Geometrıa afın y proyectiva ETSAM

11 de diciembre de 2013

APELLIDOS........................................................................ GRUPO.....................

NOMBRE............................................................................ D.N.I..........................

OPCION A

1. (0.5 puntos) En el espacio afın R3 se consideran los puntos P (0, 1, 0), Q(1, 2,−1), R(1, 1, 0) y S(2, 1, 1).¿Forman {P,Q,R, S} un sistema de referencia afın? Justifica la respuesta.

2. (0.5 puntos) Consideremos el espacio afın euclıdeo R2 con referencia ortonormal. Escribir la expresionmatricial de la homotecia de centro C(1, 2) y razon k = 4. ¿Es una isometrıa? Justificar la respuesta.

3. (0.5 puntos)

a) Definir punto singular de una conica proyectiva.

b) Calcular los puntos singulares de la conica del plano proyectivo

C ≡ 2x20 − 8x21 − 2x22 + 8x1x2 = 0

y clasificarla.

4. (2 puntos) En el espacio afın euclıdeo R2 se tiene la transformacion afın cuya expresion matricial es 1y1y2

=

1 0 03 0 −1

−1 1 0

1x1x2

.

Clasificarla obteniendo sus elementos notables (eje de simetrıa, centro y angulo de giro, vector traslacion,etc, segun corresponda),

5. (2,5 puntos) Consideremos el espacio afın euclıdeo tridimensional R3 con referencia ortonormal.

a) Encontrar la expresion matricial de la simetrıa ortogonal con respecto al plano x+ z − 2 = 0.

b) Calcular las ecuaciones del subespacio de puntos fijos.

c) Calcular la expresion matricial de la simetrıa calculada en el primer apartado compuesta con unatraslacion de vector ~v = (2, 1, 0).

d) Calcular las ecuaciones del subespacio de puntos fijos de la composicion anterior.

6. (3 puntos) En el plano proyectivo P2 se tiene la conica C ≡ x20+4x21+4x22+6x0x1+6x0x2+10x1x2 = 0.

a) Clasificarla.

b) Obtener su centro, ejes y asıntotas, si las tuviera.

c) Obtener su ecuacion reducida en el plano afın, indicando el sistema de referencia afın en el quese expresa de esta forma.

d) Representar graficamente la conica.

7. (1 punto)

a) En el plano proyectivo P2, determinar el haz de conicas que tiene por asıntotas las rectas2x0 + x1 − x2 = 0 y x0 − x2 = 0.

b) Calcular la conica del haz que pasa por el punto Q = [1, 3, 2].