Función cuadrática y Ecuación de segundo grado

APRENDIZAJES ESPERADOS

• Conocer y aplicar los conceptos matemáticos asociados al estudio de la función cuadrática.

• Graficar una función cuadrática, determinando vértice, eje de simetría y concavidad.

• Indicar las características gráficas de una parábola a través del análisis del discriminante.

• Determinar las intersecciones de la parábola con los ejes cartesianos.

• Determinar las raíces de una ecuación de 2º grado.

1. Función Cuadrática

Es de la forma:

f(x) = ax2 + bx + c

Ejemplos:

y su gráfica es una parábola.

a) Si f(x) = 2x2 + 3x + 1

b) Si f(x) = 4x2 - 5x - 2

a = 2, b = 3 y c = 1

a = 4, b = -5 y c = -2

con a =0; a,b,c IR

a) Si f(x) = 6x2 - 2 a = , b = y c =

Actividad: determinar el valor de los coeficientes a,b y c

b) Si f(x) = x2 a = , b = y c =

c) Si f(x) = x2 - 10x -24 a = , b = y c =

Desafío

personal

Concavidad

En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c ,

el coeficiente a indica si la parábola es cóncava

hacia arriba o hacia abajo.

Si a > 0,es cóncava hacia arriba

Si a < 0,es cóncava hacia abajo

Determinar la Concavidad de las siguientes funciones

Ejercicios:

a) Si f(x) = 2x2 + 3x + 1 Cóncava hacia __________

b) Si f(x) = 3x - x2 + 3 Cóncava hacia __________

c) Si f(x) = -x2 + x + 1

d) Si f(x) = 1-4x2

e) Si f(x) = x2 + 8x

Cóncava hacia __________

Cóncava hacia __________

Cóncava hacia __________

Desafío

personal

El discriminante se define como:

Δ = b2 -4ac

a) Si el discriminante es positivo, entonces la ecuación

cuadrática tiene dos soluciones reales y distintas.

La parábola intersecta

en dos puntos al eje X.

Δ > 0

Discriminante

b) Si el discriminante es negativo, entonces la

ecuación cuadrática no tiene solución real.

La parábola NO intersecta

al eje X.

Δ < 0

c) Si el discriminante es igual a cero, entonces la

ecuación cuadrática tiene dos raíces reales e iguales.

La parábola intersecta en

un solo punto al eje X.

Δ = 0

Calcular el discriminante en cada una de las siguientes ecuaciones y determina los puntos de intersección en el eje x

Ejercicios:

a) 2x2 + 3x + 1

b) 3x - x2 + 3

c) -x2 + x + 1

d) 1-4x2

e) x2 + 8x

Δ = 9-8

a = 2, b = 3 y c = 1Δ = b2 -4ac

Δ = 1

La parábola

intersecta en

dos puntos al eje

X

Desafío

personal

Intersección con eje Y

En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c ,

el coeficiente c indica el punto donde la parábola

intersecta al eje Y.

x

y

x

y

c

(0,C)

Luego, la parábola intersecta al eje Y en el punto (0,-4)

y es cóncava hacia arriba

x

y

Ejemplo:

En la función f(x) = x2 - 3x - 4 , a = 1 y c =-4.

(0,-4)

Determinar el punto de intersección con el eje Y

Ejercicios:

a) Si f(x) = 2x2 + 3x + 1 intersección con el eje Y (0,1)

b) Si f(x) = 3x - x2 + 3 intersección con el eje Y __________

c) Si f(x) = -x2 + x + 1

d) Si f(x) = 1-4x2

e) Si f(x) = x2 + 8x

intersección con el eje Y __________

intersección con el eje Y __________

intersección con el eje Y __________

Desafío

personal

Eje de simetría y vértice

El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice

de la parábola, y es paralela al eje Y.

x

y Eje de simetría

Vértice

Si f(x) = ax2 + bx + c , entonces:

b) Su vértice es:

a) Su eje de simetría es:

4a

-b , 4ac – b2

2aV =

-b

2ax =

Δ

4a

-b , –

2aV =

ó

Ejemplo:

