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(El presente compendio de información es propiedad de Intelimundo® en términos de la Ley de la Propiedad Industrial su uso requiere de autorización de la institución que lo emite, su uso indebido constituye un delito)
1
Geometría
A. Nociones Básicas
1. Punto
2. Recta
3. Semirrecta
4. Segmento
5. Vértice
6. Lado
7. Plano
a) Plano cartesiano
B. Segmentos Rectilíneos
1. Medidas de segmentos
C. Ángulos
1. Tipos de ángulos
2. Notación de un ángulo
3. Uso de transportador
4. Igualdad de ángulos
5. Medida de ángulos
D. Rectas Perpendiculares y paralelas
1. Propiedades
2. Construcción de rectas perpendiculares y paralelas
3. Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante
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E. Polígonos
1. Definición
2. Lados, vértices, ángulos y diagonales
3. Polígonos cóncavos y convexos
F. Clasificación de Polígonos
1. Por sus lados
2. Polígonos regular
3. Polígonos irregular
G. Triángulos
1. Notación de un triangulo
2. Clasificación de los triángulos
a) Por sus lados
b) Por sus ángulos
3. Construcción de triángulos
a) Conociendo 3 lados
b) Conociendo 2 lados y un ángulo comprendido entre ellos
c) Conociendo un lado y 2 ángulos contiguos
d) Conociendo 2 lados y un ángulo no comprendido entre ellos
4. Puntos y rectas notables de un triangulo
a) Mediatriz, Circuncentro
b) Altura, Ortocentro
c) Medianas, Baricentro
d) Bisectriz, Incentro
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H. Cuadriláteros
1. Clasificación
a) Trapezoides
b) Trapecios
c) Paralelogramos
Cuadrados
Rectángulos
Rombos
Romboides
I. Circunferencia y Círculo
1. Rectas en la circunferencia
a) Circunferencia
b) Cuerda
c) Diámetro
d) Radio
e) Arco
f) Semicírculo
2. Posiciones relativas de una recta con respecto a una circunferencia
a) Exterior
b) Tangente
c) Secante
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3. Posiciones relativas de dos circunferencias
a) Circunferencias concéntricas
b) Circunferencias exteriores
c) Circunferencia interior
d) Circunferencias tangentes exteriores
e) Circunferencias tangentes interiores
f) Circunferencias secantes
g) Circunferencias ortogonales
4. Ángulos notables de una circunferencia
a) Angulo central
b) Angulo inscrito
c) Angulo semiinscrito
d) Angulo interior
e) Angulo exterior
f) Angulo circunscrito
J. Perímetros y Áreas de Figuras Planas
1. Perímetros
a) Polígonos irregulares
b) Polígonos regulares
2. Áreas
a) Rectángulo
b) Cuadrado
c) Paralelogramo
d) Rombo
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e) Triangulo
f) Trapecio
g) Polígono regular
h) Circulo
Sector circular
Segmento circular
Corona circular
K. Proporcionalidad de Segmentos
1. Segmentos proporcionales
a) Teorema de Tales
b) Teorema de Tales en un triangulo
2. Casos de semejanza de dos triángulos
3. Casos de congruencia de triángulos
4. Teoremas Importantes
a) Teorema de catetos
b) Teorema de la altura
c) Teorema de Pitágoras
L. Escalas
M. Simetría
1. Simetría axial
2. Simetría central
3. Composición de reflexión
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N. Cuerpos Solidos (Poliedros)
1. ¿Qué es un poliedro?
2. Aristas, caras y vértices
3. Poliedros regulares
a) Tetraedro
b) Hexaedro
c) Octaedro
d) Dodecaedro
e) Icosaedro
4. Poliedros irregulares
a) Prisma triangular
b) Prisma cuadrangular
c) Prisma rectangular
d) Prisma rombal
e) Prisma pentagonal, hexagonal, heptagonal, etc.
f) Prisma trapezoidal
g) Pirámides
Triangular
Cuadrangular
Pentagonal, hexagonal, heptagonal, etc.
h) Cuerpos redondos
Cilindro
Cono
Esfera
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5. Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos
a) Cubo
b) Prisma
c) Pirámide
d) Cilindro
e) Cono
f) Esfera
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Manual de Geometría
Nociones básicas.
El punto.
El punto es la marca que deja la punta de un lápiz afilado o de un alfiler. El punto no tiene dimensión
solo posición. Generalmente se denota con una letra mayúscula .
La recta.
Una recta no tiene ni origen ni fin. Su longitud es infinita. Generalmente se denota por una letra.
La semirrecta.
Cada una de las partes en que un punto divide a una recta. La semirrecta tiene origen, pero no fin.
El segmento.
Es la parte de una recta comprendida entre dos puntos A y B. Longitud del segmento es la distancia
entre sus extremos A y B. Generalmente se representa con una línea arriba de los dos puntos o
solamente las dos letras de los puntos .
P
Punto
L
Recta
A
Semirrecta
Segmento
B A
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Vértice
El vértice.
Es el punto donde se encuentran dos o más semirrectas que conforman un ángulo.
El lado.
Es la recta que une a dos vértices en una figura geométrica
Plano.
Nuestro mundo tiene tres dimensiones, pero un plano sólo tiene dos dimensiones. Una figura plana
es aquella que tiene una altura y una base.
Cuando dibujas algo en un trozo plano de papel estás dibujando en un plano.
PLANO
Lado
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𝑥
𝑦
𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛
𝐸𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠
𝐸𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎𝑠 1 2 3 4 5 −1 −2 −3 −4 −5
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
−5
El plano cartesiano.
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se
cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis , y la
vertical, eje de las ordenadas o de las yes ; el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de
las y uno de las , respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como:
P (x, y)
Segmentos rectilíneos.
Mediadas de segmentos. Para medir los segmentos empleamos las unidades de longitud. La principal es el metro que se
define como la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre. En el sistema métrico
decimal, el metro tiene como múltiplos el decámetro (dam), el hectómetro (hm), y el kilometro (km).
1 1 1 1
1 1
1
1
1
1
1
1 1 1 1 Los divisores del metro son el decímetro (dm), el centímetro (cm) y el milímetro (mm).
1 1 1 1
1 1
1
1
1
1
1
1 1 1 1
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El Angulo. Un ángulo es la región del plano limitada por dos semirrectas que tienen un origen en común.
A dicho punto se le llama vértice del ángulo y a las semirrectas, lados del ángulo.
Partes de un ángulo.
La esquina de un ángulo se llama vértice.
Y los lados rectos son lados del ángulo.
El ángulo es la cantidad de giro entre los dos lados.
Tipos de ángulos.
Agudo Recto Obtuso
Mide más de 0o pero menos de 90º
Mide 90º
Mide más de 90º pero menos de 180º
Llano Cóncavo Completo o perigonal
Mide 180º
Mide más de 180º pero menos
de 360º
Mide 360º
Complementarios Suplementarios Adyacentes
La suma de los ángulos y suman un ángulo recto
La suma de los ángulos y suman un ángulo llano
Son dos ángulos consecutivos
y que suman 1
𝛼
𝛽
𝛼
𝛽
𝛼
𝛽
𝛼
𝛽 γ
𝛼 𝛽
𝛾
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𝐴 𝐵
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟
𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟
𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
Notación de un ángulo.
Una letra mayúscula en el vértice.
Una letra griega o un símbolo en la abertura.
Tres letras mayúsculas.
Uso de transportador.
Para medir un ángulo se usa un instrumento de medición llamado transportador, que seguramente
ya conoces.
A continuación te mostraremos la forma de medir un ángulo con el transportador.
1. Dibujamos un segmento.
2. Se coloca el centro del transportador sobre uno de los extremos del segmento, y el lado
sobre la línea del cero.
𝐴
𝛼
𝐴
𝐵
𝐶
𝐴 𝐵
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3. Colocamos con un punto el valor de la escala que deseemos medir.
4. Finalmente, dibujamos una semirrecta desde el extremo que medimos el ángulo hasta pasar
por el punto de la escala.
𝐴 𝐵
𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑟
𝐴 𝐵
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Igualdad de ángulos.
Decimos que dos ángulos son iguales, cuando superpuestos coinciden.
Ángulos opuestos por el vértice: Son aquellos que los dos lados de uno son prolongaciones
opuestas de los lados del otro. En la siguiente figura los ángulos 1 y 3 son opuestos por el vértice.
Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales. En efecto, el ángulo 2 es, por una parte,
suplementario de 1, y por otra suplementario de 3, luego 1 3 por tener el mismo suplementario.
Ángulos de lados paralelos o perpendiculares: Dos ángulos que tienen los lados paralelos son
iguales o suplementarios. En la siguiente figura donde las rectas y , los angulos 1 2
tienen los lados paralelos y son iguales; los ángulos 1 3 tienen los lados paralelos, pero son
suplementarios.
1
2
3
4
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒
1 𝑦 3 𝑠𝑜𝑛 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 2 𝑦 4 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑠𝑜𝑛 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠
1
2 3
𝑠
𝑟
𝑡 𝑞
1 𝑦 2 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠, 1 𝑦 3 𝑠𝑜𝑛 𝑠𝑜𝑛 𝑠𝑢𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠
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Dos ángulos que tienen los lados perpendiculares son iguales o suplementarios. En la siguiente
figura, donde y , los angulos 1 2 tienen los lados perpendiculares y son iguales; los
ángulos 1 3 tienen también los lados perpendiculares, pero son suplementarios.
Medida de ángulos.
El sistema más empleados para medir los ángulos es el sistema sexagesimal, heredado por el
sistema que ya empleaban los babilónicos muchos siglos antes de nuestra era para medir el tiempo.
La unidad fundamental en el sistema sexagesimal es el grado, que se representa con el símbolo
y se obtiene al dividir el ángulo recto en partes. Un ángulo recto tiene, por consiguiente, noventa
grados . Si un grado a su vez se divide en partes, se obtiene el minuto, que se representa
con el símbolo . Si este se divide en otras partes, se obtiene el segundo, para el empleamos
el símbolo .
