Geometría PlanaBases de la geometría

Haroldo Cornejo Olivarí

EJÉRCITO DE CHILECOMANDO DE INSTITUTOS Y DOCTRINA

Academia Politécnica Militar

Ángulo: Concepto y definición

Es la porción de un plano contenido entre dos semirrectas que tienen su origen en común.

Es la abertura formada por dos semirrectas con un mismo origen llamado vértice.

El ángulo se designa con una letra griega o tres letras con el vértice en medio (α; β; AOM; ABC; etc)

Ángulo: Concepto y definición

Sus componentes son:

LADOS: Son las semirrectas. VÉRTICE: Es el punto común de los lados. VALOR O DIMENSIÓN: Es la abertura de los lados.

Clasificación de los ángulos

Ángulos Agudos: son aquellos que miden menos de 90 grados.

Ángulo Recto: es aquel que mide 90 grados.

Ángulo obtuso: son aquellos que miden más de 90 y menos de 180 grados.

Clasificación de los ángulos

Ángulo Llano o Extendido: es aquel que mide 180 grados.

Ángulo Convexo: son aquellos que miden más de 180 y menos de 360 grados.

Ángulo Completo: es aquel que mide 360 grados.

Ángulos complementarios

Dos ángulos son complementarios si su suma es un ángulo recto.

Complemento de un ángulo agudo es su diferencia con él ángulo recto.

Ángulos suplementarios

Dos ángulos son suplementarios si su suma es un ángulo extendido.

Suplemento de un ángulo cóncavo es su diferencial al ángulo extendido.

Ángulos adyacentes

Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado en común y los otros dos en línea recta.

Los ángulos adyacentes son suplementarios.

Ángulos opuestos por el vértice

Son aquellos ángulos que tienen un vértice en común y los lados de uno son la prolongación de los lados del otro.

Necesariamente son iguales.

1 2

3

7

65

4

8

L

M

L // M

ÁNGULOS ENTRE PARALELAS

1 2

3

7

65

4

8

L

M

L // M

ÁNGULOS ENTRE PARALELAS

Ángulos Correspondientes

< 1 y < 5

< 2 y < 6

< 3 y < 7

< 4 y < 8

1 2

3

7

65

4

8

L

M

L // M

ÁNGULOS ENTRE PARALELAS

Ángulos Alternos Internos

< 3 y < 6

< 4 y < 5

1 2

3

7

65

4

8

L

M

L // M

ÁNGULOS ENTRE PARALELAS

Ángulos Alternos Externos

< 1 y < 8

< 2 y < 7

Bisectriz

Es la semirrecta, que partiendo del vértice divide al ángulo en dos ángulos iguales.

Triángulos

El triángulo es una figura geométrica formada por tres lados, unidos en tres puntos llamados vértices. La costumbre es utilizar letras mayúsculas para nombrar los vértices; la letra minúscula representa el lado opuesto al vértice correspondiente, o su longitud. Un lado, o su longitud, se puede también nombrar utilizando el nombre de los dos vértices en sus extremos.

Triángulos

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º

Clasificación de los triángulos

Según sus ángulos Triángulo acutángulo Triángulo rectángulo Triángulo obtusángulo

Según sus lados Triángulo escaleno Triángulo isosceles Triángulo equilátero

(tiene hipervínculos)

Elementos de un triangulo

Altura Es la perpendicular desde un vértice de un

triángulo hasta al lado opuesto. Existe una por cada vértice.

El punto de intersección de las alturas se conoce como ortocentro (O en las figuras).

Área de un triangulo

b = base del triangulo

h = Altura del triangulo

Perímetro de un triangulo

2s = a + b + c

s = semiperímetro

Elementos de un triangulo

Mediana o Transversal de Gravedad Es un segmento que une un vértice con el punto

medio del lado opuesto, como ta en la figura. Las tres medianas se cortan en un punto llamado

baricentro o centro de gravedad (T en la figura).

Elementos de un triangulo Bisectriz interior

Es la recta que pasa por un vértice y divide al ángulo interior en dicho vértice en dos partes iguales, como AR en la figura.

Las tres bisectrices internas se cortan en tres puntos llamados incentros.

Bisectriz exterior Divide en dos partes iguales al

ángulo exterior a dicho vértice, como AV en la figura.

