Post on 11-Jun-2015
Instituto Superior Tecnico
Departamento de Matematica
Seccao de Algebra e Analise
Prof. Gabriel Pires
Teorema de Fubini. Calculo de Integrais
Recordemos que o teorema de Fubini estabelece uma forma expedita de calculo dointegral de uma funcao limitada num intervalo limitado em R
n (cf. [1, 2]), atraves doschamados integrais iterados.
Para maior clareza de exposicao e pela importancia pratica iremos tratar separadamenteos casos de R
2 e de R3. Consideraremos apenas conjuntos limitados por graficos de funcoes
contınuas.
1 Areas em R2
Consideremos o conjunto D1 definido por
D1 = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b ; c(x) ≤ y ≤ d(x)} (1)
em que c, d : [a, b] → R sao duas funcoes contınuas e a < b.
Seja I um intervalo limitado que contem o conjunto D1 e seja χ : I → R a funcaodefinida por
χ(x, y) =
{
1, se (x, y) ∈ D1
0, se (x, y) ∈ I \ D1.
Por definicao, a area de D1 sera dada pelo integral da funcao χ, ou seja,
vol2(D1) =
∫
I
χ.
O calculo deste integral sera feito recorrendo ao teorema de Fubini, ou seja, recorrendoao calculo de integrais iterados. Note-se que D1 pode ser descrito como uma coleccao desegmentos de recta perpendiculares ao eixo Ox. Para cada x ∈ [a, b], temos um segmentode recta entre os pontos (x, c(x)) e (x, d(x)), tal como se ilustra na figura 1.
Cada um destes segmentos de recta e a interseccao de D1 com a recta dada pela equacaox = c, em que c e uma constante.
Ao conjunto D1 ∩ {(x, y) : x = c} chamamos corte em D1 perpendicular ao eixo Ox.
Para cada x = c, temos χ(c, y) = 1 desde que c(x) ≤ y ≤ d(x) e χ(c, y) = 0, casocontrario.
Portanto, teremos,
vol2(D1) =
∫ b
a
(
∫ d(x)
c(x)
dy
)
dx =
∫ b
a
(d(x) − c(x))dx.
1
y = d(x)
y = c(x)
x
y
a b
Figura 1: Teorema de Fubini. Cortes perpendiculares a Ox
Do mesmo modo, a area de um conjunto definido por
D2 = {(x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d ; a(y) ≤ x ≤ b(y)}, (2)
em que c e d sao numeros reais e a, b : R → R sao funcoes contınuas, sera calculada doseguinte modo
vol2(D2) =
∫ d
c
(
∫ b(y)
a(y)
dx
)
dy =
∫ d
c
(b(y) − a(y))dy. (3)
x = b(y)x = a(y)
x
y
c
d
Figura 2: Teorema de Fubini. Cortes perpendiculares a Oy
Neste caso, o conjunto D2 e uma coleccao de segmentos de recta entre os pontos (a(y), y)e (b(y), y), tal como se ilustra na figura 2.
Em geral, o integral de uma funcao limitada f em D ⊂ R2, pode ser calculado descre-
vendo D como uma coleccao de cortes perpendiculares a um dos eixos coordenados.
2
x
y
y = 1 − x2
1
1 x
y
x =√
1 − y
1
1
Figura 3: Cortes no conjunto definido por: x > 0 ; 0 < y < 1 − x2.
1.1 Exemplos
1.1.1 Conjunto limitado por uma parabola
Consideremos o conjunto
D = {(x, y) ∈ R2 : 0 < y < 1 − x2 ; x > 0}.
E claro que sendo, 0 < 1 − x2 e x > 0, entao 0 < x < 1.Assim, D pode ser descrito na forma
D = {(x, y) ∈ R2 : 0 < x < 1 ; 0 < y < 1 − x2},
ou seja, como uma coleccao de cortes perpendiculares ao eixo Ox (cortes verticais), talcomo se representa na figura 3.
Portanto, a respectiva area sera dada pelo integral iterado seguinte
vol2(D) =
∫ 1
0
(
∫ 1−x2
0
dy
)
dx =
∫ 1
0
(1 − x2)dx =2
3.
Dado que 0 < y < 1 − x2, entao, 0 < y < 1 e 0 < x <√
1 − y e, portanto, D pode serdescrito na forma
D = {(x, y) ∈ R2 : 0 < y < 1 ; 0 < x <
√
1 − y},
ou seja, como uma coleccao de cortes perpendiculares ao eixo Oy (cortes horizontais), e arespectiva area sera calculada pelo integral iterado seguinte
vol2(D) =
∫ 1
0
(
∫
√
1−y
0
dx
)
dy =
∫ 1
0
√
1 − y dy =2
3.
