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FÍSICA I
Alcides Mendoza Coba (Dalhy) 2015
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FÍSICA I
Alcides Mendoza Coba (Dalhy) 2015
PRESENTACIÓN
La presente publicación constituye el volumen I de cuatro volúmenes de Física I.
Es una publicación que se ha estructurado en base a conocimientos y problemas de Física
acordes con las últimas publicaciones de los diferentes autores, así como de las exigencias de las
universidades que sí evalúan mediante un examen de admisión.
La característica de la presente publicación es la utilización de colores para desarrollo de las
diferentes explicaciones, de tal forma que sea más entendible, permitiendo a quienes se
interesan por el aprendizaje de la Física asumir un aprendizaje de manera autodidacta.
Es necesario aclarar que la presente publicación contiene parte de la Física que recurre al
desarrollo de aplicaciones a partir de principios, teorías o leyes, recurriendo a la Matemática,
por eso en muchos casos en diferentes colegios, academias e incluso universidades hacen creer
que eso es la Física, convirtiéndose en una materia aburrida y tediosa.
La Física es interesante y una de las ciencias que permite y ha permitido en el transcurso de la
historia ir comprendiendo el comportamiento de la naturaleza, de tal forma que los científicos
han ido planteando proyectos y ejecutando invenciones que permite tener mejor calidad de
vida, tales como con la invención de equipos para detectar enfermedades, mejorar las
comunicaciones mediante la invención de satélites, entre otros de muchísima importancia.
El propósito de la presente publicación es facilitar el aprendizaje, desde lo más básico hasta lo
más profundo; por ello, se plantean ejercicios en tres niveles: básico, medio y avanzado.
El volumen I contiene los siguientes tópicos:
Capítulo I: Conceptos Básicos
Capítulo II: Magnitudes Físicas
Capítulo III: Análisis dimensional
Capítulo IV: Escalares y vectores
Capítulo V: Cinemática (Movimiento Rectilíneo Uniforme)
Espero aportar en algo a quienes consulten y desarrollen los ejercicios planteados, al mismo
tiempo indicarles que la publicación siempre irá mejorando en el transcurso del tiempo.
Dalhy
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CAPÍTULO I
CONCEPTOS BÁSICOS
1. NOTACIÓN CIENTÍFICA
La notación científica de un número, es la representación de un número de la forma:
N x 10n
Donde:
N es un número entero de una sola cifra, es decir que los valores pueden ser del 1 al 9.
n es un número entero cualquiera que indica cuántas cifras se ha recorrido a la derecha o
a la izquierda la coma decimal.
Ejemplo:
Representar en notación científica cada uno de los siguientes números:
A) 45000 en notación científica es: 4,5 x 104
Explicación
B) 0,00000345 en notación científica es: ……………………………………….
Desplazamiento de la coma decimal 4 (n) cifras hacia la izquierda
4 5 0 0 0 RESULTA 4,5 x 104
0,00000345 RESULTA 3, 45 x 10-6
Desplazamiento de la coma decimal 6 (n) cifras hacia la derecha
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IMPORTANTE
Es necesario aclarar que cuando la coma decimal se mueve a la derecha el exponente de la
base 10 es un número entero negativo; en cambio, cuando la coma decimal se mueve a la
izquierda el exponente de la base 10 es positivo.
OPERACIONES CON NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA
A) ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN.
Para sumar o restar números en notación científica se debe tener en cuenta que todas las
bases 10 tengan el mismo exponente; en caso que no tengan el mismo exponente,
primero se igualan los exponentes. Para la adición de números en notación científica se
tiene en cuenta lo siguiente:
ax10n + bx10n + cx10n = (a+b+c) x10n
Ejemplo:
Determinar la respuesta en notación científica de:
a) 2,5x105 + 3,5x105+ 1,5x105 = (2,5 + 3,5 +1,5) x 105 = 7,5 x 105
b) 6,3x106 + 6,9x106 + 7,3x106 = (6,3 +6,9 +7,3) x106 = 20,5 x106
= 2,05 x106
c) 48x109 + 6,9x1010 + 730x108 = 4,8 x1010 + 6,9 x1010 x 7,30 x1010
= 19x1010 = 1,9 x1011
B) MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA
Para multiplicar números en notación científica se procede teniendo en cuenta lo
siguiente:
(ax10n) (bx10m) = (a x b) x10m+n
Ejemplos:
Determinar en notación científica el resultado de las siguientes multiplicaciones:
(2,0 x 105) (3,0 x 1012) = (2,0 x 3,0) x 105 + 12
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C) DIVISIÓN DE NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA
Para dividir números en notación científica se procede teniendo en cuenta lo siguiente:
𝑎10𝑛
𝑏10𝑚 = 𝑎
𝑏𝑥10𝑛−𝑚
Ejemplos.
Determinar en notación científica el resultado de las siguientes divisiones
8𝑥108
4𝑥106 = 8
4𝑥108−6= 2 x 102
2. PRECISIÓN Y EXACTITUD
La exactitud es la cercanía del resultado de una medición al valor verdadero.
La precisión es la cercanía de los valores de unos con otros. Es decir, Precisión se refiere a
la dispersión del conjunto de valores obtenidos de mediciones repetidas de una magnitud.
Cuanto menor es la dispersión mayor la precisión
11111
1. Exactitud alta precisión baja
2. Exactitud alta precisión alta
3. Exactitud baja y precisión alta
3. CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Salvo cuando todos los números sean enteros (por ejemplo, contar el número de
estudiantes en un salón de clases), suele ser imposible obtener el valor exacto de la cantidad
que se investigue. Por ello, es importante señalar el margen de error en una medición al
indicar con claridad el número de cifras significativas, que son los dígitos significativos
Fuente: RED
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en una cantidad medida o calculada. Al usar las cifras significativas, se da por entendido
que el último dígito es incierto. Por ejemplo, podría medirse el volumen de cierto líquido
con una probeta graduada con una escala tal que la incertidumbre en la medición sea de 1
mL. Si el volumen resulta ser de 6 mL, entonces el volumen real se ubica en el intervalo de
5 mL a 7 mL. Ese volumen lo representamos como (6 ± 1) mL. En este caso, existe una sola
cifra significativa (el dígito 6) con incertidumbre de más o menos 1 mL. A fin de lograr
mayor exactitud, podríamos usar una probeta graduada con divisiones más finas, de modo
que ahora el volumen medido tenga incertidumbre de apenas 0.1 mL. Si el volumen del
líquido resulta de 6.0 mL, la cantidad se expresaría como (6.0 n± 0.1) mL y el valor real se
ubicaría entre 5.9 y 6.1 mL. Aunque es posible mejorar adicionalmente el dispositivo de
medición y obtener más cifras significativas, en cada caso el último dígito es siempre
incierto; la magnitud de tal incertidumbre depende del dispositivo de medición usado.
(CHANG, 2013).
4. LINEAMIENTOS PARA EL USO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS
En el trabajo cuentico, siempre debemos tener el cuidado de escribir el número adecuado
de cifras significativas. En general, es más bien sencillo determinar cuántas cifras
significativas tiene un número, si se acatan las reglas siguientes:
a) Todo dígito que no sea cero es significativo.
Ejemplo:
845 cm tiene tres cifras significativas,
1.234 kg tiene cuatro, y así sucesivamente.
b) Los ceros entre dígitos distintos de cero son significativos.
Ejemplo:
606 m incluye tres cifras significativas
40 501 kg posee cinco cifras significativas, etcétera
c) Los ceros a la izquierda del primer dígito distinto de cero no son significativos. Su pro-
pósito es indicar la ubicación del punto decimal.
Por ejemplo:
0.08 L tendría una cifra significativa
0.0000349 g, tres cifras significativas
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d) Si un número es mayor que la unidad, todos los ceros escritos a la derecha del punto
decimal cuentan como cifras significativas.
Por ejemplo:
2.0 mg tiene dos cifras significativas
40.062 mL, cinco
3.040 dm, cuatro cifras significativas.
En el caso de números menores que la unidad, son significativos sólo los ceros que
están al final del número y los que aparecen entre dígitos distintos de cero. Ello
significa que:
0.090 kg tiene dos cifras significativas
0.3005 L, cuatro
0.00420 min, tres, y así sucesivamente.
e) En cuanto a números que no incluyen el punto decimal, los ceros que están a la derecha (es
decir, después del último dígito distinto de cero) podrían ser significativos o no. Así, 400
cm tendría una cifra significativa (el dígito 4), dos (40) o tres (400). Es imposible afirmar
cuál de esas opciones es la correcta sin más información. Sin embargo, con la notación
científica se evita tal ambigüedad. En este caso particular, es posible expresar el número
400 como 4 x 102 para considerar una cifra significativa; 4.0 x 102 para dos cifras, o 4.00 x
102 para tres cifras significativas.
Cálculo con cifras significativas
Cuando se multiplican muchas cantidades, el número de cifras significativas en la
respuesta final es el mismo que el número de cifras significativas en la cantidad que
tiene el número más pequeño de cifras significativas. La misma regla aplica para la
división.
Cuando los números se sumen o resten, el número de lugares decimales en el
resultado debe ser igual al número más pequeño de lugares decimales de cualquier
término en la suma.
PRÁCTICA DE LABORATORIO 1:
Guía adicional
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CAPÍTULO II
MAGNITUDES FÍSICAS
GENERALIDADES
Es necesario que se desarrollen conceptos básicos referentes a las magnitudes, de tal forma que
luego se puedan aplicar y comprender en el desarrollo de situaciones problemáticas teóricas,
posteriormente en la aplicación en el desarrollo de las prácticas de laboratorio.
1. MAGNITUD
En el Diccionario de la Lengua Española en una de las acepciones de magnitud indica:
“Propiedad física que puede ser medida”; en otras palabras es todo lo que se puede medir.
En otras palabras la magnitud se puede definir como la propiedad o cualidad medible de un
sistema físico que puede ser un cuerpo, una partícula, una parte del universo, una cualidad
de manifestación de un fenómeno, etc.
2. CLASES DE MAGNITUDES
Las magnitudes se pueden clasificar por su origen y por su naturaleza.
a) Clases de magnitudes por su origen.
