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DANIEL SAENZ CONTRERAS EMAIL SAENZCODANIEL@HOTMAIL.COM
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DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR. Si f( x , y ) es una función de dos variables, al derivar la función parcialmente con respecto a
una de las variables x o y , se obtiene otra función de estas dos variables, la cual se puede
derivar parcialmente con respecto a x o y, con lo que se las derivadas parciales segundas de
f. siguiendo el mismo proceso se pueden obtener las terceras derivadas, y así
sucesivamente.
Ahora, si f( x , y ) es una función de las variables x , y, entonces:
yx ff ; , representan las primeras derivadas parciales. A partir de ellas se pueden
obtener las cuatro segundas derivadas parciales, las cuales se obtienen al derivar
parcialmente yx ff ; con respecto a la variable x y luego con respecto a la variable y.
siendo estas segundas derivadas las siguientes:
yxxx ff ; yyxy ff ;
Cuantas son las terceras derivadas parciales?
xf
xxff xx 2
2
lo cual nos indica que la funciones a la función se le debe
encontrar la segunda derivada parcial con respecto a la variable x.
xf
yxyff xy
2
lo que nos indica que a la función dada se le debe encontrar la
derivada parcial con respecto a la variable x y luego derivarla parcialmente con respecto a la
variable y.
yf
xyxff yx
2
lo que nos indica que a la función dada se le debe encontrar la
derivada parcial con respecto a la variable y y luego derivarla parcialmente con respecto a la
variable x.
UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS. DANIEL SAENZ CONTRERAS EMAIL SAENZCODANIEL@HOTMAIL.COM
DANIEL SAENZ CONTRERAS EMAIL SAENZCODANIEL@HOTMAIL.COM
2
2
2
2
3
xf
yxyff xxy lo que nos indica que a la función dada se le debe encontrar
la segunda derivada parcial con respecto a la variable x y luego derivarla parcialmente con
respecto a la variable y.
En el siguiente esquema se ilustra las tres primeras derivadas parciales de una función de
dos variables.
EJEMPLO: DADA LA FUNCION 22235),( Senyxyxyxf encontrar:
a) las primeras derivadas parciales.
222 215 xSenyyxf x 223 210 Cosyyxyxf y
b) Las segundas derivadas parciales:
22 230 Senyxyf xx
22 430 xyCosyyxf yx
22 430 yxCosyyxf xy 222223 4210 SenyxyCosyxxf yy
TEOREMA DE LA DERIVADA MIXTAS O CRUZADAS.
Si f( x , y ) y sus derivadas parciales yxxyyx ffff ;;; están definidas en toda una región abierta que contenga a un punto ( a , b ) y son todas continuas en ( a , b ) , entonces
bafbaf yxxy ,, .
F(x,y)
Fx Fy
Fxx Fxy Fyx Fyy
Fxxx Fxxy Fxyx Fxyy Fyxx Fyxy Fyyx Fyyy
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ACTIVIDAD.
1. El plano x = 1 interseca el paraboloide z = x2 + y2 en una parábola. Encuentre la
pendiente de la tangente a la parábola en ( 1 , 2 , 5 ).
2. Encuentre la pendiente a la curva de intersección de la superficie x2 + y2 + z2 = 9
con el plano y = 2 en el punto ( 1 , 2 , 2 ).
3. La temperatura en cualquier punto ( x , y ) de una placa es T y T = 54 – 2/3 x2 – 4y2 . si la distancia se mide en pies, encuentre la rapidez de cambio de la temperatura con
respecto a la distancia recorrida a lo largo de los ejes x , y en el punto ( 3 , 1 ).
4. Determinar yxxyyyxxyx ffffff ;;;;; para las siguientes funciones.
A) xyxyyxf
22
),( B) 22235),( yxSenyxyxf
C) 23435),( Senyxyxyxf D)
3 223),( yxyxf
E) 424),( yxyxf F) 22232),( Senxyyxyxf
5. Comprobar el teorema de las derivadas cruzadas para las siguientes funciones:
A) 53232),( yxyxyxf B) Cosyeyxf x23),(
C) 223),( yxyxf D) 22235),( SenxyCosyxyxf
6. Si se dijera que existe una función f( x , y ) que tiene como primeras derivadas parciales
las funciones 4 xf x y yxf y 3 ¿usted lo creería?
7. Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales se usan para expresar leyes físicas. Por ejemplo, la ecuación diferencial parcial
02
2
2
2
yf
xf
se conoce como ecuación de Laplace, en honor a Pierre Laplace (1749 - 1827). Las soluciones de esta ecuación se llaman funciones armónicas y desempeñan un papel fundamental en las aplicaciones relacionadas con conducción de calor, flujo de fluidos y potencial eléctrico. Compruebe que las siguientes funciones satisfacen la ecuación de Laplace.
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A) xCoseyxf y 2),( 2 B) 22),( yxLnyxf
C) Senyeyxf x),( D) Senxeeyxf yy 21),(
DIFERENCIALES.
DEFINICION: Sea z = f ( x , y ) una función de dos variables, si x , y son los
incrementos de x y de y, el incremento de z es:
z = f( x + x , y + y ) – f ( x , y )
Ejemplo: Si z = xy – 3 , encuentre el incremento de z para incrementos de x y de y .
Sean x , y son los incrementos de x y de y, luego el incremento de z es:
z = f( x + x , y + y ) – f ( x , y )
z = ( x + x )( y + y ) – 3 – ( xy – 3 )
z = xy + x y + yx + x y – 3 - xy + 3
z = x y + yx + x y
DEFINICION: Si z = f( x , y ) y x , y son los incrementos de x y de y, entonces las
diferenciales de las variables x e y son : dx = x , dy = y y la diferencial total de z se
define como: dyyzdx
xzdz
o dyyxfdxyxfdz yx ,, .
Ejemplo: si z = x3y3 + 5xy – 3x +2 , encuentre la diferencial total:
La diferencial total se define como: dyyxfdxyxfdz yx ,, , luego
dyxyxdxyyxdz
dyyxfdxyxfdz yx
53353
,,2332
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ACTIVIDAD
1. Encuentre la diferencial total de las siguientes funciones:
323 yxz )( 3ySenez x ySenxxCosyz
Senxyzw 332 )(22 xysenyzxw
2. Evaluar f(1,2) y f( 1.05 , 2.1) para calcular z , luego aplicar la diferencial total
para aproximar z.
229),( yxyxf yxyxf 32),(
22),( yxyxf 32),( yxyxf
3. Las dimensiones de una caja rectangular están creciendo a los ritmos siguientes: la
longitud 3 pies/min. La anchura 2 pies/min y la altura a ½ pies/min. Hallar las razones
de cambio del volumen y del área de la superficie de esa caja cuando la longitud, la
anchura y la altura son 10, 6 y 4 pies.
4. El radio de un cilindro circular recto esta creciendo a razón de 6 cm/min , mientras que
la altura decrece a razón de 4 cm/ min. Cual es la razón de cambio del volumen
cuando el radio es 12 cm y la altura de 36.
5. La gravedad especifica de un objeto esta dado por la formula WA
As
, donde A es el
numero de libras de peso del objeto en el aire y W es el numero de libras de peso del
objeto en el agua. Si el peso del objeto en el aire es de 20 libras con un posible error
del 0,01 libras y el peso en el agua es 12 libras con un posible error del 0,02 libras.
Encontrar el máximo error posible al calcular S a parir de las medidas.
6. Dos objetos viajan siguiendo trayectorias elípticas dadas por las ecuaciones
parametricas: Costx 41 Senty 21 ; tSenx 222 tCosy 232
, a que ritmo varia la distancia entre los dos objetos cuando t .
DEFINICION: Una función f dada por z = f( x , y ) es diferenciable en el punto ( x0 , y0 ) si
fx ( x0 , y0 ) y fy ( x0 , y0 ) existen y z se puede expresar en la forma
z = fx ( x0 , y0 ) x + fy ( x0 , y0 )y + 1 x + 2 y
donde ambos 1 y 2 tienden a cero cuando (x , y ) tiendan a ( 0 , 0 ).
Ejemplo: probar que la función z = xy+3x+5y es diferenciable en el punto ( 1 , 2 )
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yxyxxydzyxyxxyyxdz
yxxyyyxxyxxyyxxydzyxxyyyxxyyxxdz
yxfyyxxfdz
5353
5355335353
,,
yxyxdz
yxyxdz
65
5132
Llamado 1 = x y 2 = 0 , se tiene:
xyyfxfdz yx 212,12,1
DEFINICION: La linealización de una función f ( x , y ) en un punto ( x0 , y0 ) donde f es
diferenciable es la función:
00000000 ,,,),( yyyxfxxyxfyxfyxL yx
La aproximación ),(, yxLyxf es la aproximación lineal estándar de f en ( x0 , y0 ).
