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Aux. Univ. Samuel Condori Gutierrez FORMULARIO SIS3540 “a”
samcongut@hotmail.com
Datos adicionales
Documento creado por:
Univ. Samuel Condori Gutierrez INGENIERÍA DE SISTEMAS
Correo:
samcongut@hotmail.com sammy_escondo@yahoo.es
Cel.: 67924577
Oruro – Bolivia.
FORMULARIO y RESUMEN
DOCUMENTO QUE ACOMPAÑA
A LA MATERIA SIS – 3540 “A”
“MODELOS ECONOMÉTRICOS”
A continuación te presento un documento que espero te sirva para
que resuelvas ejercicios en tus prácticas y examen, he tratado de
elaborar este documento para que sea lo más sencillo posible de
entender, es decir que sirva de guía tanto para el paralelo “A” del
Ing. Rubén Medinaceli Ortiz, como para otras materias donde se utilice
la regresión lineal simple y múltiple, análisis de correlación,
coeficiente de correlación, análisis de regresión con variables
cualitativas y análisis de varianza.
Recordándote que esto no significa que esta sea la única y mejor
forma de realizarlo, puede ser que tenga errores, los cuales espero de
todo corazón que me los hagas conocer para que los corrija y así tanto
como tú y como yo salgamos beneficiados aprendiendo juntos.
Si ves que el presente material es útil, te autorizo para que lo
distribuyas libremente entre tus amigos, con la única condición de
respetar los derechos de autor es decir, no borres esta primera página.
Aux. Univ. Samuel Condori Gutierrez FORMULARIO SIS3540 “a”
samcongut@hotmail.com
FORMULARIO
n
X
XXXS
n
i
in
i
i
n
i
iXX
2
1
1
2
1
2
n
Y
YYYS
n
i
in
i
i
n
i
iYY
2
1
1
2
1
2
1 1
1 1
n n
i in ni i
XY i i i i
i i
X Y
S X X Y Y Y Xn
XX
XY
S
Sb 1
XbYb 10
TEOREMA ESTIMADOR INCESGADO
00 BE
21
2
0 XX
n
i
i
nS
X
BVar
21
2
00 ;~ XX
n
i
i
nS
X
NB
11 BE
2
1
1
XXSBVar
2
11
1;~
XXSNB
XYYY SbSSSE 1
TEOREMA
22
12
n
SbS
n
SSES XYYY
1,0~ N
n
XZ
2
12
2
~1
n-χSn
U
1~
nt
nS
XT
Estadísticos para B0
1,0~
1
2
00 N
nS
X
BZ
XX
n
i
i
2
22
2
~2
n-χSn
U
2
1
2
00 ~
n
XX
n
i
i
t
nS
X
S
BT
INTERVALO DE CONFIABILIDAD PARA B0
11
2
0001
2
00
XX
n
i
i
XX
n
i
i
nS
X
StBnS
X
StBP
PRUEBA DE HIPÓTESIS
1) 0:
0:
00
00
H
H
2) α
3) Estadístico de prueba
2
1
2
00 ~
n
XX
n
i
i
t
nS
X
S
BT
Rechazar Ho si
0tTcalculado
4) Calcular T
5) Respuesta
Aux. Univ. Samuel Condori Gutierrez FORMULARIO SIS3540 “a”
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Estadístico para B1
1,0~1
11 N
S
BZ
XX
2
22
2
~2
n-χSn
U
2
11 ~1
n
XX
t
nSS
BT
INTERVALO DE CONFIABILIDAD PARA B1
101101
