Números Reales

Incluyen a los números racionales ℚ como a los números irracionales 𝕀.

ℝ

Los números racionales incluyen a los números naturales ℕ y a los números enteros ℤ.

Los números naturales ℕ son todos los números positivos excluyendo al cero (por que se utilizan para contar).

Lo números enteros ℤ son todos los números positivos y negativos incluyendo al cero.

Los números irracionales 𝕀 son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales no periódicas.

Recta Real

Representación geométrica de los números reales

Una propiedad importante es: entre dos números reales cualquiera existen siempre números racionales e irracionales.

Así se define un número racional

ℚ = 𝑥: 𝑥 =𝑝

𝑞, 𝑝, 𝑞 ∈ ℤ, 𝑞 ≠ 0

5 = {𝑥: 𝑥 =5

1, 5,1 ∈ ℤ, 1 ≠ 0}

−7 = {𝑥: 𝑥 =−7

1, −7,1 ∈ ℤ, 1 ≠ 0}

5

3= {𝑥: 𝑥 =

5

3, 5,3 ∈ ℤ, 3 ≠ 0}

Números Irracionales mas conocidos

𝜋 (Numero “pi” 3,14159…): Razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

𝑒 (Numero “e” 2,7182…): lim𝑛→+∞

1 +1

𝑛

𝑛

Φ (Numero “áureo” 1,6180…): 1+ 5

2

Axiomas

Es una afirmación que se acepta como verdadera debido a su trivialidad, pudiendo en ocasiones ser demostradas cuando no lo son.

Resolvamos algunos problemas

Problema 1

Usando los axiomas de cuerpo de los números reales y los teoremas de unicidad demuestre la siguiente propiedad: Para todo 𝑥, 𝑦 reales, −𝑥 + (−𝑦) es opuesto (inverso aditivo) de 𝑥 + 𝑦

Respuesta:

Debemos demostrar

−𝑥 + −𝑦 + 𝑥 + 𝑦 = 0

Se utilizan axiomas de la suma de números reales:

−𝑥 + −𝑦 + 𝑥 + 𝑦 = −𝑥 + −𝑦 + 𝑥 + 𝑦

= −𝑥 + −𝑦 + 𝑥 + 𝑦

= −𝑥 + 𝑥 + −𝑦 + 𝑦

= −𝑥 + 𝑥 + −𝑦 + 𝑦

= −𝑥 + 𝑥 + −𝑦 + 𝑦

= −𝑥 + 𝑥 + −𝑦 + 𝑦

= 0 + 0 = 0

(asociatividad)

(conmutatividad)

(inverso)

(neutro)

(asociatividad)

(asociatividad)

(asociatividad)

(asociatividad)

Problema 2

Usando los axiomas de cuerpo de los números reales y los teoremas de unicidad demuestre la siguiente propiedad:

Si 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 son reales que verifican la relación 𝑎𝑑 + − 𝑐𝑏 = 0

entonces

𝑎 + 𝑏 𝑑 + − 𝑐 + 𝑑 𝑏 = 0

Respuesta: Se utilizan axiomas de cuerpo de los números reales:

𝑎 + 𝑏 𝑑 + − 𝑐 + 𝑑 𝑏

=

= 𝑎𝑑 + 𝑏𝑑 + − 𝑐𝑏 + 𝑑𝑏

= 𝑎𝑑 + 𝑏𝑑 + − 𝑐𝑏 + − 𝑑𝑏

= 𝑎𝑑 + 𝑏𝑑 + − 𝑐𝑏 + − 𝑑𝑏

= 𝑎𝑑 + 𝑏𝑑 + − 𝑐𝑏 + − 𝑑𝑏

= 𝑎𝑑 + − 𝑐𝑏 + 𝑏𝑑 + − 𝑑𝑏

= 𝑎𝑑 + − 𝑐𝑏 + 𝑏𝑑 + − 𝑑𝑏

= 𝑎𝑑 + − 𝑐𝑏 + 𝑏𝑑 + − 𝑑𝑏

= 𝑎𝑑 + − 𝑐𝑏 + 𝑏𝑑 + − 𝑏𝑑

= 𝑎𝑑 + − 𝑐𝑏 + 0

= 0 + 0 = 0

(distributividad)

(problema1)

(asociatividad +)

(asociatividad +)

(asociatividad +)

(asociatividad +)

(conmutatividad +)

(conmutatividad ∙)

(inverso +)

(hipótesis) (neutro +)

Desigualdades

Es una relación que se da entre dos valores cuando estos son distintos.