Las magnitudes pueden ser unidades fundamentales y unidades derivadas.
Según el Sistema Internacional de Medidas (S.I.), las magnitudes fundamentales son las
siguientes:
Magnitud Nombre de la
unidad
Símbolo de la
unidad
Dimensión
Masa kilogramo kg M
Longitud metro m L
Tiempo segundo s T
Temperatura Kelvin K ϴ
Intensidad luminosa Candela cd J
Cantidad de sustancia Mol mol N
Intensidad de corriente
eléctrica
Amperio A I
Las magnitudes derivadas provienen de la combinación de las magnitudes
fundamentales, algunas de ellas son las siguientes:
Área, volumen, densidad, presión, energía cinética, energía potencial, calor, trabajo, etc
Masa y peso
Aunque los términos “masa” y “peso” suelen usarse indistintamente, en sentido estricto
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se trata de cantidades diferentes. Mientras que la masa es una medición de la cantidad
de materia en un objeto, el peso, en sentido técnico, es la fuerza que ejerce la gravedad
sobre un objeto.
Volumen
La unidad de longitud del SI es el Metro (m) y la unidad derivada del SI para volumen
es el metro cúbico (m3)
Temperatura
La temperatura es una magnitud referida a las nociones comunes de caliente, tibio o frío
que puede ser medida con un termómetro. En física, se define como una magnitud
escalar relacionada con la energía interna de un sistema termodinámico, definida por el
principio cero de la termodinámica. Más específicamente, está relacionada directamente
con la parte de la energía interna conocida como «energía cinética», que es la energía
asociada a los movimientos de las partículas del sistema, sea en un sentido traslacional,
rotacional, o en forma de vibraciones. A medida de que sea mayor la energía cinética de
un sistema, se observa que éste se encuentra más «caliente»; es decir, que su temperatura
es mayor (RED)
Escala Celsius o centígrada. Esta escala es de uso popular en los países que adhieren al
Sistema Internacional de Unidades, por lo que es la más utilizada mundialmente.
Considera como punto de fusión del hielo a cero grados y como punto de ebullición a
100 grados centígrados.
Escala Fahrenheit. En los países anglosajones se pueden encontrar aún termómetros
graduados en grado Fahrenheit (°F), propuesta por Gabriel Fahrenheit en 1724. La escala
Fahrenheit difiere de la Celsius tanto en los valores asignados a los puntos fijos, como en
el tamaño de los grados. En la escala Fahrenheit los puntos fijos son los de ebullición y
fusión de una disolución de cloruro amónico en agua. Así al primer punto fijo se le
atribuye el valor 32 y al segundo el valor 212.
Escala Kelvin o absoluta. Considera como punto de fusión del hielo a 273,15 grados
Kelvin y como punto de ebullición 373, 15 grados Kelvin. En la escala Kelvin existe el
10 cm
10 cm
10 cm
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cero absoluto.
En la escala absoluta, al 0 °C le hace
corresponder 273,15 K, mientras que
los 100 °C se corresponden con 373,15
K. Se ve inmediatamente que 0 K está
a una temperatura que un
termómetro centígrado señalará
como -273,15 °C. Dicha temperatura
se denomina "cero absoluto".
Escala Rankine. Se denomina
Rankine (símbolo R) a la escala de
temperatura que se define midiendo
en grados Fahrenheit sobre el cero
absoluto, por lo que carece de valores
negativos. Esta escala fue propuesta por el físico e ingeniero escocés William Rankine en
1859.
𝐶
100=
𝐹 − 32
180=
𝐾 − 273
100 =
𝑅 − 492
180
b) Clases de magnitudes por su naturaleza
Las magnitudes pueden ser escales y vectoriales
Magnitudes escalares. Aquellas magnitudes que para su definición solo se necesita
conocer un valor numérico (módulo) y una unidad de medida reconocida.
Ejemplo:
Magnitudes vectoriales: son aquellas magnitudes en las que además de tener el
valor numérico (módulo) y la unidad, se necesita conocer una dirección, un sentido
y un punto de aplicación.
Ejemplo: la velocidad
m 5
Módulo
Unidad
18
Unidad
Módulo m/s Norte a Sur Dirección
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3. MEDIR
Según el Diccionario de la lengua española, en una de sus acepciones indica que medir es
“Comparar una cantidad con su respectiva unidad, con el fin de averiguar cuántas veces la
segunda está contenida en la primera”. Por ejemplo: Cuántas veces la longitud (contiene a
la unidad) de un árbol contiene a un metro (unidad).
4. CONVERSIÓN DE UNIDADES
Primero es necesario comprender en qué consiste el factor unitario.
El factor de conversión, factor unitario o de unidad es una fracción donde el numerador
y el denominador son medidas iguales expresadas en unidades distintas, de tal manera,
que esta fracción vale la unidad. Este método es efectivo para cambio de unidades y
resolución de ejercicios relacionados con el cambio de unidades.
Se llama factor unitario porque a pesar que el numerador es diferente al denominador,
al operarlo teniendo en cuenta las equivalencias, equivale a la unidad. Ejemplo
En este caso 1 kilómetro entre 1000 metros equivale a la unidad, porque ambos tienen
mil metros. También puede presentarse de la siguiente manera:
Otros ejemplos de factor unitario son los siguientes:
En todos los ejemplos tiene como resultado la unidad, entonces son ejemplos de
factor unitario
1 km
1000 m = 1
1000 m
1 km = 1
1 semana
7 días = 1
7 días
1 semana = 1
1 hora
3600 s = 1 60 minutos
3600 s = 1 = 1
1 hora
60 minutos
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Para la realización de la conversión de unidades, mediante el método del factor
unitario se realiza mediante multiplicaciones sucesivas hasta llegar a las unidades
solicitadas.
Ejemplo 1
1. Convertir 280 días a semanas. (Se sabe que 1 semana es igual a 7 días).
Convertir 20 m/s a km/h
(Recuerden; 1h = 3600 segundos y 1 km = 1000m)
Es decir que 20 m/s equivale a decir 72 km/h
5. PREFIJOS UTILIZADOS CON LAS UNIDADES
7
1 semana 280 días x
7 días =
280 x 1 semana = 40 semanas
s 20 m
x 1 km
1000 m
3600 s
1 h x =
20 x 1 x 3600 km
1000 h =
72 km
h
UNIDAD
Prefijo Símbolo Factor
deci d 10-1
centi c 10-2
mili m 10-3
micro µ 10-6
nano n 10-9
pico p 10-12
femto f 10-15
atto a 10-18
zepto z 10-21
yocto y 10-24
Prefijo Símbolo Factor
yotta Y 1024
zetta Z 1021
exa E 1018
peta P 1015
tera T 1012
giga G 109
mega M 106
kilo k 103
hecto h 102
deca da 101
UNIDAD
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Ejemplos de la utilización de prefijos (Chang, R. 2012)
2.1. EQUIVALENCIA DE UNIDADES
Longitud
1m = 100 cm = 1000mm = 39,37 pulg = 1,0936 yardas
1pulg = 0,025 m = 2,54 cm
1km = 1000m
1 milla terrestre = 1, 609 km
1 Armstrong = 10-10 m = 10-8 cm
1 yarda = 0,994 m
1 pie = 12 pulg
Masa
1Kg = 1000 g = 2,205 libras
1 libra = 453,6 gramos
1 onza = 28,32 gramos
1T.M = 1000 kg = 2205 libras
1 arroba = 25 libras
Volumen
1litro = 1000cm3 = 1000ml
1m3 = 1000 litros = 1000 dm3
1pie3 = 28,32 litros
Energía
1 caloría = 4,184 Joule
1 Joule = 0,239 caloría
1 Joule = 1 x107 ergios
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1 B.T.U. = 1055 Joule
1 atm-L = 24,21 cal = 101,325J
Presión
1 atm = 101,325 Pascal = 760 mmHg = 760 Torr
1 Pascal = 1N/m2
1 bar = 105Pa
1 atm = 29,92 pulg Hg
1 atm = 14,70lb/pulg2
Tiempo
1 hora = 60 minutos = 3600 segundos
1 año 365 días
1 día 24 horas
1 año bisiesto = 366 días
1 década = 10 años
1 siglo = 100 años
1 milenio = 1000 años
EJERCICIOS PARA RESOLVER I
NIVEL BÁSICO
1. El bromo es un líquido pardo rojizo. Calcule su densidad en g/mL) si 586 g de la sustancia
ocupan 188 mL. 1.22
2. La densidad del etanol, líquido incoloro comúnmente llamado alcohol de grano, es de
0.798 g/mL. Calcule la masa de 17.4 mL de este líquido.
3. Convierta las temperaturas siguientes a grados Celsius o Fahrenheit:
95°F, la temperatura de un caluroso día veraniego
12°F, la temperatura de un frío día invernal;
Fiebre de 102°F;
Un horno que funciona a 1 852°F, y
−273.15°C (en teoría, la temperatura más baja posible).
4. Normalmente, el cuerpo humano soporta temperaturas de 105°F sólo durante breves
periodos sin que ocurra daño permanente en el cerebro y otros órganos vitales. ¿Cuál es
esa temperatura en grados Celsius?
5. El etilenglicol es un compuesto orgánico líquido que se usa como anticongelante en
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radiadores de automóviles. Se congela a −11.5°C Calcule su temperatura de congelación
en grados Fahrenheit.
6. La temperatura en la superficie solar es de unos 6 300°C. ¿Cuál es esa temperatura en
grados Fahrenheit?
7. La temperatura de ignición del papel es de 451°F. ¿Cuál es esa temperatura en grados
Celsius?
8. Convierta las temperaturas siguientes a kelvin: 113°C, el punto de fusión del azufre;
37°C, la temperatura normal del cuerpo humano, 357°C, el punto de ebullición del
mercurio
9. Convertir
22.6 m a decímetros
25.4 mg a kilogramos
556 mL a litros
10.6 kg/m a g/cm
242 lb a miligramos
10. La rapidez promedio del helio a 25° C es 1 255 m/s. Convierta esta rapidez a millas por
hora (mph).