XXXX S
StB
S
StBP
PRUEBA DE HIPÓTESIS
1) 0:
0:
10
10
H
H
2) α
3) Estadístico de prueba
211 ~
1
n
XX
t
nSS
BT
Rechazar Ho si
0tTcalculado
4) Calcular T
Estadísticos para Yo
1,0~
1
ˆ
2
0
00 N
S
XX
n
Y
Z
XX
XY
2
22
2
~2
n-χSn
U
2
2
0
0
~
1
ˆ0
n
XX
XY
t
S
XX
nS
Y
T
INTERVALO DE CONFIABILIDAD Yo dentro
11ˆ1ˆ
2
000
2
000 0
XX
XY
XX S
XX
nStY
S
XX
nStYP
INTERVALO DE CONFIABILIDAD Yo fuera
11
1ˆ11ˆ
2
000
2
000 0
XX
XY
XX S
XX
nStY
S
XX
nStYP
PODER PREDICTIVO DEL MODELO
SSRSSTSSSSESSSRSSST XYYYXYYY 11 2,12~
2
nFS
SSR
n
SSE
SSRF
TABLA DE ANÁLISIS DE VARIANZA ANOVA
Fuente de
variación
Suma de
cuadrados
Grados de
libertad
Cuadrado
medio
Fcalculado
Regresión SSR 1 SSR/1 SSR/S2
Error SSE n-2 SSE/(n-2)=S2
TOTAL SST n-1
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1) 0:
0:
10
10
H
H
2) α
3) Estadístico de prueba
2,1~
2
nF
n
SSE
SSRF
Rechazar Ho si
0FFcalculado
PRUEBA DE LINEARIDAD
TABLA DE ANÁLISIS DE VARIANZA
Fuente de
variación Suma de cuadrados
Grados
de
libertad
Cuadrado medio Fcalculado
Regresión SSR 1 SSR/1 SSR/S
2
Error SSE n-2 SSE/(n-2)=S2
SSE(Falta de ajuste) k-2 SSE(falta de ajuste)/(k-2)
2 exp
n k SSE faltadeajuste
k SSE Error puro
SSE(Error
experimental puro) n-k
SSE(Error experimental
puro)/(n-k)
TOTAL SST n-1
2
2
1 1
exp _n k
ii
i i i
TSSE Error erimental puro Y
n
1
in
i ij
j
T Y
exp _SSE Falta de ajuste SSE SSE Error erimental puro
La dependencia real de y y x
1) lineal es noy x y de real adependenci :
lineal esy x y de real adependenci :
0
0
laH
laH
2) α
3) Estadístico de prueba
knkF
kn
puroErrorSSEk
ajustefalatadeSSR
F
,2~exp2
_
Rechazar Ho si 0FFcalculado
ANÁLISIS DE CORRELACIÓN
YX
YX
,cov
TEOREMA
YY
XX
YYXX
XY
S
SB
SS
SR 1
SST
SSRR 2 COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN
INFERENCIA ESTADÍSTICA
1) 0:
0:
0
0
H
H
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2) α
3) Estadístico de prueba
22
~1
2
nt
R
nR
S
SSRT Rechazar Ho si 0tTcalculado
1) 00
00
:
:
H
H
2) α
3) Estadístico de prueba
1 13ln ~ 0,1
2 1 1
RnZ N
R
Rechazar Ho si 0ZZcalculado
INTERVALO DE CONFIABILIDAD PARA R
1
31
1ln
2
1
1
1ln
2
1
31
1ln
2
1 00
n
z
R
R
n
z
R
RP
1
31
1ln
2
1
1
1ln
2
1
31
1ln
2
1 00
BA
n
z
R
R
n
z
R
RP
1
12
2
A
A
e
e
1
1
1
12
2
2
2
B
B
A
A
e
eLS
e
eLI
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ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE
ESTIMACIÓN DE Bo,B1,B2,….,Bk
knnnn
k
k
k
kx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
X
...1
...