3
x
y
12
y = x2 y = 1 − x2
1√
22
x
y
12
x =√
y x =√
1 − y
1
Figura 4: Cortes no conjunto definido por: x > 0 ; 0 < y < x2 ; y < 1 − x2.
1.1.2 Conjunto limitado por duas parabolas
Consideremos o conjunto
D = {(x, y) ∈ R2 : x > 0 ; 0 < y < x2 ; y < 1 − x2}.
Dado que y < 1 − x2, entao x <√
1 − y e, sendo y > 0, teremos 0 < x < 1.Por outro lado, sendo simultaneamente y < x2 e y < 1 − x2, entao y < x2 desde que
x2 < 1 − x2, ou seja, desde que x <
√2
2.
Do mesmo modo, teremos y < 1 − x2 desde que x >
√2
2.
Portanto, para 0 < x <
√2
2teremos 0 < y < x2 e para
√2
2< x < 1 teremos y < 1−x2.
Assim, o conjunto D e a uniao de dois conjuntos disjuntos D = A ∪ B, da forma (1),em que
A = {(x, y) ∈ R2 : 0 < x <
√2
2; 0 < y < x2}
e
B = {(x, y) ∈ R2 :
√2
2< x < 1 ; 0 < y < 1 − x2},
tal como se representa na figura 4.A area do conjunto D sera entao dada por
vol2(D) = vol2(A) + vol2(B) =
∫
√
2
2
0
(
∫ x2
0
dy
)
dx +
∫ 1
√
2
2
(
∫ 1−x2
0
dy
)
dx
Note-se que, tanto em A como em B teremos y <1
2. Portanto, em D teremos 0 < y <
1
2.
Das inequacoes y < x2 ; y < 1 − x2, obtemos√
y < x <√
1 − y.
4
Podemos entao descrever D na forma (2), ou seja
D = {(x, y) ∈ R2 : 0 < y <
1
2;√
y < x <√
1 − y},
e a respectiva area sera dada por
vol2(D) =
∫ 1
2
0
(
∫
√
1−y
√y
dx
)
dy =
∫ 1
2
0
(√
1 − y −√y)dy =
2 −√
2
3.
1.1.3 Conjunto limitado por uma parabola e uma circunferencia
Consideremos o conjunto definido por
D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1 ; y > x2}
representado na figura 5, limitado por um arco de circunferencia e um arco de parabola.E claro que, sendo x2 + y2 < 1 e y > x2, teremos x2 + x4 < 1, ou seja
x2 <
√5 − 1
2⇔ −
√√5 − 1
2< x <
√√5 − 1
2.
Note-se que a circunferencia e a parabola intersectam-se nos pontos cujas coordenadassao determinadas resolvendo o sistema
{
x2 + y2 = 1
y = x2⇔{
y2 + y − 1 = 0
y = x2,
ou seja, nos pontos (a1, c), (b1, c) em que
a1 = −√
√
5−12
b1 =√
√
5−12
c =√
5−12
.
tal como se ilustra na figura 5.Assim, o conjunto D pode ser descrito na forma
D = {(x, y) ∈ R2 : a1 < x < b1 ; x2 < y <
√1 − x2},
e a respectiva area sera dada pelo integral iterado seguinte
vol2(D) =
∫ b1
a1
(
∫
√
1−x2
x2
dy
)
dx =
∫ b1
a1
(√
1 − x2 − x2)dx.
5
x
y
a1
x2 + y2 = 1
y = x2
b1 x
y
1x2 + y2 = 1
y = x2
c
Figura 5: Cortes no conjunto definido por x2 + y2 < 1 ; y > x2
Do mesmo modo, sendo x2 + y2 < 1, teremos y2 < 1 e, dado que y > x2 ≥ 0, entao0 < y < 1.
Por outro lado, temos x2 < y e x2 < 1 − y2. Assim, ha dois casos a considerar.Teremos x2 < y desde que y < 1 − y2, ou seja, para 0 < y <
√
5−12
.
Portanto, teremos 0 < y <√
5−12
; −√y < x <
√y.
Deveremos ter x2 < 1 − y2 desde que 1 − y2 < y, ou seja, para√
5−12
< y < 1.
Assim, teremos√
5−12
< y < 1 ; −√
1 − y2 < x <√
1 − y2.
Portanto, tal como se ilustra na figura 5, o conjunto D pode ser descrito como a uniaodos dois conjuntos seguintes:
{(x, y) ∈ R2 : 0 < y <
√5 − 1
2; −√
y < x <√
y}
e
{(x, y) ∈ R2 :
√5 − 1
2< y < 1 ; −
√
1 − y2 < x <√
1 − y2}.
