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Fórmulas generales
17
Para todo cambio de variable:
a) Seleccionar u;b) Una vez hecha la elección de u, calcular inmediatamente después la diferencial
de u, es decir, du.
III
FÓRMULA DE LA POTENCIA
Las fórmulas vistas en el capítulo anterior fueron muy específicas para integrales de x elevadaa cualquier potencia; sin embargo, no siempre, o más bien, pocas veces lo que está elevado a lapotencia n es la pura variable x , sino una función completa. Para eso, de manera muy similar a loque ocurrió con las derivadas, se requieren fórmulas generales. Todas las fórmulas que se verán deaquí en adelante son fórmulas generales, es decir en términos de u , no de x.
Y algo muy importante: para cada fórmula general, de aquí en adelante, debe emplearse un pro-cedimiento llamado cambio de variable, el cual se explicará con detalle en cada uno de los ejemplossiguientes. El estudiante que no aprenda, a hacer cambios de variable para integrar, está condenadoa no poder integrar ninguna función.
Todo cambio de variable debe transformar la integral original en una fórmula.
Fórmulas generales
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FÓRMULA DE LA POTENCIA Y SU EXCEPCIÓN:
(6) , para 1
1
nn u
u du cn
1n
(7)du
lnu cu
La fórmula (6) puede emplearse siempre que n sea diferente de menos uno, ya que si vale me-nos uno el denominador de la fórmula se vuelve cero y hay que recordar que en matemáticas no sevale dividir entre cero porque da infinito.
En caso de que n valga menos uno se obtiene realmente la fórmula (7).
Ejemplo 1: Integrar 73 2x dx
Solución: Obsérvese que lo que está elevado a la séptima potencia no es la variable x , sino el polinomio3x - 2. Por lo tanto, no puede emplearse la fórmula (2), sino la (6), lo que significa que udebe ser 3x - 2.
Si u = 3x - 2, entonces calculando la diferencial de u se obtiene quedu = 3dx
La fórmula (6) habla de , es decir que no basta tener identificado qué es u, sino quenu dupide tener la diferencial de u, o sea, du. En este ejemplo, dicha diferencial du es 3dx, lo quesignifica que para poder emplear la fórmula (6) debe tenerse en la integral original 3dx. Peronada más se tiene dx, le falta el 3.
Si la integral original se multiplica por 3 se consigue tener 3dx ; pero si se hace esto, para quesiga siendo lo mismo debe dividirse también entre 3. Haciéndolo:
Fórmulas generales
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7 7 133
33 2 2x dx x dx
se divide y se multiplica por tres al mismo tiempo
Por la fórmula (3) de la página 9, cualquier constante que esté multiplicando se puede echarafuera de la integral, por lo que la fracción un tercio se echa para afuera, quedando:
7 71
3 2 3 2 33
x dx x dx
u du
En este momento se ha completado el cambio de variable y la integral original convertida enfórmula ya puede escribirse como
7 713 2
3x dx u du
7 1 81
3 7 1 24
u uc c
Una vez integrado al haber aplicado la fórmula correspondiente, se debe regresar a la variableoriginal, sustituyendo u por lo que vale. En este caso, recordar que u = 3x - 2:
87 3 2
3 224
xx dx c
Fórmulas generales
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Ejemplo 2: Integrar 11 8x dxSolución: Debe escribirse como 1 2
11 8/
x dx
Obsérvese que lo que está elevado a la potencia un medio no es la variable x , sino el polino-
mio 11x + 8. Por lo tanto, no puede emplearse la fórmula (2), sino la (6), lo que significa que
u debe ser 11x + 8.
Si u = 11x + 8 , entonces calculando la diferencial de u se obtiene que
du = 11dx
La fórmula (6) habla de , es decir que no basta tener identificado qué es u, sino quenu dupide tener la diferencial de u, o sea, du. En este ejemplo, dicha diferencial du es 11dx, lo que
significa que para poder emplear la fórmula (6) debe tenerse en la integral original 11dx.
Pero nada más se tiene dx, le falta el 11.
