Post on 08-Jul-2015
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Funciones elementalesFunciones elementales
FUNCIÓN LINEAL
Ecuación de la Recta.
) Horizontal Recta ( )(constante ky
) Vertical Recta ( )(constante kx
a)Segmentari o Canónica Ecuación ( b
y
a
x
) Pendiente Punto ( 0x-(x m 0y-y
)(implícita o Recta) la de general Ecuación ( 0cbyax
)(explícita o ) ónintersecci - Pendiente ( bmxy
=∗
=∗
=+∗
=∗
=++∗
+=∗
1
))(
PENDIENTE DE UNA RECTA
21
21
12
12
x x
y y
x x
y y tg m
−−=
−−== θ
x
y
●
●
B
.A
1x 2x
2y
1y
•
•12 x x −
12 y y −
θ d
(b)
(a) -mpendiente
0cbyax :recta En
==
=++
Distancia entre dos puntos de una Recta (d).
Distancia de un Punto a una Recta.
22 )() 1212 y y x (xd −+−=
22
11
b a
c y b x a d
+
++=
)11 y , (x P ● L
d
Ecuación general de la recta L : a x+ b y+c = 0
Ángulo entre dos Rectas ( ) .θ θ
1θ 2θ
1L 2L
12 θθθ −=
11 tg m θ=
2θ tg m 2 =
21
12
21
12
m m1
m m
tg tg 1
tg tgtg
+−=
+−=
θθθθθ
x +
)( m m1
m m tg
12
121-
+−=θ
Si las rectas son paralelas:
1 θ2 θ
x +
1L 2L
21
12
21o
1
m m
m m 1
m m 0 tg tg
=∴
=+
−==
=
0
2
θ
θθ
Si las rectas son perpendiculares:
x +
1L 2L
2 θ 1 θ
o90=θ o901 =−= θθθ 2
10 −=∴=+
=+
−=
1m 2m 1m 2m1
:entonces ; existe no
1m 2m1
1m 2m 90 tg
o
Proporcionalidad entre segmentos en una Recta.
•
A
B
P
•
•
),( 11 y x
),( 22 y x
),( y x
P ε al segmento AB y además AP=r PB.
C D
0 r ;r PB
AP >=
Además utilizando la semejanza de triángulos rectángulos entre
ACP y PEB :
E
r x x
x-x
PB
AP
x x
PB
x-x
AP
2
1
21
=−
=
−=
θ
θ
Despejando x :
1r
x xr x 12
++=
De la misma manera con y :
1r
y yr y 12
++=
Si r = 1 , encontramos que las coordenadas de P , corresponden a :
2
x x x 12 +=
2
y y y 12 +=
Por lo tanto: P es punto medio.
;
PROBLEMAS1.Determine el valor de la pendiente de la recta que
contiene a los puntos dados.
i) (2 , 3 ) y ( 4 , 8 ) ii) ( 2 , -4 ) y ( 0 , -8 ).
Resolución.
2 2 -4
) 2 ( -) 0 (4)- ( -) -8
m
,-8) 0 2
y2
(x ; ) ,-4 2 1
y1
(x ii)
2.5 2
5
2-4
3-8m
) 8 , 4 2
y 2
(x ; ) 3 , 2 1
y 1
(x 1
x 2
x1
y 2
ym Pendiente i)
=−==
==
===
==
−
−=
(
(),(),
(),(),
:
2. Halle la ecuación para cada recta . Escribe después
su respuesta en la forma A x+B y+C=0.
i) Pasa por (2,3) con pendiente 4.
ii) Con ordenada al origen 5 y pendiente 0.
iii) Pasa por (2,-3) y (2,5).
Resolución.
(Canónica) 5-y
4
5x
implícita) (Forma 05-y-4x
explícita) (Forma 5-4xy
2)-(x 43-y
x -x ( m y-y
entonces , 4m 3 2, y (x : Pendiente-Punto i)
00
00
1
)
)(),
=+
====
== y
ii) Se conoce la pendiente: m = 0 y b =5 , y la forma de
la recta , entonces : , que es la
ecuación de una recta horizontal.