11. ¿Cuántos minutos tarda en llegar la luz del Sol a la Tierra? (La longitud del Sol a la Tierra
es de 93 000 000 millas). A fin de que un avión caza despegue de un portaaviones, debe
alcanzar una rapidez de 62 m/s. Calcule esa rapidez en millas por hora (mph).
12. El contenido “normal” de plomo de la sangre humana es de unas 0.40 partes por millón
(es decir, 0.40 g de plomo por millón de gramos de sangre). Se considera peligroso que
alcance un valor de 0.80 partes por millón (ppm). ¿Cuántos gramos de plomo contienen
6.0 X 103 g de sangre (la cantidad promedio en un adulto) si el contenido de plomo es de
0.62 ppm?
NIVEL MEDIO
13. Calcular la masa de una esfera de oro con radio de 10.0 cm [el volumen de una esfera con
radio r es V = (4/3)πr3; la densidad del oro es de 19.3 g/cm3.
14. El procedimiento siguiente se usa para determinar el vo-lumen de un matraz. Se pesa el
matraz seco y luego se pesa lleno de agua. Si las masas del matraz vacío y el matraz lleno
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son 56.12 g y 87.39 g, respectivamente, y la densidad del agua es de 0.9976 g/cm3. Calcular
el volumen del matraz en cm3.
15. La vainillina (usada para dar sabor al helado de vainilla y otros alimentos) es una
sustancia cuyo aroma es detectable por la nariz humana en cantidades muy pequeñas. El
límite de umbral es de 2.0 x 10−11 g por litro de aire. Si el precio actual de 50 g de vainillina
es de 112 dólares, determine el costo para que el aroma de vainillina sea detectable en un
hangar para aviones, con volumen de 5.0 x 107 pies3.
16. ¿Cuál es la temperatura en la que el valor numérico en un termómetro de grados Celsius
es igual al de un termómetro de grados Fahrenheit?
17. Suponiendo que se crea una nueva escala de temperatura, en la que el punto de fusión
del etanol (-117.3°C) y su punto de ebullición (78.3°C) se toman como 0°S y 100°S,
respectivamente, donde S es el símbolo de la nueva escala de temperatura. Derive una
ecuación que relacione un valor de esta escala con un valor de la escala Celsius. ¿Qué
lectura daría este termómetro a 25°C?
18. Calcule el error porcentual de las mediciones siguientes:
La densidad del alcohol (etanol) resulta ser de 0.802 g/mL (valor verdadero de
0.798 g/mL)
la masa de oro en un arete es de 0.837 g (valor verdadero de 0.864 g.
19. Un galón de gasolina en el motor de un automóvil pro-duce en promedio 9.5 kg de
dióxido de carbono, que es un gas de invernadero, es decir, que promueve el
calentamiento de la atmósfera terrestre. Calcule la producción anual de dióxido de
carbono en kilogramos si existen 40 millones de automóviles en Estados Unidos y cada
uno recorre una longitud de 5 000 millas con con-sumo de 20 millas por galón.
20. Las reservas mundiales totales de petróleo se calculan en 2.0 X 1022 J (el joule es una
unidad de energía en la que 1 J= 1 kg m2 /s2). Al ritmo actual de consumo, de 1.8 X1020
J/año, ¿cuánto tardarán en agotarse las reservas? (cálculo que data del año 1990)
21. Las feromonas son compuestos que secretan las hembras de muchas especies de insectos
para atraer a los machos. Es habitual que basten 1.0 x 10−8 g de una feromona para llegar
a todos los machos correspondientes en un radio de 0.50 millas. Calcule la densidad de la
feromona (en gramos por litro) en un espacio cilíndrico de aire con un radio de 0.50 millas
y una altura de 40 pies.
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NIVEL AVANZADO
22. Convertir 2800 m/s a Picómetro por hora.
23. Convertir 480 m/h a mm/centésimas de Segundo.
24. Convertir 0,80 Kilowatt (kW)a ft.lbf/s.
25. Convertir 789520 ergios a litros. Atmósfera.
26. Convertir 22222 Watt segundo (W.s) a Kilovatio hora (kW.h).
27. Convertir 5000 Milivolt (mV) a kilovoltios.
28. Convertir 4000 din/cm² a Pascal (Pa).
29. Una pirámide tiene una altura de 481 ft y su base cubre una área de 13.0 acres El volumen
de una pirámide está dado por la expresión V = 1
3Bh,
donde B es el área de la base y h es la altura.
Encuentre el volumen de esta pirámide en metros
cúbicos. (1 acre = 43 560 ft2) (Serway)
30. Suponga que Bill Gates le ofrece $1 000 millones si es capaz de terminar de contarlos
usando sólo billetes de un dólar. ¿Debe aceptar su oferta? Explique su respuesta. Suponga
que cuenta un billete cada segundo y advierta que necesita al menos 8 horas al día para
dormir y comer. ¿Cuánto tiempo necesitará para terminar de contarlos? (Serway).
31. El diámetro de la galaxia con
forma de disco, la Vía Láctea, es
de aproximadamente 1.0 x105
años luz (a–l). La distancia a la
galaxia Andrómeda, que es la
galaxia espiral más cercana a la
Vía Láctea, es de alrededor de 2.0
millones de a–l. Si un modelo a escala representa las galaxias Vía Láctea y Andrómeda
como platos soperos de 25 cm de diámetro, determine la distancia entre los centros de los
dos platos. (Serway)
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FÍSICA I
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32. Un chorro de agua elevado se ubica en el centro de
una fuente, como se muestra en la figura. Un
estudiante camina alrededor de la fuente, evitando
mojar sus pies, y mide su circunferencia en 15.0 m.
A continuación, el estudiante se para en el borde de
la fuente y usa un transportador para medir el
ángulo de elevación de la fuente que es de 55.0°.
¿Cuál es la altura del chorro?
33. Un niño adora ver cómo llena una botella de plástico transparente con champú. Las
secciones transversales horizontales de la botella son círculos con diámetros variables
porque la botella es mucho más ancha en algunos lugares que en otros. Usted vierte
champú verde brillante con una relación de flujo volumétrico constante de 16.5 cm3 /s.
¿En qué cantidad el nivel de la botella se eleva a) a un punto donde el diámetro de la
botella es de 6.30 cm y b) a un punto donde el diámetro es de 1.35 cm?
530
PRÁCTICA DE LABORATORIO 2:
Guía adicional
19
FÍSICA I
Alcides Mendoza Coba (Dalhy) 2015
CAPÍTULO III
ANÁLISIS DIMENSIONAL
El Análisis Dimensional es una parte auxiliar de la Física que estudia las relaciones
entre las magnitudes fundamentales y derivadas, en el Sistema Internacional de
Unidades (San Marcos, 2008).
ECUACIÓN DIMENSIONAL
Son expresiones matemáticas que permiten relacionar mediante una igualdad las
magnitudes fundamentales y magnitudes derivadas.
La dimensión de una magnitud se representa mediante la siguiente forma:
[A] se lee “Dimensión de la magnitud física de A”.
Ejemplos:
[tiempo] = T
[masa] = M
[Volumen] = L x Lx L = L3
REGLAS PARA LAS ECUACIONES DIMENSIONALES
1. La adición y sustracción de las mismas unidades en una ecuación dimensional da como
resultado la misma unidad.
Ejemplos:
a) MT-2 - MT-2 + MT-2 + MT-2 + MT-2 = MT-2
b) LM + LM + LM + LM – LM = LM
2. Todas las funciones trigonométricas, el valor numérico de los ángulos, las
funciones logarítmicas y, en general, cualquier número, se considera
adimensional, siendo su dimensión la unidad.
Ejemplos:
[coseno 300] = 1
[ ángulo3000] = 1
20
FÍSICA I
Alcides Mendoza Coba (Dalhy) 2015
[logaritmo 100] = 1
[3,1415…] = 1
[Log 140. L] = 1.L = L
3. Todo exponente es un número, por lo tanto dimensionalmente es igual a la
unidad.
BX = C; entonces las dimensión de [x]= 1
4. Si una función trigonométrica se encuentra como coeficiente dimensionalmente
es igual a la unidad y si se encuentra como exponente toma el valor de la función
trigonométrica.(WEZ,2014).
Ejemplo:
AF + sen370C – Rsen 37° = P
Este ejemplo permite escribirlo de la siguiente manera:
AF + C – R3/5 = P
5. Principio de homogeneidad dimensional. Si una fórmula física es correcta, es
decir, es dimensionalmente correcta (homogénea), todos los términos de la
ecuación deben ser dimensionalmente iguales.
A + G + H -𝟏
𝑻
Es decir:
[A] = [G] = [H]= [ 𝟏
𝑻 ]
6. La ecuación dimensional de una determinada dimensión no se debe expresar en
forma de fracción, por lo que las letras que están como denominadores se pasan
al numerador con el exponente cambiado.
Ejemplo:
Densidad = masa
volumen =
M
L3 = ML-3
21
FÍSICA I
Alcides Mendoza Coba (Dalhy) 2015
Magnitudes Derivadas
Magnitud Fórmula
Física
Unidad de la magnitud
derivada
Dimensión
Área A =
(longitud)2
Metro cuadrado (m2) L2
Volumen V
=(longitud)3
Metro cúbico (m3) L3
Densidad d = 𝒎
𝒗 Kilogramo por metro
cúbico (kg/m3)
L-3M
Velocidad V = 𝒙
𝒕 Metro por segundo (m/s) LT-1
Aceleración a = ∆𝑽
∆𝒕 Metro por segundo al
cuadrado (m/s2)
LT-2
Fuerza
Peso
F = m . a
W = m. g
Newton (N) LMT-2
Cantidad de
movimiento
p = m.V Kilogramo – metro por
segundo (Kg – m/s)
LMT-1
Impulso de
la fuerza
I = F. t Newton. Segundo (N.S) LMT-1
Trabajo W= F.d (Newton. Metro): Joule (J) L2MT-2
Energía E=
𝒎𝒗𝟐
𝑹
Joule (J) L2MT-2
Energía
potencial
Ep=m.g.h Joule (J) L2MT-2
Potencia P = 𝑾
𝒕 Watt (W) L2MT-3
Presión P = 𝑭
𝑨 Pascal (Pa) L-1MT-2
Tensión
(mecánica) Ơ = =
𝑭
𝑨 Pascal (Pa) L-1MT-2
Frecuencia f= 𝟏
𝑻 Hertz T-1
Velocidad
angular w =
𝜭
𝑻 Radian/ segundo (Rad/s) T-1
Aceleración
angular ∝ =
𝒘
𝑻 Radian por seg2 (rad/s2) T-2
Fuente: WEZ 2014
22
FÍSICA I
Alcides Mendoza Coba (Dalhy) 2015
Aplicaciones de ecuaciones dimensionales.
