Post on 17-Feb-2016
description
FUNCIONES
Carrera : Ingeniería Civil
Curso : Cálculo 1
Ciclo : 2013 - 1
Profesor : Elmer Marquina Ventura
Integrantes :
Frank Corzo Rivera Herman Diaz Alarcon Johan Cáceres Lescano Bryan Saavedra Waldir Ñañez Huaman
DEDICATORIA
El trabajo de investigación monográfico lo dedicamos a nuestros padres; a quienes les
debemos todo lo que tenemos en esta vida. A Dios, ya que gracias a él tenemos esos
padres maravillosos, los cuales nos apoyan en nuestras derrotas y celebran nuestros triunfos.
A nuestros profesores quienes sonnuestros guías en el aprendizaje, dándonos los últimos
conocimientos para nuestro buen desenvolvimiento en la sociedad.
ÍNDICE Pág.
CARATULA DEDICATORIA……………………………………………………………………….. 01INDICE................................................................................................................... 02
CAPITULO 1
1.1.- INTRODUCCIÓN………………………………………………………………….031.2.- FORMULACIÓN DEL PROBLEMA…………………………………………… 06 1.3.- DEFINICIÓN DE OBJETIVOS……………………………………………… 061.3.1. Objetivo General……………………………………………..………………. 061.3.2.Objetivo Específico………………………………………………………….... 061.4.- JUSTIFICACIÓN……................................................................................... 071.5.- MARCO TEÓRICO………........................................................................... 07
CAPITULO 2
1.6.- ETAPAS Y/O ACTIVIDADES....................................................................... 111.7.- RESULTADOS............................................................................................. 151.8.- CONCLUSIONES........................................................................................ 16BIBLIOGRAFIA.................................................................................................... 16
CAPITULO 1
1.1 Introducción
El crecimiento poblacional o crecimiento demográfico es el cambio en la población en un cierto
plazo, y puede ser cuantificado como el cambio en el número de individuos en una población
usando "tiempo por unidad" para su medición. El término crecimiento demográfico puede
referirse técnicamente a cualquier especie, pero refiere casi siempre a seres humanos,
específicamente al crecimiento de la población del mundo.
Este es un concepto simple de lo que es crecimiento demográfico, el cual es el tema que vamos
hacer uso en este trabajo. Trataremos de determinar el crecimiento exponencial de nuestra
población dentro de un determinado tiempo y nos basaremos en datos reales. Datos obtenidos
del instituto nacional de estadística e informática(INEI), quien es el órgano rector del sistema
estadístico Nacional del Perú, el cual norma, planea, dirige, coordina, evalúa y supervisa las
distintas actividades estadísticas oficiales del país.
Como fuente principal y de carácter oficial queremos garantizar que los datos expuestos en este
trabajo son reales, ya que son extraídos de una fuente seria y de excelente reputación. Pero
queremos advertir que en la resolución de los distintos problemas se observarán cuadros
estadísticos extraídos de la misma fuente, pero con distintos datos. Esto se debe a que la toma de
ellos se realizó en diferentes años y tiempos, sin embargo podemos observar una mínima y la vez
despreciable diferencia entre estos mismos, por lo que no tendremos ningún problema al
momento de comparar los datos.
Nos basaremos en este cuadro estadístico proporcionado por el INEI. En este podemos observar la
población total del Perú desde 1950 hasta la proyección dada hasta el 2050.