...1
...1
...1
...1
321
4342414
3332313
2322212
312111
n
i
ki
n
i
kii
n
i
kii
n
i
kii
n
i
ki
n
i
kii
n
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i
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i
ii
n
i
ii
n
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n
i
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n
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i
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n
i
ii
n
i
i
n
i
kii
n
i
ii
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
ki
n
i
i
n
i
i
n
i
i
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxn
A
1
2
1
3
1
2
1
1
1
1
3
1
2
3
1
32
1
31
1
3
1
2
1
32
1
2
2
1
21
1
2
1
1
1
31
1
21
1
2
1
1
1
11
3
1
2
1
1
...
...
...
...
...
...
ny
y
y
y
Y
3
2
1
kb
b
b
b
b
2
1
0
n
i
iki
n
i
ii
n
i
ii
n
i
i
T
yx
yx
yx
y
YXg
1
1
2
1
1
1
YXXXb
gAb
TT 1
1
INFERENCIA ESTADÍSTICA EN EL MARCO DE ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL
MÚLTIPLE TEOREMA
2iii CBVa
kkkkkk
k
k
k
k
CCCCC
CCCCC
CCCCC
CCCCC
CCCCC
A
...
...
...
...
...
...
3210
333231303
232221202
131211101
030201000
1
2,cov ijji CBB
TEOREMA
1
2
kn
SSES
k=número de variables independientes
1,000 NC
BZ
ii
n>32
100
kn
ii
tCS
BT
1) 00
00
:
:
ii
ii
BH
BH
0:
0:
10
10
H
H
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2) α
3) Estadístico de prueba
1i i
n k
ii
BT t
S C
Rechazar Ho si 0tTcalculado
4) ii
iicalculado
CS
bT
11
1 0
CS
bTcalculado
INTERVALO DE CONFIABILIDAD PARA Bi 1knt
100 iiiiiii CStBCStBP
PODER PREDICTIVO DEL MODELO
2
212
1 1
n
in ni
i i YY
i i
Y
SST Y Y Y Sn
2
1
0
n
iki
j j
j
Y
SSR b gn
SSRSSTSSE
Fuente de
variación Suma de cuadrados
Grados de
libertad Cuadrado medio Fcalculado
Regresión SSR k k
SSE
2kS
SSR
Error SSE 1 kn 2
1S
kn
SSE
TOTAL SST 1n
1,22
1
knkFkS
SSR
S
k
SSR
kn
SSEk
SSR
1) 0:
0....:
0
3210
i
k
AlmenosH
H
2) α
3) Estadístico de prueba
2kS
SSRF Rechazar Ho si 0FFcalculado
INTERVALO DE CONFIABILIDAD PARA 0302010 ,...,,,0 KXXXX
0
20
10
0
1
kx
x
x
X
020100 ...1 k
TxxxX
1,0ˆ
0
1
0
,...,,,00 0302010 NXAX
YZ
T
XXXX K
1
0
1
0
,...,,,00 0302010
ˆ
knT
XXXXt
XAXS
YT K
DENTRO DE LA REGIÓN DE MUESTREO
1ˆˆ0
1
000,...,,,00
1
000 0302010XAXStYXAXStYP T
XXXX
T
K FUERA DE LA REGIÓN DE MUESTREO
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1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0ˆ ˆ1 1 1T TP Y t S X A X Y Y t S X A X
ANÁLISIS DE CORRELACIÓN EN EL MARCO DE ANÁLISIS DE REGRESIÓN MÚLTIPLE
1,XY 1,XYR
YYXX
YX
XYSS
Sr
11
1
1,
n
YX
YXS
n
i
i
n
i
in
i
iiYX
11
1
1
11
2
1
2 YnYSn
i
iYY
1 1
22
1 1
1
n
X X i
i
S X nX
MATRIZ DE CORRELACIONES LINEAL SIMPLE
1 2 3
1 2 1 3 1
2 3 2
3
, , , ,
, , ,
, ,
,
1 ...
1 ...
1 ...
1 ...
...
