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7/25/2019 Geometría Con Papel
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Taller para la construcción de poliedros con papel
Geometría con papel (papiroflexia matemática)
Antecedentes históricos
Papiroflexia es una palabra de origen latino que deriva de papiro (papel) y flectere(doblar); significa doblar el papel y, por extensión, darle la figura de determinadosseres u objetos.El término original de la disciplina es origami , palabra japonesa con la mismacomposición ling!stica que la castellana" ori (doblar), kami (papel).#os japoneses inventaron la papiroflexia $ace m%s de mil a&os. #e dieron elnombre de origami y le dotaron de principios estéticos ligados a su cultura. Es en'$ina donde se introduce el papel en los primeros siglos de la era cristiana y llegaa apón en el siglo * d.'.; con el papel $i+o su aparición la papiroflexia, a la quepodemos considerar como un arte, una ciencia y un entretenimiento, y de a$! su
importancia en el aprendi+aje de las matem%ticas como estimulante de la actividadcerebral.ara la sensibilidad japonesa, el éxito de una figura de papel depende de suestructura y proporción. -e plantean varios interrogantes ante una figura de papel"llega a expresar la forma verdadera del objeto/ En el caso de tratarse de unanimal" sugiere su forma de moverse, su paso, desli+amiento o galope/ 0,orginalmente, es una mera reproducción del original, o a$onda m%sprofundamente en su car%cter esencial/-i queremos $ablar de una clasificación de la papiroflexia podemos considerar varios aspectos" la finalidad, el tipo de papel utili+ado y la cantidad de pie+asutili+adas. 1 continuación se presentan tres clasificaciones que se proponen de
acuerdo a cada uno de los aspectos mencionados.De acuerdo a la finalidad:
2 Artístico" construcción de figuras de la naturale+a o para ornamento.2 Educativo" construcción de figuras para el estudio de propiedades geométricasm%sque nada.
De acuerdo a la forma del papel:
2 Papel completo: tro+o de papel inicial en forma cuadrangular, rectangular o
triangular.2 Tiras: tro+o inicial de papel en forma de tiras largas.De acuerdo a la cantidad de trozos:2 Tradicional: un solo tro+o de papel inicial (u ocasionalmente dos o tres, a losumo).2 Modular: varios tro+os de papel iniciales que se pliegan para formar unidades(módulos), generalmente iguales, los cuales se ensamblan para formar una figuracompleja.
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Educación: papiroflexia y matemáticas
El origami puede ser una gran ayuda en la educación de las matem%ticas"2 roporciona al profesor de matem%ticas una $erramienta pedagógica que le
permite desarrollar diferentes contenidos, no sólo conceptuales sino deprocedimiento. 3ambién desarrolla la psicomotricidad y, fundamentalmente, lapsicomotricidad fina, as! como la percepción espacial.2 4esarrolla la destre+a manual, la exactitud en la reali+ación del trabajo y laprecisión manual.2 Relaciona la disciplina de las matemáticas con las artes.2 5otiva al estudiante a ser creativo, ya que puede desarrollar sus propiosmodelos e investigar la conexión que tiene con la geometr!a no sólo plana, sinotambién espacial.
Bases y diagramas
ara el matem%tico, la belle+a de la papiroflexia est% en su simple geometr!a. Encada tro+o de papel $ay patrones geométricos, combinaciones de %ngulos y rectasque permiten a la $oja llegar a tener variadas e interesantes formas.Existen unas formas geométricas fundamentales que dan lugar a gran variedad demodelos, denominadas bases.#a mejor manera de entender un modelo de papiroflexia es dibujar lo que se suelellamar un patrón de doblado. ara obtener el patrón de doblado de un modelo $ayque desdoblar el papel, dejarlo liso, y dibujar sus dobleces m%s importantes; sólolos que contienen su geometr!a esencial, no los detalles. El patrón de doblado es,por necesidad, una abstracción, la reducción de una forma complicada a suestructura interna m%s b%sica.
Poliedros en papel
#os cinco poliedros platónicos, " tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro ydodecaedro, cuyas caras son todas de la misma forma y tama&o, pueden parecer simples, pero en realidad son muy dif!ciles de plegar, especialmente utili+ando$ojas 6nicas de papel cuadrado. Es por ello que en el desarrollo del taller vamosa combinar la papiroflexia modular y la tradicional en la construcción de losdistintos poliedros.
7tili+ando la papiroflexia tradicional es especialmente dif!cil de doblar eldodecaedro regular. 8a+uo 9aga, profesor en la universidad de 3su:uba, abordóel problema reali+ando una labor excelente para superar las dificultades. Eltetraedro regular, el $exaedro y el octaedro son relativamente f%ciles. o obstante,el método del profesor 9aga es el 6nico que se $a desarrollado $asta la fec$apara plegar los m%s dif!ciles, como el icosaedro y el dodecaedro, a partir de una6nica $oja de papel.
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1. Hexaedro o cubo
ódulo !ono"#
<igura =. 5ódulo -onob>.
El módulo Sonobè puede considerarse el punto de origen de la papiroflexiamodular.
Figura 2. Módulo Sonobè: diagramas
-u fundador, 5itsunobu -onob>, lo denominaba ?caja de color@, aunque $oy d!a eltérmino empleado no es otro que módulo de -onob>.
-eis módulos -onob> nos permiten la construcción del cubo de m6ltiples manerassin m%s que introducir peque&as variaciones en la construcción de cada módulo.Es importante en la reali+ación de los módulos tener en cuenta que todos son dela misma forma para poder reali+ar el ensamblaje, lo que nos lleva a una reflexiónsobre la simetr!a especular y abre un campo interesante sobre las figuras quepodr!an construirse en el caso de utili+ar módulos simétricos en la construcción deun mismo cubo.