1. Determinar la ecuación dimensional de “x” si:
𝐱 = 𝐦𝐚𝐬𝐚.𝐭𝐢𝐞𝐦𝐩𝐨
𝐥𝐨𝐧𝐠𝐢𝐭𝐮𝐝.
[𝑥] =𝐌. 𝐓
𝐋= 𝑴𝑻𝑳−𝟏
2. Expresar la dimensión que representa a un Newton.
En primer lugar 𝐍 = 𝐤𝐢𝐥𝐨𝐠𝐫𝐚𝐦𝐨.𝐦𝐞𝐭𝐫𝐨
𝐬𝐞𝐠𝐮𝐧𝐝𝐨𝟐=
𝐦𝐚𝐬𝐚 .𝐥𝐨𝐧𝐠𝐢𝐭𝐮𝐝
𝐭𝐢𝐞𝐦𝐩𝐨𝟐
Luego: [N] = 𝐌 .𝐋
𝐓𝟐 = MLT-2
3. Determinar x – 3y si la ecuación es dimensionalmente homogénea:
𝑷 = 𝑨𝒛𝑲𝒀𝑽−𝒚
Donde:
P: presión
A: Fuerza
K: longitud
V: volumen
Resolución
ML-1T-2 = (MLT-2)Z LX (L3)-Y
Desarrollando los exponentes
ML-1T-2 = MZ LZ T-2Z LX L-3Y
Sumando las “L” (bases iguales, los exponentes se suman)
ML-1T-2 = MZ LZ+X-3Y T-2Z
Igualando exponentes del primer miembro con los exponentes del segundo
miembro
Para M: 1=z ………………….. (a)
23
FÍSICA I
Alcides Mendoza Coba (Dalhy) 2015
Para L: -1 = z+x-3y …………. (b)
Para T: -2= -2z ……………… (c)
Después se determina que el valor de z = 1, se reemplaza en b, se tiene:
z +x – 3y = -1
-1 +x-3y= -1
x – 3y= -1-1
x – 3y = -2
Respuesta: x – 3y = -2
EJERCICIOS PARA RESOLVER II
NIVEL BÁSICO
1. Determinar la ecuación dimensional de G, si:
𝐺 = 𝑚𝑙2𝑋2
𝑡3
Donde:
m = masa
l = longitud
x = cantidad de sustancia
t = tiempo
2. Expresar la ecuación dimensional de la masa a partir de la expresión matemática de la
fuerza:
F= m.a
F = fuerza
m = masa
a = aceleración
3. Determinar la ecuación dimensional del calor específico, teniendo en cuenta la siguiente
expresión matemática.
Q = m.Ce. Δt
Donde:
Q = calor
m = masa
Ce = calor específico
Δt = variación de la temperatura
4. El periodo de un péndulo está dado por: T = 3π dmgn, en el cual:
T = periodo
d = longitud del péndulo
g = aceleración de la gravedad
24
FÍSICA I
Alcides Mendoza Coba (Dalhy) 2015
Determinar el valor numérico de R = m.n
5. Sabiendo que la fórmula siguiente es dimensionalmente correcta, determinar a qué
magnitud o magnitudes derivadas corresponde la dimensión β. VE
4=
𝑀𝑆2𝜔5
𝛽𝜔(𝑠𝑒𝑛 60º − 𝑙𝑜𝑔5125)2
Considerando que:
V = volumen
E = fuerza/longitud
𝜔 = velocidad angular
𝑀 =masa
𝑆 = superficie
6. En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta. Determinar la dimensión de B.
F = P (B sen ϴ - 𝐾
𝑉) + K
Considerando que V = velocidad; F = fuerza.
7. En la ley de Ohm se establece que V = I.R. Determinar la ecuación dimensional de la
resistencia eléctrica (R)
I = intensidad de corriente
V = diferencia de potencial (equivale a trabajo por unidad de carga)
8. Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea. ¿Cuál es la relación entre las
dimensiones de A y B?
AX-2 + BX-1 + C = log 100
9. En la siguiente ecuación física: P = Po +dgh: donde Po se mide en N/m2 y h en metros,
determine la dimensión de “d” y las unidades de “d” en el sistema internacional.
10. Determinar la ecuación dimensional del P en la siguiente igualdad:
𝑃 = √á𝑟𝑒𝑎. 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛. 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎
𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑. 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑
11. Determinar la ecuación dimensional de “E”, teniendo en cuenta que:
𝐸 = 𝐷𝑉2
𝑔
Donde:
D : densidad
V : velocidad lineal
g = aceleración.
12. Determinar x+y, considerando que la siguiente ecuación es dimensionalmente
homogénea:
2H =𝐴2𝐵𝑋
3𝐷𝑌 𝑠𝑒𝑛 ∅
Considerando que:
25
FÍSICA I
Alcides Mendoza Coba (Dalhy) 2015
H = altura
B = diámetro
A = velocidad
D = aceleración
13. En la siguiente fórmula física, K = PV + Q
Donde:
P: Presión
V: Volumen
Determinar
La dimensión de K
Explicar a qué magnitud física corresponde dicha dimensión
Unidades en el S.I de K
14. Si la ecuación W = AxBy es dimensionalmente homogénea, donde W es el tiempo, A es la
longitud, B es la aceleración. Determinar los valores de “m” y “n”.
NIVEL MEDIO
15. En la siguiente fórmula física, ¿Qué magnitud representa K? ¿Cuáles son sus unidades de
K en el sistema internacional?
K = PV + Q
Donde:
P: Presión
V: volumen
16. Si al realizar las medidas de un fenómeno físico, un científico determina que tiene como
unidades a: 𝑘𝑔.𝑚.𝑚𝑜𝑙.𝑠2
𝐴.𝑐𝑑
Determinar la ecuación dimensional que represente a dicho fenómeno
físico.
Determinar la ecuación dimensional que resultaría de dividir la ecuación
dimensional obtenida entre la ecuación dimensional de la fuerza.
17. Determinar la ecuación dimensional y las unidades de L en el sistema internacional. 𝐿 = 𝑚. 𝑥. 𝑦2𝑧
Considerando que:
m: masa
x : cantidad de sustancia
y: velocidad
z= 𝑣
𝑚
18. Determinar la ecuación dimensional de la masa en función al volumen y la densidad.
19. El periodo de oscilación T de un péndulo simple depende de la longitud L de la cuerda y
de la aceleración de la gravedad g. (San Marcos, 2014) 𝑇 = 2𝜋. 𝐿𝑥 . 𝑔𝑦
Determinar: x + y
26
FÍSICA I
Alcides Mendoza Coba (Dalhy) 2015
20. En la siguiente fórmula física:
W= F.a +mb +m𝑐2
Donde:
W: Trabajo
F. fuerza
m: masa
Determinar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones
( ) [a] = L
( ) [b] = 𝐿2𝑇−2
( ) [c] = 𝐿𝑇−1
21. En la ecuación de la energía mecánica de un objeto que cuelga de un resorte está dado
por: (WEZ, 2014) 𝐸 = 𝐴𝑣2 + 𝐵𝑥2 + 𝐶ℎ
En el cual:
v= velocidad instantánea
h = altura respecto al suelo
x = estiramiento del resorte
Luego de determinar la dimensión de A, de B, de C, determinar la dimensión
de A.B.C
22. Si la expresión propuesta es dimensionalmente correcta, determinar la fórmula
dimensional de “K”. (WEZ, 2014)
𝑊 = 𝑚𝑉∝ + 𝐴𝑔ℎ − 𝐵𝑥sec600+ 𝑃𝐶
De donde: W= trabajo; m = masa; V = velocidad; g = aceleración de la gravedad;
h = altura; x= distancia y P = Potencia.
23. ¿Cuál es la dimensión de [A.B] para que la ecuación sea dimensionalmente correcta?
(WEZ, 2014)
𝐴 = 𝑊𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑚(𝐵2 + 𝑆)
Donde:
W = trabajo
m = masa
S = área
24. Dada la ecuación:
𝑊 = 𝐵𝐿2 sen (∝ + 𝜋
2) + 𝐵2𝑞
Considerando que:
W = energía
L = Longitud
27
FÍSICA I
Alcides Mendoza Coba (Dalhy) 2015
25. ¿En qué unidad deberá ser medida en el SI, la magnitud k para que P sea medida en
Watts?, teniendo en cuenta que:
𝑃 = 𝑘𝑙𝑚𝑣
𝑡4
26. Si Watt y Joule no hubieran sido adoptaos como nombres del SI para la potencia y el
trabajo respectivamente, entonces ¿cuál sería la unidad para la potencia? (Figueroa, 2001)
27. En un experimento se verifica que el periodo (To) de oscilación de un sistema cuerpo –
resorte depende solamente de la masa (m) del cuerpo y de la constante elástica (ke) del
resorte. ¿Cuál es la expresión matemática para el periodo en función de ke y m?