Las propiedades: transitividad, adición, sustracción, multiplicación y división también se mantienen si los símbolos de desigualdad estricta (< y >) son reemplazados por sus correspondientes símbolos de desigualdad no estricta (≤ y ≥).

En ℝ existe un subconjunto llamado conjunto de reales (estrictamente) positivos ℝ+∗ , el cual satisface los siguientes axiomas o reglas.

Tricotomia ∀𝑥 ∈ ℝ, una y solo una de las siguientes proposiciones es verdadera: 1. x ∈ ℝ+∗ 2. −𝑥 ∈ ℝ+∗ 3. 𝑥 = 0

Clausura ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ+∗ , se cumple que:

1. 𝑥 + 𝑦 ∈ ℝ+∗ 2. 𝑥 ∙ 𝑦 ∈ ℝ+∗

Es decir, ℝ+∗ es cerrado para la suma y el producto.

Relaciones de orden Ahora que conocemos el conjunto ℝ+∗ , estamos en condiciones de incorporar las definiciones de los símbolos <,>,≤,≥. Sean 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ se define las relaciones <,>,≤,≥ por: 1. 𝑥 < 𝑦 ⟺ 𝑦 − 𝑥 ∈ ℝ+∗ 2. 𝑥 > 𝑦 ⟺ y < 𝑥 ⟺ 𝑥 − 𝑦 ∈ ℝ+∗ 3. 𝑥 ≤ 𝑦 ⟺ 𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 4. 𝑥 ≥ 𝑦 ⟺ 𝑥 > 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦

Propiedades de la desigualdad Propiedad 1. 𝑥 > 0 ⟺ 𝑥 ∈ ℝ Propiedad 2. 𝑥 es negativo ⟺ 𝑥 < 0 Propiedad 3. Tricotomía: Para cualquier par de números reales 𝑥 e 𝑦, una y solo una de las siguientes proposiciones es verdadera:

1. 𝑥 < 𝑦 2. 𝑥 > 𝑦 3. 𝑥 = 𝑦

Propiedad 4. 𝑥 < 𝑦 y 𝑎 ∈ ℝ ⟹ 𝑥 + 𝑎 < 𝑦 + 𝑎 Propiedad 5.

1. 𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑎 > 0 ⟹ 𝑎𝑥 < 𝑎𝑦 2. 𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑎 < 0 ⟹ 𝑎𝑥 < 𝑎𝑦

Propiedad 6. ∀𝑥 ∈ ℝ ⟹ 𝑥2≥ 0 Propiedad 7. Si 𝑥 < 𝑦 y 𝑢 < 𝑣 ⟹ 𝑥 + 𝑢 < 𝑦 + 𝑣 Propiedad 8. Si 0 < 𝑥 < 𝑦 y 0 < 𝑢 < 𝑣 ⟹ 𝑥𝑢 < 𝑦𝑣 Propiedad 9.

1. 𝑥 < 0 ∧ 𝑦 > 0 ⟹ 𝑥𝑦 < 0 2. 𝑥 < 0 ∧ 𝑦 < 0 ⟹ 𝑥𝑦 > 0

Propiedad 10.