A area de D sera entao dada por,
vol2(S) =
∫
√
5−1
2
0
(
∫
√y
−√
y
dx
)
dy +
∫ 1
√
5−1
2
(
∫
√1−y2
−
√1−y2
dx
)
dy.
2 Volumes em R3
Tal como em R2, a nocao de corte sera crucial para o calculo de integrais em R
3.
Note-se que a equacao x = c, em que c e uma cosntante, descreve um plano perpendi-cular ao eixo Ox.
Dado D ⊂ R3, ao conjunto D∩{(x, y, z) : x = c} chamamos corte em D perpendicular
ao eixo Ox. Do mesmo modo teremos cortes perpendiculares ao eixos Oy e Oz.
6
Seja D ⊂ R3 o conjunto definido por
D = {(x, y, z) ∈ R3 : a ≤ x ≤ b ; c(x) ≤ y ≤ d(x) ; 0 ≤ z ≤ f(x, y)},
em que f : R2 → R e uma funcao contınua.
Seja I um intervalo limitado que contem o conjunto D e seja χ : I → R a funcaodefinida por
χ(x, y, z) =
{
1, se (x, y, z) ∈ D
0, se (x, y, z) ∈ I \ D.
Por definicao, o volume de D sera dada pelo integral da funcao χ, ou seja,
vol3(D) =
∫
I
χ.
x = x0
z = f(x, y)
x
y
z
I
z = f(x0, y)
y
z
Figura 6: Cortes perpendiclares ao eixo Ox
Tal como se ilustra na figura 6, o conjunto D pode ser descrito como uma coleccao decortes perpendiculares ao eixo Ox. Para cada x = x0 no intervalo [a, b] o respectivo cortesera o conjunto
{(x0, y, z) ∈ R3 : c ≤ y ≤ d ; 0 ≤ z ≤ f(x0, y)}.
Na figura 6, a = 0 , b , c = 0 e d sao constantes.Note-se que cada um destes cortes pode ser visto como um sub-conjunto de R
2. Dadoque χ(x0, y, z) = 1 desde que c ≤ y ≤ d e 0 ≤ z ≤ f(x, y), teremos
A(x) =
∫ d
c
(
∫ f(x,y)
0
dz
)
dy.
Pelo teorema de Fubini, o volume de D sera entao dado pelo integral
vol3(D) =
∫ b
a
A(x)dx =
∫ b
a
(
∫ d(x)
c(x)
(
∫ f(x,y)
0
dz
)
dy
)
dx.
7
x
y
z
1
1
1
x + y + z = 1
x
y
0 < z = c < 1
x = 1 − z − y
1 − z
1 − z
Figura 7: Cortes perpendiculares a Oz
Nos exemplos veremos como se podem descrever os conjuntos como colecccoes de cortesperpendiculares aos outros eixos.
Em geral, o integral de uma funcao limitada f em D ⊂ R3, pode ser calculado descre-
vendo D como uma coleccao de cortes perpendiculares a um dos eixos coordenados.
2.1 Exemplos
2.1.1 Uma piramide triangular
Consideremos o conjunto
X = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z < 1 ; x > 0 ; y > 0 ; z > 0}.
• Para o integral iterado da forma∫
(∫
(∫
dx)dy)dz, fixamos 0 < z = c < 1 e obtemoso corte em X perpendicular ao eixo Oz, dado por
X ∩ {z = c} = {(x, y, c) : x + y < 1 − c ; x > 0 ; y > 0}= {(x, y, c) : 0 < y < 1 − c ; 0 < x < 1 − c − y}
e que se encontra representado na figura 7.
Assim, o conjunto X passa a ser descrito como uma coleccao de cortes perpendicularesao eixo Oz, ou seja,
X = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 < z < 1 ; 0 < y < 1 − z ; 0 < x < 1 − z − y}.
8
x
y
z
1
1
1
x + y + z = 1
y
z
0 < x = a < 1
z = 1 − x − y
1 − x
1 − x
Figura 8: Cortes perpendiculares a Ox
Portanto,
vol3(X) =
∫ 1
0
(∫ 1−z
0
(∫ 1−z−y
0
dx
)
dy
)
dz
=
∫ 1
0
(∫ 1−z
0
(1 − z − y)dy
)
dz
=1
2
∫ 1
0
(1 − z)2dz =1
6.
• Para o integral iterado da forma∫
(∫
(∫
dz)dy)dx, fixamos 0 < x = a < 1 e obtemoso correspondente corte em X com o plano x = a
X ∩ {x = a} = {(a, y, z) : y + z < 1 − a ; y > 0 ; z > 0}= {(a, y, z) : 0 < z < 1 − a − y ; 0 < y < 1 − a, }
que se encontra representada na figura 8.