Las tres bisectrices externas se cortan en tres puntos llamados excentros (I en la figura).

Elementos de un triangulo

Mediatriz o simetral Es una recta perpendicular a un lado en su punto

medio, como HK en la figura. Las tres mediatrices se cortan en un punto

llamado circuncentro (como H en la figura) que es el centro de la circunferencia circunscrita que pasa por los tres vértices del triángulo.

Teorema de Pitágoras

Relaciona los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo

c2 = a2 + b2

a2 = + q2

b2 = + p2

2ch

2ch

Geometría Plana

Circunferencia y Círculo

Haroldo Cornejo Olivarí

EJÉRCITO DE CHILECOMANDO DE INSTITUTOS Y DOCTRINA

Academia Politécnica Militar

Circunferencia y circulo Circunferencia

Es el lugar geométrico de todos los puntos ubicados en un mismo plano, tal que equidistan de otro punto fijo llamado Centro. La distancia entre el centro y cada uno de los puntos se llama Radio.

La circunferencia es una línea curva convexa y su longitud es igual a 2пR.

Circunferencia y círculo

Círculo Es la porción del plano encerrada por la

circunferencia . El área de la superficie es igual a

2r

Circunferencia y círculo

Una recta puede estar fuera de la circunferencia sin cortar un solo punto de ella. Se dice entonces que la recta es exterior a la curva.

Si la recta tiene un punto en contacto, entonces esta recta se llama tangente. Y el punto de contacto es conocido como punto de tangencia (Punto T).

La perpendicular a la tangente por el punto de tangencia se llama Normal a la curva en dicho punto, y se confunde con el radio.

Circunferencia y círculo

Si se sigue acercando la recta tangente hacia el centro, cortará a la curva en dos puntos, y esta recta se llama Secante.

La porción de la secante, comprendida entre los dos puntos de corte se llama Cuerda.

Circunferencia y círculo

Segmento circular:Es la superficie encerrada entre una cuerda y el arco subtendido por esta cuerda. El área del segmento circular dependerá de la distancia de la cuerda al centro.

Sector Circular:Es la porción del círculo encerrado entre dos radios de la curva y el arco comprendido entre dichos radios. El área del sector circular dependerá de la abertura existente entre los dos radios.

Circunferencia y círculo

Posiciones relativas entre dos circunferencias: Circunferencia Exterior a otra: Aquellas

circunferencias que no tienen ningún punto en común.

Circunferencia Interior a otra: Cuando una de las circunferencias tiene su centro dentro del círculo, pero no existe punto de contacto entre las dos.

La circunferencia de centro O2 es interior a la circunferencia O1, mientras que la de centro O3 es exterior.

Circunferencia y círculo

Posiciones relativas entre dos circunferencias: Circunferencias Concéntricas: Son

aquellas que tienen el mismo centro. Las circunferencias no se tocan en ningún punto. La parte del circulo mayor comprendida

entre las dos circunferencias se llama Corona o anillo circular y su área es

)( 22 rR

Circunferencia y círculo

Posiciones relativas entre dos circunferencias: Circunferencias Tangentes: Tienen un solo

punto en común.

Circunferencias Secantes: Son Circunferencias que se cortan.

Geometría Plana

Teorema de Thales

Haroldo Cornejo Olivarí

EJÉRCITO DE CHILECOMANDO DE INSTITUTOS Y DOCTRINA

Academia Politécnica Militar

T S

"Si tres o más rectas paralelas son intersecadas por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales

En el dibujo: Si L1 // L2 // L3

L1

L2

L3

, T y S transversales, los segmentos a, b, c y d son proporcionales

Es decir:

aa

bb

=cc

dd

¿DE ACUERDO?

L1

L2

L3

T

S

8

24

x15

Un ejemplo:

En la figura L1 // L2 // L3 , T y S transversales, calcula la medida deltrazo x

Ordenamos los datos en la proporción, de acuerdo al teorema de Thales

Es decir: 824 =

X

15

Y resolvemos la proporción

24 • x = 8 • 15

X =8 • 15 24

X = 5

Fácil

Otro ejemplo: en la figura L1 // L2 // L3 , T y S son transversales, calcula x y el trazo CD

Formamos la proporción

32 = x+4

x+1

Resolvemos la proporción

3(x + 1) = 2(x + 4)

3x + 3 = 2x + 8

3x - 2x= 8 - 3

X=5

L1

L2

L3

T

S

x+4

x+1

3 2

C

D

Luego, como CD = x + 4

CD= 5 + 4 = 9

Si pensamos en una pirámide..