1. 𝑥 > 0 ⟹ 𝑥−1 > 0 2. 𝑥 < 0 ⟹ 𝑥−1 < 0

Propiedad 11. Si 0 < 𝑥 < 𝑦 entonces 𝑥−1 > 𝑦−1

Problema 3

Demuestre que para todo 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ

𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 ≥ 0

Respuesta: Sean 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. Si 𝑥𝑦 ≥ 0 entonces es directo que

𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 ≥ 0 Ya que se trata de la suma de tres cantidades mayores o iguales a cero. En al caso 𝑥𝑦 < 0 notemos que −𝑥𝑦 > 0 y por lo tanto

−𝑥𝑦 ≤ 2 −𝑥𝑦 = −2𝑥𝑦 Pero recordemos la propiedad

𝑥 + 𝑦 2 ≥ 0 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 ≥ 0

𝑥2 + 𝑦2 ≥ −2𝑥𝑦 Luego

−𝑥𝑦 ≤ 2 −𝑥𝑦 = −2𝑥𝑦 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 Y se deduce así que la desigualdad vale también en el caso 𝑥𝑦 < 0.

Problema 4

Sean 𝑎, 𝑏 números reales positivos, demuestre que

𝑎𝑏 ≥2

1𝑎

+1𝑏

Respuesta: Para resolver problemas de este estilo, lo primero que recomiendo es trabajar la desigualdad para entender los pasos que se llevaron a cabo, luego que se entendieron se procede a escribir la demostración y eso es lo que se tomara en cuenta y lo que el profesor evaluara. (paso informal)

𝑎𝑏 ≥2

1𝑎

+1𝑏

Elevamos al cuadrado

𝑎𝑏 ≥4

1𝑎

+1𝑏

2 =4

𝑎 + 𝑏𝑎𝑏

2 =4𝑎2𝑏2

𝑎 + 𝑏 2

𝑎𝑏 𝑎 + 𝑏 2 ≥ 4𝑎2𝑏2 𝑎 + 𝑏 2 ≥ 4𝑎𝑏

𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 ≥ 4𝑎𝑏 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 ≥ 0

𝑎 − 𝑏 2 ≥ 0

Demostración (paso formal, es simplemente devolverse):

𝑎 − 𝑏 2 ≥ 0 ⟺ 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 ≥ 0 Sumando 4𝑎𝑏 a ambos lados

𝑎2+2𝑎𝑏 + 𝑏2 ≥ 4𝑎𝑏 𝑎 + 𝑏 2 ≥ 4𝑎𝑏

𝑎 + 𝑏 ≥ 2 𝑎𝑏 Dividiendo por 𝑎𝑏 que es positivo

𝑎 + 𝑏

𝑎𝑏≥

2 𝑎𝑏

𝑎𝑏

1

𝑎+

1

𝑏≥

2

𝑎𝑏

Por lo tanto

𝑎𝑏 ≥2

1𝑎

+1𝑏

∎

Inecuaciones

Una inecuación es una desigualdad de números reales en la que intervienen una o mas cantidades genéricas. Resolver una inecuación consiste en determinar para que valores reales de las incógnitas genéricas se satisface la desigualdad. Dependiendo del numero de cantidades genéricas hay inecuaciones de 1, 2 o mas incógnitas y entre las de una incógnita las hay de primer, segundo, tercer o mayor grado. Al resolver una inecuación de 1 incógnita suele buscarse el mayor subconjunto de ℝ donde la desigualdad se cumpla. Este conjunto se llama conjunto solución de la inecuación.

Antes de continuar con las inecuaciones de primer grado, definamos el concepto de intervalo.

Inecuaciones de primer grado

Son de la forma 𝑎𝑥 + 𝑏 < 0 donde 𝑎 y 𝑏 son números reales

constantes y 𝑎 ≠ 0. Donde el signo < puede ser también >,≤ o ≥.

