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MÉTODO DE GAUSS

Resolución de sistemas de

ecuaciones

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GAUSS

Johann Carl

Friedrich GAUSS

(1777-1855)

El Príncipe de las

Matemáticas

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GAUSS

Matemático alemán nacido en Brunswick y fallecido en Göttingen.

Junto a Arquímedes y Newton, Gauss es sin duda uno de los tres genios de la historia de las Matemáticas.

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GAUSS

Las aportaciones de Gauss en todos los

campos de la Matemática son

inestimables: Teoría de números,

Astronomía, Magnetismo, Geometría,

Análisis...

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GAUSS

....cuando el famoso viajero y aficionado a las

ciencias barón Alexander Von Humboldt preguntó

a Laplace quién era el más grande matemático de

Alemania, Laplace replicó Plaff. "Y entonces

Gauss, ¿qué?", preguntó el asombrado Von

Humboldt. "Oh, - dijo Laplace-, Gauss es el mayor

matemático del mundo.“

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GAUSS

A los siete años ingresó en su primera escuela, dirigida por

un tal Büttner, personaje que no destacaba precisamente

por sus dotes pedagógicos. De esta época se cuenta que a

los 10 años , cuando fue admitido en la clase de aritmética,

sorprendió a todos por la rapidez y procedimiento seguido

en la resolución de un problema del tipo "Halla la suma de

los 100 primeros números enteros". Gauss agrupó los

números en 50 parejas de números que sumaban 101.

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MÉTODO DE GAUSS

SISTEMAS DE ECUACIONES

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MÉTODO DE GAUSS

El método de Gauss para resolver sistemas

de ecuaciones es una generalización del

método de reducción y consiste en

transformar el sistema dado en otro

equivalente.

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MÉTODO DE GAUSS

Para ello tomamos la matriz ampliada del

sistema y mediante las operaciones

elementales por filas la transformamos en

una matriz escalonada en ceros.

De esta forma obtenemos un sistema

equivalente al inicial.

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MÉTODO DE GAUSS

Ejemplo: Resuelve por el método de Gauss el siguiente

sistema.

565

134

2323

zyx

zyx

zyx

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MÉTODO DE GAUSS

565

134

2323

zyx

zyx

zyx

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MÉTODO DE GAUSS

5651

1134

2323

Para facilitar los cálculos escribimos sólo los coeficientes.

565

134

2323

zyx

zyx

zyx

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MÉTODO DE GAUSS

5651

1134

2323

Hacemos “0” debajo del primer elemento de la primera fila.

565

134

2323

zyx

zyx

zyx

2323 zyx

2323

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MÉTODO DE GAUSS

5651

1134

2323

Hacemos “0” debajo del primer elemento de la primera fila.

1) 4·F1 - 3 ·F2

565

134

2323

zyx

zyx

zyx

119

2323

zy

zyx

11910

2323

11910

2323

11910

2323

11910

2323

11910

2323

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MÉTODO DE GAUSS

5651

1134

2323

Hacemos “0” debajo del primer elemento de la primera fila.

1) 4·F1 - 3 ·F2; 2) F1 - 3·F3

565

134

2323

zyx

zyx

zyx

132117

119

2323

zy

zy

zyx

1321170

11910

2323

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MÉTODO DE GAUSS

5651

1134

2323

565

134

2323

zyx

zyx

zyx

132117

119

2323

zy

zy

zyx

1321170

11910

2323

Hacemos “0” debajo del segundo elemento de la segunda fila.

119

2323

zy

zyx

11910

2323

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MÉTODO DE GAUSS

5651

1134

2323

565

134

2323

zyx

zyx

zyx

132117

119

2323

zy

zy

zyx

1321170

11910

2323

174174

119

2323

z

zy

zyx

17417400

11910

2323

Hacemos “0” debajo del segundo elemento de la segunda fila.

3) F3 + 17 ·F2

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MÉTODO DE GAUSS

565

134

2323

zyx

zyx

zyx

132117

119

2323

zy

zy

zyx

Resolvemos el sistema escalonado que resulta sustituyendo de abajo hacia arriba.

174174

119

2323

z

zy

zyx

1

119

2323

z

zy

zyx

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MÉTODO DE GAUSS

565

134

2323

zyx

zyx

zyx

132117

119

2323

zy

zy

zyx

Resolvemos el sistema escalonado que resulta, sustituyendo de abajo hacia arriba.

174174

119

2323

z

zy

zyx

1

119

2323

z

zy

zyx

1

111·9

2323

z

y

zyx

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MÉTODO DE GAUSS

565

134

2323

zyx

zyx

zyx

132117

119

2323

zy

zy

zyx

Resolvemos el sistema escalonado que resulta sustituyendo de abajo hacia arriba.

174174

119

2323

z

zy

zyx

1

119

2323

z

zy

zyx

1

111·9

2323

z

y

zyx

1

2

21·32·23

z

y

x

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MÉTODO DE GAUSS

565

134

2323

zyx

zyx

zyx

132117

119

2323

zy

zy

zyx

SOLUCIÓN: (1,2,1)

174174

119

2323

z

zy

zyx

1

119

2323

z

zy

zyx

1

111·9

2323

z

y

zyx

1

2

21·32·23

z

y

x

121

zyx

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MÉTODO DE GAUSS

Comprobamos la solución.

51·62·51

112·31·4

21·32·21·3