Se pide expresarla en la forma: .
También se puede usar la forma punto pendiente:
Considerando:
)00 x-(x m y-y =
bx my += 50x y +=
051y0x =+−
5y
implícita) forma ( 051y0x
explícita) forma ( 5x 0y
0)-(x 05)-y (
: entonces , 0m y 5) , 0 y x ( 0 0
==+−
+==
== (),
x +
y + iii)
• ••
••
•
•
••
• ) 5 , 2 ( •
• ) 3- , 2 (
5
3-
0 2
•
•
1
90º
1-
2-
1
2
3
4
2x : es , L recta la de ecuación La
existe notg90ºPendiente
=∴==
L
.
Y = f (x) = a x2 + b x + c ; a , b y c ε Reales y a≠0.
Completando cuadrados : y = a ( x- h )2 + k , donde
( h , k ) corresponden a las coordenadas del vértice
de la parábola.
:
Corta al eje x en dos puntos
(dos raíces reales y diferentes)
La ecuación del eje de simetría
(recta vertical) , corresponde a :
x
y
• •
∆ Eje de Simetría
x=h
FUNCIÓN CUADRÁTICA
V : (h ,k)
•
V =Vértice
x1 x2
Las raíces son x1 y x2.
parábola
El valor mínimo de la función:
También :
Ymin= k
a > 0 = b2- 4 a c > 0
V
h =- (b)/(2a) = ( x1+x2 )/2 ; k = f (h).
ii) = b2- 4 a c=0 , la parábola corta al eje x en un
punto (dos raíces reales e iguales).
∆
• x
y
X =h
iii) =b2-4 a c < 0 , la parábola no corta al eje x.∆
x
y
Existen dos raíces complejas y conjugadas
No existen soluciones reales
ntediscrimina =∆
FUNCIÓN CONSTANTE
Sea la recta de ecuación : .Si se
considera , su gráfica es :
0B y 0CByAx ≠=++
K BC
- y :entonces , 0A ===
x
yy=k
Dominio : Reales
Rango : { k }
L
0 (B)(0)
- mPendiente ===
Recta Horizontal
k
90º
Si en la ecuación se considera :
su gráfica es:
0A y 0CByAx ≠=++
k A C
-x : entonces , 0B ===
x
y x=k : Recta Vertical.
No es una función.
L
existe No90º Tg
existe No (0)(A)
-mPendiente
=
=== Dominio : { k }
Rango : Reales
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
+x
+y
<=>+
=0 x si , (x) - 0x si , 0 0x si , (x)
x
2(x) x : También =
[ [ , 0 : Rango Reales : Dominio
∞+
x y =
Simetría con respecto al eje y (recta: x=0)
• (0 ,0)
FUNCIÓN EXPONENCIAL
+x
+y
y = ax
] [ , 0 : Rango Reales : Dominio
1 a y 0 a
∞+
≠>
y = ax
1 a 0 << 1 a >
+x
+y
••(0 ,1) (0 ,1)
Las Gráficas no cortan al eje x
Decreciente Creciente
FUNCIÓN LOGARITMO
+x +x
+y +y
• (1,0)
b > 1
(1,0)•
0< b <1
1 b y o b ; 0 x
xlogy b
≠>>=
∞+<<∞∞+<<
y - : Rango x 0 : Dominio
Creciente
Decreciente
FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
+x
+y
•
0 x ; x y ≥=
(0,0)
[ [[ [ , 0 : Rango
, 0 : Dominio ∞+∞+
Creciente
FUNCIÓN RECÍPROCA
+x
+y
{ }{ } 0 -R : Rango
0 -R :Dominio x1
y =
El nombre de la gráfica es hipérbola equilátera.
No corta al eje x e y.
Simetría con respecto al origen : Función impar
(0,0)• Decreciente.