Unidades angulares
Nombre Símbolo Equivalencia Grado 1
Minuto 1
Segundo 1 ⁄
1
2
3 𝑠
𝑡
𝑟
𝑞
1 𝑦 2 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠, 1 𝑦 3 𝑠𝑜𝑛 𝑠𝑜𝑛 𝑠𝑢𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠
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Rectas Perpendiculares y Paralelas.
Restas perpendiculares. Diremos que dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando ángulos iguales, y por tanto
rectos.
El símbolo con el que representamos las rectas perpendiculares es .
Rectas oblicuas: Son las rectas que se cortan sin ser perpendiculares.
Rectas paralelas. Diremos que dos rectas son paralelas cuando están en el mismo plano, y por mucho que las
prolonguemos no llegan a cortarse jamás.
El símbolo con el que representamos las rectas paralelas es .
1
4
2
3
1 3 𝑦 2 4
𝑟
𝑠
1
4
2
3
1 2 3 4
𝑟
𝑠
𝑟 𝑠
𝑟 𝑠
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𝐴 𝐵
𝐶
𝐷
Construcción de rectas perpendiculares y paralelas.
Dibujar con regla y compas dos rectas perpendiculares:
Dibujar a partir de un segmento:
1. En la figura siguiente tenemos un segmento , con un radio un poco mayor que la mitad
del segmento y haciendo centro en trazamos dos arcos como los siguientes.
2. Con el mismo radio y haciendo centro en traza otros dos arcos que se cortan en
quedando.
𝐴 𝐵
𝐴
𝐵
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𝐴 𝐵
𝐶
𝐷
𝐴 𝐵
𝑃
𝐶 𝐷
3. Ahora unimos los puntos de intersección de los arcos, puntos , con una recta y esta,
será perpendicular al segmento .
Dibujar a partir de un segmento y un punto dado:
Se trata de trazar una perpendicular al segmento desde el punto .
1. Tomas el compás con centro en el punto y con un radio capaz de cortar al segmento
en dos puntos trazas el arco correspondiente:
𝐴 𝐵
𝑃
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𝐴 𝐵
𝑃
𝐶 𝐷
𝐸
𝐴 𝐵
𝑃
𝐶 𝐷
𝐸
2. Volvemos a hacer el uso del compás, hacemos centro en con un radio algo mayor de
la mitad del segmento y trazamos los dos arcos que tienes a continuación cuyo punto de
intersección es el punto :
3. Ahora sólo nos falta unir los puntos . La recta que une ambos puntos es perpendicular
a :
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Dibujar con regla y compas dos rectas paralelas:
Dibujar a partir de una recta dada y un punto:
1. Sea la recta y un punto dado al que se le quiere trazar la recta paralela.
2. Con centro en un punto cualquiera de la recta se traza una circunferencia que pasa por .
La circunferencia corta en a la recta .
3. Con centro en se traza una circunferencia que pasa por .
𝑟
𝑃
𝑟
𝑃
𝐶
𝐴
𝐵
𝑟
𝑃
𝐶
𝐴
𝐵
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4. Con centro en se traza una circunferencia de igual radio que la anterior. Esta ultima
circunferencia corta a la circunferencia inicial el .
5. La recta que pasa por es paralela a la recta .
𝑟
𝑃
𝐶
𝐴
𝐵
𝑃
𝑟
𝑃
𝐶
𝐴
𝐵
𝑃
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Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante.
Si cortamos dos rectas paralelas con una secante se forman ocho ángulos que tienen los siguientes
nombres y propiedades.
Internos: , , , Correspondientes: Pares
son iguales
Externos: 1, 4, ,
Correspondientes internos:
Pares
3 2 5 son suplementarios Alternos internos: Pares
3 5 2 son iguales
Correspondientes externos:
Pares
1 4 son suplementarios
Alternos externos: Pares
1 4 son iguales
Ángulos internos: Son los que se encuentran entre las rectas paralelas.
Ángulos externos: son los que se hallan en la zona exterior de las paralelas.
Ángulos alternos internos: Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona interior de las rectas paralelas:
Ángulos alternos externos: Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona externa de las rectas paralelas:
Ángulos correspondientes: Son los que se encuentran en el mismo lado de la secante, un ángulo
en la parte interior y otro en el exterior de las paralelas.
Ángulos correspondientes internos: Son los que se encuentran en el mismo lado de la secante,
dos ángulos en la parte interior formando un ángulo suplementario.
Ángulos correspondientes externos: Son los que se encuentran en el mismo lado de la secante,
dos ángulos en la parte exterior formando un ángulo suplementario.
1
2 3
4
5
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23
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐹
𝐸
Línea poligonal abierta
𝐷 𝐶
𝐵
𝐴
𝐸
𝑙𝑎𝑑𝑜
𝐷 𝐶
𝐵
𝐴
𝐸
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒
Polígonos. Una figura geométrica plana es un conjunto de puntos contenidos en el mismo plano. Una línea
poligonal es una figura geométrica formada por diversas segmentos unidos entre si por uno de sus
extremos. Como vemos en la siguiente figura, una línea poligonal puede ser cerrada, si todos los
extremos de los segmentos que dan unidos, o abierta, en el caso de que dos de los extremos
queden sin unir. Pues bien un Polígono no es otra cosa que una figura geométrica limitada por una
línea poligonal cerrada.
Lados, vértices, ángulos y diagonales.
Lados: Lados del polígono son los distintos segmentos de la línea poligonal que le sirve de entorno.
Vértice: Dos lados de un polígono se cortan en un punto que recibe el nombre de vértice.
𝐴
𝐵 𝐶
𝐷
𝐸
Línea poligonal cerrada
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24
𝐷 𝐶
𝐵
𝐴
𝐸
𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒
𝑙𝑎𝑑𝑜
Angulo: Cada dos lados de un polígono forman un ángulo.
Nota: Un polígono tiene el mismo número de lados que de vértices y ángulos.
Diagonal: Es una recta que une dos vértices no consecutivos. El número de diagonales de un
polígono es:
− 3
2
Ejemplo: Numero de diagonlaes de un pentagono regular.
5 5 − 3
2
5 2
2
1
2
5
𝐷 𝐶
𝐵
𝐴
𝐸 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙
𝐷 𝐶
𝐵
𝐴
𝐸 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
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Polígonos cóncavos y convexos.
Polígono convexo: Un polígono se llama convexo cuando una recta solo puede cortarlo en dos
puntos.
Un polígono convexo, se puede dividir en tantos triángulos como lados tenga menos dos. Por
consiguiente si es el número de lados del polígono, la suma de sus ángulos es:
1 − 2
Ejemplo: La suma de los ángulos de un polígono convexo de 4 lados es.
1 4 − 2 1 2 3
Polígono cóncavo: Se denomina cóncavo en el caso de que una recta pueda cortarlo en más de
dos puntos.
𝑝
𝑞 𝐷
𝐶
𝐵
𝐴
𝑖
𝑔
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷 𝐸
𝐹
𝑗
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26
Clasificación de polígonos.
Por sus lados.
Los polígonos pueden clasificarse, según el número de lados:
Triángulos
Eneágonos 9 lados
Cuadriláteros
Decágonos
Pentágonos
Endecágonos 11 lados
Hexágonos
Dodecágonos
Heptágonos
Pentadecágonos 15 lados
Octágonos
Nota: Los demás no reciben nombre especial “polígono de 13 lados.”
3
4 10
5
6 12
7
8
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27
Polígono Regular.
Polígono en el cual todos sus lados son de igual longitud, y todos sus vértices están circunscritos en
una circunferencia.
Se clasifican en:
Triángulos. Cuadriláteros. Pentágono regular: polígono regular de 5 lados. Hexágono regular: polígono regular de 6 lados. Heptágono regular: polígono regular de 7 lados. Octágono regular: polígono regular de 8 lados y así sucesivamente.
4 lados iguales 5 lados iguales 6 lados iguales 7 lados iguales 8 lados iguales
Cuadrado Pentágono
regular Hexágono
regular Heptágono
regular Octágono
regular
Polígono Irregular.
Un polígono que no tiene todos los lados iguales ni todos los ángulos iguales.
4 lados desiguales
5 lados desiguales
6 lados desiguales
7 lados desiguales
8 lados desiguales
Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octágono
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28
𝐴
𝐵 𝐶
𝑐
𝑎
𝑏
Triángulos. Es una figura cerrada, formada por tres rectas que se cortan dos a dos; es una superficie plana, que
tiene tres lados, y por lo tanto tres ángulos y tres vértices.
Notación de un triangulo.
La manera más común de nombrar a los triángulos es colocando el símbolo seguido de las tres
letras mayúsculas de sus vértices.
Un triángulo se designa con las letras mayúsculas en sus vértices. Los lados se designan por
las letras minúsculas igual a la del vértice opuesto.
Por sus lados.
Triángulo equilátero: Sus tres lados son iguales.
Triángulo isósceles: Dos lados iguales y uno desigual.
Triángulo escaleno: Sus tres lados son desiguales.
Por sus ángulos.
Triángulo rectángulo: Tiene un ángulo recto (un ángulo de 90º).
Triángulo acutángulo: Los tres ángulos agudos.
Triángulo obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso.
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29
𝐴 𝐵
𝐴 𝐵
𝐴 𝐵
𝐶
Construcción de triángulos.
Conociendo 3 lados.
1. Colocamos un segmento como base. Si los tres lados son de diferente medida, tomamos el
mayor; si los lados son grandes elegimos el menor.
2. Ahora con el compás, tomamos la medida del otro lado y apoyando el compás en uno de los
extremos de la base, trazamos un arco arriba de la base.
3. Hacemos lo mismo con el otro lado, medimos con el compás y trazamos un arco en el otro
extremo de la base.
𝐴 𝐵
𝐴 𝐶
𝐵 𝐶
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30
𝐴 𝐵
𝐶
4. Finalmente, unimos los extremos de la base con el punto donde se cruzan los arcos.
Conociendo 2 lados y un ángulo comprendido entre ellos.
1. Colocamos un segmento como base. Si los dos lados son de diferente medida, tomamos el
mayor.
