Post on 23-May-2020
Física.
Tema 5.
Moment lineal i centre de masses
5.1. Moment lineal.
5.2. Conservació del moment lineal.
5.3. Col·lisions.
5.4. Centre de masses.
5.5. Moviment del centre de masses.
5.1. Moment lineal
Considerem un cos que es mou sota l'acció d'un conjunt de
forces. La llei del moviment és
td
12
2
1
ppdF
t
t
t
S F m v 1 2 m v
temps t1
temps t2
Si integrem respecte del temps
obtenim
La quantitat de l'esquerra s'anomena impuls lineal, i el resultat és
el principi de l'impuls i la quantitat de moviment lineal:
“L'impuls aplicat a un cos durant un interval de temps
és igual al canvi de la seua quantitat de moviment
lineal.”
Es defineix la quantitat de moviment lineal o, simplement,
moment lineal com vp
m
5.1. Moment lineal
En una col·lissió, una força variable actua entre el
objectes que col·lisionen, durant el curt temps que
dura la col·lisió. Definim la força mitjana,
2
112
1t
tmitjana
ttt
dFF
12 ppF
mitjanat
Aleshores el canvi de moment
lineal es pot escriure
t t
F(t)
Fm
5.2. Conservació del moment lineal
Siguen dos cossos A i B, que interaccionen mútuament, sent FAB
la força que exerceix B sobre A i FBA la força que exerceix A
sobre B. Segons la tercera llei de Newton,
A
B
F AB
F BA
0 BAAB FF
Considerarem ara diversos cossos en
interacció i veurem que en aquells casos en
què es pot ignorar la influència de forces
externes, el moment lineal total es conserva.
td
dpF
dt
dextint
pFF
0int
F
dt
dext
pF
ctsi pF
0ext
5.2. Conservació del moment lineal
En sumar aquestes dues equacions obtenim
Si la influència d'altres forces a banda de les indicades és
negligible, podem aplicar el principi de l'impuls i la quantitat de
moviment a cadascun dels cossos A i B de la següent manera
12
12
2
1
2
1
d
d
BB
t
t
BA
AA
t
t
AB
t
t
ppF
ppF
2211 BABA pppp
.constBA pp
i així, la quantitat de moviment lineal total es conserva
5.2. Conservació del moment lineal
2
1
2
1
t
t
BA
t
t
AB tt dFdF
BA pp
BA
BA v
m
mv
Si inicialment estaven parats
5.2. Conservació del moment lineal
5.2. Conservació del moment lineal
5.3. Col·lisions
Si podem negligir l'efecte de les forces externes, el
moment lineal total es conserva,
BBAABBAA mmmm vvvv B
v'
v A
v'A
B v
v
v
BABA pppp
5.3 Col·lisions
5.3. Col.lisions
Voyager 1 & 2 (llançades en 1977) utilitzaren la gravetat de
Jupiter per dirigir-se a Saturn i la de Saturn per anar més
enllà. Abandonen el sistema solar en 2013.
Impuls gravitacional
5.3. Col·lisions
S'anomena una col·lisió elàstica quan l'energia cinètica
total del sistema de partícules es manté constant durant
la col·lisió, és a dir
2222
2211 2
1
2
1
2
1
2
1BBAABBAA vmvmvmvm
BABA pppp
TT KK '
BABA KKKK ''
2211 BBAABBAA mmmm vvvv
5.3. Col·lisions
Una col·lisió en què els dos cossos s'apeguen i continuen
units després de la col.lisió, s’anomena totalment
inelàstica o plàstica
'KK
BABA pppp
2)(11
vvv BABBAA mmmm
5.3. Col·lisions
1212 vvevv
v‘2
v1 = 0
x abans
després x
v2
v’1
Col.lisions directes
e es defineix com el coeficient de restitució
2212211 vvvv mmmm
En col.lisions elàstiques, e=1
En col.lisions inelàstiques, 0 < e < 1
5.3. Col·lisions
Col.lisions directa elàstica
0
0
2v
mm
mv
vmm
mmv
BA
AB
BA
BAA
5.3. Col·lisions
Problema:
Determina la velocitat final dels dos cossos en una col·lisió
elàstica
mmmb
mMa
BA
)
)
5.3 Col.lisions
B1A1B2A2 vv1vv
A1B2A2 vv2v
B1A1B2A2 vvevv
Exemple: impuls d’un satèlit
Què passa amb el moment?
5.3. Col.lisions
tBtBtAtA vvvv ,
En la direcció n, es conserva la quantitat de moviment:
i les velocitats estan relacionades pel coeficient de restitució
nBBnAAnBBnAA mmmm vvvv
nBnA
nBnAe
vv
vv
Col.lisions oblíqües
En la direcció t, la velocitat no
canvia:
B v'
v A
v' A
B v
t n
5.3. Col.lisions
En una partida de frontó, la pilota xoca amb la paret amb
velocitat vA i angle amb la perpendicular q. Si el coeficient de
restitució és e, quines son les velocitat i angle de la pilota
després de la col.lisió.
vA
v' A
5.3. Col·lisions
5.3. Col·lisions
La bola colpeja el pal i hi queda adherida. El
coeficient de fregament del tauló amb el terra
és
¿Quina és la velocitat de la bola quan olpeja el pal?
