Post on 12-Jun-2015
Geometría ProporcionalColegio nueva era Siglo XXI, Curauma
Departamento de Matemática
1. Congruencia
Contenidos
1.1 Definición
1.2 Triángulos Congruentes
3.1 Definición
3.2 Triángulos Semejantes
2. Figuras Equivalentes
3. Semejanza
3.3 Elementos homólogos
3.4 Razón entre áreas y perímetros
4.1 División Interior
4.2 División Exterior
4.3 División Armónica
4. División de un segmento
4.4 Sección áurea o Divina
1. Congruencia1.1 Definición
(Son congruentes cuando son exactamente iguales)
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión.
Ejemplos:
A
C
B D
F
E
1.2 Triángulos congruentesPara determinar si dos triángulos son congruentes, existen algunos criterios:
1° Lado, lado, lado (L.L.L.)
Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes.
Ejemplo:
88
1010
66
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF
2° Lado, ángulo, lado (L.A.L.)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre ellos congruente.
A B
C
E
F
D
5
3
5
3
Ejemplo:
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:Δ ABC Δ DEF
3° angulo, lado ,angulo (A.L.A)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente.
A B
C
E
F
D
1212
Ejemplo:
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:Δ ABC Δ DEF
2. Figuras EquivalentesSon aquellas que tienen la misma área.
Ejemplo:
El cuadrado de lado 2√ , es “equivalente” al círculo de radio 2 de la figura:
Área = 4 Área = 4
3. Semejanza
Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones:
3.1 Definición
Se llaman “lados homólogos” a los lados que unen dos vértices con ángulos congruentes.
G
F
J
I
H
A
E
D
C
B
1° que tengan sus ángulos respectivamente iguales, y
2° que sus lados homólogos sean proporcionales.
A
E
D
C
B
G
F
J
I
H
6
5
4
3
12
10
8
6
42
Además, están en razón 1:2.
Por ejemplo, los lados AB y GH son homólogos, como también lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG.
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales, y sus lados homólogos proporcionales.
3.2 Triángulos Semejantes
Ejemplo:
A B
C
E
F
D
Los Lados homólogos están en razón: 1:3
5
3
15
94
12
ABDE
BCEF
ACDF
13
= = =
Recuerda que al establecer una semejanza, el orden es fundamental.
AB es homólogo a DE
BC es homólogo a EF
AC es homólogo a DF
Ejemplo:
Determinar la medida del segmento QR de la figura:
A B
C
4 10
Q
R
P
6
Solución:Los triángulos ABC y PRQ son semejantes y se tiene que
ABPR
10QR
46
= = 10QR
46
= 60 = 4∙QR 15 = QR
Es decir:
Δ ABC ~ Δ PRQ , entonces:
ABPR
CBQR
ACPQ
= =
P
Q
R
A B
C
3.3 Elementos HomólogosLos lados homólogos en los triángulos semejantes, corresponden a los lados proporcionales.
Ejemplo:
34
5
6
8
10
ABPQ
= BCQR
= CARP
= k 5 10
= 36
= 48
= 12
Además, los elementos que cumplen la misma función en cada triángulo como: alturas, transversales,bisectrices y simetrales, también son homólogos y proporcionales.
= k
PR
6
8
10
Q
A B
C
34
5
hC
hR
Además, =hC
hR
2,4
4,8=
1
2= k
• La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes, es igual a la razón entre sus elementos homólogos.
3.4 Razón entre Áreas y Perímetros
Ejemplo:Q
6
10
hR
PR 8
A B
34
5
C
hC
PABC
PPQR
=12
24
=1
2
= k
• La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes, es igual al cuadrado de la razón entre sus elementos homólogos.
Ejemplo:
Q
6
10
hR
PR 8
A B
34
5
C
hC
AB
PQ= = k 5
10= 1
2
AABC
APQR
= 6
24
=1
4
= k2
4. División de un segmento4.1 División interior
CA B
Si el punto C divide “interiormente” al segmento AB en razón m:n, entonces:
Ejemplo:
QA B
ACCB = m
n
Si Q divide “interiormente” al segmento AB en la razón 3:5, y QB= 45, entonces, ¿cuánto mide AB?
QA B
45
AQQB
= 35
Solución:
AQ45
= 35
AQ =3∙45
5
AQ = 27
27
Por lo tanto, AB mide 72
4.2 División exteriorSi el punto D divide “exteriormente” al segmento AB en razón m:n, entonces:
BA D
Ejemplo:
BA D
20
ADBD = m
n
Si D divide “exteriormente” al segmento AB en la razón 5:2, y AD = 20, entonces, ¿cuánto mide BD?
ADBD
= 52
20BD
= 52 BD =
20∙2
5
BD = 8
BA D812
20Solución:
4.3 División armónicaDividir el segmento AB “armónicamente” en razón m:n, implica dividirlo interior y exteriormente en la misma razón.
Ejemplo:
m
ACCB = = n
ADBD
Al dividir “armónicamente” el segmento AB en la razón 3:2, ¿cuánto mide BD y CB, si AB = 12?
A C B D
A C B D
12
12+y y
Solución:
12 - x y
ACCB
= 32
= 32
2x = 3(12-x) x 12-x
2x = 36 -3x5x = 36
ADBD
= 32
= 32 24 + 2y = 3y
365
x = 365
24 = y
245
24A C B D
x
12
4.4 Sección Áurea o DivinaEl punto X divide el trazo AB en “sección áurea”, si el trazo mayor es media proporcional geométrica entre el trazo completo y el menor.
Si AX > BX, entonces:
Ejemplo:
XA B
PA B
ABAX = AX
BXó (AX)2 = AB∙BX
En la figura, P divide al segmento AB en “sección áurea”, con AP > PB. ¿Cuál es la ecuación que permite calcular la medida de AP, si PB = 5b?
5b
Solución:
(AP)2 = (AP + 5b)∙5b
(AP)2 = 5b∙AP + 25b2
(AP)2 - 5b∙AP - 25b2 = 0
5b
PA B
(AP)2 = AB∙PB