CUADRO Nº 13PERÚ: ESTIMACIONES Y PROYECCIONES DE LA POBLACIÓN TOTAL, POR SEXO
Y AÑOS CALENDARIO, 1950-2050
AñosPoblación al 30 de Junio
Tasa de Crecimiento Medio de la Población Total
(Por cien)
Total Hombres Mujeres Periodo quinquenal
Periodoanual
1950 7,632,460 3,842,187 3,790,2731951 7,826,262 3,940,351 3,885,911 2.541952 8,025,721 4,041,310 3,984,411 2.59 2.551953 8,232,177 4,145,752 4,086,425 2.571954 8,446,997 4,254,373 4,192,624 2.611955 8,671,541 4,367,863 4,303,678 2.661956 8,904,891 4,485,763 4,419,128 2.691957 9,146,156 4,607,609 4,538,547 2.75 2.711958 9,396,690 4,734,097 4,662,593 2.741959 9,657,833 4,865,915 4,791,918 2.781960 9,930,965 5,003,765 4,927,200 2.831961 10,217,475 5,148,347 5,069,128 2.891962 10,516,454 5,299,199 5,217,255 2.92 2.931963 10,825,811 5,455,260 5,370,551 2.941964 11,143,427 5,615,473 5,527,954 2.931965 11,467,225 5,778,776 5,688,449 2.911966 11,796,313 5,944,738 5,851,575 2.871967 12,132,121 6,114,076 6,018,045 2.84 2.851968 12,475,921 6,287,418 6,188,503 2.831969 12,829,004 6,465,412 6,363,592 2.831970 13,192,677 6,648,691 6,543,986 2.831971 13,567,714 6,837,767 6,729,947 2.841972 13,953,235 7,032,210 6,921,025 2.82 2.841973 14,348,084 7,231,251 7,116,833 2.831974 14,751,106 7,434,140 7,316,966 2.811975 15,161,146 7,640,117 7,521,029 2.781976 15,580,807 7,850,459 7,730,348 2.771977 16,010,843 8,065,672 7,945,171 2.70 2.761978 16,447,370 8,283,842 8,163,528 2.731979 16,886,456 8,503,023 8,383,433 2.671980 17,324,179 8,721,300 8,602,879 2.591981 17,760,219 8,938,433 8,821,786 2.521982 18,197,198 9,155,724 9,041,474 2.41 2.461983 18,635,588 9,373,506 9,262,082 2.411984 19,075,874 9,592,112 9,483,762 2.361985 19,518,555 9,811,902 9,706,653 2.321986 19,965,797 10,033,720 9,932,077 2.291987 20,417,262 10,257,333 10,159,929 2.20 2.261988 20,869,717 10,481,468 10,388,249 2.221989 21,319,883 10,704,859 10,615,024 2.161990 21,764,515 10,926,218 10,838,297 2.091991 22,203,931 11,145,981 11,057,950 2.021992 22,640,305 11,365,008 11,275,297 1.91 1.971993 23,073,150 11,582,635 11,490,515 1.911994 23,501,974 11,798,220 11,703,754 1.861995 23,926,300 12,011,116 11,915,184 1.811996 24,348,132 12,222,325 12,125,807 1.761997 24,767,794 12,432,273 12,335,521 1.66 1.72
1998 25,182,269 12,639,465 12,542,804 1.671999 25,588,546 12,842,387 12,746,159 1.61
2000 25,983,588 13,039,529 12,944,059 1.542001 26,366,533 13,230,410 13,136,123 1.472002 26,739,379 13,416,024 13,323,355 1.37 1.412003 27,103,457 13,597,121 13,506,336 1.362004 27,460,073 13,774,414 13,685,659 1.322005 27,810,540 13,948,639 13,861,901 1.282006 28,151,443 14,118,112 14,033,331 1.232007 28,481,901 14,282,346 14,199,555 1.16 1.172008 28,807,034 14,443,858 14,363,176 1.142009 29,132,013 14,605,206 14,526,807 1.132010 29,461,933 14,768,901 14,693,032 1.132011 29,797,694 14,935,396 14,862,298 1.142012 30,135,875 15,103,003 15,032,872 1.12 1.132013 30,475,144 15,271,062 15,204,082 1.132014 30,814,175 15,438,887 15,375,288 1.112015 31,151,643 15,605,814 15,545,829 1.102016 31,488,625 15,772,385 15,716,240 1.082017 31,826,018 15,939,059 15,886,959 1.05 1.072018 32,162,184 16,105,008 16,057,176 1.062019 32,495,510 16,269,416 16,226,094 