NIVEL AVANZADO
28. Si en vez de la masa (M), el trabajo (W) fuera considerado como magnitud fundamental,
determinar la ecuación dimensional de la densidad. (Timoteo, 2013)
29. Si: 5Q = 𝑎√𝑎√𝑎√𝑎 … … . ∞ y la dimensión de [a]= T. ¿Cuál es la dimensión de Q? (Timoteo,
2013)
30. Sabiendo que la siguiente expresión es dimensionalmente correcta, determinar la
dimensión de Z(Timoteo, 2013)
𝑘𝑙𝑜𝑔(𝑥𝑡 + 𝑦𝑣) = 𝑝𝑥𝑦𝑧
Donde:
t : tiempo
v: velocidad
p: presión
k: constante física
31. Sabiendo que la siguiente expresión: (San Marcos, 2014)
√𝐸1 + 𝐸2 + ⋯ + 𝐸𝑛
𝐴𝑛 + 𝐵𝑛 + 𝐶𝑛+2 + 𝑃
𝑛
Tiene como unidades segundos, determinar las unidades que pueden tener:
√𝐴𝐵
𝐶
7𝑛12
Siendo:
E: Energía
P: potencia
32. La velocidad V de propagación de una onda mecánica, en una cuerda tensa, sabiendo que
depende de la fuerza de tensión F a la cual está sometida y de su densidad lineal de masa
u (masa/longitud) es:
𝑉 = 𝐹𝑥. 𝑢𝑦 Determinar: x - y
28
FÍSICA I
Alcides Mendoza Coba (Dalhy) 2015
33. La siguiente es una fórmula física: (San Marcos, 2014)
𝑽 =𝒂
𝒕𝟑+
𝒃 + 𝒉
𝒄
V: volumen
T: tiempo
h: longitud
Determinar:
- La ecuación dimensional de [a]
- La ecuación dimensional de [b]
- La ecuación dimensional de [c]
34. La potencia de un motor de avión se expresa mediante la siguiente ecuación:
(San Marcos, 2014)
𝑷𝒐𝒕 = 𝑹 +
𝑻𝒎 +
𝒔𝒗
[𝟖 + (𝒂 + 𝒃) ]√𝒓 . √𝒓𝜽
Potencia = fuerza x velocidad
v: velocidad
r: radio
m,ϴ = números
Determinar las dimensiones de R, T, S.
Determinar la dimensión de 𝑹𝑻
𝑺
PRÁCTICA DE LABORATORIO 3:
Guía adicional
29
FÍSICA I
Alcides Mendoza Coba (Dalhy) 2015
CAPÍTULO IV
ESCALARES Y VECTORES
Es necesario indicar que en el estudio de los conocimientos y experimentación de Física, con
frecuencia se necesita realizar trabajo con cantidades físicas que tienen propiedades tanto
numéricas como direccionales; es decir con magnitudes vectoriales.
Entonces es necesario diferenciar otra vez, como en el capítulo de magnitudes, entre las
magnitudes vectoriales y magnitudes escalares; para ello se recurre a lo que Serway define en
su libro de Física:
“Una cantidad escalar se especifica por completo mediante un valor único con una unidad
adecuada y no tiene dirección; en cambio, una cantidad vectorial se especifica por completo
mediante un número y unidades apropiadas más una dirección.”
VECTOR
Desde el punto de vista geométrico un vector 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ es un
segmento orientado que va del punto A (origen) al punto
B (extremo)
De esto se puede decir que en física, un vector
(también llamado vector euclidiano o vector
geométrico) es una magnitud física definida
por un punto del espacio donde se mide dicha
magnitud, además de un módulo (o longitud), su
dirección (u orientación) y su sentido (que
distingue el origen del extremo)
30
FÍSICA I
Alcides Mendoza Coba (Dalhy) 2015
En Matemáticas se define un vector como un
elemento de un espacio vectorial, esta noción es más
abstracta y para muchos espacios vectoriales no es
posible representar sus vectores mediante el módulo,
la longitud y la orientación. En particular los espacios
de dimensión infinita sin producto escalar no son
representables de ese modo. Los vectores en un
espacio euclídeo se pueden representar
geométricamente como segmentos de recta dirigidos.
Entonces un vector está formado por dos puntos en el plano o en el espacio. Por ello, para
determinar las componentes de un vector se procede de la siguiente manera:
Vector 𝐴 ⃗⃗ ⃗= (x2-x1; y2-y1).
ELEMENTOS DE UN VECTOR Los elementos de un vector son los siguientes: MODULO
Es el que indica el valor de la magnitud vectorial, desde el punto de vista de la geometría
es el tamaño del vector. En otras palabras se puede decir que el módulo es el número de
unidades que corresponden a una determinada magnitud que se representa con el vector.
DIRECCIÓN Es la línea de acción del vector, es decir su orientación respecto al eje de coordenadas
cartesianas. En el plano se define como el ángulo que forma el vector con el eje “x”
positivo, en posición normal. Cuando se habla de línea de acción del vector, también se
puede deducir que corresponde a la línea sobre la cual el vector se puede deslizar (en el
caso de vectores deslizantes).
�⃗⃗�
VECTOR EN EL ESPACIO
31
FÍSICA I
Alcides Mendoza Coba (Dalhy) 2015
SENTIDO
En este caso indica a qué lado de
la dirección se dirige el vector, se
representa mediante la cabeza de
una flecha; en otras palabras el
sentido indica a qué lado de la
dirección actúa el vector.
REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR Un vector se representa mediante una letra mayúscula o minúscula con una flecha en la parte
superior, así:
𝐴⃗⃗ ⃗ = se lee “vector A”
𝑎 = se lee “vector a”
| 𝐴 | = se lee módulo del vector A
CLASES DE VECTORES Existe una diversidad de clases de vectores, a continuación se indicará algunos de ellos:
VECTORES COLINEALES
Son los vectores que se encuentran contenidos en una misma línea de acción; es decir que
todos tienen la misma dirección.
Los vectores 𝐴⃗⃗ ⃗, �⃗⃗� , �⃗⃗� , son colineales
VECTORES PARALELOS
Son aquellos vectores cuyas líneas de acción son líneas paralelas
𝐴 �⃗� 𝐶
32
FÍSICA I
Alcides Mendoza Coba (Dalhy) 2015
VECTORES IGUALES
Dos vectores son iguales cuando tienen igual módulo, igual dirección e igual sentido.
También se llama vectores equipotentes.
𝐴 = �⃗�
VECTORES OPUESTOS
Dos vectores son opuestos cuando tienen igual módulo, igual dirección pero sentido
contrario.
En este caso se puede visualizar que el vector 𝐴 y el vector �⃗� , se encuentran en la misma
dirección, tienen el mismo módulo; pero sentido contrario; es decir:
𝐴 ≠ �⃗�
𝐴 = −�⃗�
VECTORES COPLANARES
Los vectores coplanares son aquellos que se encuentran contenidos en un mismo plano.
En este caso todos los vectores son coplanares
5U
5U
𝐴
�⃗�
5U
5U
𝐴
�⃗�
33
FÍSICA I
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VECTORES CONCURRENTES
Son los vectores que tienen el mismo origen o cuyas líneas de acción se intersectan en un
punto.
VECTORES LIBRES
Son aquellos vectores que pueden desplazarse libremente por la misma dirección, sin
variar su sentido y módulo. También se puede llamar vector deslizante
VECTOR FIJO
Es el vector que permanece fijo desde su posición inicial, tiene un punto de aplicación
definido; es decir es un vector que no se mueve.
VECTORES ORTOGONALES O PERPENDICULARES
Son los vectores que forman un ángulo de 900
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
�⃗�
34
FÍSICA I
Alcides Mendoza Coba (Dalhy) 2015
VECTORES DE POSICIÓN
Son los vectores que sirven para definir la posición de un cuerpo en el plano o en el
espacio, para ello mantiene fijo su origen, aunque pueden variar con el transcurso del
tiempo la dirección, el sentido y el módulo.
Una forma de representar el vector posición es en función a los vectores unitarios: i, j y k
𝑟 = x𝑖 ⃗+ y𝑗 + z�⃗�
�⃗� = 5𝒊 ⃗⃗ + 10𝒋 + 8�⃗⃗�
VECTOR DESPLAZAMIENTO (�⃗⃗� )
Es el vector que implica el movimiento de un móvil de un punto A a un punto B ( pero
en línea recta), el vector desplazamiento (vectorial) tiene como módulo a la distancia
(escalar).
y
z
x
(5; 10; 8)
�⃗�
5
10
8
𝑑 r2
𝐴
�⃗�
r1
𝑑 = 𝑟 2 – 𝑟 1
X
Y
35
FÍSICA I
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COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR
1. COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR DETERMINADO POR DOS
PUNTOS
Para determinar las componentes de un vector determinado por dos puntos, se resta cada
una de las componentes del punto final (P2), con sus correspondientes componentes del
P1, es decir:
- Las componentes rectangulares de un vector en el plano se determina así:
𝐴 = (x2-x1; y2-y1).
- Las componentes rectangulares de un vector en el espacio se determina así:
𝐴 = (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
Gráficamente se puede representar así
Las componentes rectangulares del vector 𝐴 son:
�⃗⃗� = (X2 – X1; Y2 – Y1)
Es necesario aclarar que siempre para obtener las componentes rectangulares de un
vector determinado por dos puntos, se realiza la resta del punto final (flecha: sentido),
menos el punto inicial. Por eso en el caso del gráfico anterior se ha restado el punto P2
menos el punto P1. De acuerdo a la orientación del vector resultarán las componentes;
existirá casos en que las componentes sean negativas.
Es importante aclarar también que se denominan componentes rectangulares porque
X1 X2
Y1
Y2 P2 = (x2;y2)
P1= (x1; y1)
�⃗⃗� x =(x2- x1)
𝑨𝒚⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (y2 – y1) �⃗⃗�
36
FÍSICA I
Alcides Mendoza Coba (Dalhy) 2015
entre ellas forman un ángulo recto.