1
k
k
k
k
y x y x y x y x
x x x x x x
x x x x
x x
r r r r
r r r
r rr
r
3311
31
31
,,
,
,
xxxx
xx
xxSS
Sr 31
1
31, 31xxnxxS
n
i
iixx
2
1
1
2
, 111xnxS
n
i
xx i
2
3
1
2
, 3133xnxS
n
i
xx i
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL MÚLTIPLE
n
i
n
i
i
i
n
i
n
i
i
i
n
i
i
n
i
in
i
ii
xxxxY
n
Y
Yn
Y
Y
n
YY
YY
rk
1
2
12
1
2
12
00
0,...,,,;
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
321
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
xxxxY
YnYYnY
YnYY
rk
1
22
1
22
1
2
,...,,,;
ˆ
ˆ
321
INFERENCIA ESTADÍSTICA RELACIONADO CON kxxxxY ,...,,,; 321
1) 0:
0:
,...,,,;1
,...,,,;0
321
321
k
k
xxxxY
xxxxY
H
H
2) α
3) Estadístico de prueba
1
,...,,,;2
,...,,,;
321
321
1
2
kn
xxxxY
xxxxYt
R
nRT
k
k Rechazar Ho si 0tTcalculado
1) 0,...,,,;1
0,...,,,;0
321
321
:
:
k
k
xxxxY
xxxxY
H
H
2) α
3) Estadístico de prueba
1,011
11ln
2
3
,...,,,;,...,,,;
,...,,,;,...,,,;
321321
321321 NR
RnZ
kk
kk
xxxxYxxxxY
xxxxYxxxxY
Rechazar Ho si 0zZcalculado
Aux. Univ. Samuel Condori Gutierrez FORMULARIO SIS3540 “a”
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COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL PARCIAL DE ORDEN 1
2
,
2
,
,,,
,
11 ZXZY
ZXZYXY
ZXY
rr
rrrr
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL PARCIAL DE ORDEN 2
2
,
2
,
,,,
,,
11 ZWXZWY
ZWXZWYZXY
WZXY
rr
rrrr
MATRIZ DE CORRELACIÓN PARCIAL
VARIABLE DE CONTROL X1
1
...
...1
...1
...1
...1
14
13143
12142132
1141312
,
,,
,,,
,,,,
xxx
xxxxxx
xxxxxxxxx
xxyxxyxxyxxy
k
k
k
k
r
rr
rrr
rrrr
2
,
2
,
,,,
,
1312
131232
132
11 xxxx
xxxxxx
xxx
rr
rrrr
VARIABLE DE CONTROL X1,X2
1
...
...1
...1
...1
...1
215
2142154
21321532143
21215214213
,,
,,,,
,,,,,,
,,,,,,,,
xxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxyxxxyxxxyxxxy
k
k
k
k
r
rr
rrr
rrrr
2
,
2
,
,,,,
,,
12512
12512215
215
11 xxxxxy
xxxxxyxxxy
xxxy
rr
rrrr
PRUEBA PARCIAL F
NOTACIÓN
SSR(X1)=suma de cuadrados explicada por una ecuación de regresión que incluye solamente a la variable
x1.
SSR(X2/X1)=Suma de cuadrados “extra” explicada por una ecuación de regresión que incluye, adiciona a la
variable c2 a un modelo de regresión que ya incluye x1.
SSR(X2/X1,X2)=Suma de cuadrados “extra” explicada por una ecuación de regresión que adiciona la
variable x3 a un modelo de regresión que ya incluye a las variables x1 y x2.
SSR(X3,X4/X1,X2)=Suma de cuadrados “extra” explicada por una ecuación de regresión que adiciona las
variables x3 y x4 a un modelo que ya incluye a las variables x1 y x2.