1.042020 32,824,358 16,431,465 16,392,893 1.012021 33,149,016 16,591,315 16,557,701 0.992022 33,470,569 16,749,517 16,721,052 0.95 0.972023 33,788,589 16,905,832 16,882,757 0.952024 34,102,668 17,060,003 17,042,665 0.932025 34,412,393 17,211,808 17,200,585 0.912026 34,718,378 17,361,555 17,356,823 0.892027 35,020,909 17,509,419 17,511,490 0.85 0.872028 35,319,039 17,654,900 17,664,139 0.852029 35,611,848 17,797,523 17,814,325 0.832030 35,898,422 17,936,806 17,961,616 0.802031 36,179,425 18,073,072 18,106,353 0.782032 36,455,488 18,206,650 18,248,838 0.74 0.762033 36,725,576 18,337,037 18,388,539 0.742034 36,988,666 18,463,754 18,524,912 0.722035 37,243,725 18,586,288 18,657,437 0.692036 37,491,075 18,704,797 18,786,278 0.662037 37,731,399 18,819,602 18,911,797 0.62 0.642038 37,964,224 18,930,491 19,033,733 0.622039 38,189,086 19,037,259 19,151,827 0.592040 38,405,474 19,139,674 19,265,800 0.572041 38,613,529 19,237,788 19,375,741 0.542042 38,813,569 19,331,749 19,481,820 0.49 0.522043 39,005,416 19,421,483 19,583,933 0.492044 39,188,891 19,506,927 19,681,964 0.472045 39,363,812 19,588,014 19,775,798 0.452046 39,530,305 19,664,786 19,865,519 0.422047 39,688,488 19,737,293 19,951,195 0.38 0.402048 39,838,182 19,805,466 20,032,716 0.382049 39,979,209 19,869,231 20,109,978 0.352050 40,111,393 19,928,528 20,182,865 0.33
1.2. Formulación del Problema
Cada año la población en cada país aumenta, pero la cual nosotros no sabemos en cuanto puede
aumentar. Nuestra problemática es:
¿Cómo podemos determinar el crecimiento de la población desde el presente hasta un
determinado período de años o tiempo?
1.3. Definición de Objetivos
Objetivo General
Determinar el crecimiento exponencial de la población peruana en un determinado
período de tiempo, haciendo uso de la función exponencial. Finalmente comparar estos
resultados con los datos reales de las proyecciones realizadas por el INEI, para de esta
forma validarlos y garantizar el correcto análisis, elaboración y resolución del problema.
Objetivos Específicos
Entender el concepto de función a través de representaciones mediante tablas, gráficas y
fórmulas.
Determinar el dominio y rango de una función.
Mediante ejemplos, construir la función lineal y la exponencial, y estudiar sus principales
propiedades.
1.4. JustificaciónLa realización de este trabajo se hizo debido a que hay personas que no tienen conocimiento de
cuanto aumenta o crece la población de año en año y al término de este trabajo la podrán
entender o tener conocimiento alguno.
1.5. Marco TeóricoA Continuación daremos una breve introducción y explicación de los temas y puntos que
aplicaremos y se observarán en la resolución de nuestro problema. Como tema principal
hablaremos de la función exponencial, la cual hemos elegido, para poder aplicarla en el
crecimiento poblacional de nuestro país. Seguidamente daremos un concepto de lo que es
crecimiento poblacional o demográfico, detallando también algunos subtemas de interés que nos
ayudarán a lograr nuestro objetivo.
Función Exponencial
La función exponencial es de la forma y=ax, siendo a un número real positivo.En la figura se ve el trazado de la gráfica de y=2x.
