Post on 26-Sep-2020
1
Física.
Introducció: magnituds escalars i vectorials Recordem que una MAGNITUD física és aquella propietat associada a la matèria (o energia) que es pot mesurar o calcular. Si per definir una magnitud física de forma precisa necessitam conèixer la seva direcció i sentit a més del seu valor numèric, estam davant d’una MAGNITUD VECTORIAL. P.e.: la velocitat (anava a 20 km/h cap a …). Pel contrari, si no té sentit preguntar-se cap a on, estam davant d’una MAGNITUD ESCALAR. P.e.: la temperatura (p.e. 25 ºC)
MAGNITUDS VECTORIALS (cap a on?)
MAGNITUDS ESCALARS
Velocitat Temperatura
Acceleració Pressió
Posició a l’espai Longitud
Força Energia
Pes (és una força) Massa
Superfície Volum Les magnituds vectorials es representen mitjançant vectors que són segments orientats:
2
Un vector ve definit per:
- punt d’aplicació - direcció - sentit - mòdul, longitud,
intensitat o magnitud.
Els vectors situats sobre els eixos tenen un signe associat al seu sentit: Cap a dalt o a la dreta + Cap a baix o a l’esquerra -
Tema 1. Cinemàtica -El moviment es pot definir com el canvi de posició respecte d’un punt o un
sistema de referència, en un temps determinat. -La trajectòria és el camí seguit per un cos en moviment. O el conjunt de punts per on ha passat el mòbil.
3
-Temps: t , t0 (el subíndex “sub-zero” vol dir “inicial”)
-Temps transcorregut: Δt = t - t0 (“Δ” representa la lletra “D” majúscula grega: “delta” i es llegeix “delta t” o “increment de t”)
POSICIÓ RESPECTE D’UN PUNT (l’origen de posicions): -> ->
Vector de posició: r , r0 Vector de posició sobre l’eix X (es pot ometre el signe de vector per comoditat): x , x0
Vector de posició sobre l’eix Y (es pot ometre el signe de vector per comoditat): y , y0 Posició sobre la trajectòria (no és vectorial): s, s0
DESPLAÇAMENT -> -> ->
- Vector desplaçament: Δr = r - r0 (sempre en línia recta) - Vector desplaçament sobre l’eix x (es pot ometre el signe de vector): Δx = x - x0
Vector desplaçament sobre l’eix y (es pot ometre el signe de vector): Δy = y - y0 - Desplaçament sobre la trajectòria (no és vectorial) : Δs= s - s0
ESPAI (e) o DISTÀNCIA (d) RECORREGUDA És el que quedaria registrat en un compta-quilòmetres. És la longitud de la trajectòria.
d = Δs (si no hi ha retrocessos)
d = Δr ; d= Δx ; d= Δy (si la trajectòria és recta i no hi ha retrocessos)
4
vector (2 o 3 dim.)
sobre eix X (unidimens.)
sobre eix Y (unidimens.)
sobre la trajectòria
posició
-> r =(x,y)
x
y
s
desplaça-ment
-> -> -> Δr = r - r0
Δx= x- x0
Δy = y - y0
Δs= s - s0
VELOCITAT MITJANA espai (e) o distància (d) recorreguda d Vm = -------------------------------------------------- = ---- (m/s , km/h) temps transcorregut Δt
5
-> -> vector desplaçament Δr
Vector velocitat mitjana: Vm=-----------------------------= ----- temps transcorregut Δt
Δx Si el moviment és rectilini sobre l’eix X, sense retrocés: Vm = -------
Δt VECTOR VELOCITAT INSTANTÀNIA EN UN PUNT -> -> -> vector desplaçament infinitesimal Δ r d r(t) V = -------------------------------------------- = lím ------- = ------
temps transcorregut infinitesimal Δ t -> 0 Δ t d t
El vector velocitat instantània és la derivada del vector de posició respecte del temps. El vector velocitat instantània es dibuixa tangent a la trajectòria (gràfic y//x) (en cada punt).