¿Quina distància recorre el tauló en el terra?
5.4. Centre de masses
La posició del centre de masses
del sistema format pels dos
cossos ve donada per
l'expressió:
En coordenades
BA
BBAAcm
mm
mm
rrr
BA
BBAAcm
mm
xmxmx
5.4 Centre de masses
n
i
i
i
n
i
i
cm
m
xm
x
1
1
n
i
i
i
n
i
i
cm
m
zm
z
1
1
Si el sistema està format per un conjunt de n partícules
discretes, distribuï-des en un espai tridimensional, el centre de
masses es defineix com
n
i
i
n
i
ii
cm
m
m
1
1
r
r
Que en coordenades cartesianes es
queda
n
i
i
i
n
i
i
cm
m
ym
y
1
1
x
y
z
r1 r2
r3
r4
rn
5.4. Centre de masses
5.4. Centre de masses
x
dV
dm
V
M
dV
dVCM
'rr
Definició
Si el sistema es ara un cos extens, la massa està distribuïda en
l’espai i el centre de masses es calcula a partir de l’expressió
dm
dmCM
'rr
x
y
z
z’
x’
y’
CM dV
xCM
yCM
Si la massa està distribuïda uniformement en
un volum,
En general, podem escriure la densitat com
I, aleshores Si =ct, Centroid
5.4. Centre de masses
dV
dVCM
'rr
dS
dSCM
'rr
dS
dm
S
M
dl
dlCM
'rr
Densitat superficial
Si el sistema es ara un objecte de gruix, t, menyspreable podem
definir la densitat superficial de massa
dS
dS
dm
dmCM
'' rrr
aleshores,
i, aleshores
Si =ct,
y
dV = tdA
x
y
z
z
x
CM
x
y
z
Si la massa està distribuïda uniformement en la superfície,
Densitat lineal
Si el sistema es ara un objecte unidimensional, com un fil
d’aram, podem definir la densitat longitudinal de massa com
dl
dm aleshores,
dl
dlCM
'rr
L
M i
CM dV =S dl
y
x
y
z
z
x
x
y
z
5.4. Centre de masses
5.4. Centre de masses
Determineu la massa total, i la posició del
CM, d’una barreta de longitud L de densitat
lineal variable. x
5.4. Centre de masses
Determineu la superfície total A, i la posició
del CM, d’una placa homogènia
semicircular com es mostra en la figura.
cmx cmy
CM
h
y
b/2 b/2
h
3
bh
2
3
4r
3
4 r
3
4r
4
2r
2
2r
4 a
3
3
4b3
4b
4
ba
2
ba
3 a
8
3 h
5
3 h
5
2 ah
3
4 ah
3
3 a
4
3 h
10
ah
3
2 r sin
3
2r
Forma Àrea
Àrea triangular
Un quart d'àrea circular
Àrea semicircular
0
Quart d'àrea el·líptica
Àrea semiellíptica
0
Àrea semiparabòl·lica
Àrea parabòl·lica
0
Extradós parabòl·lic
Sector circular
0
5.4. Centre de masses
Elements compostos
CBA
CCBBAAcm
mmm
ymymymy
x
y
A B
C xcmA xcmB xcmC
CBA
CCBBAAcm
mmm
mmm
rrrr
CBA
CCBBAAcm
mmm
xmxmxmx
Si tenim un objecte que podem separar en elements dels que
coneixem la posició del centre de masses, puc calcular la posició
del centre de masses del conjunt d’una manera molt senzilla:
ycmA ycmB
ycmC
5.4. Centre de masses
Forats
21
2211
mm
ymymycm
21
2211
mm
mmcm
rrr
21
2211
mm
xmxmxcm
Quan tenim forats cal tractar aquest
com una massa negativa:
x
y
x
y
x 1
x
y
x 2
5.4. Centre de masses
5.4. Centre de masses
x
y
R R 2R
Una placa circular de radi 2R té un
forat circular, tangent a la vora, de radi
R. Hem de calcular la posició del
centre de masses
BAcm ppp
ipp
cm
La posició del centre de masses del sistema
format pels dos cossos ve donada per
l'expressió:
BA
BBAAcm
mm
mm
rrr
Si derive aquesta expressió respecte del temps obtinc:
A
B
O
r B r
A r
BBAAcmBA mmmm vvv)
(BA
BBAAcm
mm
mm
vvv
cm
En general, per a un sistema de moltes partícules tindrem que el moment del
centre de masses és igual a la suma dels moments de les partícules:
5.5. Moviment del centre de masses
5.5. Moviment del centre de masses
Quan dos cossos A i B interaccionen
(per exemple, per mitjà d'una col·lisió)
en absència de forces externes, la
velocitat del centre de masses del
sistema format pels dos cossos és
constant.
...332211 vvvv
mmmM cm
5.5. Moviment del centre de masses
El centre de masses d’un sistema de
partícules, es mou baix influència
només de les forces externes
cmext M aF
5.5. Moviment del centre de masses