TRIÁNGULOS DE  THALES

Dos triángulos se dicen de Thales o que están en posición de Thales, cuando: Tienen un ángulo común y los lados opuestos a dicho ángulo son paralelos.  

S (sombra)

H(altura de la pirámide)

s (sombra)

h (altura de bastón)

Podemos ver esto si trasladamos el triángulo formado por el bastón, su sombra y los rayos solares hacia el formado por la pirámide

Triángulos de Thales

En dos triángulos de Thales, sus lados, tienen la

misma razón  de semejanza 

B C

A

DE

De acuerdo a esto, en la figura BC// ED, entonces, con los lados de los triángulos AED y ABC ocurre:

AEAB

=ED

O también

AEED

= AB

BC

BCA esta forma de

tomar los trazos, se le llama “la doble L”

Aplicaciones de esta ideaCalcula la altura del siguiente edificio

x

5

3 12

Escribimos la proporción

35

=15x

Y resolvemos la proporción

3 • x = 5 • 15

x = 75 3

X = 25

Por que 3+12=15

Otro ejercicioEn el triángulo ABC, DE//BC , calcule x y el trazo AE

AB

C

x+3 x

8

12D

E

Formamos la proporción

8 X+3

= 122x+3

Resolvemos la proporción

Por que x+3+x = 2x+3

8(2x + 3) = 12( x + 3)

16x + 24 = 12x + 3616x – 12x = 36 – 24

4x = 12

X = 12 = 3 4 Por lo tanto, si AE = x + 3 = 3 + 3 = 6

Teorema de Euclides

Relaciona los lados de un triángulo rectángulo con sus proyecciones

a2 = c · q

b2 = c · p

hc2 = p · q

cba

hc

Teorema de la bisectriz

AQ = bisectriz del ángulo CAB

Geometría Plana

Polígonos

Haroldo Cornejo Olivarí

EJÉRCITO DE CHILECOMANDO DE INSTITUTOS Y DOCTRINA

Academia Politécnica Militar

Polígonos Porción de plano limitado por líneas

rectas, llamada línea poligonal. En geometría se conoce como poligonal a

la línea formada por segmentos cerrada (polígono) o abierta.

Polígono inscrito y circunscrito

Un polígono está inscrito en una circunferencia se todos sus vértices son puntos da la circunferencia. Esa circunferencia se dice circunscrita al polígono.

Clasificación de los polígonos Según su forma

CONVEXOS - Todos sus ángulos son convexos CONCAVOS - Al menos un ángulo cóncavo REGULARES - Todos sus ángulos y lados iguales IRREGULARES - Al menos un lado distinto

Según número de lados

Área de un polígono

Geometría Plana

FINHaroldo Cornejo Olivarí

EJÉRCITO DE CHILECOMANDO DE INSTITUTOS Y DOCTRINA

Academia Politécnica Militar

Clasificación de los triángulos

Triángulo acutángulo: es aquel que tiene sus tres ángulos agudos.

Clasificación de los triángulos

Triángulo rectángulo: es aquel que tiene un ángulo recto

El lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo, como HK en la figura , se denomina hipotenusa, y los otros dos lados se llaman catetos.

Clasificación de los triángulos

Triángulo obtusángulo: es aquel que tiene un ángulo obtuso

Clasificación de los triángulos

Según sus lados Triángulo escaleno: es aquel que tiene los tres

lados de diferente longitud, y sus tres ángulos también diferentes

Clasificación de los triángulos Según sus lados

Triángulo isósceles: es aquel que tiene los tres lados iguales entre sí, y además los ángulos interiores que se oponen a estos lados, tienen igual medida y se llaman ángulos básales.

El ángulo formado por los dos lados iguales de un triángulo isósceles, es el ángulo del vértice. El tercer lado se conoce como base.

Clasificación de los triángulos

Según sus lados Triángulo equilátero: Es aquel que tiene sus

tres lados iguales, y sus ángulos interiores también iguales y miden 60 grados cada uno.