El vector velocitat instantània ens informa de la direcció i el sentit del moviment. En un gràfic posició/temps (s, x o y//t), la velocitat instantània és el pendent de la recta tangent en cada punt: pendent gran => gran velocitat. En un gràfic x//t, la derivada de la funció x(t) respecte del temps, dx(t)/dt en cada punt, és el pendent de la recta tangent en aquest punt. (dx(t)/dt = velocitat instantània)
6
y=f(x)= 4x3+2 ; y’=dy/dx=3·4·x3-1=12·x2
https://www.geogebra.org/m/baxuqn4r
EQUACIÓ DE LA TRAJECTÒRIA
-> Exemple: Donada l’equació del moviment, r(t)=(x,y)= ( 2t , 6t-2t2) m l’equació de la trajectòria s’obté expressant y en funció de x: x= 2t ---> t= x/2 ( aïllant el temps en x, i substituint-lo en y)
y= 6t-2t2 ---> y= 6·x/2 - 2·x2/4 -----> y = 3x - x2/2
VECTOR ACCELERACIÓ -ACCELERACIÓ MITJANA -> -> -> -> v- v0 Δv am = ------- = ------- ( m/s2 ) indica els canvis del vector velocitat amb t - t0 Δt el temps
7
- ACCELERACIÓ INSTANTÀNIA -> -> -> -> vector variació de velocitat infinitesimal Δ v d v(t) d2 r(t) a = ------------------------------------------------------ = lím ------ = ------ = ------
temps transcorregut infinitesimal Δ t -> 0 Δ t d t d t2
El vector acceleració instantània és la derivada del vector velocitat respecte del temps o també la segona derivada del vector de posició respecte del temps. A l’hora de dibuixar el vector acceleració sobre un mòbil que descriu una trajectòria curvilínia, és un vector cap a l’interior (la concavitat) de la trajectòria.
COMPONENTS INTRÍNSECS DE L’ACCELERACIÓ Hi ha dos tipus d’acceleració:
Acceleració tangencial (mitjana i instantània) (tangent a la trajectòria com la velocitat)
v - v0 atm = ------- ( m/s2 )
t - t0 _____ d v d (V vx2+vy2 )
at = -------- = -----------------------------
d t d t
Indica variacions de mòdul de la velocitat És la derivada del mòdul del vector velocitat respecte del temps
8
Acceleració normal o centrípeta (an o ac)
(perpendicular a at, cap al centre de curvatura)
v2
an = -------- ( m/s2 ) R R = radi de curvatura traject.
Indica variacions de direcció de la velocitat. an en moviments rectilinis val zero: an =0
ATENCIÓ: TOT MOVIMENT QUE SIGUI CURVILINI, TÉ an
MOVIMENT RECTILINI UNIFORME (MRU) Trajectòria: recta (suposarem sobre l’eix X) Velocitat instantània = Velocitat mitjana V = Vm
Acceleració = 0 (at i an = 0)
9
EQUACIONS ( eix X)
VELOCITAT (m/s) DESPLAÇAMENT (m) POSICIÓ (m) o EQUACIÓ DEL MOVIMENT
Δx x - x0
v = ----- = --------
Δt t - t0
Δx = v. Δt
x = xo + v. Δt en matemat. (y =m·x + b)
REPRESENTACIONS GRÀFIQUES MRU En gràfics posició-temps (s, x o y // t ) el pendent m=(x-x0)/t-t0 és la velocitat.