Si la integral original se multiplica por 11 se consigue tener 11dx ; pero si se hace esto, para
que siga siendo lo mismo debe dividirse también entre 11. Haciéndolo:
1 2 1 211
11
111 8 11 8
/ /x dx x dx
se divide y
se multiplica por 11 al mismo tiempo
Por la fórmula (3) de la página 9, cualquier constante que esté multiplicando se puede echar
afuera de la integral, por lo que la fracción un onceavo se echa para afuera, quedando:
Fórmulas generales
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1 2 1 21
11 8 11 8 1111
/ /x dx x dx
u du
En este momento se ha completado el cambio de variable y la integral original convertida en
fórmula ya puede escribirse como
1 2 1 2111 8
11
/ /x dx u du
11 3 221 1
1 311 1112 2
/u uc c
3 22
33
/uc
Una vez integrado al haber aplicado la fórmula correspondiente, se debe regresar a la variableoriginal, sustituyendo u por lo que vale. En este caso, recordar que u = 11x + 8:
3 22 11 8
11 833
/x
x dx c
Ejemplo 3: Integrar
4 10
dx
x Solución: En este caso, la fórmula a emplear es la (7), para lo cual debe hacerse
Fórmulas generales
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u = 4x - 10 de dondedu = 4dx
La fórmula (7) habla de , es decir que no basta tener identificado qué es u, sino quedu
upide tener la diferencial de u, o sea, du. En este ejemplo, dicha diferencial du es 4dx, lo quesignifica que para poder emplear la fórmula (7) debe tenerse en la integral original 4dx. Peronada más se tiene dx, le falta el 4.
Si la integral original se multiplica por 4 se consigue tener 4dx; pero si se hace esto, para quesiga siendo lo mismo debe dividirse también entre 4. Haciéndolo:
1
4 10 4 10
44
dxdx
x x
Por la fórmula (3) de la página 9, cualquier constante que esté multiplicando se puede echarafuera de la integral, por lo que la fracción un cuarto se echa para afuera, quedando:
41
4 10 4 4 10
dxdx
x x
du
u
1 1
4 4
dulnu c
u
Y regresando a la variable original, sustituyendo u por 4x - 10:
14 10
4 10 4
dxln x c
x
Fórmulas generales
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Ejemplo 4: Integrar 425 6x x dxSolución: La integral se puede escribir como . Si se hace u = 5x2 - 6, entonces su 425 6x x dx
diferencial es du = 10x dx. En la integral original solamente se tiene x dx, por lo que le faltaun 10 multiplicando, pero para que no se altere, se debe dividir entre 10 también.
Por lo visto en los ejemplos anteriores, en estos momentos ya se sabe que el factor “no1
10
sirve”, por lo que se tiene que sacar de la integral. Resulta:
4 42 215 6 5 6 10
10x x dx x x dx
u du
4 141 1
10 10 4 1
uu du c
5 51
10 5 50
u uc c
Y regresando a la variable original, sabiendo que u = 5x2 - 6, se llega a:
5242
5 65 6
50
xx x dx c
Fórmulas generales
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Ejemplo 5: Integrar
32
4
7 9
x dx
x
Solución: Sea u = 7x 2 - 9 , de dondedu = 14x dx
Si en la integral original estuviera en el numerador en vez de 4x dx , se tendría la14x dx
diferencial de u , o sea du, que es lo que pide la fórmula; pero no es así. Sin embargo, elproblema se arregla muy fácil: la constante 4 que “no sirve” se echa para fuera de la integral.Luego se multiplica y se divide simultáneamente por 14, lo que queda así:
1
3 3
4
2 2
1 1444
147 9 7 9
14 x dx x dx
x x
3
du
u
33
4 2
14 7
duu du
u
3 1 22 2
7 3 1 7 2
u uc c
2
2
14c
u
Simplificando y regresando a la variable original se llega finalmente a
3 22 2
4 1
7 9 7 7 9
dxc
x x
Fórmulas generales
25
Otra forma más directa de hacer el cambio de variable es multiplicando por y así:414
144
Sea u = 7x 2 - 9 , de dondedu = 14x dx
3 32 2
144 4
4 4147 9
4
7
1
9
4 1
4 4x dx x dx
x x
32
4 14
14 7 9
xdx
x
3
du
u
33
4 2
14 7
duu du
u
3 1 22 2
7 3 1 7 2
u uc c
2
2
14c
u
Simplificando y regresando a la variable original se llega finalmente a
3 22 2
4 1
7 9 7 7 9
dxc
x x
COMPROBACIÓN: La comprobación consiste simplemente en derivar el resultado obtenido:
2 22 2
1 1
7 7 9 7 7 9
d d dc c
dx dx dxx x
Fórmulas generales
26
22
1 10
7 7 9
d
dx x
2217 9
7
dx
dx
2 12 212 7 9 7 9
7
dx x
dx
3212 7 9 14
7x x
32
28
7 7 9
x
x
2 32 2
1 4
7 7 9 7 9
d xc
dx x x
Que es lo que se integró.
