96 ; 96 d) 60 ; 148 ; 96 e) 30 ; 96 ; 148 15. En la pirámide regular, hallar: i. área lateral ii. área total iii. volumen a) 260 ; 360 ; 480 b) 260 ; 360 ; 400 c) 520 ; 360 ; 400 d) 260 ; 400 ; 500 e) 260 ; 300 ; 360 16. Hallar el área lateral, área total y
volumen del sólido que se forma cuando la figura gira 360º alrededor del eje “L”
a) 100 ; 190 ; 150 b) 65 ; 90 ; 100 c) 65 ; 90 ; 130 d) 130 ; 180 ; 260 e) 65 ; 180 ; 240 17. En la figura se muestra un cono
equilátero cuya altura mide 6cm. Hallar el área de la esfera inscrita.
a) 36 b) 16 c) 72 d) 120 e) 144 18. La pirámide ye l cono mostrados son
sólidos equivalentes. Si: r = , calcular
“a” a) /2 b) /3
c)
d) e) 2 19. Hallar el área total de la pirámide
cuadrangular regular a) 331 b) 531 c) 431 d) 631 e) 600 20. En el cubo mostrado: ''O'' es el centro de
la cara EFGH. Calcular el área de la región AOC.
a) 52u2 b) 102 c) 205 d) 202 e) N.A.
R
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3
2
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21. La figura muestra un cono de revolución.
Halle su área total.
S = 3 m2
a) 6m2 b) 12 c) 18 d) 20 e) N.A. 22. Calcular el volumen del cono de
revolución mostrado. a) 9 b) 81 c) 18 d) 27 e) 36 23. Calcular el volumen del cono circular
recto mostrado. (O : centro) a) 27 b) 9 c) 18 d) 9
e) 9 3
24. Calcular el área de la región sombreada
si el volumen del tetraedro regular es
144 2 .
a) 36 2
b) 72
c) 36
d) 72 3
e) 144
25. En el cubo mostrado “O” es el centro de
la cara EFGH. Calcular el área del triángulo AOC.
A) 802 B) 102 C) 205 D) 202 E) 252 26. En la figura se pide la arista del cubo
sabiendo que el área sombreada es 33m2.
A) 2 B) 3 C) 1 D) 2 E) 3 27. Calcular el volumen del prisma regular
mostrado. A) 320 B) 640 C) 540 D) 480 E) 360
28. Calcular la diagonal del paralelepípedo rectangular mostrado.
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 29. Calcular el volumen de la pirámide
regular mostrada.
A)
B)
C)
D)
E)
30. Calcular el volumen de la pirámide
regular mostrada.
A) 24 B) 30 C) 36 D) 48 E) 32 31. En la figura, se muestra un cilindro de
revolución con generatriz PH = 3 m “O”
es el centro de la base. Si la distancia de
H a PO es 1 m, calcular el volumen del
cilindro.
a) 3 3 / 2 m3
b) 2 3 m3
c) 3 / 3 m3
d) 3 / 2 m3
e) 3 3 m3
32. La arista del cubo que se muestra mide
10 2 m. Calcular el área de la región
sombreada (ABCD). A) 182m2 B) 282m2 C) 100m2 D) 280m2 E) 180m2 33. En el exaedro regular que se muestra
calcular la mABC.
A) 30 B) 60 C) 45 D) 90 E) 37
34. Calcular AO sabiendo que la arista del
cubo mide 4 (“O” centro de la cara).
A) 3 6
B) 6
C) 2 6
D) 4 6
E) 4 2
35. Si P y Q son centros de las caras ABCD y
ADEF del exaedro regular que se muestra. Calcular PQ.
A) 1
B) 2
C) 2 /2
D) 2 2
E) 2 /4
36. La arista del exaedro regular que se
muestra mide 12. Calcular x.
A) 6 /24
B) 2 6 /13
C) 9 6
D) 12 6
E) 36 6
2
2
2
7 4 3
4 8 3
8 3 3
9 4 3
6 5 3
2 O
S
3
81
P
H O
O
3 1
72