Ejemplo: encuentre la aproximación lineal de 3, 22 yxyxyxf en el
punto ( 2 , 3 ) .
La linealización de una función de dos variables se define como:
00000000 ,,,),( yyyxfxxyxfyxfyxL yx que para el
punto indicado es:
33,223,23,2),( yfxffyxL yx
Pero:
43*2223,2
132*223,210333*223,2
3,2
3,2
22
yxfyxf
f
y
x
Con lo cual la linealización nos queda:
44,
342110),(
yxyxL
yxyxL
EL ERROR EN LA APROXIMACION LINEAL ESTANDAR:
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Si f tiene primeras y segundas derivadas parciales continuas en todo un conjunto abierto que
contenga un rectángulo R con centro en ( x0 , y0 ), y si M es cualquier cota superior para los
valores de ;xxf , yyxy ff , ; sobre R, entonces el error E( x , y ) en el que se
incurre al reemplazar f(x,y) sobre R por su linealización
00000000 ,,,),( yyyxfxxyxfyxfyxL yx satisf
ace la desigualdad:
20021),( yyxxMyxE
EJEMPLO: La linealización de la función 3, 22 yxyxyxf en el
punto ( 2 , 3 ) es 44, yxyxL , encuentre una cota superior para el errar en la
aproximación ),(, yxLyxf sobre el rectángulo
1,03 ; 1,02: yxR .
Para encontrar la cota , buscamos las derivadas parciales:
2 ;1 ;2
2:2
yyxyxx
yx
fffyxfyxf
Con lo que: 22 ;11 ;22 yyxyxx fff , la mayor de
ellas es 2, por lo que podemos escoger M = 2 .
Con ( x0 , y0 ) = ( 2 , 3 ), sabemos que ,en toda R:
04,0)3,2(
1,01,0)3,2(
321)3,2(
32221)3,2(
21),(
2
2
2
200
E
E
yxE
yxE
yyxxMyxE
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En tanto que el punto ( x , y ) permanezca dentro de la regio R, la aproximación
),(, yxLyxf tendrá un error de no mas de 0,04.
REGLA DE LA CADENA: Si w = f ( x , y , z ) es diferenciable y x , y , z son funciones
diferenciables de t, entonces w es una función diferenciable de t y:
dtdz
zf
dtdy
yf
dtdx
xf
dtdw
Si w = f ( x , y , z ) y x = g( r , s ) , y = h( r , s ) , z = m( r , s ) son funciones
diferenciables de t, entonces w tiene derivadas parciales respecto a r y s , dadas por las
formulas:
sz
zw
sy
yw
sx
xw
sw
rz
zw
ry
yw
rx
xw
rw
DERIVADAS DIRECCIONALES, VECTORES GRADIENTE. Suponga que deseamos calcular la tasa de
cambio de en el punto ( x0 , y0 ) en la
dirección de un vector unitario arbitrario
bau ,
. Para esto consideramos la
superficie con ecuación z = f ( x , y ) (la
gráfica de f ) y sea z0 = f ( x0 , y0 ). Entonces el
punto P= ( x0 , y0 , z0 ) está sobre . El plano
vertical que pasa por el punto en la
dirección del vector
u interseca a la superficie
en la curva . La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto es la tasa
de cambio de Z en la dirección de
u .
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Si Q( x , y , z ) es otro punto sobre la curva , y si y Q/ son las proyecciones sobre el plano
de los vectores y Q, entonces el vector
es paralelo al vector , y por consiguiente
),(// hbhauhQP
para algún escalar . Así pues,
hbyyhaxx 00 ;
y la razón de cambio está dada por
h
yxfhbyhaxfh
zzhz ,, 000
y al tomar el límite cunado obtenemos la tasa de cambio instantánea de (con
respecto a la distancia) en la dirección de , la cual se llama derivada direccional de en la dirección de .
CONCEPTO: Sea f: D R2 R una función escalar y sean P = ( x0 , y0 ) D y
un vector unitario, entonces la derivada direccional de f en P = ( x0 , y0 )en la dirección del
vector , está dada por :
Ejemplo: encuentre la derivada de f(x , y ) = x2 + xy en P( 1 , 2 ) en la dirección del vector
unitario jiu
21
11
.