GRÀFIC FORMA PENDENT VALOR inicial
Posició // temps RECTES amb pendent que representa la velocitat
+: V>0 (mou cap a la dreta) -: V<0 (mou cap a l’esquerra)
xo
Velocitat // temps rectes HORITZONTALS
0 v=v0
10
11
MOVIMENT RECTILINI UNIFORMEMENT ACCELERAT o VARIAT (MRUA) Trajectòria: recta (suposarem sobre l’eix X) Velocitat instantània: varia uniformement v - v0
Acceleració: an=0 at= -------- és constant t - t0
12
MRUA:
ACCELERACIÓ (m/s2)
VELOCITAT (m/s) POSICIÓ (m) o EQUACIÓ DEL MOVIMENT
v - v0 Δv a= -------- = ------ t - t0 Δt
v = v0 + a. Δt (recta) v2 = v0 2 + 2. a. Δx
a.Δt2 x = xo + v0. Δt + ------ 2 desplaçament: a.Δt2 Δx = v0. Δt + ------ 2
MRU:
ACCELERACIÓ VELOCITAT (m/s) POSICIÓ (m) o EQUACIÓ DEL MOVIMENT
a= 0
Δx x - x0
v = ----- = --------
Δt t - t0 v = vm
x = xo + v. Δt desplaçament: Δx = v. Δt
13
GRÀFICS DEL MRUA http://www.educaplus.org/play-238-Graficas-del-movimiento.html
MRU MRUA x // t En els dos, el pendent és la v
v // t En els dos el pendent és l’a(t)
A partir d’un gràfic v//t es pot obtenir directament l’espai recorregut en un temps, calculant l’àrea compresa entre la
14
corba i l’eix d’abscises. Aquesta àrea tendrà unitats de longitud
PUJADA I CAIGUDA LLIURE CASOS DE MRUA
POSICIÓ/ DESPLAÇAMENT
VELOCITAT ACCELERACIÓ
PUJADA LLIURE
Canviar x per y (vertical)
Dalt, quan y= ymax v=0 (canvi de sentit)
a = g= -9,8 m/s2
CAIGUDA LLIURE
Canviar x per y (vertical)
Dalt, quan y= ymax v0=0 (repòs inicial)
a= g= -9,8 m/s2
No es recomana aprendre’s les equacions marcades amb fons gris
ACCELERACIÓ (m/s2)
VELOCITAT (m/s) POSICIÓ (m) o EQUACIÓ DEL MOVIMENT
v - v0 Δv a= -------- = ------- t - t0 Δt
v = v0 + a. Δt (recta) v2 = v02 + 2. a. Δx
a·Δt2 x = xo + v0. Δt + ------ 2 desplaçament: a·Δt2 Δx = v0. Δt + ------ 2
pujada lliure: dalt de tot: v=0 a=-9,8 m/s2≈ -10 m/s2
v = v0 + a. Δt v2 = v02 + 2. a. Δy dalt de tot: v=0
a.Δt2 y= yo + v0. Δt + ------ 2 a.Δt2 Δy = v0. Δt + ------ 2
15
caiguda lliure: dalt de tot: v0=0 a=-9,8 m/s2≈ -10 m/s2
v = a. Δt v2 = 2. a. Δy dalt de tot: v0=0
a.Δt2 y= yo + ------ 2 a.Δt2 Δy = ------ 2
GRÀFICS DE LA CAIGUDA LLIURE
a= -9,8 m/s2 ; x-->y
16
Composició de moviments
17
MOVIMENTS CIRCULARS
18
-MCU (Moviment Circular Uniforme) Trajectòria: una circumferència de longitud 2·π·R metres i angle 2π rad
VELOCITAT
ACCELERACIÓ
UNIFORME en mòdul o intensitat Δs (Δx) v = vm= ------ Δt
v - v0 at= -------- = 0 ; t - t0
UNIFORMEMENT VARIADA en direcció
v2
an= ------- =ctant R
En general, hi ha dos tipus d’acceleració: acceleració tangencial (tangent a la trajectòria)
indica canvis de valor o mòdul del vector velocitat
v - v0 Δv at= -------- = ------- t - t0 Δt dv
19
at= -------- dt
Acceleració normal o centrípeta (perpendicular a la tangencial)
indica canvis de direcció del vector velocitat
v2
an= ------- R
CAP MOVIMENT RECTILINI TÉ an
TOT MOVIMENT CURVILINI TÉ an posat que el vector velocitat, que sempre és tangent a la trajectòria, canvia de direcció. També pot tenir at , si la velocitat varia en valor o mòdul.