Ejemplo utilizando números. Determinar las componentes rectangulares del vector 𝐴 ,
teniendo en cuenta el gráfico siguiente:
Entonces las componentes del vector se determinan así:
�⃗⃗� = (11-3: 8-2)
�⃗⃗� = (8: 6)
Es decir el valor de 𝑨𝒙⃗⃗⃗⃗ ⃗ es 8 y el valor de 𝑨𝒚⃗⃗⃗⃗ ⃗ es 6
2. COMPONENTES DE UN VECTOR DETERMINADO EN FUNCIÓN AL ÁNGULO
Teniendo en cuenta el siguiente vector:
Para determinar las componentes se recurre a la función seno y coseno del ángulo β. De la
siguiente manera:
Para la componente en x con la función coseno:
𝐶𝑜𝑠 𝛽 = 𝑨𝒙
𝑨 ; de esto se puede determinar que: 𝑨𝒙 = 𝑨𝒄𝒐𝒔𝜷
�⃗⃗� �⃗⃗� y
�⃗⃗� x
𝑨𝒚⃗⃗⃗⃗ ⃗
β
�⃗⃗�
Graficando las
componentes
rectangulares,
se tiene el
siguiente
gráfico β
�⃗⃗�
𝑨𝒙⃗⃗⃗⃗ ⃗
3 11
2
8 P2 = (11;8)
P1= (3;2)
37
FÍSICA I
Alcides Mendoza Coba (Dalhy) 2015
Para la componente en y con la función seno:
𝑆𝑒𝑛𝛽 = 𝑨𝒚
𝑨 ; de esto se puede determinar que: 𝑨𝒚 = 𝑨𝒔𝒆𝒏𝜷
El ángulo este caso debe coincidir con el eje x, además se debe tener en cuenta que de acuerdo
al cuadrante donde se encuentra el vector, las funciones trigonométricas tienen signo positivo
o negativo. Para ello, se puede resumir en el siguiente gráfico.
Ejemplo 1. Determinar el valor numérico de las componentes rectangulares del vector �⃗⃗�
Explicación y desarrollo
1. El vector 𝐴 se encuentra en el primer cuadrante del plano cartesiano, por lo tanto la
componente en x como la componente en y son positivas.
2. El ángulo es de 53º y como está en el primer cuadrante del plano cartesiano, todas sus
funciones (seno, conseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) son positivas.
3. Luego se aplica 𝑨𝒙 = 𝑨𝒄𝒐𝒔𝜷 para la componente en x y 𝑨𝒚 = 𝑨𝒔𝒆𝒏𝜷 para la
X
Y
Ax Positivo
Ay Positivo
Ax negativo
Ay Positivo
Ax negativo
Ay negativo
Ax positivo
Ay negativo III
Sen, cos, tg, cgt,
sec, csc
Todas son positivas Sen y csc: Positivas
Cos, tg, ctg, sec:
Negativas
Tg y ctg: Positivas
Sen, cos sec, csc:
Negativas Sen, tg, ctg, csc:
Negativas
cos y sec: Positivas
I II
IV
�⃗⃗�
Graficando componentes rectangulares
530
�⃗⃗� 𝒚
�⃗⃗� x
530
�⃗⃗� �⃗⃗� = 30 U
38
FÍSICA I
Alcides Mendoza Coba (Dalhy) 2015
componente en y
Entonces:
Componente en X
𝑨𝒙 = 𝑨𝒄𝒐𝒔𝜷;
Ax = 30. Cos 530
Ax = 30. (3/5)
Ax = 18
Componente en Y
𝑨𝒚 = 𝑨𝒔𝒆𝒏𝜷
𝑨𝒚 = 𝟑𝟎𝒔𝒆𝒏𝟓𝟑𝟎
𝑨𝒚 = 𝟑𝟎(𝟒
𝟓)
𝑨𝒚 = 𝟐𝟒
Las componentes del vector son en el eje x 18 y en el eje y es 24; por lo que el vector queda
representado en función a sus componentes de la siguiente manera:
�⃗⃗� = (18; 24)
Ejemplo 2. Determinar el valor numérico de las componentes rectangulares del vector �⃗⃗�
Explicación y desarrollo
1. El vector �⃗� se encuentra en el segundo cuadrante del plano cartesiano, por lo tanto la
componente en x es negativa y la componente en y es positiva.
2. El ángulo es de 370 como está en el segundo cuadrante del plano cartesiano la función
seno es positiva y la función coseno es negativa.
�⃗⃗�
Graficando componentes rectangulares
�⃗⃗� ⃗⃗ x
370
�⃗⃗� 𝒚
370
�⃗⃗�
�⃗⃗� = 80 U
39
FÍSICA I
Alcides Mendoza Coba (Dalhy) 2015
3. Luego se aplica 𝑩𝒙 = 𝑩𝒄𝒐𝒔𝜷 para la componente en x y 𝑩𝒚 = 𝑩𝒔𝒆𝒏𝜷 para la
componente en y
Componente en X
𝑩𝒙 = 𝑩𝒄𝒐𝒔𝜷;
Bx = 80. Cos 370
Bx = 80. (-4/5)
Bx = -64
Componente en Y
𝑩𝒚 = 𝑨𝒔𝒆𝒏𝜷
𝑩𝒚 = 𝟖𝟎𝒔𝒆𝒏𝟑𝟕𝟎
𝑩𝒚 = 𝟖𝟎(𝟑
𝟓)
𝑩𝒚 = 𝟒𝟖
Las componentes del vector son en el eje x -64 y en el eje y es 48; por lo que el vector
queda representado en función a sus componentes de la siguiente manera:
�⃗⃗� = (-64; 48)
OPERACIONES CON VECTORES
ADICIÓN DE VECTORES
1. Adición de vectores colineales
En geometría se dice que dos vectores son colineales cuando tienen la misma dirección,
es decir que son vectores directores de rectas paralelas. Para sumar vectores colineales, se
lo realiza algebraicamente, teniendo en cuenta el sentido de los vectores.
Ejemplo:
Determinar el módulo del vector resultante de la adición de los siguientes vectores
colineales.
Si: �⃗⃗� = 𝟖 𝑼 ; �⃗⃗� = 𝟏𝟐 𝑼 ; �⃗⃗� = 𝟏𝟎𝑼 ; �⃗⃗� = 𝟕 𝑼 ;
𝐴 �⃗� 𝐶 𝐶
40
FÍSICA I
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�⃗⃗� = �⃗⃗� + 𝑩⃗⃗ ⃗ + �⃗⃗� + �⃗⃗�
�⃗⃗� = 8U + 12U + (-10U) +7U
�⃗⃗� =17 U
2. Adición y sustracción de dos o más vectores determinados por puntos
Pasos para determinar las resultante y el módulo de la resultante de �⃗⃗� + B⃗⃗
- Primero se determina las componentes del vector �⃗⃗� y del vector �⃗⃗� ; para ello se restan
el punto final (donde está la flecha) menos el punto inicial (origen del vector).
�⃗⃗� = (P2- P1)
�⃗⃗� = (X2- X1; Y2- Y1 )
�⃗⃗� = (Q2- Q1)
�⃗⃗� = (X2- X1; Y2- Y1 )
- Luego se suman la componente en x del vector 𝐴 con la componente en X del vector
�⃗� ; la suma de la componente en Y del vector 𝐴 con la componente en Y del vector �⃗� ,
determinando así las componentes de la resultante de 𝐴 ⃗⃗ ⃗+ �⃗�
�⃗⃗�
�⃗⃗�
P2= (X2; Y2)
Q2= (X2; Y2)
Q1= (X2; Y2)
P1= (X2; Y2)
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FÍSICA I
Alcides Mendoza Coba (Dalhy) 2015
- Finalmente para determinar el módulo de 𝐴 ⃗⃗ ⃗+ �⃗� , se suman la componente en X al
cuadrado más la componente en Y al cuadrado.
Ejemplo: Determinar la resultante del vector 𝑨 ⃗⃗ ⃗+ �⃗⃗� , teniendo en cuenta el siguiente
gráfico
Primero se determina las componentes de cada uno de los vectores
𝑨 ⃗⃗ ⃗ = (X2 – X1; Y2 – Y1)
𝑨 ⃗⃗ ⃗ = (14 –2; 12 – 3)
𝑨 ⃗⃗ ⃗ = (12; 9).
De donde se deduce que Ax = 12 y Ay = 9
𝑩 ⃗⃗ ⃗ = (X2 – X1; Y2 – Y1)
𝑨 ⃗⃗ ⃗ = (10 – -6; -15 – - 3)
𝑨 ⃗⃗ ⃗ = (16; -12)
De donde se deduce que Bx = 16 y By = -12
Componentes del vector �⃗⃗� = 𝑨 ⃗⃗ ⃗+ �⃗⃗�
�⃗⃗� = (Ax + Bx ; Ay + By)
�⃗⃗� = (12 + 16; 9 + -12)
�⃗⃗� = (28; -3)
Módulo de la resultante
�⃗⃗�
�⃗⃗�
P2= (14; 12)
Q2= (10; -15)
Q1= (-6; -3)
P1= (2; 3)
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�⃗⃗� = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
�⃗⃗� = √(𝟐𝟖)𝟐 + (−𝟑)𝟐
�⃗⃗� = √𝟕𝟗𝟑 �⃗⃗� =28,16
No se debe confundir la resultante con el módulo de la resultante.
3. Adición y sustracción de dos vectores no colineales.
Son vectores que gráficamente se pueden representar de la siguiente manera:
Para realizar la adición o sustracción de dos vectores, como en este c aso; se puede
determinar el módulo de la resultante mediante dos métodos: Método gráfico y método
analítico (algunos autores llaman método numérico o algebraico.
El ángulo que se tiene en cuenta para la adición de vectores, siempre debe ser el ángulo
que se forman entre los orígenes de los vectores.
Método analítico
Para calcular el módulo de la resultante de �⃗⃗� + �⃗⃗� , se recurre a la siguiente expresión
matemática:
𝑹𝟐 = 𝑨𝟐 + 𝑩𝟐 + 𝟐𝑨𝑩𝒄𝒐𝒔𝜭
|𝑹| = √𝑨𝟐 + 𝑩𝟐 + 𝟐𝑨𝑩𝒄𝒐𝒔𝜭
Teniendo en cuenta los mismos vectores para determinar el módulo de la resultante de
�⃗⃗� - �⃗⃗� , se recurre a la siguiente expresión matemática:
𝑹𝟐 = 𝑨𝟐 + 𝑩𝟐 − 𝟐𝑨𝑩𝒄𝒐𝒔𝜭
|𝑹| = √𝑨𝟐 + 𝑩𝟐 − 𝟐𝑨𝑩𝒄𝒐𝒔𝜭
Es necesario aclarar que �⃗⃗� - �⃗⃗� es diferente de �⃗⃗� - �⃗⃗�
Es necesario recordar que:
�⃗⃗�
ϴ
ϴ �⃗⃗�
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FÍSICA I
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- Si el ángulo ϴ es obtuso, el módulo de la adición de vectores es menor que el
módulo de la diferencia.