2·1

-2x =

En la función f(x) = x2 + 2x - 8, a = 1, b = 2 y c = -8, entonces:

a) Su eje de simetría es:

x = -1

b) Su vértice es:

V = ( -1, -9 )

2a

-bx =

4a

-b , 4ac – b2

2aV =

f(x)

V = ( -1, -9 )

x = -1eje de simetría:

Vértice:

Determinar eje de simetría y vértice en cada función

Ejercicios:

a) Si f(x) = 2x2 + 3x + 1 intersección con el eje Y (0,1)

b) Si f(x) = 3x - x2 + 3 intersección con el eje Y __________

c) Si f(x) = -x2 + x + 1

d) Si f(x) = 1-4x2

e) Si f(x) = x2 + 8x

intersección con el eje Y __________

intersección con el eje Y __________

intersección con el eje Y __________

Desafío

personal

Si la parábola es abierta hacia arriba, el vértice es un mínimo y si la parábola es abierta hacia abajo, el vértice es un máximo.

x2x1

Ecuación de segundo gradoUna ecuación cuadrática o de segundo grado es

de la forma:

ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0

Toda ecuación de segundo grado tiene 2 soluciones o

raíces, que corresponden a los puntos de intersección

de la parábola f(x) = ax2 + bx + c con el eje X.

x2x

y

x1

Ejemplo:

En la función f(x) = x2 - 3x - 4 , la ecuación asociada:

x2 - 3x - 4 = 0 , tiene raíces -1 y 4.

Luego, la parábola intersecta al eje X en esos puntos.

Raíces de una ecuación de 2° grado

Fórmula para determinar las soluciones (raíces)

de una ecuación de segundo grado:

-b ± b2 – 4ac

2a

x =

Ejemplo:

Determinar las raíces de la ecuación: x2 - 3x - 4 = 0

-(-3) ± (-3)2 – 4·1(- 4)

2

x =

3 ± 9 + 16

2

x =

3 ± 25

2

x =

2

x = 3 ± 5

2x = 8

2x = -2

x1 = 4 x2 = -1

También se puede obtener las raíces de la ecuación factorizando como producto de binomio:

x2 - 3x - 4 = 0

(x - 4)(x + 1) = 0

(x - 4)= 0 ó (x + 1)= 0

x1 = 4 x2 = -1

Determinar las soluciones de las ecuaciones asociadas a cada función

Ejercicios:

a) Si f(x) = 2x2 + 3x + 1

b) Si f(x) = 3x - x2 + 3

c) Si f(x) = -x2 + x + 1

d) Si f(x) = 1-4x2

e) Si f(x) = x2 + 8x

Desafío

personal

Oferta y Demanda

Oferta: cantidad de bienes, productos o servicios que se ofrecen en un

mercado bajo unas determinadas condiciones.

Demanda: cantidad de bienes o servicios que se solicitan o se desean en

un determinado mercado de una economía a un precio específico.

La función cuadrática nos sirve para modelar situaciones reales, y entre

ellas se encuentran las de Oferta y Demanda .

Oferta y Demanda

Lea la siguiente situación y responda las preguntas:

La función p(q) = 1000 - 2q , donde p representa el precio por unidad

cuando los consumidores demandan y q las unidades por semana.

La función p(q) ¿Qué tipo de función es?

¿Cuál es el precio por unidad si la demanda semanal es de

200 unidades?

Si la demanda aumenta ¿qué sucede con la variable

precio?

Respuesta: Representa una función afín.

Respuesta: 600

Respuesta: Si la demanda aumenta a 400 unidades el precio por unidad

es de 200, luego si la demanda aumenta, el precio baja.

Oferta y Demanda

La función I(q) = p ∙ q representa el ingreso que una empresa percibe por la

cantidad q de productos pedidos o demandados.

Luego la función de ingreso según la cantidad de artículos demandados

queda dada por

I(q) = p ∙ q, pero, sabemos que p = 1000 - 2q luego

I(q) = (1000 - 2q) ∙ q

I(q) = 1000q – 2q2

¿Qué tipo de función es I(q) ?

Oferta y Demanda

En la siguiente cuadrícula grafique la función I(q): Recordar el

vértice, eje

de simetría

,interseccion

es eje x e y

Desafío

personal