SSR(X2/X1)=SSR(X1,X2)-SSR(X1)
SSR(X3/X1,X2)=SSR(X1,X2,X3)-SRR(X1,X2)
hhPpZZZXXXXY ZZZXXXXhP
...... 22113322110,...,,,,...,,, 21321
Ho: La inclusión de las variables z1, z2,…,zh a un modelo que ya incluye a las variables x1,x2,x3,..,xp No
mejora significativamente la predicción de la variable dependiente Y
H1: La inclusión de las variables z1, z2,…,zh a un modelo que ya incluye a las variables x1,x2,x3,..,xp SI
mejora significativamente la predicción de la variable dependiente Y
1) 0__:
0...:
1
210
i
h
menosAlH
H
0:
0:
,...,,,,...,,,;1
,...,,,,...,,,;0
321321
321321
ph
ph
xxxxzzzzY
xxxxzzzzY
H
H
2) α
3) Estadístico de prueba
1,2121
212121
1
,...,,,,...,,
,...,,,...,,,,...,,
hpnhhp
php
F
hpn
ZZZXXXSSEh
XXXSSRZZZXXXSSR
F Rechazar Ho si 0FFcalculado
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ANÁLISIS DE REGRESIÓN CON VARIABLES CUALITATIVAS
1) 0:
0:
11
10
H
H
H0: No existe diferencia entre el modelo
H1: Existe diferencia entre los modelos
2) α
3) Estadístico de prueba
211
/
n
DD
tSS
BF
Rechazar Ho si 0tTcalculado
1) 0:
0:
11
10
H
H
H0: La diferencia entre el ahorro y el ingreso no a cambiando con el cambio de siglo
H1: La diferencia entre el ahorro y el ingreso a cambiando con el cambio de siglo
2) α
3) Estadístico de prueba
1,11
111
1
,...,,
,...,,
hpnhF
hpn
DXDXSSEh
XSSRDXDXSSR
F Rechazar Ho si 0FFcalculado
¿Son las restas de regresión paralelas?
1) 0:
0:
541
540
oy
H
H
H0: Las restas de regresión son paralelas
H1: Las restas de regresión son paralelas
2) α
3) Estadístico de prueba
1,2121
212121
1
,,,,
,,,,,,
hpnhF
hpn
XDXDDDXSSEh
DDXSSRXDXDDDXSSR
F Rechazar Ho si 0FFcalculado
¿Son las rectas coincidentes?
1) 0ln:
0:
1
54320
igunAH
H
H0: Las restas de regresión son coincidentes
H1: Las restas de regresión no son coincidentes
2) α
3) Estadístico de prueba
1,2121
2121
1
,,,,
,,,,
hpnhF
hpn
XDXDDDXSSEh
XSSRXDXDDDXSSR
F Rechazar Ho si 0FFcalculado
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ANÁLISIS DE VARIANZA
ANÁLISIS DE VARIANZA EN UNA DIRECCIÓN (ONE WAY ANOVA)
PRUEBAS PARA LA IGUALDAD DE VARIAS MEDIAS
Tratamientos
1 2 3 i k
Mu
estr
a
Y11 Y21 Y31 ….. Yi1 ….. Yk1
Y12 Y22 Y32 ….. Yi2 ….. Yk2
Y13 Y23 Y33 ….. Yi3 ….. Yk3
Y1n Y2n Y3n ….. Yin ….. Ykn
Totales 1T 2T
3T
iT
kT
T
Medias 1Y 2Y
3Y
iY
kY
Y
n
j
iji YT1
k
i
iTT1
n
TY i
i
nk
TY
TEOREMA
k
i
inkSSAE1
221
Un primer estimador está basado en k-1 grados de libertad
Si Ho es verdadero 0...321 k
21 kSSAE 2
1
k
SSAE
1
2
1
k
SSAS es un estimador incesgado de
2
12
nk
SSES
1,12
2
1 nkkF
S
SF
ANOVA
Fuente de
variación