Problema 5

Resuelva

5 𝑥 − 1 > 2 − 17 − 3𝑥

Respuesta:

5 𝑥 − 1 > 2 − 17 − 3𝑥 5𝑥 − 5 > 2 − 17 + 3𝑥

5𝑥 − 3𝑥 > −15 + 5 2𝑥 > −10 𝑥 > −5

Por lo tanto, el conjunto solución es:

(−5,+∞)

Problema 6

Encuentre los números enteros positivos tales que su quinta parte mas 3 sea mayor que la mitad de su triple

Respuesta: Sea x los números enteros positivos. Planteamos la inecuación:

𝑥

5+ 3 >

3𝑥

2 /∙ 10 > 0

2𝑥 + 30 > 15𝑥

𝑥 <30

13≈ 2.3

Por lo tanto los números enteros positivos serian 1 y 2.

Inecuaciones Simultáneas

Se llaman inecuaciones simultáneas aquellas que se satisfacen simultáneamente. Se considera como solución de ellas aquel intervalo para el cual se satisfacen todas.

Problema 7

Resuelva

3𝑥 − 1 > 𝑥 + 2

𝑥

2≤

𝑥

4+ 3

Respuesta: Resolviendo la primera inecuación

3𝑥 − 1 > 𝑥 + 2 2𝑥 > 3

𝑥 >3

2

Resolviendo la segunda inecuación

𝑥

2≤

𝑥

4+ 3 /∙ 4

2𝑥 ≤ 𝑥 + 12 𝑥 ≤ 12

Comparando ambas soluciones en la recta numérica, se observa que solo se satisfacen

ambas inecuaciones en la intersección de ellas, es decir, para 3

2< 𝑥 ≤ 12, luego la

solución es el conjunto:

(3 2 , 12]

Módulo o Valor Absoluto

Ejemplos: 1. 8 = 8 2. −8 = − −8 = 8

3. 𝑥 + 3 = 𝑥 + 3 , 𝑥 + 3 ≥ 0

− 𝑥 + 3 , 𝑥 + 3 < 0

= 𝑥 + 3, 𝑥 ≥ −3

− 𝑥 + 3 , 𝑥 < −3

Resolvamos primero una simple ecuación con valor absoluto

para entender como se aplica la definición de valor absoluto y lo importante que es comprobar

las soluciones.

Problema 7

Resuelva

𝑥 + 3 = 5𝑥 −2

3

Respuesta: Usando la definición de modulo o valor absoluto:

𝑥 + 3 = 𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 + 3 ≥ 0

− 𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 + 3 < 0

= 𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 ≥ −3

− 𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 < −3

Ahora, debemos analizar los casos. Si 𝑥 ≥ −3 o [−3,+∞):

𝑥 + 3 = 5𝑥 −2

3

𝑥 + 3 = 5𝑥 −2

3

4𝑥 =11

3

𝑥 =11

12

Comprobamos: 11

12+ 3 = 5 ∙

11

12−

2

3

47

12=

55

12−

2

3

47

12=

47

12

Entonces esta solución es correcta.

Si 𝑥 < −3 o (−∞,−3):

𝑥 + 3 = 5𝑥 −2

3

−(𝑥 + 3) = 5𝑥 −2

3

6𝑥 = −7

3

𝑥 = −7

18

Comprobamos:

−7

18+ 3 = 5 ∙

−7

18−

2

3

47

18= −

35

18−

2

3

47

12= −

47

12

Entonces esta solución es incorrecta. Por lo tanto la solución que satisface la ecuación es:

𝑥 =11

12

El tema: Ecuaciones, lo trataremos mas adelante y explicaremos todos

los tipos y técnicas para resolverlas.

¿Y como resolvemos inecuaciones con valor absoluto?

R: Por el momento debemos recordar dos propiedades del valor absoluto:

1. 𝑥 ≥ 𝑎 ⟺ 𝑥 ≤ −𝑎 ∨ 𝑥 ≥ 𝑎 2. 𝑥 ≤ 𝑎 ⟺ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎

A medida que se avance aprenderemos otras bastante simples que no son difíciles de deducir.