2. Ahora con el transportador, tomamos la medida del ángulo y apoyando el transportador en
uno de los extremos de la base medimos el ángulo y trazamos una línea recta.
𝐴 35
𝐴 𝐵
𝐴 𝐶
𝐴 𝐵
𝐴 𝐵
𝐴 𝐵
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31
𝐴 𝐵
𝐶
𝐴 𝐵 𝐴 35
3. Ahora con el compás, tomamos la medida del otro lado y apoyando el compás en el
extremo de la base, traza un arco arriba de la base.
4. Finalmente, unimos los extremos de la base con el punto donde se cruzan el arco y la línea
del ángulo comprendido.
Conociendo un lado y 2 ángulos contiguos.
1. Se construye el lado conocido.
2. Desde cada uno de los extremos del lado se trazan cada uno de los ángulos dados.
𝐴 35
𝐴 𝐵
�� 5
𝐴 𝐵
𝐴 𝐵 𝐴 𝐵
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32
3. La intersección de los lados de los ángulos es el tercer vértice del triángulo.
Conociendo 2 lados y un ángulo no comprendido entre ellos.
1. Colocamos un segmento como base. Si los dos lados son de diferente medida, tomamos el
mayor.
2. Con un transportador llevamos el ángulo no comprendido entre los lados y dibujamos una
semirrecta.
𝐴 𝐵
𝐶
𝐴 35 𝐵 5
𝐴 𝐵
𝐴 𝐶
�� 45
𝐴 𝐵
𝐴 𝐵
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33
𝐴 𝐵
𝐶
𝐴 𝐵
𝐵 45
3. Ahora con el compás, tomamos la medida del otro lado y apoyando el compás en uno de los
extremos de la base, trazamos un arco arriba de la base.
4. Finalmente, unimos los extremos de la base con el punto donde se cruzan el arco y la línea
del ángulo no comprendido.
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34
Puntos y rectas notables de un triangulo.
Mediatriz y circuncentro.
Mediatriz: Se llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular al segmento en su punto
medio.
1. Desde se traza una circunferencia de radio mayor a que la mitad .
2. Con centro en se traza una circunferencia de igual radio que la primera.
𝐴 𝐵
𝐴 𝐵
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35
3. La recta que pasa por la intersección de las circunferencias es la mediatriz de .
4. La intersección de la mediatriz con el segmento es el punto medio.
𝐴 𝐵
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧
𝐴 𝐵
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴𝐵
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36
Circuncentro: Las tres mediatrices de los lados de un triangulo se cortan en un punto llamado
circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita, es decir, la circunferencia que pasa
por los tres vértices del triangulo.
1. Trazamos la mediatriz de uno de sus lados.
2. Trazamos la mediatriz de otro de sus lados.
3. Trazamos la última mediatriz.
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37
4. Finalmente, trazamos una circunferencia en el punto donde todas las mediatrices se cruzan
ese punto se llama “circuncentro”, con radio a distancia de cualquiera de sus vértices.
Altura y ortocentro.
Altura: Se llama altura de un triangulo a la recta que pasa por un vértice y es perpendicular al lado
opuesto.
Nota: Para esto se necesita el uso de la escuadra.
1. Con la escuadra nos posicionamos de tal manera que la base de la escuadra este en la
base del triangulo, de esta menear.
𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
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38
Ortocentro: las tres alturas de un triangulo se cortan en un punto llamado ortocentro.
Calculamos las tres alturas del triangulo.
𝑜𝑟𝑡𝑜𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜
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39
Bisectriz e incentro.
Bisectriz: Se llama bisectriz de un ángulo a la recta que lo divide en dos ángulos iguales.
1. Con origen en el vértice trazamos un arco de circunferencia de radio cualquiera pero tal que
corte a sus lados.
2. Con origen en uno de sus lados donde la circunferencia se corta, trazamos un arco de la
misma circunferencia que el anterior.
3. Con origen en el otro lado del ángulo, trazamos un arco de la misma circunferencia.
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40
4. Finalmente, trazamos una línea recta del vértice del ángulo al punto donde los dos arcos se
cruzan.
Incentro: Las tres bisectrices de los ángulos de un triangulo se cortan en un punto llamado incentro,
que es el centro de la circunferencia inscrita, es decir, la circunferencia que es tangente interior a los
tres lados del triangulo.
1. Trazamos las tres bisectrices del triangulo.
f
𝑏𝑖𝑠𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧
f
f
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41
2. Trazamos una circunferencia con centro en el punto donde las tres bisectrices se cortaron
ese punto se llama incentro y radio con distancia en cualquiera de sus lados.
f
f
𝐼𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜
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42
Cuadriláteros. Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. Lados opuestos serán aquellos que no tienen un
punto en común. Lados contiguos son aquellos que tienen un extremo en común. Vértices opuestos
son aquellos que no están en el mismo lado. Vértices contiguos son dos vértices que están en el
mismo lado. Como los cuadriláteros son polígonos, la suma de sus ángulos interiores la podemos
encontrar aplicando la formula:
1 − 2 1 4 − 2 1 2 3
Clasificación de los cuadriláteros.
Los cuadriláteros se dividen en tres: trapezoides, trapecios y paralelogramos.
Trapezoides.
Los trapezoides son cuadriláteros que no tienen lados paralelos. Pueden ser simétricos o asimétricos: el trapezoide simétrico tiene la forma de una cometa (volantín), con dos pares de lados iguales. Sus diagonales son perpendiculares. El trapezoide asimétrico no tiene lados paralelos ni eje de simetría.
𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑧𝑜𝑖𝑑𝑒𝑠
𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜
𝑃𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜
𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑖𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠
Trapecio simétrico
Trapecio asimétrico
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43
Trapecio.
Los trapecios son los que tienen un par de lados paralelos y los otros no. a los dos lados paralelos
se les llama bases del trapecio. El trapecio será isósceles si los lados opuestos no paralelos son
iguales, y trapecio rectángulo si uno de los lados no paralelos es perpendicular a la base. En caso
contrario, el trapecio se llamara escaleno.
Paralelogramos.
Los paralelogramos tienen los lados paralelos dos a dos. A su vez los paralelogramos se pueden
clasificar en:
𝑃𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜
𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜
𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
𝑅𝑜𝑚𝑏𝑜
𝑅𝑜𝑚𝑏𝑜𝑖𝑑𝑒
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44
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
Cuadrado: Tiene los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos rectos.
Rectángulo: Tiene los lados iguales dos a dos y los cuatro ángulos rectos.
Rombo: Tiene los cuatro lados iguales pero los ángulos no son rectos; tiene los ángulos dos a dos (Dos ángulos son agudos y los otros dos obtusos).
Romboide: Tiene los lados iguales dos a dos y los ángulos no son rectos; tienen los ángulos dos a dos (Dos ángulos son agudos y los otros dos obtusos).
𝑎 𝑎
𝑎 𝑎
𝑎
𝑏
𝑏
𝑎
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45
Circunferencia y círculo. Los egipcios fueron los primeros en calcular el valor, mas de XX siglos antes de nuestra era, la
relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. Encontraron un valor aproximado para el
cociente ⁄ . La tarea no era nada fácil. El resultado de esta división es un numero irracional que
tiene infinitas cifras decimales no periódica, al que los griegos designan con la letra (pi). Las
computadoras actuales han permitido determinar el valor de con cien mil cifras decimales exactas.
La circunferencia es, junto con el triangulo, la figura geométrica mas utilizada en matemáticas. Se
define como el conjunto de puntos del plano que equidistan (es decir que están a la misma distancia)
de un punto interior llamado centro.
Rectas en la circunferencia.
Circunferencia.
Es una línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos equidistan de otro de su plano llamado centro.
Nota: No hay que confundir la circunferencia, que es una línea curva, con el círculo, que es la parte
del plano situada en su interior. El círculo es pues una superficie.
Cuerda.
Una cuerda es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.
𝑐
𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑐
𝐴 𝐵 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 𝐴𝐵
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46
Diámetro.
El diámetro de una circunferencia es una cuerda que pasa por el centro.
Radio.
Es la mitad del diámetro.
Arco.
Un arco es una parte de la circunferencia limitada por dos puntos que se llaman extremos del arco.
Semicírculo.
El diámetro divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicírculo.
𝑐
𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
𝑐
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜
𝑐
𝐴 𝐵
𝑐
𝑠𝑒𝑚𝑖𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜
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47
Posiciones relativas de una recta con respecto a una circunferencia.
Exterior.
Cuando no tienen ningún punto en común.
Tangente.
Es la recta que intersecta en un solo punto a la circunferencia.
Secante.
Es la recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia.
𝑐
𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝑐
𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑐
𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒
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48
Posiciones relativas de dos circunferencias.
Circunferencias concéntricas.
Son circunferencias que tienen el mismo centro y distinto radio.
Circunferencias exteriores.
Son aquellas que no tienen puntos en común y cada una está en una región exterior a la otra. La
distancia entre los centros de estas circunferencias es mayor que la suma de sus radios.
Circunferencia interior.
Es aquella en la cual todos sus puntos son interiores a otra circunferencia.
Circunferencias tangentes exteriores.
Se les llama así a las que tienen un solo punto en común. La distancia entre sus centros es igual a la
suma de sus radios.
𝑐
𝑟
𝑅
𝐶1 𝑟
𝑅
𝐶2
𝑑
𝑑 > 𝑅 + 𝑟
𝐶1 𝑟 𝑅
𝐶2
𝑑
𝑑 < 𝑅 + 𝑟
𝑟
𝑅
𝐶2
𝑑
𝑑 𝑅 + 𝑟
𝐶1
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49
Circunferencias tangentes interiores.
Son circunferencias que tienen un solo punto en común. La distancia entre sus centros es igual a la
diferencia de sus radios.
Circunferencias secantes.
Son aquellas que se intersectan en 2 puntos. La distancia entre sus centros es menor que la suma
de sus radios.
Circunferencias ortogonales.
Cuando se intersectan 2 circunferencias los radios forman un ángulo de 90º, esto significa que son
perpendiculares en los puntos de intersección.