PERÍODE (T) d’un MCU : és el temps en fer una acció o volta (segons/volta) FREQÜÈNCIA (f) d’un MCU : són les accions o voltes en cada unitat de temps (voltes/segon, Hz o 1/s=s-1) Sempre es compleix que un és l’invers de l’altre:
1 T = -----
1 f = -----
T. f = 1 2 segons 1 volta
20
f T ------------ . --------------- = 1 1 volta 2 segons
LLETRA GREGA “OMEGA” majúscula i minúscula
LLETRA GREGA “PHI o FI” majúscula i minúscula
LLETRA GREGA “ALFA” majúscula i minúscula
QUÈ ÉS UN ANGLE D’ 1 RADIANT? LONGITUD D’UNA CIRCUMFERÈNCIA
6,28 (2·π) vegades el radi= 2·π ·R
ANGLE D’UNA CIRCUMFERÈNCIA
360º = 2·π radiants = 6,28 rad 180º = π rad
21
57,3º = 1 rad
1 radiant és l’angle que correspon a un arc de longitud igual al radi (Δs=R)
https://ca.wikipedia.org/wiki/Radian#/media/File:Circle_radians.gif
MAGNITUDS velocitat
distància recorreguda
posició
Lineals ( en metres…)
Δs (Δx) v = ------ (m/s) Δt si tenc T i R: 2·π·R v =-------- (m/s)
T
arc (m) recorregut: Δs= v · Δt
pos. lineal (m) s = s0 + v ·Δt x = xo + v·Δt
22
Angulars (en radiants… “radianes”
Δφ ω =----- (rad/s) Δt si tenc T: 2·π ω = ----- (rad/s) T
angle (rad) recorregut Δφ=ω· Δt
pos. angular (rad) φ=φ0 + ω ·Δt
Recorda: 1volta = 2·π·R (metres) = 2·π (radiants) Sempre: MAGNITUD LINEAL (m …) = MAGNITUD ANGULAR (rad …) · RADI
v = ω · R velocitat lineal (m/s) = velocitat angular (rad/s) x Radi
Δs = Δφ · R dist. o arc recorr. (m) = angle recorr. (rad) x Radi
23
MCUA: Mov. Circular Uniformement Accel. Trajectòria: una circumferència de longitud 2·π·R metres i angle 2π rad.
VELOCITAT
ACCELERACIÓ
UNIFORMEMENT VARIADA en mòdul o intensitat v = v0 + at· Δt v2 = v02 + 2· at· Δs
v - v0 at= -------- = ctant (0 EN MCU) t - t0
VARIADA en direcció v2
an= ------- (ctant. EN MCU) R
φ o Δφ (phi) posició angular o angle i angle recorregut (rad)
ω (omega) velocitat angular (rad/s)
α (alfa) acceleració angular (rad/s2)
MAGNITUDS lineals (m, m/s, m/s2)
angulars (rad, rad/s, rad/s2)
acceleració v - v0 at= -------- = ctant t - t0
ω - ω0 α= -------- = ctant t - t0
velocitat v = v0 + at· Δt v2= v02 + 2· at· Δs
ω= ω0 + α· Δt ω2= ω02+ 2· α· Δφ
desplaçament (arc o angle recorregut)
at·Δt2 Δs = v0·Δt + ------- 2
α·Δt2 Δφ = ω0· Δt + ------ 2
posició at·Δt2 s= so+ v0·Δt + -------- 2
α·Δt2 φ=φo+ ω0· Δt + -------- 2
24
MAGNITUD LINEAL (m …) = MAGNITUD ANGULAR (rad …) · RADI
v = ω · R velocitat lineal (m/s) = velocitat angular (rad/s) x Radi
Δs = Δφ · R dist. o arc recorr. (m) = angle recorr. (rad) x Radi
at = α · R accel. tangencial (m/s2) = accel. angular (rad/s2) x Radi RECORDATORI:
25