Problema 8

Resuelva

𝑥 + 3 ≥ 5𝑥 −2

3

Respuesta: La inecuación tiene la forma: 𝑥 ≥ 𝑎 Entonces nos queda

𝑥 + 3 ≥ 5𝑥 −2

3 ⟺ 𝑥 + 3 ≤ − 5𝑥 −

2

3 ∨ 𝑥 + 3 ≥ 5𝑥 −

2

3

⟺ 𝑥 + 3 ≤2

3− 5𝑥 ∨ −4𝑥 ≥ −

2

3− 3

⟺ 𝑥 ≤ −7

18= −0.38 ∨ 𝑥 ≤

11

12= 0.916

La solución que buscamos debe ser la unión (el conectivo lógico de disyunción: ∨, debiera guiarnos en esta parte)de ambas soluciones, para que así satisfaga por completo la inecuación de lo contrario nuestra repuesta seria incorrecta ya que podríamos omitir soluciones y eso no es bueno.

Inecuaciones de segundo grado

Inecuaciones que pueden ser expresadas en la forma:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0

(también las desigualdades pueden ser estrictas: >,<) Usaremos la siguiente propiedad de los números reales:

𝑎 ∙ 𝑏 > 0 ↔ 𝑎 > 0 ∧ 𝑏 > 0 ∨ 𝑎 < 0 ∧ 𝑏 < 0 𝑎 ∙ 𝑏 < 0 ↔ 𝑎 > 0 ∧ 𝑏 < 0 ∨ 𝑎 < 0 ∧ 𝑏 > 0

Es decir, un producto de dos factores es positivo si ambos tienen el mismo signo y es negativo si ambos tienen distinto signo. Entonces para resolver una inecuación cuadrática, la factorizamos y luego aplicamos la propiedad señalada.

Problema 9

Resuelva

𝑥2 − 5𝑥 + 6 > 0

Respuesta: Factorizándola

𝑥 − 2 𝑥 − 3 > 0 Aplicando la propiedad

𝑥 − 2 > 0 ∧ 𝑥 − 3 > 0 ∨ 𝑥 − 2 < 0 ∧ 𝑥 − 3 < 0 𝑥 > 2 ∧ 𝑥 > 3 ∨ 𝑥 < 2 ∧ 𝑥 < 3

𝑥 > 3 ∨ 𝑥 < 2 La solución final es la unión:

−∞, 2 ∪ 3,+∞ En forma grafica

Inecuaciones del tipo:

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)< 0

donde el signo < puede ser también

>,≤ 𝑜 ≥

Analicemos los casos cuando 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥) son productos de factores de primer orden del tipo 𝑎𝑥 + 𝑏. Comencemos por observar que este tipo

de factores cambia de signo en el punto 𝑥 = −𝑏

𝑎 . Denominaremos

puntos críticos a estos valores. El método para resolver estas inecuaciones es en consecuencia el siguiente:

1. Determinar todos los puntos críticos mediante la ecuación 𝑥 = −𝑏

𝑎

2. Ordenar los puntos críticos de menor a mayor y formar los intervalos abiertos encerrados entre ellos mas los dos intervalos no acotados correspondientes.

3. Analizar el signo de la expresión 𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥) en los intervalos encontrados en

(2) y escoger aquellos que resuelvan de buen modo la inecuación. 4. En los caso en que los signos de la inecuación sean ≤ o ≥ deben agregarse a la solución los puntos críticos del numerador, ya que en esos puntos se anula la fracción.

Problema 10

Resuelva

𝑥 + 1

𝑥≤

𝑥 + 1

𝑥 − 1−

3

𝑥

Con lo visto hasta el momento, espero que hayas comprendido todos los problemas presentados ahora solo debes continuar resolviendo mas ejercicios para aumentar tu confianza y seguridad en la resolución de problemas, esta diapositiva es solo una muestra una introducción, con problemas “pedagógicos” solo con el fin de iniciación, en las guías, problemas resueltos, controles y pruebas de este curso podrás encontrar problemas tipo, los cuales suelen preguntarse en evaluaciones de calculo y por lo tanto demandan estudio diario.