La derivada direccional se define como:
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10
252
5
2*112
122
112
11
2.12
12,2
11
,,
2
0
22
0
0
0000
0, 0
h
hh
Lim
h
hhhLim
h
fhhfLim
hyxfhbyhaxfLimD
h
h
h
hPu
Si f es una función diferenciable en x e y, entonces la derivada direccional de f en la
dirección del vector unitario u = Cos i + Sen j es:
SenyxfCosyxfyxfD yxu ),(),(,
Ejemplo: encuentre la derivada direccional de 3, 22 yxyxyxf en la
dirección del vector U = < 3 , 4 >.
Las derivadas parciales de la función son:
yxyxfx 2, y yxyxf y 2,
El vector unitaria en la dirección de U es:
54,
53
54,3
434,3
22UUu
jiu54
53
Con lo que la derivada direccional es:
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11
yx
yxyx
yxyx
SenyxfCosyxfyxfD yxu
52
58
54
53
56
542
532
),(),(,
ACTIVIDAD:
1. ENCONTRAR LA DERIVADA DIRECCIONAL EN EL PUNTO INDICADO Y EN LA
DIRECCION DEL VECTOR DADO.
jivPyxyxyxf23
21);2,1(;543),(
jivPyyxyxf22
22);3,4(;5),( 22
kjivPxzzyxyzyxf 2);1,1,1(;543),,(
kjivPxyzyxf 2);1,1,4(;),(
2. ENCONTRAR LA DERIVADA DIRECCIONAL EN EL PUNTO P Y EN LA DIRECCION
DE Q.
)1,1();1,3(;4),( 22 QPyxyxf
)0,2
();,0();4(),( 22 QPyxCosyxf
)1,3,4();0,0,1();(),,( QPzyxLnzyxf
)0,0,0();0,4,2(;),,( QPxyezyxf z
DEFINICION: El vector gradiente ( gradiente ) de f( x , y ) en un punto P0 ( x0 , y0 ) es el
vector definido como: jyfi
xff
obtenido al evaluar las derivadas parciales de
f en el punto P0.
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PROPIEDADES DEL GRADIENTE. Sea f una función diferenciable en el punto ( x , y ).
1. Si f es una función diferenciable de x e y, la derivada direccional de f en la dirección
del vector unitario u es : uyxfyxfDu ),(),(
2. Si 0),( yxf entonces la derivada direccional de f en la dirección de cualquier
vector unitario es igual a cero.
3. La dirección de máximo crecimiento de f viene dada por ),( yxf , y el valor máximo
de ),( yxfDu es ),( yxf .
4. La dirección de mínimo crecimiento de f viene dada por ),( yxf , el valor mínimo
de ),( yxfDu es ),( yxf .
DEFINICION DE PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL:
Sea F diferenciable en el punto P= ( x0 , y0 , z0 ) de la superficie S dada por F( x , y , z ) = 0,
con 0),,( 000 zyxf .
1. El plano que pasa por P y es normal a 0),,( 000 zyxf se conoce como el
plano tangente a la superficie S en P.
2. La recta que pasa por P y tiene la dirección de se conoce como la recta Normal a la
superficie S en P.
ECUACION DEL PLANO TANGENTE:
Sea F diferenciable en el punto ( x0 , y0 , z0 ) una ecuación del plano tangente a la superficie
S dada por F( x , y , z ) = 0, en ( x0 , y0 , z0 ) es:
0))(,,())(,,())(,,(),,( 000000000000000 zzzyxfyyzyxfxxzyxfzyxf zyx
ECUACION DE LA RECTA NORMAL:
Sea F diferenciable en el punto ( x0 , y0 , z0 ) las ecuaciones simétricas de La recta normal
a la superficie S dada por F( x , y , z ) = 0, en ( x0 , y0 , z0 ) son:
Como la recta tiene la dirección del vector gradiente
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kzyxfjzyxfizyxfzyxf zyx ),,(),,(),,(),,( , se tiene las derivadas
parciales evaluadas en el punto ( x0 , y0 , z0 ) corresponden a los números directores de la
recta. Con lo que las ecuaciones buscadas son:
),,()(
),,()(
),,()(
000
0
000
0
000
0
zyxfzz
zyxfyy
zyxfxx
zyx