- Si el ángulo ϴ es recto, el módulo de la diferencia es igual al módulo suma
Por ejemplo, determinar el módulo de �⃗⃗� + �⃗⃗� teniendo en cuenta los siguientes vectores:
𝑹𝟐 = 𝟓𝟎𝟐 + 𝟑𝟎𝟐 + 𝟐(𝟓𝟎)(𝟑𝟎)𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎𝟎
|𝑹| = √𝟓𝟎𝟐 + 𝟑𝟎𝟐 + 𝟐(𝟓𝟎)(𝟑𝟎)𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎𝟎
|𝑹| = √𝟐𝟓𝟎𝟎 + 𝟗𝟎𝟎 + 𝟐(𝟓𝟎)(𝟑𝟎)𝟏
𝟐
|𝑹| = √𝟐𝟓𝟎𝟎 + 𝟗𝟎𝟎 + 𝟏𝟓𝟎𝟎
|𝑹| = √𝟒𝟗𝟎𝟎
|𝑹| = 70
Métodos Gráficos
Método del paralelogramo
El método del paralelogramo consiste en graficar los dos vectores, con su magnitud a
escala, dirección y sentido originales, en el origen, de manera que los dos vectores inicien
en el mismo punto.
Los dos vectores forman dos lados adyacentes del paralelogramo. Los otros lados se
construyen trazando líneas paralelas a los vectores opuestos de igual longitud.
El vector suma resultante se representa a escala mediante un segmento de recta dado por
la diagonal del paralelogramo, partiendo del origen en el que se unen los vectores hasta
el punto final donde se intersectan las paralelas trazadas de los vectores.
�⃗⃗�
60°
�⃗⃗�
�⃗⃗� = 𝟓𝟎
�⃗⃗� = 𝟑𝟎
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Ejemplo: Mediante el método del paralelogramo determinar �⃗⃗� + �⃗⃗�
- Se proyecta la línea de acción del vector A
- Donde termina el vector �⃗⃗� se mide un ángulo de 600 y se traza la paralela del vector
�⃗⃗�
- Luego se traza la paralela del vector 𝐀 ⃗⃗ ⃗
- Finalmente se traza la resultante desde el punto inicial al punto final de ambos
vectores, así:
�⃗⃗� ′
�⃗⃗�
600
�⃗⃗�
�⃗⃗�
600
�⃗⃗�
600
�⃗⃗�
600
�⃗⃗�
600
�⃗⃗�
600
�⃗⃗�
�⃗⃗� ’
600
�⃗⃗�
600
�⃗⃗�
�⃗⃗� ’
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FÍSICA I
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Método del triángulo
Mediante este método, un vector se debe trasladar (sin cambiarle sus propiedades:
ángulo, módulo y dirección), de tal forma que el “origen” del que se traslada se ubica en
la cabeza (flecha del otro). El vector resultante se representa por la "flecha" que une el
origen del vector que no se desplaza con la cabeza (flecha) que está libre, en otras
palabras con el vector que se desplaza.
Ejemplo: Determinar mediante el método del triángulo la resultante de �⃗⃗� + �⃗⃗�
En este caso para determinar R = �⃗⃗� + �⃗⃗� desplazaremos la paralela del vector �⃗⃗� donde
está la flecha del vector �⃗⃗� , teniendo en cuenta que mantenga su dirección (ángulo),
sentido y módulo. Así:
Método del polígono
Es necesario indicar que el triángulo es un polígono, pero el método del polígono como
tal se utiliza para la adición de más de dos vectores, para lo cual se coloca sin variar sus
propiedades: ángulo, módulo y dirección; de tal forma que el vector resultante es la unión
con una flecha (vector) del punto de origen del primer vector con el final del último
vector, como se ve en el siguiente gráfico:
�⃗⃗�
�⃗⃗�
ϴ
�⃗⃗�
�⃗⃗�
ϴ
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4. Resultante máxima y resultante mínima de dos vectores
La resultante de dos vectores es máxima, cuando forman un ángulo nulo o en otras
palabras son colineales y tienen la misma dirección y sentido; es decir que para encontrar
la suma de dichos vectores se lo realiza algebraicamente.
�⃗� max = �⃗⃗� + �⃗⃗�
Ejemplo: Determinar la resultante máxima de dos vectores de 20 N y 28 N
�⃗� max = 20 N + 28 N
�⃗� max = 48 N
La resultante de dos vectores es mínima cuando forman entre sí un ángulo de 1800, es
decir tienen la misma dirección pero sentido contrario. En este caso para determinar la
resultante mínima los vectores se restan algebraicamente.
�⃗� min = �⃗⃗� - �⃗⃗�
Ejemplo: Determinar la resultante mínima de dos vectores: 𝐴 = 40 N y �⃗� = 28 N
�⃗� min = 𝟒𝟎 -𝟐𝟖
�⃗� min = 𝟏𝟐
5. Resultante de dos vectores ortogonales
Si los vectores forman entre sí un ángulo recto; es decir son ortogonales o
perpendiculares, el módulo de la resultante se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras.
�⃗⃗� = �⃗⃗� +�⃗⃗� +�⃗⃗� +�⃗⃗�
�⃗⃗�
𝐂
�⃗⃗�
�⃗⃗�
�⃗⃗� �⃗⃗�
�⃗⃗� �⃗⃗�
1800
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FÍSICA I
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�⃗⃗� 𝟐 = �⃗⃗� 𝟐 + �⃗⃗� 𝟐
6. Multiplicación de un vector por un escalar.
Si se tiene en cuenta que 𝑨 ⃗⃗ ⃗ es una cantidad vectorial (representado por un vector) y K
una cantidad escalar; entonces K�⃗⃗� es un vector paralelo del vector A, pero indicando que
el sentido del vector depende del signo de K.
K pertenece al conjunto de los números reales.
𝐴 = 2u
K = 8
Determinar K�⃗⃗�
K�⃗⃗� = 8 (2u) = 16u
Es necesario indicar que:
- Si K es positivo, los vectores �⃗⃗� y K�⃗⃗� son paralelos y de igual sentido.
- Si K es negativo, los vectores �⃗⃗� y K�⃗⃗� son paralelos y de sentidos opuestos.
Cuando el vector se representa en función a sus componentes rectangulares, la cantidad
escalar multiplica a cada una de las componentes.
En el plano: �⃗⃗� = (x; y)
Entonces:
K�⃗⃗� = K(x; y)
K�⃗⃗� =Kx ; Ky
7. Vector unitario
Dado un vector no nulo �⃗⃗� = (x; y), se denomina vector unitario �⃗⃗� al vector que tiene la
misma dirección que el vector �⃗⃗� , pero como módulo la unidad, para determinar se tiene
�⃗⃗� �⃗⃗�
�⃗⃗�
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en cuenta lo siguiente:
�⃗⃗� = �⃗⃗�
�⃗⃗� = (
𝐗
�⃗⃗� ;
𝐘
�⃗⃗� )
Ejemplo: Dado el vector �⃗⃗� = (3; 4), determinar el vector unitario �⃗⃗� .
Para determinar el vector unitario es necesario tener las componentes del vector, en este
caso la componente en x es 3 y la componente en y es 4; entonces es necesario
determinar el módulo del vector �⃗⃗� .
|�⃗⃗� | = √𝟑𝟐 + 𝟒𝟐
|�⃗⃗� | = √𝟗 + 𝟏𝟔
|�⃗⃗� | = √𝟐𝟓
|�⃗⃗� | = 𝟓
Luego el vector unitario es:
�⃗⃗� = (𝟑;𝟒)
𝟓 = (
𝟑
𝟓;
𝟒
𝟓)
Es decir que el vector �⃗⃗� = (𝟑
𝟓;
𝟒
𝟓) tiene la misma dirección que el vector �⃗⃗� = (3; 4).
El vector �⃗⃗� = (𝟑
𝟓;
𝟒
𝟓), tiene como módulo la unidad, como se demuestra a continuación.
|�⃗⃗� | = √(𝟑
𝟓)
𝟐
+ (𝟒
𝟓)
𝟐
|�⃗⃗� | = √𝟗
𝟐𝟓+
𝟏𝟔
𝟐𝟓
|�⃗⃗� | = √𝟐𝟓
𝟐𝟓
|�⃗⃗� | = √𝟏
|�⃗⃗� | = 𝟏
Según Serway (2012), las cantidades vectoriales con frecuencia se expresan en términos
de vectores unitarios. Un vector unitario es un vector sin dimensiones que tiene una
magnitud de exactamente uno (1). Los vectores unitarios se usan para especificar una
dirección conocida y no tienen otro significado físico. Son útiles exclusivamente como
una convención para describir una dirección en el plano o en el espacio. Se usarán los
símbolos �̂�, �̂� y �̂� para representar los vectores unitarios que apuntan en las direcciones
49
FÍSICA I
Alcides Mendoza Coba (Dalhy) 2015
x, y y z positivas, respectivamente. (Los “sombreros”, o circunflejos, sobre los símbolos
son una notación estándar para vectores unitarios.) Los vectores unitarios �̂�, �̂� y �̂� forman
un conjunto de vectores mutuamente perpendiculares en un sistema coordenado de
mano derecha, como se muestra en la figura siguiente:
Como se puede ver en el gráfico el vector �⃗⃗� tiene tres componentes que se pueden
expresar en función a los vectores �̂�, �̂� y �̂�. Ejemplo representar mediante un gráfico el
vector �⃗⃗� = (3�̂�; 4�̂�; 6�̂�)
Fuente: Red
𝐴 6�̂�
3�̂�
4𝒋 ̂
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8. Producto escalar o producto interno
Llamado también producto punto. El producto interno de dos vectores es una cantidad
escalar.