Deste modo o conjunto X passa a ser descrito da forma seguinte
X = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 < x < 1 ; 0 < y < 1 − x ; 0 < z < 1 − x − y},
ou seja, como uma coleccao de cortes perpendiculares ao eixo Ox.
O respectivo volume sera entao dado por
vol3(X) =
∫ 1
0
(∫ 1−x
0
(∫ 1−x−y
0
dz
)
dy
)
dx
9
x y
z
1
11
z = 1 − y2z = 1 − x2
y
z
1
y =√
1 − z
1 − x2
Figura 9: Cortes perpendiculares a Ox
2.1.2 Uma tenda
Consideremos o conjunto definido por
S = {(x, y, z) ∈ R3 : x > 0 ; y > 0 ; z > 0 ; z < 1 − x2 ; z < 1 − y2}.
• Para o integral iterado da forma∫
(∫
(∫
dy)dz)dx, note-se que sendo 0 < z < 1− x2,
e claro que deveremos fixar 0 < x = a < 1. e o corte em S perpendicular ao eixo Ox,
sera dado por{(a, y, z) : 0 < z < 1 − a2 ; 0 < y <
√1 − z}.
Assim, o conjunto S pode ser descrito como uma coleccao de cortes perpendicularesao eixo Ox, ou seja,
S = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 < x < 1 ; 0 < z < 1 − x2 ; 0 < y <
√1 − z},
tal como se representa na figura 9.
Portanto, o volume de S sera dado por
vol3(S) =
∫ 1
0
(
∫ 1−x2
0
(
∫
√
1−z
0
dy
)
dz
)
dx.
• Para o integral iterado da forma∫
(∫
(∫
dy)dx)dz, e claro que deveremos fixar 0 <
z = c < 1. e o corte em S perpendicular ao eixo Oz, sera dado por
{(x, y, c) : 0 < z < 1 ; 0 < y <√
1 − z ; 0 < y <√
1 − z}.
10
x y
z
1
11
z = 1 − y2z = 1 − x2
x
y
√1 − z
√1 − z
Figura 10: Cortes perpendiculares a Oz
Assim, o conjunto S pode ser descrito como uma coleccao de cortes perpendicularesao eixo Oz, ou seja,
S = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 < z < 1 ; 0 < x <
√1 − z ; 0 < y <
√1 − z},
tal como se representa na figura 10.
Portanto, o volume de S sera dado por
vol3(S) =
∫ 1
0
(
∫
√
1−z
0
(
∫
√
1−z
0
dy
)
dx
)
dz =
∫ 1
0
(1 − z)dz =1
2.
2.1.3 Uma piramide quadrangular
Consideremos o subconjunto de R3 definido por
S = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 < x < 1 ;
x
2< y < x ; 0 < z < x}.
• Para o integral iterado da forma∫
(∫
(∫
dz)dy)dx , fixamos 0 < x = a < 1. Na figura11 representa-se o conjunto S e a interseccao de S com o plano x = a, ou seja, ocorte em S perpendicular ao eixo Ox, que se pode descrever da forma seguinte
S ∩ {x = a} = {(a, y, z) :a
2< y < a ; 0 < z < a}.
Note-se que S ja esta descrito na forma adequada para o caculo do integral iteradoda forma
∫
(∫
(∫
dz)dy)dx.
Assim, o volume de S sera dado por
11
= �2
=
=
x
x
x
x
y
y
y
z z
1
1
1x
x
y
z
x2
0 < x = a < 1
Figura 11: Cortes perpendiculares a Ox
vol3(S) =
∫ 1
0
(
∫ x
x
2
(∫ x
0
dz
)
dy
)
dx
=
∫ 1
0
(
∫ x
x
2
xdy
)
dx
=
∫ 1
0
x2
2dx =
1
6.
• Para o integral iterado da forma∫
(∫
(∫
dz)dx)dy , devemos fixar 0 < y = b < 1.
Dado que x2
< y < x, teremos y < x < 2y e como 0 < x < 1 devem ocorrer doiscasos. Ou 2y < 1, ou seja, 0 < y < 1
2ou 2y > 1, ou seja, 1
2< y < 1, tal como se
representa na figura 12.
Para 0 < y = b < 12, a interseccao (corte) de S com o plano y = b e dada por
S ∩ {y = b} = {(x, b, z) : y < x < 2y : 0 < z < x}
e para 12
< y = b < 1 temos,
S ∩ {y = b} = {(x, b, z) : y < x < 1 : 0 < z < x}.