𝐶2 𝐶1 𝑟 𝑅
𝑑
𝑑 𝑅 − 𝑟
𝑟
𝑅
𝐶2
𝑑
𝑑 𝑅 − 𝑟
𝐶1
𝐶2 𝐶1
𝑟 𝑅
𝑑
𝑑 < 𝑅
𝑃𝑡
𝐶2 𝐶1 𝑟 𝑅
𝑅 𝑟
𝑃𝑡
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50
Ángulos notables de una circunferencia.
Ángulo central.
Es aquel ángulo que forman dos radios, o bien por un diámetro y un radio, y tiene su vértice en el
centro. La medida de un ángulo central es igual al arco comprendido entre sus lados.
Ángulo inscrito.
Tiene su vértice en el punto de la circunferencia y la forma un par de cuerdas. La medida de un
ángulo inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados.
Ángulo semiinscrito.
Tiene su vértice en un punto de la circunferencia y lo forma una cuerda y una tangente. La medida
de un ángulo semiinscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados.
𝑂
𝑟
𝐴 𝐵
∠𝐴𝐶𝐵 𝐴𝐵 ⌒
𝑂
𝐶 𝐴
∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 2
⌒
𝐵
𝑂
𝐶
∠𝐴𝐶𝐵 𝐴𝐶 2
⌒
𝐵
𝐴
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51
Ángulo interior.
Su vértice se encuentra en un punto interior de la circunferencia y lo forman 2 cuerdas que se cortan.
La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de los arcos comprendidos entre sus lados y
sus prolongaciones.
Ángulo exterior.
Tiene su vértice en un punto exterior a la circunferencia y lo forman dos secantes. La medida de un
ángulo exterior es la semidiferencia de los arcos comprendidos entre sus lados.
Ángulo circunscrito.
Se denomina así al ángulo que forman dos tangentes trazadas desde un punto exterior a la
circunferencia. La medida de un ángulo circunscrito es igual a la semidiferencia de los arcos
comprendidos entre sus lados.
𝑂
𝐵
𝐶
𝐴
∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 + 𝐷𝐸
2
⌒ ⌒
𝐷
𝐸
𝐶
𝐴
∠𝐴𝐵𝐶 𝐷𝐸 − 𝐴𝐶
2
⌒ ⌒
𝐷
𝐸
𝑂 𝐵
𝐶
𝐴 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐸𝐶 − 𝐴𝐺𝐶
2
⌒ ⌒
𝐸 𝐵 𝑂 𝐺
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52
Perímetros y Áreas de Figuras Planas.
Perímetros.
Polígonos irregulares.
El perímetro de un polígono irregular se obtiene sumando las longitudes de todos sus lados.
Ejemplo: Calcular el perímetro de la siguiente figura.
1 + + 4 + 5 + 34
Polígono regular.
Si el polígono es regular, como todos sus lados serán iguales, bastara con multiplicar las longitudes
del lado por el número de lados.
Ejemplo: Calcular el perímetro del pentágono regular con longitud de 3cm.
5 3 15
Longitud de una circunferencia: 2
Ejemplo: Calcular el perímetro del siguiente circulo.
2 3 141 2 2 2 32 2 2
13 23 4
𝑐𝑚 4 𝑐𝑚
5 𝑐𝑚
𝑐𝑚
1 𝑐𝑚
3𝑐𝑚
𝑟
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53
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Áreas.
Vamos a estudiar ahora el área o superficie de las principales figuras planas que ya conocemos.
Una vez establecidas las unidades que vamos a emplear para expresar el área, calcularemos la
superficie del rectángulo, que es muy sencilla. A partir del área del rectángulo se puede deducir la de
cualquier paralelogramo, así como la del triangulo. El conocimiento del área del triangulo nos
permitirá a su vez deducir la de un polígono regular cualquiera y aumentando el numero de lados del
polígono, podremos calcular la superficie del circulo. Finalmente, calcularemos el área de ciertas
partes del círculo, denominadas sector circular, segmento circular y corona circular.
Área del rectángulo.
La superficie del rectángulo será, pues, la longitud de la base multiplicada por la altura.
Ejemplo: Calcular el área del siguiente rectángulo.
1 3 5 4
55 2 2
Área del cuadrado.
El cuadrado a diferencia del rectángulo tiene la base de la misma longitud que la altura; por
consiguiente, la superficie será.
2
Ejemplo: Calcular el área del siguiente cuadrado.
2
2 54 2 54 2 54 2
2 451 2
1 3𝑐𝑚
5 4𝑐𝑚
2 54 𝑐𝑚
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Área del paralelogramo.
Considerando un paralelogramo . Si trazamos la altura desde el vértice A, es decir, la
perpendicular a la base , vemos que el rectángulo tiene la misma base, la misma altura y la
misma superficie que el paralelogramo , pues el triangulo es igual al triangulo .
En consecuencia, la superficie del paralelogramo es:
Ejemplo: Calcula el área del siguiente paralelogramo.
3 2
21 2
Área del rombo.
El área del rombo se puede calcular de dos maneras. Si conocemos la base y su altura, como se
trata de un paralelogramo, podemos aplicar la formula.
𝐷 𝐹 𝐶 𝐸
𝐵 𝐴
𝑐𝑚
3 2𝑐𝑚
𝑏
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Pero, lo que a veces conocemos es la longitud de las diagonales. Entonces si es la diagonal
mayor y la diagonal menor, podemos escribir.
2
Ya que la diagonal mayor es iguala a la base, y la diagonal menor es igual a la altura del mismo, y el
rombo esta construido por cuatro triangulo, mientras que el rectángulo esta formado por ocho. La
superficie del rombo es, pues, la mitad que la del rectángulo.
Ejemplo: Calcular el área del siguiente rombo.
2
4 5 3
2
13 5 2
2
5 2
Área del triangulo.
Dado un triangulo, podemos convertirlo en un paralelogramo trazando la paralela de un lado y que
pase por uno de sus vértices, y la paralela del otro lado que pase por el otro vértice. Entonces la
superficie del triangulo es claramente la mitad del paralelogramo.
2
𝑑
𝐷
3𝑐𝑚
4 5𝑐𝑚
𝑏
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Ejemplo: Calcula el área del siguiente triangulo.
2
3 5 1 5
2
5 25 2
2
25 2
Área del trapecio.
Dos trapecios iguales se pueden ensamblar como en la figura siguiente.
Si llamamos a la base menor del trapecio, a la base mayor, y la altura, resulta un
paralelogramo de base + y de altura . Aplicando la formula del paralelogramo, tenemos.
+
Finalmente, teniendo en cuenta que la superficie del trapecio es la mitad que la del paralelogramo,
tenemos que dividir por dos, con lo que el área del trapecio será.
+
2
+
2
5 + 2 4
2 2
( 4
2) 2
3 2
4 2
3 5𝑐𝑚
1 5𝑐𝑚
𝐵 𝑏
𝐵 𝑏
5𝑐𝑚
2𝑐𝑚
2 4𝑐𝑚
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58
Área de un polígono regular.
Un polígono regular se puede dividir también en tantos triángulos isósceles como lados tenga el
polígono. La altura de cada triangulo, es decir, el segmento que une el centro del polígono con el
punto medio del lado opuesto, se denomina .
Si llamamos al lado del polígono, la superficie de cada triangulo será.
2
Si llamamos al número de lados del polígono, la superficie de este resulta.
2
2
Ya que el perímetro es igual al numero de lados multiplicado por la longitud de cada uno de
ellos.
Ejemplo: Calcula el área de la siguiente polígono regular.
2
1 3 1
1 1 5
2
13 5 2
2
25 2
𝑏
𝑎𝑝
𝑎𝑝 1 5𝑐𝑚
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59
Área del círculo.
Si dibujamos polígonos inscritos en una circunferencia, y vamos aumentando el numero de lados,
como se muestra en la siguiente figura obtendremos lo siguiente.
a) El perímetro del polígono se va aproximando a la longitud de la circunferencia ;
b) La superficie del polígono se va aproximando al área del circulo;
c) La apotema del polígono se va aproximando al radio de la circunferencia .
Por consiguiente.
2
2
2
2 2
Ejemplo: Calcular el área del siguiente circulo.
2
1 2 2
3 141 1 12 2
5 2
Nota: Si en el resultado hay más de 5 cifras decimales solo tomamos las primeras 3 o 4 cifras
decimales.
𝑎𝑝
𝑎𝑝
𝑎𝑝
𝑟
𝑟=1.27cm
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60
Sector circular.
Un sector circular es la parte del círculo limitada por un arco y los dos radios que pasan pos sus
extremos. Si el arco tiene una amplitud de , podemos establecer la proporción.
3
2
Y despejando el área, obtendremos.
2
3
Ejemplo: Calcula el área del siguiente sector circulara.
2
3
3 141 1 2
3
3 141 2 5 2
3
424 2
3
23 1 2
3
2 1 2
𝑛
𝑟 𝐶
𝑟 1 𝑐𝑚
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61
Segmento circular.
Es la parte del círculo comprendida entre el arco y la cuerda que pasa por los extremos. Su área se
calcula restando el área del triangulo de la del sector circular.
Ejemplo: Calcula el área del segmento circular sabiendo que el área del triangulo es de 1 15 2 y
su radio del circulo es de 1 3 .
2
3
3 141 1 3 2 13
3
3 141 1 2 13
3
2 52 2
3
1 1 2 2
1 15 2
−
1 1 2 2 − 1 15 2
2 2
𝑟 𝐶
𝑛
𝑟 1 3𝑐𝑚 13
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Corona circular.
Es la superficie del plano limitada por dos circunferencias concéntricas. El área de la corona circular
se obtiene restando la superficie del círculo menor a la del círculo mayor. Si llamamos al radio del
círculo mayor y al del menor tendremos.
2 − 2 2 − 2
Ejemplo: Calcular el área de la siguiente corona circular.