Gráfica de la función exponencial
• El dominio son todos los reales y el recorrido son los reales positivos.• Es continua.• Si a>1 la función es creciente y si 0<a<1 es decreciente.• Corta al eje OY en (0,1).• El eje OX es asíntota.• La función es inyectiva, esto es si am=an entonces m=n.
X -3 -2 -1 0 1 2 3 -0.5
Y 0,125 0,25 0,5 1 2 4 8 -2
En los gráficos inferiores se puede ver cómo cambia la gráfica al variar a. Observa que las gráficas
de y=ax y de y=(1/a)x= a−x son simétricas respecto del eje OY.
En las gráficas inferiores se puede ver como al multiplicar por una constante y=k.ax El punto de
corte con el eje OY es (0,k). Al sumar (o restar) una constante b la gráfica se desplaza hacia arriba
(o hacia abajo) b unidades y la asíntota horizontal pasa a ser y=b.
Crecimiento Exponencial
La función exponencial se presenta en multitud de fenómenos de crecimiento animal, vegetal,
económico, etc. En todos ellos la variable es el tiempo.
En el crecimiento exponencial, cada valor de y se obtiene multiplicando el valor anterior por una
cantidad constante a.
Donde k es el valor inicial (para t=0), t es el tiempo transcurrido y a es el factor por el que se
multiplica en cada unidad de tiempo.
Si 0<a<1 se trata de un decrecimiento exponencial.
En un laboratorio tienen un cultivo bacteriano, si su peso se multiplica por 2 cada día, ¿cuál es su crecimiento si el peso inicial es 3 gr?
Peso inicial: 3 grCrecimiento: por 2x f(x)
X F(x)
0 3.1=3
1 3.2=6
2 3.4=12
3 3.8=24
4 3.16=32
Ejemplo1
Aplicaciones del Crecimiento Exponencial
La función exponencial sirve para describir cualquier proceso que evolucione de modo que el
aumento (o disminución) en un pequeño intervalo de tiempo sea proporcional a lo que había al
comienzo del mismo.
CRECIMIENTO DE POBLACIONES
El crecimiento vegetativo de una población viene dado por la diferencia entre nacimientos y
defunciones.
Si inicialmente partimos de una población P0, que tiene un índice de crecimiento i (considerado
en tanto por 1), al cabo de t años se habrá convertido en:
Tasa de Crecimiento Demográfico
En demografía, geografía de la población y ecología, la tasa de crecimiento poblacional o tasa de
crecimiento demográfica, es aquella tasa que indica el crecimiento o decrecimiento de la
población. Específicamente, la tasa de crecimiento demográfico se refiere ordinariamente al
cambio en la población durante un período expresado a menudo como un porcentaje del número
de individuos existentes en un país o lugar a fines de un año sobre la población inicial en el mismo
año. También puede referirse a la diferencia entre la tasa de natalidad de un país menos la tasa de
mortalidad, datos obtenidos anualmente en cada país a través de la información obtenida del
número anual de nacimientos y de defunciones obtenida del Registro civil de cada país. Puede
expresarse bajo la fórmula:
P=P0 .(1+i)t
La manera más común de expresar el crecimiento demográfico es mostrarlo como una razón
aritmética, y no como porcentaje. El cambio en la población durante un período de unidad se
expresa como porcentaje de la población al principio del período. Eso es:
CAPITULO 2
1.6. Etapas y/o Actividades En esta parte del trabajo comenzaremos con la resolución de nuestro problema, que como
mencionamos desde el inicio es determinar el crecimiento de la población desde la actualidad en
un período determinado de tiempo haciendo uso de los temas, puntos y fórmulas vistos en el
marco teórico.
1. Primer Paso Basándonos en el cuadro estadístico, el cual fue extraído del sitio web del Instituto Nacional de
Estadística e Informática (INEI) trataremos de determinar la tasa de crecimiento demográfico de la
población peruana desde el período de 1950 hasta el 2050. En esta primera parte podríamos usar
la fórmula general de la tasa de crecimiento demográfico vista en la anterior página.