Portanto, S e a uniao dos dois conjuntos seguintes
{(x, y, z) : 0 < y <1
2; y < x < 2y ; 0 < z < x}
e
{(x, y, z) :1
2< y < 1 ; y < x < 1 ; 0 < z < x},
12
x
y
z
x xy
y
y
y
zz
1
1
1
1
2y
2y 12
12
0 < y = b < 12
12
< y = b < 1
z = x
z = x
Figura 12: Cortes perpendiculares a Oy
o que nos permite escrever o volume de S como a soma de dois integrais iterados
vol3(S) =
∫ 1
2
0
(∫ 2y
y
(∫ x
0
dz
)
dx
)
dy +
∫ 1
1
2
(∫ 1
y
(∫ x
0
dz
)
dx
)
dy
• Para o integral da forma∫
(∫
(∫
dx)dz)dy, teremos as inequacoes
{
z < x < 1
y < x < 2y.
Portanto, para 0 < y = b < 12
teremos
{
z < x
y < x < 2y,
e deveremos fixar z em dois intervalos: ou 0 < z < y, ou y < z < 2y.
13
x
y
z
z/2
z/2
xx
y y
z
z
z z
11
1 1
12
12
12
12
0 < z = c < 12
12
< z = c < 1
y = xy = x
y = x2y = x
2
Figura 13: Cortes perpendiculares a Oz
Para 12
< y = b < 1 teremos{
z < x < 1
y < x,
e deveremos fixar z em dois intervalos: ou 0 < z < y, ou y < z < 1.
Assim, o volume de S sera dado pela soma de quatro integrais iterados
vol3(S) =
∫ 1
2
0
(∫ y
0
(∫ 2y
y
dx
)
dz
)
dy +
∫ 1
2
0
(∫ 2y
y
(∫ 2y
z
dx
)
dz
)
dy +
+
∫ 1
1
2
(∫ y
0
(∫ 1
y
dx
)
dz
)
dy +
∫ 1
1
2
(∫ 1
y
(∫ 1
z
dx
)
dz
)
dy
• Para o integral iterado da forma∫
(∫
(∫
dx)dy)dz , fixamos z = c e, tal como serepresenta na figura 13, devem ocorrer dois casos, ou 0 < z = c < 1
2ou 1
2< z = c <
1.
Em qualquer dos casos, o corte em S com o plano z = c sera dado por
S ∩ {z = c} = {(x, y, c) : z < x < 1 ;x
2< y < x}.
De seguida devemos fixar y = b e, de acordo com a figura 13, para cada um dos casosobtemos tres regioes de integracao na variavel x.
Note-se que das inequacoes de definicao de S obtemos
0 < x < 1
y < x < 2y
z < x < 2y
14
e, portanto,{
0 < z < x < 1z2
< y < x < 2y.
Isto quer dizer que depois de fixar z e y teremos x < 1 se 2y > 1, ou seja, se y > 12,
ou teremos x < 2y se y < 12. Por outro lado, teremos x > z se y < z ou x > y se
y > z.
Podemos concluir que, depois de fixar z, para fixar y teremos de considerar os valoresz2, z , 1
2e, portanto, teremos duas situacoes distintas (ver figura 13).
a) Para 0 < z = c < 12, a coordenada y sera fixada em tres intervalos: ou ]z
2, z[, ou
]z, 12[ ou ]1
2, 1[.
b) Para 12
< z = c < 1, a coordenada y sera fixada em tres intervalos: ou ]z2, 1
2[, ou
]12, z[ ou ]z, 1[.
Assim, o volume de S sera dado pela soma de seis integrais iterados
vol3(S) =
∫ 1
2
0
(
∫ z
z
2
(∫ 2y
z
dx
)
dy
)
dz
+
∫ 1
2
0
(
∫ 1
2
z
(∫ 2y
y
dx
)
dy
)
dz
+
∫ 1
2
0
(
∫ 1
1
2
(∫ 1
y
dx
)
dy
)
dz
+
∫ 1
1
2
(
∫ 1
2
z
2
(∫ 2y
z
dx
)
dy
)
dz
+
∫ 1
1
2
(
∫ z
1
2
(∫ 1
z
dx
)
dy
)
dz
+
∫ 1
1
2
(∫ 1
z
(∫ 1
y
dx
)
dy
)
dz
2.1.4 Um cilindro
Consideremos o cilindro vertical de raio um e altura dois dado por
S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 < 1 ; 0 < z < 2}.