2 − 2
3 141 2 2 − 1 1 2
3 141 4 3 1 2 − 1 41 1 2
3 141 2 52 2
2 4 2
𝑟 𝑅
𝑟 1 1 𝑐𝑚 𝑅 2 𝑐𝑚
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Proporcionalidad de segmentos. Tales de Mileto era uno de los siete sabios de Grecia. Fue ingeniero, astrónomo, matemático,
filósofo y comerciante. En uno de sus viajes visito Egipto y, aplicando el famoso teorema de
proporcionalidad de segmentos, que lleva su nombre, calculo la altura de la pirámide de Keops.
Para ello empleo un bastón, y la sombra que proyectaba la pirámide, pudo calcular la altura de
esta, ya que de ser tantas veces mas grande que la altura del bastón cuantas los sea . La
proporcionalidad se basa en el hecho de que los triángulos formados son semejantes, es decir,
tienen los ángulos correspondientes iguales. En la vida diaria encontramos abundantes ejemplos de
figuras semejantes: ampliaciones fotográficas, planos de ciudades, mapas de países, planos de
edificios, de maquinas industriales, etc.
Segmentos proporcionales.
Si varias rectas paralelas se cortan con dos rectas secantes , los segmentos formados en la
recta son proporcionales a los segmentos formados en la recta . Este enunciado se conoce con el
nombre de teorema de Tales.
𝑆 𝑠
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65
Teorema de Tales.
En la siguiente figura tenemos que el segmento de la recta contiene dos veces una unidad de
medida , mientras que el segmento la contiene 3 veces. Entonces podemos
escribir.
3
2
3
2
En la recta utilizamos otra unidad de medida y tenemos.
3
2
3
2
Y esto quiere decir que, puesto que ambas
fracciones valen
2, son iguales entre si.
Los segmentos están pues en la proporción de 3 a 2, o dicho de otra manera, unos segmentos son
una vez y media más grande que los otros. En particular los segmentos están en
proporción 5 a 2 y lo mismo ocurre con los segmentos A'C' y A'B', por consiguiente, también se
cumple que.
5
2
5
2
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1
2
El teorema de Tales en un triángulo
Dos triángulos se dice que están en posición de Tales si tienen un ángulo en común. En la siguiente
figura el ángulo en común es , y los lados opuestos al ángulo son paralelos.
Si dos triángulos están en posición de Tales, tienen los tres ángulos iguales:
,
Además, si trazamos podemos aplicar el teorema de Tales de la siguiente forma.
a) Considerando las rectas paralelas y cortadas por las rectas y . Entonces.
b) Considerando las rectas paralelas y cortadas por las rectas y . Entonces.
Como es igual ha , tenemos.
Como consecuencia de las igualdades 1 y 2 , podemos escribir.
𝐴
𝐶 ��
𝐵 𝐶
𝑃
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Ejemplo: Hallar las medidas de los segmentos y .
4
2
4
4 4
2
1
2
4
2
2
4
12
4
3
Casos de semejanza de dos triángulos.
Podremos asegurar que dos triángulos son semejantes si somos capaces de comprobar una de
estas tres cosas.
El símbolo con el que identificaremos la semejanza será .
1. Los dos triángulos tienen dos ángulos iguales.
𝐴
𝐵 𝑎
𝑎 4𝑐𝑚
𝐵
𝐶
𝐵
𝐴
𝐶
𝐵
𝐴 𝐶
𝐶
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68
2. Los dos triángulos tienen los tres lados proporcionales.
3. Los dos triángulos tienen un ángulo igual, comprendido entre dos lados proporcionales.
𝐴
𝐶 𝐵
𝐴
𝐵 𝐶
𝐴
𝐶 𝐵
𝐶 𝐵
𝐴
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Casos de semejanza en triángulos rectángulos.
En particular, si los triángulos son rectángulos, basta con que una de estas dos condiciones.
1. Los dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo igual.
2. Dos lados de uno son proporcionales de a dos del otro.
Si uno tiene los dos catetos proporcionales con los del otro.
Si uno tiene un cateto y la hipotenusa proporcionales con los del otro.
𝐴
𝐵 𝐶
𝐴
𝐵 𝐶
𝐴
𝐵 𝐶
𝐴
𝐵 𝐶
𝐴
𝐵 𝐶
𝐴
𝐵 𝐶
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Casos de congruencia de dos triángulos.
Dos triángulos son congruentes si.
1. Sus lados miden lo mismo.
2. Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos miden lo mismo.
𝐴
𝐶 𝐵
𝐴
𝐶 𝐵
𝐴
𝐶
𝐵
𝐴
𝐶
𝐵
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3. Un lado y los ángulos adyacentes a él miden lo mismo.
Teoremas Importantes.
Terminología.
Se denomina hipotenusa al lado mayor del triángulo, el lado opuesto al ángulo recto. Se llaman
catetos a los dos lados menores, los que conforman el ángulo recto. Si la medida de los lados son
números enteros, estos reciben el nombre de terna pitagórica.
Tipos de triángulo rectángulo.
Triángulo rectángulo isósceles: Los dos catetos son de la misma longitud, los ángulos interiores
son de 45 , 45 .
Triángulo rectángulo escaleno: Los tres lados y los tres ángulos tienen diferente medida.
Triángulo rectángulo isósceles.
Triángulo rectángulo escaleno.
𝐴
𝐶
𝐵
𝐴
𝐶
𝐵
𝑎 𝑎
𝑐 45 45
𝑎 𝑐
𝑏
𝛼
𝛽
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Teorema de Catetos.
“En todo triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la
proyección de ese cateto sobre la hipotenusa.”
Los triángulos rectángulos , y tienen iguales sus ángulos, y por lo tanto son
semejantes:
1. Todos tienen un ángulo recto.
2. Los ángulos y son iguales por ser agudos, por abarcar un mismo arco, y tener sus lados perpendiculares.
3. Igualmente sucede con los ángulos y .
Puesto que en las figuras semejantes los lados homólogos son proporcionales, tendremos que:
Por la semejanza entre los triángulos y
2
Por la semejanza entre los triángulos y .
2
𝛼
𝛼
𝐶
𝐴 𝐵 𝐻
𝑐
𝑛 𝑚
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73
Teorema de la altura.
“En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los 2
segmentos que dividen a ésta.”
2
Nota: De las tres alturas que tiene un triángulo rectángulo, dos de ellas son los catetos, la tercera es
la altura sobre la hipotenusa.
Teorema de Pitágoras.
“En un triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus
catetos.”
2 2 + 2
El teorema de Pitágoras nos permite calcular la medida de uno de los lados de un triangulo
rectángulo si se conocen la medida de los otros dos.
Hipotenusa
√ 2 + 2
Cateto
√ 2 − 2
Cateto
√ 2 − 2
𝐴
𝐶
𝐵 𝑐
𝑎 𝑏
𝑛 𝑚
𝐶
𝐵
𝐴
𝑎 𝑐
𝑏
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Aplicaciones del teorema de Pitágoras.
Conociendo dos lados de un triangulo rectángulo, calcular el otro lado.
Conocidos los catetos, calcular la hipotenusa.
√ 2 + 2
√ 3 1 2 + 2 1 2
√ 1 2 + 4 41 2
√14 2 2
3 4
Conocido un cateto y la hipotenusa, calcular el otro cateto.
√ 2 − 2
√ 5 2 − 3 2 2
√25 2 − 1 24 2
√14 2
3 4
𝑎 3 1 𝑐𝑚
𝑏 2 1 𝑐𝑚 𝑐
𝑎 3 2 𝑐𝑚
𝑏 𝑐 5𝑐𝑚
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Diagonal de un cuadrado o de un rectángulo.
√ 2 + 2
√ 2 5 2 + 2 5 2
√ 25 2 + 25 2
√12 5 2
3 53
√ 2 + 2
√ 2 5 2 + 4 2
√ 25 2 + 23 4 2
√2 2 2
5 41
Altura de un trapecio.
−
2
1 − 1
2
2
3
√ 2 − 2
√ 2 − 3 2
√ 4 2 − 2
√55 2
41
𝑏 2 5 𝑐𝑚
𝑎 2 5 𝑐𝑚 𝑐
𝑏 4 𝑐𝑚
𝑎 2 5 𝑐𝑚 𝑐
𝑏 1 𝑐𝑚
𝐵 1 𝑐𝑚
𝑐 𝑐𝑚
𝑏
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76
Altura de un triángulo equilátero.
2
3
2
1 5
√ 2 − 2
√ 3 2 − 1 5 2
√13 2 − 3 4225 2
√1 2 5 2
3 2
Apotema de un polígono regular.
2
5
2
2 5
√ 2 − 2
√ 3 1 2 − 2 5 2
√ 1 2 − 25 2
√3 3 2
1 3
𝑎 3 𝑐𝑚
𝑎
𝑎
𝑏 5 𝑐𝑚
𝑏
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77
Escalas. Es la proporción de aumento o disminución que existe entre las dimensiones reales y las
dimensiones representadas de un objeto. En efecto, para representar un objeto de grandes
dimensiones, deben dividirse todas sus medidas por un factor mayor que uno, en este caso
denominado escala de reducción; y para representar objetos de pequeñas dimensiones, todas sus
medidas se multiplican por un factor mayor que uno, denominado escala de ampliación. La escala a
utilizar se determina entonces en función de las medidas del objeto y las medidas del papel en el
cual será representado. El dibujo hecho a escala mantendrá de esta forma todas las proporciones
del objeto representado, y mostrará una imagen de la apariencia real del mismo. Finalmente, deben
indicarse sobre el dibujo las dimensiones del objeto real, y la escala en que ha sido elaborado.
A manera de ejemplo se presenta la ilustración comparativa de un cuadrado de 2 cm. de lado
dibujado en sus dimensiones reales (escala natural ó escala 1/1); multiplicando sus medidas por dos
(escala 2/1); y dividiendo sus medidas por (dos a escala 1/2).
Factores de Escalas de Reducción y Ampliación.
Escala de reducción Escala de ampliación
Escala Factor de reducción
Longitud de representación
de 1 m.