Suma de
cuadrados
Grados de
libertad Cuadrado medio Fcalculado
Tratamientos SSA 1k 2
11
Sk
SSA
2
2
1
S
S
Error SSE 1nk
2
1S
nk
SSE
TOTAL SST 1nk
1) diferentessonmediasededosAlmenosH
H k
stas :
...:
1
3210
H0: Las medias de los diferentes tratamientos son iguales
H1: Al menos dos de las medias son diferentes
2) α
3) Estadístico de prueba
1,12
2
1
1
1
nkkF
nk
SSEk
SSA
S
SF
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samcongut@hotmail.com
Rechazar Ho si 0FFcalculado 4) Si las n1=n2=n3=n son iguales
Fuente de
variación
Suma de
cuadrados
Grados de
libertad Cuadrado medio Fcalculado
Tratamientos SSA 1k 2
11
Sk
SSA
2
2
1
S
S
Error SSE 1nk
2
1S
nk
SSE
TOTAL SST 1nk
nk
TYSST
k
i
n
j
ji
2
1 1
2
,
nk
T
n
T
SSA
k
i
i 2
1
2
SSASSTSSE
Si las in son diferentes
In
j
iji YT1 i
ii
n
TY
knnnnN ...321
Fuente de
variación
Suma de
cuadrados
Grados de
libertad Cuadrado medio Fcalculado
Tratamientos SSA 1k 2
11
Sk
SSA
kN
SSEk
SSA
1
Error SSE kN 2S
kN
SSE
TOTAL SST 1N
N
TYSST
k
i
n
j
ji
i 2
1 1
2
,
N
T
n
TSSA
k
i i
i
2
1
2
SSASSTSSE
PRUEBAS PARA LA IGUALDAD DE VARIABLES
1) diferentessonianzasestasdedosAlmenosH
H k
var :
...:
1
22
3
2
2
2
10
2) α
3) Estadístico de prueba
BARTLETDEDISTRICION
S
SSSB
p
kNn
k
nn k
.....
2
11212
2
12
1
21
Donde: in Tamaño de la muestra del i-ésimo tratamiento
k
i
inN1
k Número de tratamientos
2
iS Varianza de la muestra correspondiente al tratamiento i
in
i
iji
i
i YYn
S1
2
,
2
1
1
kN
Sn
S
k
i
ii
p
1
2
2
1
(Media de las varianzas de los tratamientos)
Aux. Univ. Samuel Condori Gutierrez FORMULARIO SIS3540 “a”
samcongut@hotmail.com
Rechazar Ho si 0bBcalculado
Si n1=n2=n3=…=nk=n ->> tablab0
Si ni son diferentes ->>
N
nbnnbnnbnb kk ,....,, 0202101
0
INQUIETUD
DEFINICIÓN
Cualquier función lineal de la forma
k
i
iicW1
donde 01
k
i
ic
1)
0:
0:
1
1
1
0
k
i
ii
k
i
ii
cH
cH
2) α
3) Estadístico de prueba
kkYcYcYcW ....2211 2; WWNW
k
i
iikkW cccc1
2211 ....
k
i i
iW
n
c
1
222 1;0N
WZ
W
W
WSS Suma de cuadrados de comparación W. Representa la comparación de SSA explicada por el
contraste W kNW F
S
SSF ,12
DEFINICIÓN
Dos contrastes
k
i
iicW1
1 y
k
i
iibW1
2 son ortogonales si 01
k
i
iibc (muestras del mismo
tamaño) ò 01
k
i i
ii
n
bc
Si W1 y W2 son ortogonales entonces las cantidades SSW1 y SSW2 son componentes SSA cada una
con 1 grado de libertad
121....
KWWW SSSSSSSSA
Siempre y cuando W1, W2,.., Wk sean mutuamente ortogonales (ortogonales 2 a 2)
k
i i
i
k
i i
ii
k
i i
i
k
i
ii
W
n
c
n
Tc
n
c
Yc
SS
1
2
2
1
1
2
2
1
Si n1=n2=n3=……=nk=n
k
i
i
k
i
ii
W
cn
Tc
SS
1
2
2
1