• Para o integral iterado da forma∫
(∫
(∫
dx)dy)dz, fixamos 0 < z = c < 2 e obtemos0 corte em S com o plano z = c, que se representa na figura, 14 e dado por
S ∩ {z = c} = {(x, y, c) : x2 + y2 < 1}= {(x, y, c) : −1 < y < 1 ; −
√
1 − y2 < x <√
1 − y2.}
15
x y
z
x
y
0
1
1
−1
0 < z = c < 2
x = −√
1 − y2x =
√
1 − y2
Figura 14: Cortes perpendiculares a Oz
Assim, S pode ser descrito como uma coleccao de cortes perpendiculares a Oz, ouseja,
0 < z < 2 ; −1 < y < 1 ; −√
1 − y2 < x <√
1 − y2
e, portanto,
vol3(S) =
∫ 2
0
(
∫ 1
−1
(
∫
√1−y2
−
√1−y2
dx
)
dy
)
dz
• Para o integral iterado da forma∫
(∫
(∫
dz)dy)dx, fixamos −1 < x = a < 1 e obtemoso correspondente corte em S
S ∩ {x = a} = {(a, y, z) : y2 < 1 − a2 ; 0 < z < 2}= {(a, y, z) : −
√1 − a2 < y <
√1 − a2 ; 0 < z < 2, }
que se representa na figura 15.
Portanto,
vol3(S) =
∫ 1
−1
(
∫ 2
0
(
∫
√
1−x2
−
√
1−x2
dy
)
dz
)
dx
2.1.5 Interseccao de dois cilindros perpendiculares
Consideremos o conjunto que resulta da interseccao de dois cilindros perpendicularesdefinido por
V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 < 1 ; x2 + z2 < 1}.
16
x y
z
y
z
2
0 < x = a < 1
−√
1 − x2
√1 − x2
Figura 15: Cortes perpendiculares a Ox
• Para o integral iterado da forma∫
(∫
(∫
dy)dx)dz, note-se que temos z2 < 1, ou seja,−1 < z < 1. Assim, fixando z = c neste intervalo, o respectivo corte perpendicularao eixo Oz sera dado por
{(x, y, c) ∈ R3 : x2 + y2 < 1 ; −
√1 − z2 < x <
√1 − z2},
e o conjunto V sera descrito como uma coleccao de cortes em z, ou seja
−1 < z < 1 ; −√
1 − z2 < x <√
1 − z2 ; −√
1 − x2 < y <√
1 − x2,
tal como se encontra representado na figura 16.
Portanto, o volume de V sera dado pelo integral iterado seguinte
vol3(V ) =
∫ 1
−1
(
∫
√
1−z2
−
√
1−z2
(
∫
√
1−x2
−
√
1−x2
dy
)
dx
)
dz.
• Para o integral iterado da forma∫
(∫
(∫
dz)dy)dx, note-se que temos x2 < 1, ou seja,−1 < x < 1. Assim, fixando x = a neste intervalo, o respectivo corte perpendicularao eixo Ox sera dado por
{(a, y, z) ∈ R3 : −
√1 − x2 < y <
√1 − x2 ; −
√1 − x2 < z <
√1 − x2},
e o conjunto V sera descrito como uma coleccao de cortes em x, ou seja
−1 < x < 1 ; −√
1 − x2 < y <√
1 − x2 ; −√
1 − x2 < z <√
1 − x2,
tal como se ilustra na figura 17.
Portanto, o volume de V sera dado pelo integral iterado seguinte
vol3(V ) =
∫ 1
−1
(
∫
√
1−x2
−
√
1−x2
(
∫
√
1−x2
−
√
1−x2
dz
)
dy
)
dx = 4
∫ 1
−1
(1 − x2)dx =16
3.
17
x y
z
x
y
√1 − z2
x2 + y2 = 1
Figura 16: Interseccao de dois cilindros perpendiculares. Cortes em z.
2.1.6 Um cone
Consideremos o cone
S = {(x, y, z) ∈ R3 :√
x2 + y2 < z < 1}.
• Para o integral iterado da forma∫
(∫
(∫
dx)dy)dz, fixamos 0 < z = c < 1 e obtemoso respectivo corte
S ∩ {z = c} = {(x, y, c) : x2 + y2 < c2}= {(x, y, c) : −c < y < c ; −
√
c2 − y2 < x <√
c2 − y2, }
que se representa na figura 18.
Portanto,
vol3(S) =
∫ 1
0
(
∫ z
−z
(
∫
√z2
−y2
−
√z2
−y2
dx
)
dy
)
dz
• Para o integral iterado da forma∫
(∫
(∫
dz)dx)dy, fixamos −1 < y = b < 1 e obtemoso correspondente corte
S ∩ {y = b} = {(x, b, z) : x2 + b2 < z2 < 1}= {(x, b, z) : −
√1 − b2 < x <
√1 − b2 ;
√x2 + b2 < z < 1, }
tal como se apresenta na figura 19 e, portanto,
vol3(S) =
∫ 1
−1
(
∫
√1−y2
−
√1−y2
(
∫ 1
√x2+y2
dz
)
dx
)
dy
18
x y
z
y
z
√1 − x2
√1 − x2
Figura 17: Interseccao de dois cilindros perpendiculares. Cortes em x.
x y
z
x
y
0
0 < z = c < 1
x = −√
z2 − y2 x =√
z2 − y2
Figura 18: Cortes perpendiculares a Oz
2.1.7 Um hiperboloide
Consideremos o conjunto
S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 < z2 + 1; x > 0; y > 0; 0 < z < 1}.