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Figura 3. Método de unión para el cubo.
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ara la construcción del cubo con dos colores existen diversas soluciones. ospodemos fijar en la que $ace uso de los diferentes colores del anverso y reversodel papel. El método de ensamblado var!a, y aunque la ubicación de los dobleceses idéntica al caso anterior se producen cambios en la utili+ación de los pliegueselevados o $undidos.
'on estos mismos módulos -onob> es posible construir poliedros de m%sunidades.
Actaedro estrellado con =B módulos -onob>
<igura C. -onob> con =B módulos
*cosaedro estrellado con D módulos -onob>7n problema entretenido es construir la esfera multimodular de D unidades apartir de tres colores de papel y disponer el montaje de forma que ninguna punta(pir%mide) adyacente sea del mismo color.
Figura 5. Sonobè de 30 módulos
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2. Tetraedro octaedro e icosaedro
amos a reali+ar estos tres sólidos platónicos utili+ando papiroflexia modular. ana ser un claro ejemplo de cómo un mismo módulo puede dar lugar a distintospoliedros dependiendo del n6mero de módulos y de la forma de ensamblarlos.
El módulo que utili+aremos en la elaboración del tetraedro, octaedro e icosaedro$a sido ideado por 3omo:o <use.
$etraedroecesitaremos dos módulos tri%ngulares construidos con simetr!a especular.En la reali+ación del módulo utili+aremos un papel con distinto color en cada unade sus caras. Fesultan de gran interés los tres primeros pasos, que nos permitenla construcción del %ngulo de GH y nos llevan a un estudio para la obtención de%ngulos de DH, GH y, a partir de ello, a la construcción de diversos pol!gonosregulares, empe+ando por el tri%ngulo equil%tero.
<igura G.
Figura 7.
Construimos el especular o piea simétrica !"ne#o $ % procedemos al ensamblado!Figura &':
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Figura &.
%ctaedro e icosaedro
En la construcción del octaedro se utili+ar%n C módulos iguales y en la delicosaedro =, I de ellos con una orientación levógira y otros I con una orientacióndextrógira ( 1nexo **)
<igura J. 3etraedro, octaedro e icosaedro
!. "odecaedro
ara construir el dodecaedro es necesario un módulo que permita la aparición decaras pentagonales de manera que en cada vértice concurran tres aristas. amosa utili+ar un módulo ideado por -ilvana 5amino y que parte, al contrario que en loscasos anteriores, de un papel rectangular en ve+ de cuadrado. #a proporciónutili+ada es 4* 1.-e utili+an D módulos de I colores distintos.
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Dodecaedro con el modulo Phizz
El modulo Phizz o ZIG ZAG de Thomas Hull - THE PHIZZ MODULE
____________________________________________
legar el cuadrado en acordeón. 'omen+ar conel color $acia arriba.
4oblar la esquina en CIH. 3rabajar siemprecon la misma lateralidad para que losmódulos puedan encastrarse.
4oblar la otra parte formando un tri%ngulo.
legar la KpataK larga $acia arriba para quequede a ras del borde del tri%ngulo.
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-eguir doblando como se indica, formando unnuevo pliegue de CIH.
<inalmente, doblar el resto en monte. -eobtiene un plegado que parecen dosmonta&itas.
<orma de montaje. Es en ensamblenotablemente estable y sólido.
3res módulos constituyen una c6spide.
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Five vertex make a pentagon (for thedodecahedron!
"ix #ie f#at and are $%ed for &$ck'&a##%
and tor$%!
4odecaedro L D módulos
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Mbibliograf!a y direcciones de *nternet
&eferenciasP. #ascetta: Arigami" Neometria con la carta (*). Quadrato magico, $2 (=JJO).
P4isponible en$ttp"QQRRR.origamiLcdo.itQarticoliQartgeo.$tmS.". #rill: Brilliant origami . apan ublications, 3o:yo, B=.T. %us&: Unit origami: ultidimensional transformations. apan ublications,3o:yo, B.'. 'asa(ara T. Ta)a(ama: Papiroflexia !origami" para expertos. E41<, 5adrid,B.P. Macc(i P. *caburri: #ue$os ob%etos de papiroflexia. Editorial 4e ecc$i,Marcelona, =JJT.+. de la Pe,a Hernánde-: atem&ticas ' papiroflexia. 1sociación Espa&ola deapiroflexia,
5adrid, B=.A. Rodríue- A. %ernánde-: (n&lisis de la acti$idad de origami . P4isponible en$ttp"QQRRR.pajarita.orgQaepQarticulosQ1F3*'ILC.4<S./. *imos R. 0ur)eit- #. Arnstein: odular origami pol')edra. 4over, eR0or:, =JJJ.*cosaedro con modulo triangular+ )ttp:,,kusudamatime.tumblr.com,tagged,odular P&gina oficial de la (sociación -spaola de Papiroflexia+ $ttp"QQRRR.pajarita.org. $ttp"QQRRR.grupoalquerque.esQferiasQB=Qarc$ivosQRebquestUBQorigami.$tml
Icosaedro con módulos triangulares
$ttps"QQRRR.youtube.comQRatc$/vVrFWgoI'XWOArigami modular en 1rgentina $ttp"QQRRR.origamimodular.com.ar $ttp"QQRRR.grupoalquerque.esQferiasQB=Qarc$ivosQRebquestUBQdocumentosQmoduloUp$i++.pdf Construcción de poliedros. Técnicas sencillas - Origami modular
$ttp"QQRRR.matematicasvisuales.comQ$tmlQgeometriaQconstruccionpoliedrosQorigami
.$tml
#orena 'arreón Narc!a
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