Escala Factor de aumento
Longitud de representación
de 1 cm. ⁄ 1 1 1 1⁄ 1 1
⁄ 1 25 1 33 1⁄ 1 33 1 33 ⁄ 2 5 2 1⁄ 2 2
⁄ 2 5 4 4 1⁄ 4 4 ⁄ 5 2 5 1⁄ 5 5
⁄ 5 13 33 1⁄ ⁄ 1 1 1 1⁄ 1 1
2𝑐𝑚 2𝑐𝑚 2𝑐𝑚
2𝑐𝑚
2𝑐𝑚
2𝑐𝑚
𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎: 1 1⁄ 𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎: 2 1⁄ 𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎: 1 2⁄
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78
Escalímetro.
Es una regla o juego de reglas que contiene simultáneamente varias escalas diferentes. Son muy
comunes los escalímetros triangulares que contienen seis escalas.
Simetría.
Simetría axial. La simetría axial es una transformación que refleja las figuras del plano sobre una recta o eje de
simetría, como si fuera un espejo. Por esta razón, a la imagen de una figura también se le conocen
como su simétrico.
𝑒𝑗𝑒 𝑑𝑒
𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎
𝑒𝑗𝑒 𝑑𝑒
𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎
𝑒𝑗𝑒 𝑑𝑒
𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎
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79
Simetría axial de un punto.
Dado un punto y el eje de simetría de la reflexión, la imagen del punto determina trazando una
perpendicular desde el eje de simetría. La imagen se ubica del otro lado del eje y a la misma
distancia del punto.
Simetría axial de un segmento.
Se determinan los simétricos de los extremos del segmento y el segmento que los une es la imagen.
Simetría axial de un polígono.
Se determinan los simétricos de los lados y la figura que se obtiene es la imagen.
𝑟 𝐴 𝐴
𝑟
𝐵 𝐵
𝐴 𝐴
𝑟
𝐵 𝐵
𝐴 𝐴
𝐶 𝐶
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80
Simetría central.
A la imagen de una figura también se le conoce como su simétrico. Para determinar la imagen de
una figura bajo esta transformación, basta con determinar la imagen de cada uno de sus puntos.
Simetría central de un punto.
La imagen de un punto bajo esta transformación se determina trazando una recta que pase por el
punto y el centro de la reflexión. La imagen se ubica del otro lado del centro, pero a la misma
distancia.
Simetría central del segmento.
Se determinan los simétricos de los puntos extremos y el segmento que los une es la imagen.
Observa que el resultado es el mismo que si reflejáramos punto por punto el segmento.
Simetría central de un polígono.
Se determinan los simétricos de los vértices del polígono y los segmentos que los unen forman la
imagen del polígono.
𝐴
𝑐
𝐴
𝐴
𝐵
𝐵
𝐴
𝐴
𝐵
𝐵
𝐴
𝐶 𝑐
𝐶
𝑐
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81
Composición de reflexión.
Una manera de estudiar las propiedades de las figuras en el plano consiste en analizar como
cambian si les aplicamos algunas transformaciones sencillas, como traslaciones o rotaciones.
Traslación.
La transformación conocida como traslación consiste en el desplazamiento de cada uno de los
puntos hacia una misma dirección y distancia.
Para indicar una traslación necesitamos especificar la dirección y la distancia del desplazamiento, y
la longitud es igual a la distancia del desplazamiento. Al segmento que indica una traslación se le
conoce como directriz.
Traslación de un punto.
Dado un punto y la directriz de una traslación, la imagen de ese punto se obtiene trazando un
segmento paralelo a la directriz, de la misma longitud y partiendo del punto dado.
Traslación de un segmento.
Se determina la imagen de los puntos extremos del segmento, según la directriz. La traslación del
segmento se da al unir las imágenes del mismo.
𝐴 𝐴
𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧
𝐶
𝐵 𝐵
𝐶
𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧
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82
Traslación de un polígono.
Cada lado del polígono se traslada de acuerdo con la traslación de un segmento. La figura obtenida
es la imagen del polígono.
𝐵
𝐴
𝐶
𝐴
𝐶
𝐵
𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧
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83
P
𝑐
𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
Rotación.
Otra transformación de interés es la rotación de un plano por un ángulo dado y alrededor de un
punto fijo. Para indicar una rotación es necesario proporcionar el centro de la rotación, el ángulo de
rotación y su sentido. Usualmente el sentido se especifica con la medida del ángulo; si el ángulo es
negativo, el sentido del giro es en la dirección del movimiento de las manecillas del reloj, y si es
positivo será en sentido contrario.
Nota: Una rotación de 1 equivale a una simetría central.
Rotación de un punto.
La imagen de un punto bajo una rotación se obtiene trazando un segmento que una al punto con el
centro del giro y después se gira el segmento de acuerdo al ángulo de rotación. La posición final del
extremo móvil es la imagen del punto.
1. Con el transportador marcamos con un punto la escala que deseamos rotar del punto.
2. Trazamos un la línea recta del punto centro al punto de la escala de rotación.
3. Con el compas trazamos un arco con centro en y distancia y que corte a la línea recta
de la escala de rotación, esta intersección es el punto de rotación .
𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜
𝑐
𝑃
𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
𝑐
𝑃 𝑃
𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
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84
Rotación de un segmento.
La imagen de un segmento, bajo una rotación, se obtiene efectuando la rotación de los puntos
extremos del segmento. El nuevo segmento que une las imágenes de los extremos en su imagen.
𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 −12
𝑃
𝑄
𝑐
𝑃
𝑄
𝑐
𝑃
𝑄
𝑐
𝑃
𝑄
𝑐
𝑃
𝑃
𝑄
𝑐
𝑃
𝑃
𝑄
𝑐
𝑃
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85
Rotación de un polígono.
Para obtener la imagen de un polígono se hace la rotación de sus lados y el polígono que resulta es
la imagen.
𝑃
𝑄
𝑐
𝑃
𝑄
𝑃
𝑄
𝑐
𝑃
𝑄
𝑃
𝑄
𝑅
𝑐
𝑃
𝑄
𝑅
𝑐
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86
𝑃
𝑄
𝑅
𝑐
𝑃
𝑃
𝑄
𝑅
𝑐
𝑃
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87
𝑃
𝑄
𝑅
𝑐
𝑃
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88
𝑃
𝑄
𝑅
𝑐
𝑃
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89
𝑃
𝑄
𝑅
𝑐
𝑃
𝑄
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90
𝑃
𝑄
𝑅
𝑐
𝑃
𝑄
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91
𝑃
𝑄
𝑅
𝑐
𝑃
𝑄
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92
𝑃
𝑄
𝑅
𝑐
𝑃
𝑄
𝑅
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93
𝑃
𝑄
𝑅
𝑐
𝑃
𝑄
𝑅
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94
Cuerpos solidos (Poliedros).
Un cuerpo sólido es todo lo que ocupa lugar en el espacio. Los cuerpos geométricos pueden ser de dos clases: formados por caras planas o por caras redondas.
Cuerpos con caras planas.
Cuerpos con caras redondas.
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95
¿Qué es un poliedro?
Un poliedro es un cuerpo geométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito. La palabra poliedro viene del griego clásico (polyedron), de la raíz (polys), "muchas" y de (edra), "base", "asiento", "cara".
Aristas, caras y vértices.
Caras: Los polígonos que delimitan al poliedro se denominan caras.
Aristas: La intersección de las caras recibe el nombre de arista.
Vértice: La intersección de las de las aristas se llama vértice.
Cara
Cara
Cara
𝑎𝑟𝑖𝑠𝑡𝑎
𝑣𝑒𝑟𝑖𝑐𝑒
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96
Poliedros regulares.
Un poliedro regular es un poliedro cuyas caras son polígonos regulares congruentes, que se juntan
en la misma forma alrededor de cada vértice del polígono.
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97
Tetraedro.
Un tetraedro es un tipo de poliedro que tiene cuatro caras, por lo que es el tipo más pequeño posible
de poliedro.
Hexaedro.
Un hexaedro es un poliedro de seis caras.
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98
Octaedro.
Un octaedro es un poliedro de ocho caras.
Dodecaedro.
Un dodecaedro es un poliedro de doce caras.
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99
Icosaedro.
Un icosaedro es un poliedro de veinte caras.
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100
Poliedros irregulares.
Se dividen en dos clases: primas que tienen la base y la tapa de arriba iguales. Pirámides que tienen
una base y terminan en punta. Todos reciben su nombre de acuerdo a la base que tengan.
Prisma triangular.
Sus bases son triángulos.
Prisma cuadrangular.
Sus bases son cuadrados.
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101
Prisma Rectangular.
Sus bases son rectángulos.
Prisma Rombal.
Sus bases son rombos
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102
Prima pentagonal, hexagonal, heptagonal, etc.
Sus bases son polígonos.
Prisma trapezoidal.
Sus bases son trapecios.
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103
Pirámides.
Son figuras que tienen una base y terminan en punta.
Pirámide triangular.
Tiene una base triangular.
Pirámide cuadrangular.
Tiene una base cuadrangular.
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104
Pirámide pentagonal, hexagonal, heptagonal, etc.
Sus bases son pentágonos, hexágonos, heptágonos, etc.
Cuerpos redondos.
El cilindro.
Sus bases son círculos.
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105
El cono.
Esfera.
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106
Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos.
Cubo.
Área Volumen
Prisma.
Área Volumen
+
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107
Pirámide.
Área Volumen
+
3
Cilindro.
Área Volumen
+ 2
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108
Cono.
Área Volumen
+ 2
3
Esfera.
Área Volumen
4
3
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109
Cuerpo Nombre Aristas Vértices Formula del volumen Desarrollo del plano
12
12
2
1 12
2
Generalizando el volumen de los prismas es: Superficie de la base por altura.
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110
Cuerpo Nombre Aristas Vértices Formula del volumen Desarrollo del plano
Pirámide triangular
6 4
3
2
Pirámide hexagonal
12 7
3
2
Pirámide cuadrangular
8 5
3
2
Generalizando el volumen de las pirámides es:
Superficie de la base por altura entre tres.