Ejemplo 6: Integrar 721 2 8x x x dx Solución: Sea u = x2 - 2x - 8 de donde
du = (2x - 2) dx
Si se multiplica por 2 la integral original se obtiene la diferencial de u .Obviamente, debedividirse también entre 2:
7 72 21 12 1 2 8 2 8 2 2
2 2duu
x x x dx x x x dx
Fórmulas generales
27
7 171 1
2 2 7 1
uu du c
8 81
2 8 16
u uc c
8272
2 81 2 8
16
x xx x x dx c
Ejemplo 7: Integrar 2
5 10
3 12 1
x dx
x x
Solución: Sea u = 3x2 - 12x + 1 de dondedu = (6x - 12)dx
Los ejemplos anteriores deben haber capacitado al alumno para que sea capaz en este ejemplode analizar por su propia cuenta el manejo de las constantes que se va a hacer:
2 2
5 10 5 2
3 12 1 3 12 1
x dx x dx
x x x x
2
25
3
6
12 16
x dx
x x
2
6 125
6 3 12 1
x dx
x x
1 2
253 12 1 6 12
6
/
x x x dx
Fórmulas generales
28
1 25
6/u du
11
2516 12
uc
1 25162
/uc
252 3 12 1
6x x c
2
2
5 10 5 3 12 1
33 12 1
x dx x xc
x x
Ejemplo 8: Integrar
2
3 12
8 7
x dx
x x
Solución: Sea u = x2 + 8x - 7 , de dondedu = (2x + 8)dx
Nuevamente se deja al estudiante analizar por su propia cuenta el manejo de las constantesque se va a hacer:
2 2
3 12 3 4
8 7 8 7
x dx x dx
x x x x
Fórmulas generales
29
12
2
2 43
8 7
x dx
x x
2
2 83
2 8 7
x dx
x x
du
u
3 3
2 2
dulnu c
u
Y regresando a la variable original se llega a que
22
3 12 38 7
28 7
x dxln x x c
x x
Ejemplo 9: Integrar 2
2 10
x
x
e dx
e Solución: Sea u = e2x + 10 , de donde
du = 2e 2x dx
Entonces
2 2
2 2
2
2
1
10 10
x x
x x
e dx e dx
e e
du
u
1 1
2 2
duln u c
u
Y regresando a la variable original:
2
22
110
210
xx
x
e dxln e c
e
Fórmulas generales
30
EJERCICIO 3.1
Realizar las siguientes integrales por medio de un cambio de variable:
1) 2) 713 12x dx 11
2 19x dx
3) 4)7 15x dx 8 13
dx
x
5) 6) 9
6
15 11
dx
x 2
9 4
dx
x
7) 8) 823 11x x dx 42
3
3 1
x dx
x
9) 10) 328 5 80 22x x x dx 62
1
4 8
x dx
x x
11) 12) 24 1 6 3 11x x x dx
2
10 15
7 21 9
x dx
x x
13) 14)
2
23
4 12
9
x dx
x x
53 3 8x xe e dx
15) 16) 25 23 3 5 10 9x x x dx
2
34 3
4 2
8 12 1
x dx
x x
17) 18) 3
4 2
8 8
2 9
x x dx
x x
2
83 2
7 7
2 3 9
x x dx
x x