Post on 24-Jul-2016
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DIEGO ANTONIO
MARTINEZ CARVAJAL
Dados dos conjuntos A y B, una función (también aplicación o mapeo) entre ellos es una
asociación (f) que a cada elemento de A le asigna un único elemento de B.
Se dice entonces que A es el dominio (también conjunto de partida o conjunto inicial)
de (f) y que B es su condominio (también conjunto de llegada o conjunto final).
La definición general de función hace referencia a la dependencia entre los
elementos de dos conjuntos dados.
Un objeto o valor genérico (a) en el
dominio A se denomina la variable
independiente; y un objeto genérico (b) del
dominio B es la variable dependiente. También
se les llama valores de entrada y de salida,
respectivamente. Esta definición es precisa,
aunque en matemáticas se utiliza una definición
formal más rigurosa, que construye las
funciones como un objeto concreto.
De manera más simple: Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal
manera que a cada valor de la primera corresponde un único valor de la segunda.
Una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante, se
conoce como una función constante.
Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y) donde el
dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {3},
por tanto y = 3.
Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función
lineal, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en
y. La representación gráfica de una función lineal es una recta.
Ejemplo:
F(x) = 2x - 1
Es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, -1).
Su gráfica es una recta ascendente.
El dominio de todas estas
funciones polinómicas es el
conjunto de los números
reales (porque el
elemento x puede ser
cualquier número real).
Una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes
y a es diferente de cero, se conoce como una función cuadrática.
La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una
parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0. El vértice de
una parábola se determina por la fórmula:
Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas.
Ejemplo:
F(x) = x2 representa una parábola que
abre hacia arriba con vértice en (0,0).
Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas.
Así es que es una función racional si para todo x en el dominio, se
tiene:
Ejemplo:
f(x)=1
𝑥−1
1er conjunto
x – eje variable independiente
2° conjunto
2° conjunto
y – eje variable dependiente
y=f(x)
Conjunto de Salida
Conjunto de Llegada
Subonjunto del conjunto de Llegada
Es inyectiva si a cada valor del conjunto "X" (dominio) le corresponde un
valor distinto en el conjunto "Y "(imagen) de "f", es decir a cada elemento
del conjunto "Y" le corresponde un solo valor de "X" tal que, en el
conjunto "X" no puede haber dos o mas elementos que tengan la misma
imagen.
También podemos trazar líneas horizontales en nuestra grafica y si corta
en un solo punto quiere decir que es inyectiva pero si corta en dos o más
puntos no es inyectiva
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x) 28 9 2 1 0 -7 -26
Determinar si la siguiente función es o no inyectiva: g(x) = 1 – x3.
Asignando valores a "x" y representándolos en la tabla resulta:
Una función f (de un conjunto A otro B) es sobreyectiva si para
cada y en B, existe por lo menos un x en A que cumple f(x) = y, en
otras palabras f es sobreyectiva si y sólo si f(A) = B.
Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento
del dominio por lo menos.
"Sobreyectivo" significa que cada elemento de "B" tiene por
lo menos uno de "A" (a lo mejor más de uno).
"Biyectivo" significa inyectivo y sobreyectivo a la vez. Así que hay
una correspondencia perfecta "uno a uno" entre los elementos de
los dos conjuntos.
x f(x)
-3 -3
-2 -2
-1 -1
0 0
1 1
2 2
3 3
Una función es par si, para cada x en el dominio de f, f(–x) = f(x). Las
funciones pares tienen simetría reflectiva a través del eje de las y.
x f(x)
-3 9
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
3 9
Ejemplo de una función par:
f(x) = x2
f(–x) = (–x)2 = x2 = f(x)
Un función es impar si, para cada x en el dominio de f, f(–x) = –f(x). Las
funciones impares tienen simetría rotacional de 180º con respecto del
origen.
Ejemplo de una función impar:
f(x) = x3
f(–x) = (–x)3 = –x3 = –f(x)
x f(x)
-3 -27
-2 -8
-1 -1
0 0
1 1
2 8
3 27
Una función es creciente cuando aumenta valores en el dominio y en el rango.
f(a) < f(b)
x f(x)
-3 -6
-2 -4
-1 -2
0 0
1 2
2 4
3 6
Ejemplo:
f(x)=2x
Una función es decreciente cuando al aumenta los valores del dominio
disminuyen los valores en el rango.
f(a) > f(b)
x f(x)
-3 4
-2 3
-1 2
0 1
1 0
2 -1
3 -2
Ejemplo:
f(x)=1-x
Uno de los conceptos más importantes en Matemáticas es el de función, ya
que se puede aplicar en numerosas situaciones de la vida cotidiana, y
determinar las relaciones que existen entre magnitudes tanto en Matemáticas,
Físicas, Economía, etc., y poder calcular el valor de una de ellas en función de
otras de las que depende.