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111
TRIGONOMETRÍA
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112
Trigonometría. UNIDAD 1. Los ángulos y su medida
Recorridos en la circunferencia
Radianes
Grados sexagesimales
De radianes a grados
Midiendo ángulos
UNIDAD 2. Razones trigonométricas
Razones trigonométricas
Seno y coseno en la circunferencia
Tangente en la circunferencia
Razones de 30º, 45º y 60º
UNIDAD 3. Relaciones trigonométricas
Relaciones fundamentales
UNIDAD 4. Resolver triángulos rectángulos
Con un ángulo y la hipotenusa
Dados un ángulo y un cateto
Conocidos dos lados
UNIDAD 5. Razones de ángulos cualesquiera
Seno
Coseno
Tangente
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113
Unidad 6. Ley de senos y cosenos
Ley de senos
Ley de cosenos
UNIDAD 6. Aplicaciones de la trigonometría
Resolver problemas métricos
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114
Generalidades.
Trigonometría
Es una palabra que deriva del griego Τριγωνοµetρía, Tri (Τρι) tres, gono (γωνο) ángulo, metería
(µetρía) medida, es decir, "medida de tres ángulos".
De hecho, se trata de la parte de las matemáticas dedicada inicialmente al estudio de las relaciones
entre las amplitudes de los ángulos y las longitudes de los segmentos que sus lados determinan en
las rectas que cortan.
La trigonometría nos enseña a resolver todos los problemas del triangulo por medio del calculo y a
encontrar relaciones en forma matemática entre segmentos y ángulos del triangulo y de otras figuras
planas limitadas por rectas, de hecho se basa en las propiedades de las llamadas razones
trigonométricas.
Breve reseña historia.
Si nos remontamos a tiempos muy lejanos en la historia de las matemáticas, encontramos algunos
problemas que ya implicaban elementos de trigonometría: los egipcios ya la utilizaban en la
construcción de sus pirámides y los babilónicos en sus cálculos. Los griegos hicieron por primera
vez un estudio sistemático de la relación entre los ángulos y la longitud de la cuerda que los
determina en una circunferencia de radio unidad.
Con el paso del tiempo, la trigonometría, adquirió la forma que tiene actualmente: paso del estudio
de las relaciones entre los ángulos de un triangulo rectángulo al delas razones entre los catetos y la
hipotenusa del triangulo, para extenderse finalmente al estudio de las funciones abstractas simples y
periódicas que estas razones ejemplifican. Es así, completamente abstracta, cuando nos resulta útil,
tal y como nosotros la conocemos.
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115
Sistema cartesiano de referencia. Con el fin de localizar un punto en un plano se hace necesario construir un sistema de coordenadas
o sistema cartesiano.
Para poder construir un sistema cartesiano se trazan en un plano una recta horizontal y una vertical,
ambas dirigidas y perpendiculares entre si. La recta horizontal recibe el nombre de eje de las
abscisas o ; la recta vertical es el o el eje de las ordenadas. El punto de intersección
entre ambas rectas es el origen y se denota con la letra O.
En el los puntos a la derecha del origen corresponden a los números reales positivos y del
lado izquierdo los números reales negativos.
En el los puntos que se localizan arriba del origen corresponden a los números reales
positivos y abajo del origen corresponden a los números reales negativos.
La abscisa y la ordenada de un punto cualquiera reciben el nombre de coordenadas del punto y se
escriben como un par de números dentro de un paréntesis separado entre si por una coma, así:
, .
El primero número corresponde a la abscisa y el segundo corresponde a la ordenada.
Al tomar los ejes como elementos de referencia, estos dividen al plano en cuatro regiones, cada una
llamada cuadrante.
𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐼 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐼𝐼
𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐼𝑉 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐼𝐼𝐼
𝐸𝑗𝑒 𝑦
𝐸𝑗𝑒 𝑥 𝑂
+
+
−
−
𝑃 𝑎, 𝑏
𝑃𝑎𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜
𝑎
𝑏
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116
Ejemplos.
Localiza los siguientes pares.
4,2
3,
−1,
,−2
− ,−1
1 2 3 4 5 −1 −2 −3 −4 −5 − − −
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
−5
−
−
−
𝐸 − ,−1
𝐵 3,
𝐴 4,2
𝐷 ,−2
𝐶 −1,
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117
Medida de ángulos. Un ángulo es un recorrido en la circunferencia con centro el origen y de radio unidad, el punto de
partida de estos recorridos se situará en el punto de coordenadas (1,0) y la medida de un ángulo
será la medida de ese recorrido.
Consideramos como sentido positivo el contrario al sentido negativo el del movimiento de las agujas
del reloj, si es igual al sentido de las agujas del reloj se considera negativo.
𝛼
𝑟
A
B
𝑂
𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑶 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝜶 𝑦 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝒓 . El arco que forman los lados A y B es el arco correspondiente al ángulo α
𝑺𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 𝑪𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓𝒊𝒐 𝒂 𝒍𝒂𝒔 𝒂𝒈𝒖𝒋𝒂𝒔
𝒅𝒆𝒍 𝒓𝒆𝒍𝒐𝒋
𝑺𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒐 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 𝑯𝒂𝒄𝒊𝒂 𝒍𝒂𝒔
𝒂𝒈𝒖𝒋𝒂𝒔 𝒅𝒆𝒍 𝒓𝒆𝒍𝒐𝒋
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118
Radianes.
Medir un ángulo es medir su recorrido en la circunferencia.
Como la medida de toda la circunferencia es 2 , resulta conveniente tomar como unidad
de medida el radio.
Los ángulos se representan en una circunferencia de radio 1, ello no significa que mida 1 cm o 1 pie
o 1 m, sino que el radio es la unidad de medida tomada. Por razones evidentes a esta unidad se le
llama radián.
1
"El ángulo de 1 radián es aquel cuyo recorrido en circunferencia es igual al radio."
−1
1 −1
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119
Sistema de unidades.
Grados sexagesimales.
Al dividir la circunferencia en 360 partes iguales, obtenemos un grado, a su vez cada grado se
compone de 60 minutos y cada minuto de 60segundos.
Así un ángulo se mide en:
Grados minutos segundos
Habitualmente usaremos el sistema sexagesimal. Como unidad fundamental tomaremos el grado,
que es la noventava parte del ángulo recto. El ángulo recto mide, pues 90 grados sexagesimales: lo
escribiremos de forma abreviada: , podemos definir a esta unidad de medida como la 360 ava
parte de una circunferencia.
Como submúltiplo del grado se emplea el minuto, que es la sesentava parte del grado, y el segundo,
que es la sesentava parte del minuto. Cualquier ángulo se expresa en cierto número de grados,
minutos y segundos. Los segundos se subdividen en decimas, centésimas, etc.
Grados ( ) Minutos (ˈ) Segundos ( )
÷ ÷
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120
3
3
45
12
135
15
1
21
225
24
2
3
315
33
𝜋
𝜋
4
𝜋
3
𝜋
2
2𝜋
3
3𝜋
4
5𝜋
𝜋
5𝜋
4
4𝜋
3
5𝜋
3
𝜋
4
1 𝜋
3𝜋
2
2𝜋 𝜋
𝐶Í𝑅𝐶𝑈𝐿𝑂 𝑈𝑁𝐼𝑇𝐴𝑅𝐼𝑂
X ϴ COS ϴ
Y ϴ SEN ϴ
𝜃
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121
De grados a radianes y de radianes a grados.
El semiperímetro de la semicircunferencia es
Es decir, veces un radián = 180 veces un grado
1 1 1
Por lo tanto:
Si despejamos el grado resulta:
1
1 1 5
Si despejamos el radián resulta:
1 1
5 2 5
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122
Conversiones de grados y radianes.
Y
Pasar de grados a radianes.
Ejemplos:
15 15
1
5
21 21 (
1 )
270 =2 (
1 )
2
(
1 )
3
DE GRADOS A RADIANES SIEMPRE SERA:
1 GRADO
𝝅
𝟏𝟖𝟎RADIANES
DE RADIANES A GRADOS SIEMPRE SERA:
1 RADIAN
𝟏𝟖𝟎
𝝅GRADOS
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123
Pasar de radianes a grados.
Ejemplos.
11
(
11
) (
1
) 33
4 (
4) (
1
) 45
5
4 (
5
4) (
1
) 225
2
3 (
2
3) (
1
) 12
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124
Razones Trigonométricas. Llamamos razones trigonométricas a las distintas razones existentes entre los lados de un triángulo
rectángulo.
En los triángulos semejantes los ángulos son iguales y los lados homólogos son proporcionales. La
razón entre los lados de un triangulo determina su forma.
Dado un triangulo rectángulo, las razones trigonométricas del ángulo α se definen:
𝛼 𝛼
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜
𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜
𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
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125
1 2
1
2 3
2 3 1 𝑠𝑒𝑛
1 2
2 3
𝑐𝑜𝑠
1
2 3
Seno: Es el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
Coseno: Es el cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
Tangente: Es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
Nota: Estas razones no depende del tamaño del triangulo sino del ángulo.
Seno y coseno de la circunferencia:
En la figura se ha representado el ángulo en la circunferencia goniometría o de radio unidad.
En el triangulo rectángulo que se forma como la hipotenusa es 1, el cateto opuesto es el y el
adyacente es el
Observa que ( , ) son las coordenadas del punto final del ángulo α en la circunferencia
de radio unidad.
𝐶𝑜𝑠 𝛼
𝑆𝑒𝑛 𝛼
𝛼
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126
Tangente en la Circunferencia:
En la figura se comprende por qué al cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente se le
llama tangente, su valor queda definido sobre la recta tangente a la circunferencia en el punto (1,0).
Observa que cuando el cateto adyacente vale 1, la hipotenusa es igual a la inversa del .
Al cociente:
1
Se le llama secante de α y se abrevia como .
1 2
1
2 44
2 1 4
2 𝑡𝑔
2
2 1
𝑆𝑒𝑛
𝛼
𝐶𝑜𝑠 𝛼
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127
Razones de 30°, 45° y 60°.