Trata-se de um subconjunto aberto de R3 limitado pelos planos x = 0 ; y = 0 ; z =
0 ; z = 1 e pela superfıcie x2 + y2 = z2 + 1.
• Usando o integral iterado da forma∫
(∫
(∫
dx)dy)dz, fixamos 0 < z = c < 1 e,portanto,
S ∩ {z = c} = {(x, y, c) : x2 + y2 < c2 + 1; x > 0; y > 0}
ou seja, o corte S ∩ {z = c} e um quarto de cırculo centrado na origem e de raio√1 + z2 tal como se representa na figura 20.
19
x y
z
x
z
0
1
|y|
−1 < y = b < 1
z =√
x2 + y2
−√
1 − y2√
1 − y2
Figura 19: Cortes perpendiculares a Oy
x y
z
1
11x2 + y2 = 1 + z2 x
y
0 < z = c < 1
√1 + z2
√1 + z2
x =√
1 − y2 + z2
Figura 20: Cortes perpendiculares a Oz
De seguida fixamos y = b, com 0 < b <√
z2 + 1, e obtemos,
0 < z < 1; 0 < y <√
1 + z2; 0 < x <√
1 + z2 − y2.
Assim,
vol3(S) =
∫ 1
0
(
∫
√
1+z2
0
(
∫
√1+z2
−y2
0
dx
)
dy
)
dz
• Consideremos o integral iterado da forma∫
(∫
(∫
dy)dz)dx. Neste caso fixamos 0 <
x <√
2 e obtemos
S ∩ {x = a} = {(a, y, z) : y2 < z2 − a2 + 1; y > 0; 0 < z < 1}.
Portanto, devemos ter z2 − x2 + 1 > 0, ou seja z2 > x2 − 1.
20
x y
z
1
11x2 + y2 = 1 + z2
Figura 21: Cortes perpendiculares a Ox
y y
z z
1 1
√x2 − 1
0 < x = a < 1 1 < x = a <√
2
y =√
1 + z2 − x2
y =√
1 + z2 − x2
Figura 22: Cortes perpendiculares a Ox
Assim, se x = a < 1 entao z > 0 e 0 < y <√
z2 − x2 + 1.
Se x = a > 1 entao z >√
x2 − 1 e 0 < y <√
z2 − x2 + 1.
Nas figuras 21 e 22 apresentam-se os cortes em S com o plano x = a para os doiscasos acima descritos: 0 < x < 1 e 1 < x <
√2.
Destas figuras obtemos
vol3(S) =
∫ 1
0
(
∫ 1
0
(
∫
√
1+z2−x2
0
dy
)
dz
)
dx +
+
∫
√
2
1
(
∫ 1
√
x2−1
(
∫
√
1+z2−x2
0
dy
)
dz
)
dx.
• Para o integral iterado da forma∫
(∫
(∫
dz)dy)dx, fixamos 0 < x = a <√
2 e obtemos
S ∩ {x = a} = {(a, y, z) : z2 > a2 + y2 − 1; y > 0; 0 < z < 1},
ou seja,
21
PSfrag
y y
z z
1 1
√1 − x2
√2 − x2√
2 − x2
0 < x = a < 1 1 < x = a <√
2
z =√
y2 + x2 − 1
z =√
y2 + x2 − 1
Figura 23: Cortes perpendiculares a Ox
– Se x2 + y2 < 1 entao z > 0.
– Se 1 < x2 + y2 < 2 entao z >√
x2 + y2 − 1.
tal como se apresenta na figura 23.
Assim, temos
– Se x2 + y2 < 1, entao 0 < x < 1 ; y <√
1 − x2 e 0 < z < 1.
– Se x2 + y2 > 1 e 0 < x < 1 entao√
1 − x2 < y <√
2 − x2, e√
x2 + y2 − 1 <
z < 1.
– Se x2 + y2 > 1 e 1 < x <√
2 entao 0 < y <√
2 − x2 e√
x2 + y2 − 1 < z < 1.
Portanto,
vol3(S) =
∫ 1
0
(
∫
√
1−x2
0
(∫ 1
0
dz
)
dy
)
dx +
+
∫ 1
0
(
∫
√
2−x2
√
1−x2
(
∫ 1
√x2+y2
−1
dz
)
dy
)
dx +
+
∫
√
2
1
(
∫
√
2−x2
0
(
∫ 1
√x2+y2−1
dz
)
dy
)
dx
2.1.8 Uma bola
Seja S a bola de raio um e centro na origem em R3,
S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 < 1 }
Devido a simetria esferica de S basta considerar o integral iterado da forma∫
(
∫
(
∫
dx)dy)dz.