Graficas en el software de Microsoft Excel es muy sencillo, vamos a graficar.
Escribimos la función y
damos los valores a (x) Empezamos a solucionar la función
con cada calor que le vamos a dar a
las (x), así sucesivamente
Ya habido dado todos los
valores a las (x), procedemos
a seleccionar las dos
columnas (A y B), hasta la fila
que tengamos términos en
este saco hasta la (10).
Hecho el paso anterior vamos a
(Insertar- Dispersión- Dispersión
con líneas suavizadas y
marcadas), nos aparecerá la
grafica.
Damos clic derecho en la grafica y
seleccionamos (mover grafico,
nueva hoja, aceptar), inserta cuadro
de texto y empiezas a hacer la
clasificación de la función.
Clasificamos la función.
Una sucesión matemática es un conjunto ordenado de
objetos matemáticos, generalmente números. Cada uno de
ellos es denominado término (también elemento o miembro) de
la sucesión y al número de elementos ordenados
(posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la
sucesión. No debe confundirse con una serie matemática, que
es la suma de los términos de una sucesión.
Se denomina sucesión a una función estrictamente ordenada
cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.
Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite
finito.
Límite = 0
Límite = 1
Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite finito.
Límite = ∞
Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite finito.
Límite = ∞
Las sucesiones oscilantes no son convergentes ni divergentes. Sus
términos alternan de mayor a menor o viceversa.
Ejemplo:
1, 0, 3, 0 ,5, 0, 7, ...
Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término
es mayor que el anterior.
Ejemplo:
2, 5, 8, 11, 14, 17,...
5 > 2; 8 > 5; 11 > 8; ...
Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o
igual que el anterior.
Ejemplo:
2, 2 , 4, 4, 8, 8,...
2 ≥ 2; 4 ≥ 2; 4 ≥ 4; ...
Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término
de la sucesión es menor que el anterior.
Ejemplo:
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,...
1/2 < 1; 1/3 < 1/2 ; 1/4 < 1/3; ...
Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada
término de la sucesión es menor o igual que el anterior.
Ejemplo:
2,2,-4,-4,6,6,…
2≤ 2;−4 ≤ 2; -4≤ −4; 6 ≤ −4,…
Se dice que una sucesión es constante si todos su términos son
iguales, an= k.
Ejemplo:
5, 5, 5, 5, ...
Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o
iguales que un cierto número K, que llamaremos cota inferior de la sucesión.
an ≥ k
A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo .
Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.
Toda sucesión acotada inferiormente es creciente.
Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores
o iguales que un cierto número K', que llamaremos cota superior de la
sucesión.
an ≤ k'
A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.
Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.
Toda sucesión acotada superiormente es monótona decreciente.
Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente.
Es decir si hay un número k menor o igual que todos los términos de la
sucesión y otro K' mayor o igual que todos los términos de la sucesión.
Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k
y K'.
k ≤ an ≤ K'
Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite finito.
Límite = 0
Límite = 1
Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite
finito.
Límite = 0
Límite = 1
Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite finito.
Límite = ∞
Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite finito.
Límite = ∞
Las sucesiones oscilantes no son convergentes ni divergentes. Sus
términos alternan de mayor a menor o viceversa.
Ejemplo:
1, 0, 3, 0 ,5, 0, 7, ...
Las aplicaciones de las sucesiones son incontables. Se utilizan
abundantemente para demostrar los teoremas y las propiedades de la
topología matemática, y en la muy conocida demostración del número
pi, pero dado que esta parte del cálculo es la más inocua, son mucho
más destacadas sus aplicaciones en materia de cálculo numérico.
Para graficar sucesiones en el Software de Microsoft Excel se hacen
los mismos pasos enseñados en las funciones, los diferente es que no
Se pueden valores negativos a (n), los términos de (n) son los números
naturales.
Ejemplo:
an={2n} an={2,4,6,8,10,12,…}
a1={2(1)}=2 a2={2(2)}=4 a3={2(3)}=6 a4={2(4)}=8
a5={2(5)}=10 a6={2(6)}=12
Nunca (n), es negativo.
No puedo imaginar a las matemáticas como algo difícil y
aburrido.
DIEGO ANTONIO
MARTINEZ CARVAJAL
I.P.S.