Los ángulos de 30°, 45° y 60° aparecen con bastante frecuencia, fíjate como se calculan sus
razones a partir de la definición si buscamos los triángulos adecuados.
sen cos tg
30° 1
2 √3
2
1
√3
√3
3
45° √2
2
√2
2
1
60° √3
2
1
2 √3
Memorizar esta tabla es fácil si observas el orden que llevan. Una vez aprendidos los senos con las
raíces consecutivas, los cosenos salen en orden inverso.
√12 − (1
2)
2
√3
2
En un triangulo equilátero los ángulos miden 60°. Con el teorema de Pitágoras se calcula la altura:
1 2
1
1
𝑥
1
2
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128
Resumen.
Seno de un ángulo como la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Coseno de un ángulo como la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.
Tangente de un ángulo como la razón entre el cateto opuesto y el contiguo.
Cosecante de un ángulo como la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto, de ahí se deduce
que la cosecante es 1 entre el seno
Secante de un ángulo como la razón entre la hipotenusa y el cateto contiguo, es 1 entre el coseno.
Cotangente de un ángulo es la razón entre el cateto contiguo y el cateto opuesto, es 1 entre la
tangente.
√12 + 12 √2
Tomamos un cuadrado de lado 1. Con el Teorema de Pitágoras se calcula la diagonal:
1 2
1
45
1
1
1
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129
Función trigonométrica. Función inversa.
Para ayudarte a comprender el cuadro de arriba guíate de la siguiente figura:
De las definiciones anteriores se deduce que:
1
1
1
𝛼 𝛼
𝑏
𝑎
𝑐
𝑐
𝑎
𝑏
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130
Relaciones trigonométricas.
Relaciones fundamentales.
Si se aplican la semejanza y el teorema de Pitágoras a los triángulos rectángulos “básicos”, es decir,
con 1 o con 1, se obtienen las relaciones fundamentales
de la trigonometría:
Los triángulos son semejantes:
1
:
1 2
1
1
𝑠𝑒𝑛
𝑐𝑜𝑠
𝑡𝑔
𝑂 𝐵
𝐴
𝐴
B
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131
Aplicando el Teorema de Pitágoras al triangulo de la figura obtenemos:
2 + 2 1
1 2
1
1
𝑠𝑒𝑛
𝑐𝑜𝑠
𝑂 𝐵
𝐴
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132
Resolución de triángulos rectángulos.
Resolver un triangulo rectángulos es calcular los datos desconocidos, lados o ángulos, a partir de los
conocidos.
Conocidos un ángulo y la hipotenusa
Para hallar los catetos de un triángulo rectángulo que se conocen las medidas de la hipotenusa y de un ángulo agudo, pensaremos en el triángulo:
𝛼
𝛽
𝑐
𝑎
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝐶𝑜𝑠 𝛼
𝛼
𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝐶𝑜𝑠 𝛼
𝛼
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133
Ejemplo.
Calcular la altura del volcán Popocatépetl si conocemos los siguientes datos.
5
51
x
5970 m
60°
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134
Conocidos un ángulo y un cateto.
Para hallar los lados de un triángulo rectángulo del que se conocen las medidas un cateto y de un
ángulo recto que multiplicamos por el cateto adyacente.
Ejemplo.
Calcular la altura de la torre latinoamericana de la ciudad de México.
2 45 2 1 2 ; 1 5 45
45°
x
𝑇𝑎𝑛 𝛼
1
𝑆𝑒𝑐 𝛼
𝛼
𝑎 𝑆𝑒𝑐 𝛼 𝑎 𝑇𝑎𝑛 𝛼
𝑎
𝛼
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135
Conocidos dos lados.
Para hallar el otro lado del triángulo se aplicará el teorema de Pitágoras, el ángulo se determinará
como el arco cuya tangente es cateto adyacente cateto opuesto o bien como el arco cuyo seno es
hipotenusa cateto opuesto dependiendo de los datos iniciales.
Para calcular el otro ángulo basta restar de 90º.
Ejemplo.
√ + √
𝛼
4 𝑚
3 𝑚 𝑥
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136
Razones de cualquier ángulo.
Recuerda que ( , ) eran las coordenadas del punto final del ángulo α en la circunferencia
de radio unidad. Esto que vimos para los ángulos agudos podemos hacerlo extensible a ángulos
cualesquiera.
El seno
El seno de un ángulo es la coordenada vertical del punto final del recorrido del ángulo sobre la
circunferencia unitaria (gonometrica).
Observa que su valor está comprendido entre -1 y 1.
1
−1 1
−1
𝑆𝑒𝑛 𝜃 − 45
𝜃 232
+ +
- -
𝑆𝑖𝑔𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑆𝑒𝑛𝑜
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137
El coseno.
De la misma manera que el seno de un ángulo es la ordenada, el coseno es la abscisa del punto
final del recorrido que marca el ángulo en la circunferencia.
Su valor también está comprendido entre -1 y 1.
𝐶𝑜𝑠 𝜃 231
𝜃 2 3 4
−1
−1 1
1
-
+
- +
𝑆𝑖𝑔𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝐶𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜
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138
La tangente.
Con la relación fundamental
se amplía la definición de tangente en ángulos agudos
a un ángulo cualquiera.
La tangente se representa en la recta tangente a la circunferencia gonio métrica en el punto (1,0).
Para los ángulos de 90º y 270º, el coseno es 0 por lo que no está definida la tangente; cuanto más
se acerca un ángulo a 90º o a 270º, más grande se hace en valor absoluto la tangente, diremos que
es infinito.
-1
-1
tg α=-1.71
α
0 -
+
+ -
𝑆𝑖𝑔𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
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139
Leyes de senos y cosenos.
Ley de los senos
En la figura se presenta un triángulo oblicuángulo de lados a, b y c; Ninguno de los ángulos ( , , ) de este triángulo es de 90°, por eso es llamado oblicuángulo. En todo triángulo, la medida de sus lados y sus ángulos están ligados, relacionados, por una proporción, que queda manifestada por la igualdad siguiente, llamada Triple Igualdad:
Observa que cada cociente se compone de “un lado y su ángulo opuesto”. Esta expresión indica
que, la división entre un lado y el ángulo opuesto a éste es la misma para cada uno de los tres casos
del triángulo.
𝛼
𝛽
𝛾
𝑎
𝑐
𝑏
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝛽
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝛾
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140
Ejemplo.
En un triángulo equilátero cuyos lados miden 4 unidades, todos sus ángulos son iguales a 60°.
De acuerdo a la ley de senos, no hay ninguna duda que se cumple para nuestro triángulo equilátero:
4
4
4
4
4
4
𝑐 4 𝑏 4
𝑎 4
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141
Ejemplo.
Si en el triángulo equilátero anterior trazamos una línea (la punteada) que lo parta en dos partes
iguales, obtendríamos el triángulo rectángulo que se muestra en la figura. Apliquemos la ley de
senos para encontrar el valor que tomaría la altura de este triángulo, el lado b’; así mostraríamos que
la ley de senos se extiende para triángulos rectángulos. Se debe cumplir la igualdad siguiente:
Aplicando la ley de los senos
2
3
2
5
4
4
3 4 4
Vemos que en ambos métodos coinciden los resultados.
Aplicando el teorema de Pitágoras
2 2 + 2
2 2 − 2
√ 2 − 2
√42 − 22
√1 − 4
√12
3 4 4
𝑎 2
𝑐 4 𝑏 ?
3
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142
Ley de los cosenos
En la figura tenemos un triángulo oblicuángulo de lados , y un ángulo conocido. Si trazamos la altura del triángulo lo dividiremos en dos triángulos rectángulos, uno de base y el otro de base − . Está altura la podemos calcular, con el teorema de Pitágoras, aplicándolo el teorema a los dos triángulos rectángulos:
Aplicando el teorema al triángulo derecho:
2 2 − − 2
2 2 − 2 − 2 + 2
2 2 − 2 + 2 − 2
Aplicando el teorema al triángulo izquierdo:
2 2 − 2
Igualando estas dos fórmulas de la altura tenemos:
2 − 2 2 − 2 + 2 − 2
Simplificando la ecuación tenemos:
2 2 − 2 + 2
Y, revisando el triángulo de la izquierda, podemos ver la relación siguiente:
co
Que sustituyéndola en la última ecuación tenemos finalmente la expresión que representa:
La Ley de Cosenos
2 2 − 2 + 2 co
𝑏 𝑎
𝑐
𝑝 𝑐 − 𝑝
𝜃
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143
Nota: La fórmula de la ley de cosenos tiene variantes y, bajo análisis semejante al que se hizo en
esta ocasión se pueden obtener estas variantes; presentamos enseguida estas variantes: Incluimos
la ecuación ya obtenida.
2 2 + 2 − 2 co
2 2 + 2 − 2 co
2 2 + 2 − 2 co
Importante: Observa que en cada caso, si deseas conocer un lado tendrás que conocer los otros
dos lados y el ángulo formado por estos últimos (por supuesto este ángulo queda opuesto al lado
desconocido).
Importante: Si tienes los tres lados conocidos, incluso con ningún ángulo conocido, podrás
encontrar el ángulo deseado usando la fórmula adecuada, simplemente despejando.
𝜃
𝑏
𝐶
𝑎
𝑏2 − 𝑐2 + 𝑐𝑏 𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝑎2
𝑐
𝑎 𝑏 𝛾
𝛽 𝜃
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144
Ejemplo.
Determina la magnitud del ángulo en el triángulo oblicuángulo siguiente:
Dado que queremos encontrar B, observamos en las ecuaciones de esta ley, que el lado opuesto b,
determina la fórmula que se debe usar, es decir la segunda ecuación:
2 2 + 2 − 2 co
Despajándola tenemos:
co 2 + 2 − 2
2
Y haciendo las sustituciones tenemos:
co 11 5 2 + 15 2 − 1 2
2 11 5 15
132 25 + 225 − 1
345 45
Aplicando funciones inversas en tu calculadora tenemos:
co 1 45
Y por tanto el ángulo buscado es:
41
𝐴 𝐶
��
𝑎
𝑏
𝑐
𝑎 11 5
𝑏 1
𝑐 15