Ejemplo:
Tenemos los siguientes datos:Población inicial: 600Población luego de 8 años: 760
Entonces: i= 760−600600 x 8
Tenemos los siguientes datos:Población inicial: 600Población luego de 8 años: 760
Entonces: i= 760−600600 x 8
O también podríamos despejar la tasa de crecimiento reemplazando los datos obtenidos en la
función de crecimiento de poblaciones, también vista anteriormente.
Ejemplo:
Al determinar la tasa de crecimiento demográfico en todos los períodos establecidos en el cuadro
estadístico, compararemos los resultados con los datos que ya están plasmados de la fuente del
INEI. Para de este modo ver la similitud de datos y resultados y de esta manera validar nuestro
procedimiento.
Tomando los datos anteriores tenemos:
760=600.(1+ i)8
i= 8√ 760600−1i=0.03
Años Población Total
TasaCrecimiento
(anual)
1965 11 467 225 2.91
1970 13 192 677 2.83
1975 15 161 146 2.78
2010 29 461 933 1.13
2015 31,151,643 1.10
2020 32,824,358 1.01
2025 34,412,393 0.91
2030 35,898,422 0.80
Resolución
A continuación operaremos para de estar forma ver si acertamos o por lo menos aproximamos a
los verdaderos datos de tasa de crecimiento.
1965:
i=5√ 114672259930965−¿1
i=0.02918*100
Tasa de crecimiento: 2.92%
1975:
i= 5√ 1516114613192677−¿1
i=0.02843*100
Tasa de crecimiento: 2.84%
1970:
i=5√ 1319267711467225−1
i=0.02843*100
Tasa de crecimiento: 2.84%
2015:
i=5√ 3115164329461933−¿1
i=0 .01121*100
Tasa de crecimiento: 1.12%
1.7. Resultados
Estos son los datos que obtuvimos al operar para
determinar la similitud de la tasa de crecimiento real,
con las que estamos comprobando.
2010:
i= 5√ 2946193327,810,540−¿1
i=0.0116*100
Tasa de crecimiento: 1.16%
2025:
i= 5√ 3441239332,824 ,358
−¿1
i=0 .009497*100
Tasa de crecimiento: 0.94%
2020:
i=5√ 3282435831151643−¿1
i=0 .01051*100
Tasa de crecimiento: 1.05%Años Población
TotalTasa
Crecimiento (anual)
1965 11 467 225 2.92
1970 13 192 677 2.84
1975 15 161 146 2.82
2010 29 461 933 1.16
2015 31,151,643 1.12
2020 32,824,358 1.05
2025 34,412,393 0.94
2030 35,898,422 0.84
Terminada las operaciones comprobaremos los resultados de nuestras proyecciones
experimentales con las proyecciones reales proporcionadas por INEI y de esta forma estaremos
comprobando la similitud y/o aproximación de resultados.
Final y satisfactoriamente daremos por solucionado nuestro problema y cumplido nuestro
objetivo. Determinar el crecimiento de la población a futuro, comprobando las proyecciones
experimentales con las reales.
1.8. ConclusionesSe ha determinado el crecimiento de la población peruana usando la función exponencial, y al
comparar los resultados con los datos realizados por la INE nos aproximamos a los verdaderos
datos de tasa de crecimiento.
Final y satisfactoriamente daremos por solucionado nuestro problema y cumplido nuestro objetivo
y con esto algunas personas podrán saber cómo es la manera de hallar el aumento poblacional.
Bibliografía
1. http://www.inei.gob.pe/biblioineipub/bancopub/Est/Lib0845/index.htm
2. http://www.inei.gob.pe/biblioineipub/bancopub/Est/Lib0337/cap03.htm
3. http://es.wikipedia.org/wiki/Crecimiento_poblacional
4. http://www.inei.gob.pe/biblioineipub/bancopub/Est/Lib0466/Libro.pdf