Decreciente.
1086420-2-4-6-8-10
6
4
2
0
-2
-4
-6
1086420-2-4-6-8-10
6
4
2
0
-2
-4
-6
1086420-2-4-6-8-10
6
4
2
0
-2
-4
-6
1086420-2-4-6-8-10
6
4
2
0
-2
-4
-6
FUNCIÓN : Y=(2/X) .
D0MINIO : R - {0}.
RANGO: R - {0}.
NO CORTA AL EJE X e Y.
SIMETRÍA RESPECTO
AL ORIGEN : FUNCIÓN IMPAR.
SIEMPRE DECRECIENTE.
+X
+Y
HIPÉRBOLA EQUILÁTERA
I
III
I y III : CUADRANTES
X=0 : Asíntota Vertical.
Y=0 : Asíntota Horizontal.
FUNCIÓN IDENTIDAD
Dominio: Reales.
Rango : Reales.
Simetría con respecto al origen (Función Impar).
Bisectriz de los cuadrantes
l y lll .
Función Creciente. y=x
Siempre pasa por el punto ( 0,0)
l
lll l y lll :Cuadrantes
Ejemplo
Dominio:[-8,8]
Rango :[-8,8]
FUNCIÓN CÚBICA
Dominio : Reales.
Rango: Reales.
Función Creciente.
Simetría con respecto
al origen (función impar).
Pasa por (0,0).
y=x3
Ejemplo
Dominio:[-3,3]
Rango : [-27,27]
I
III
I y III: Cuadrantes
FUNCIONES RACIONALES
Es una función de la forma : donde P y Q
son funciones polinomiales y Q no es el polinomio cero. El dominio de una función racional está constituido por todos los números reales excepto aquellos donde el denominador Q es cero.
Ejemplos :
Q(X)P(X)
R(x) =
1 xx
h) 65x x
3x g)
3)(x1) (x 1) (x
f)
4)-(x x3)-(x 2)(x 1)-(x
e) 9) (x 1)(x
4-d)
1 xx 3x
c) 4 x
x b)
5x 4 2x
a)
4
2
22
23
22
3
24
2
2
++−++−
+−+
−−
−+−
Ejemplo. Graficar .
Operaciones: Función racional propia
1 xx
) (x f y 2 −
==
Igualando el denominador a cero:
x2 -1 = 0 , entonces:
x = 1 y x = -1.
Dominio: R - { -1 , 1 }
Rango: Reales.
Función Decreciente.
Asíntota vertical :
x =-1 y x= 1.
Asíntota horizontal: y = 0.
Simetría con respecto al origen (si se cambia x por – x : f (- x ) = - f ( x ) ).
Decreciente
Decreciente
Ejemplo
Decre
cien
te
y=0
x=-1
x=1
Decre
cien
te
Ejemplo. Graficar .
Al dividir obtenemos :
1-x2x
y =
{ }{ }
e.Decrecient Función
. 2 -R : Rango
. 1 -R : Dominio
vertical. asíntota : 1x
y horizontal asíntota : 2y
donde , 1-x
22
1-x
2xf(x) y
=
=
+===
Decreciente
Decrecientex=1
y=2
Ejemplo. Graficar: .
Operaciones: Es una función racional impropia.
1xx
f(x)y 2
+==
{ }] [
><><
>∞+<>∞<
>∞+∞<
>∞+−<>∞<
=
=
++=
+==
0 , 1- 1- , 2- de eDecrecient
, 0 2- , - de Creciente
). ,0 (0 origen el por Pasa
y. eje al respecto con ni origen al
respecto con simetría hay No
. , 0 4- , - :Rango
1- -Reales ó
. , 1 1- , - :Dominio
1. -x :vertical Asíntota
. 1-xy : oblicua Asíntota
1)(x
11)-(x
1x
2x f(x)y
y=
x-1
x=-1
Decre
cien
te
Crecie
nte
Crecie
nte