22
x y
z
x
y
√1 − z2
−√
1 − z2
√
1 − z2 − y2−√
1 − z2 − y2
Figura 24: Cortes perpendiculares a Oz
Fixando −1 < z = c < 1 obtemos x2 + y2 < 1 − z2, ou seja, um cırculo centrado naorigem e com raio igual a
√1 − z2, tal como se representa na figura 24 e dado por
S ∩ {z = c} = {(x, y, c) : x2 + y2 < 1 − c2}= {(x, y, c) : |y| <
√1 − c2 ; |x| <
√
1 − c2 − y2.}
Portanto,
vol3(S) =
∫ 1
−1
(
∫
√
1−z2
−
√
1−z2
(
∫
√1−z2
−y2
−
√1−z2
−y2
dx
)
dy
)
dz
2.1.9 Parte de um toro
Neste exemplo vamos considerar o solido em R3 limitado por um quarto do toro de raios
R = 3 e r = 1 e pelos planos x = 0 e y = 0.
S = {(x, y, z) ∈ R3 : (
√
x2 + y2 − 3)2 + z2 < 1 ; x > 0 ; y > 0}
• Para o integral iterado da forma∫
(∫
(∫
dx)dy)dz, fixamos −1 < z = c < 1 e obtemos
S ∩ {z = c} = {(x, y, c) : −√
1 − c2 <√
x2 + y2 − 3 <√
1 − c2 ; x > 0 ; y > 0}= {(x, y, c) : 3 −
√1 − c2 <
√
x2 + y2 < 3 +√
1 − c2 ; x > 0 ; y > 0}
tal como se representa na figura 25. De seguida devemos fixar a variavel y. Da figura25 fica claro que, devemos fixar 0 < y = b < 3 −
√1 − z2 ou 3 −
√1 − z2 < y <
3 +√
1 − z2.
23
x
y
z
x
y
−1 < z = c < 1
3 +√
1 − z2
3 −√
1 − z2
Figura 25: Cortes perpendiculares a Oz
Portanto, o volume de S sera expresso pela soma de dois integrais
vol3(S) =
∫ 1
−1
(
∫ 3−√
1−z2
0
(
∫
√(3+
√
1−z2)2−y2
√(3−
√
1−z2)2−y2
dx
)
dy
)
dz
+
∫ 1
−1
(
∫ 3+√
1−z2
3−√
1−z2
(
∫
√(3+
√
1−z2)2−y2
0
dx
)
dy
)
dz.
• Para o integral iterado da forma∫
(∫
(∫
dz)dx)dy, fixamos em primeiro lugar 0 < y =b < 4.
Note-se que para x = 0 temos
(y − 3)2 + z2 < 1
e, portanto 2 < y < 4.
Assim, devemos fixar 0 < y = b < 2 ou 2 < y = b < 4 como se representa na figura 26.Note-se que o caso 2 < y = b < 4 se apresenta subdividido em dois: 2 < y = b < 3e 3 < y = b < 4. Esta subdivisao e relevante para o calculo do integral iterado daforma
∫
(∫
(∫
dx)dz)dy que nao sera considerado nestas notas.
Para 0 < y = b < 2, obtemos√
4 − y2 < x <√
16 − y2
e
−√
1 − (√
x2 + y2 − 3)2 < z <
√
1 − (√
x2 + y2 − 3)2.
Para 2 < y = b < 4, obtemos
0 < x <√
16 − y2
24
x y
z
x xx
zzz 0 < y = b < 2 2 < y = b < 3 3 < y = b < 4
√
4 − y2
√
16 − y2√
16 − y2√
16 − y2
Figura 26: Cortes perpendiculares a Oy
e, tal como anteriormente,
−√
1 − (√
x2 + y2 − 3)2 < z <
√
1 − (√
x2 + y2 − 3)2
Portanto,
vol3(S) =
∫ 2
0
∫
√16−y2
√4−y2
∫
q
1−(√
x2+y2−3)2
−
q
1−(√
x2+y2−3)2
dz
dx
dy +
+
∫ 4
2
∫
√16−y2
0
∫
q
1−(√
x2+y2−3)2
−
q
1−(√
x2+y2−3)2
dz
dx
dy
***
25
Referencias
[1] Tom M. Apostol. Calculus II. Editorial Reverte, SA, 1977.
[2] J. E. Marsden and A. J. Tromba. Vector Calculus. W. H. Freeman and Company, 1998.
26