Cuando un vector está determinado por sus componentes, el producto escalar se
determina de la siguiente manera: (si 𝐴 . �⃗� ε Rn)
�⃗⃗� .�⃗⃗� = (a1b1 + a2b2 + …. + anbn)
Ejemplo
Si �⃗⃗� = (3;-4) y �⃗⃗� = ( 5; 2)
�⃗⃗� .�⃗⃗� = (3)(5) + (-4)(2)
�⃗⃗� .�⃗⃗� = 15 – 8
�⃗⃗� .�⃗⃗� = 7
Teorema: Sean �⃗⃗� y �⃗⃗� dos vectores en R3 y sea ϴ el ángulo que forman entre ellos, de tal
forma que: 0 ≤ ϴ ≤ π; entonces:
�⃗⃗� .�⃗⃗� = ‖𝐴 ‖‖�⃗� ‖ cos ϴ
Propiedades del producto escalar de dos vectores
a) El producto escalar de A.B = B.A (Propiedad conmutativa).
b) El producto escalar de r(A.B) = (rA).B (propiedad de asociatividad escalar.
c) El producto escalar de C. (A+B) = C.A + C.B (propiedad distribuitiva)
d) A. A = 0, si y solo si A = 0
9. Producto cruz o producto vectorial
Desde el punto de vista de las Matemáticas, el producto vectorial de Gibbs o producto
cruz es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El
resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto
normal al plano que los contiene, siendo el resultado del producto cruz entre dos vectores
un tercer vector.
Si �⃗⃗� = Ax, Ay, Az y Si �⃗⃗� = Bx, By, Bz
�⃗⃗� x �⃗� = | 𝑖̂ 𝑗̂ �̂�
𝑨𝒙 𝐴𝑦 𝐴𝑧𝑩𝒙 𝐵𝑦 𝐵𝑧
| = |𝑨𝒚 𝑨𝒛𝑩𝒚 𝑩𝒛
| �̂� - |𝑨𝒙 𝑨𝒛𝑩𝒙 𝑩𝒛
| �̂� + - |𝑨𝒙 𝑨𝒚𝑩𝒙 𝑩𝒚
| �̂�
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FÍSICA I
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Una definición formal del producto vectorial. Dados dos vectores cualesquiera �⃗⃗� y �⃗� , el
producto vectorial �⃗⃗� x �⃗� , se define como un tercer vector �⃗⃗� , que tiene una magnitud de
AB senϴ, donde ϴ es el ángulo entre �⃗⃗� y �⃗� (Serway). Es decir, si �⃗⃗� se conoce por:
�⃗⃗� = �⃗⃗� 𝐱 �⃗⃗� , su magnitud es C = AB senϴ
La cantidad AB senϴ es igual al área del paralelogramo formado por �⃗⃗� 𝐲 �⃗⃗� , como se
muestra en la figura siguiente (Serway). La dirección de �⃗⃗� es perpendicular al plano
formado por �⃗⃗� 𝐲 �⃗⃗� , y la mejor forma de determinar esta dirección es usar la regla de la
mano derecha. Los cuatro dedos de la mano derecha apuntan a lo largo de �⃗⃗� y luego “se
enrollan” hacia �⃗⃗� a través del ángulo ϴ. La dirección del pulgar recto hacia arriba es la
dirección de 𝑨 ⃗⃗ ⃗x �⃗⃗� = �⃗⃗� . Debido a la notación 𝑨 ⃗⃗ ⃗x �⃗⃗� , con frecuencia se lee “�⃗⃗� cruz ” �⃗⃗� , por
esto el término producto cruz.
10. Ángulos entre dos vectores
La expresión geométrica del producto escalar permite calcular el coseno del ángulo
existente entre los vectores, mediante la siguiente definición formal: que nos dice que la
multiplicación de un escalar denominado K tiene que ser diferente de cero.
𝑪𝒐𝒔 = 𝑨. 𝑩
‖𝑨‖‖𝑩‖
52
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EJERCICIOS PARA RESOLVER III
NIVEL BÁSICO
1. Se tiene un vector cuyo origen es (4; 6) y el punto final (extremo) (16; 22).
Determinar:
- Componentes del vector
- Módulo del vector
- Dirección del vector
2. ¿Cuál es el valor del ángulo que deben formar dos vectores de módulos 30u y 50u para que
al sumarlos el módulo del vector resultante sea 70u?
3. Si en el gráfico que se muestra cada cuadrado tiene 2 cm de lado, determinar el vector
resultante y módulo de la resultante de sumar los cinco vectores (�⃗⃗� , �⃗⃗� , �⃗� , �⃗⃗� , �⃗� )
4. Se tiene un vector �⃗� = 6𝑖̂ +24𝑗 ̂+ 8�̂�.
Determinar:
a) 2�⃗�
b) −1
2B
c) El valor del módulo del vector B
5. Teniendo en cuenta que el ángulo que forman los vectores 𝑎 y �⃗� es de 900. Determinar
𝑎 + �⃗�
𝑎 − �⃗�
6. Teniendo en cuenta los vectores del siguiente gráfico. Determinar el módulo de 𝑨 ⃗⃗ ⃗+ �⃗� y el
módulo de 𝑨 ⃗⃗ ⃗- �⃗� . Donde �⃗⃗� = 15 y �⃗⃗� = 25
7. Se tienen los vectores
�⃗⃗�
�⃗⃗�
53
FÍSICA I
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�⃗� = 4𝑖̂ -6𝑗 ̂+ 2�̂�
�⃗⃗� = 3�̂� -5𝒋 ̂+ 3�̂�.
Si �⃗� -2�⃗⃗� + �⃗⃗� = 0
Determinar:
a) Componentes del vector �⃗⃗�
b) Módulo del vector �⃗⃗�
8. Teniendo en cuenta el siguiente gráfico, determinar el módulo, dirección y sentido del
vector que al sumarlo con el módulo de la resultante de �⃗⃗� + �⃗⃗� + �⃗⃗� , dé como resultado cero.
Graficar.
9. Determinar el módulo de la resultante en función a “𝑧 ”, teniendo en cuenta el siguiente
gráfico.
10. Teniendo en cuenta el siguiente sistema de vectores:
Determinar:
a) Componentes del vector resultante
b) Graficar el vector resultante
c) Módulo del vector resultante
d) Dirección del vector resultante respecto al eje X positivo.
�⃗⃗� 𝐴
10m 20m 2m
530 370
�⃗⃗�
�⃗�
�⃗⃗�
�⃗⃗�
�⃗⃗� �⃗⃗�
�⃗⃗�
370 530
530 450
�⃗⃗�
𝐴 = 10√2
𝐵 ⃗⃗ ⃗ = 15
𝐶 ⃗⃗ ⃗ = 25
𝐷 ⃗⃗ ⃗ = 20
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FÍSICA I
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11. Dos vectores forman entre si un ángulo de 45 grados sexagesimales uno de ellos tiene
un módulo de 75u y la resultante un módulo de 300u. Determinar el valor del seno del
ángulo ∝.
12. Determinar el módulo de la resultante total del siguiente sistema de vectores. (El
hexágono es regular).
13. Si el módulo de la resultante del sistema de vectores mostrados es cero. Determinar el
ángulo ∝
14. Dos vectores coplanares y concurrentes forman entre sí un ángulo de 𝜋
3 𝑟𝑎𝑑ianes. La
adición de ambos vectores dan como módulo de la resultante 70 unidades; se sabe además
que un vector es los 3/5 del otro. Hallar el módulo de cada uno de los vectores.
15. En el plano cartesiano existe el sistema de tres vectores: El vector 𝐴 tiene como módulo
20 u y forma un ángulo de 300 con el eje “x” horizontal; el vector �⃗� tiene como módulo 50
u, se encuentra en el segundo cuadrante y forma un ángulo de 530 con el eje “y” positivo
y vector 𝐶 ubicado en el tercer cuadrante con un módulo de 80 unidades. Determinar el
ángulo que forma el vector 𝐶 , con el eje “y” negativo.
16. Determine el vector resultante del siguiente sistema de vectores si ABCD es un
Recordar que:
𝒔𝒆𝒏 ∝
𝑨=
𝒔𝒆𝒏 𝜭
�⃗⃗� + �⃗⃗�
�⃗⃗�
∝ 530
�⃗⃗�
8m
370 ∝
370
25 u
100 u
30 u
70 u
55
FÍSICA I
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rectángulo; además 𝐵𝑀//𝐶𝑁; 𝐴𝑀//𝐷𝑁. Dar la respuesta en función a 𝑁𝐶
17. Si el módulo del vector 𝐴 es 10 y del vector 𝐵 ⃗⃗ ⃗es 6. Calcular el módulo de la resultante.
18. Sabiendo que el módulo del vector resultante se encuentra en el eje vertical, calcular el
módulo del vector resultante.
19. Con los vectores mostrados, determinar la dirección del vector resultante, respecto al eje
“x” positivo.
20. Determinar el módulo del vector resultante de:
B
A
C
D
N M
500 1100
𝐴 �⃗� Recuerda:
400
500
√61
6
5
370 530
35
30 𝐹
2√3
10
y
8
600
4
300 3
a
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NIVEL MEDIO 21. Determinar el módulo del vector resultante de los vectores mostrados en la figura, cada
uno de los cuadraditos tiene de lado 4m.
22. Determinar el módulo y dirección de la resultante, teniendo en cuenta el siguiente gráfico:
23. Determinar la medida el ángulo “β” para que la resultante se encuentre en el eje “x”
24. Determinar el módulo de la resultante, si la figura mostrada es un cubo de arista 6.
25. Calcular el módulo de la resultante del siguiente sistema de vectores:
90 120
370 530
16
10
β
300
1350
1270
15 12√2
10
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FÍSICA I
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26. Si el lado de un cuadrado es “a”; determinar la magnitud del vector resultante del grupo
de vectores mostrados.
27. Determinar el módulo de la resultante de la diferencia de los vectores mostrados.
28. Se tiene dos vectores compuestos (2�⃗� + �⃗� ) y (3�⃗� − �⃗� ) que forman entre si un ángulo de
530; siendo sus módulos respectivos iguales a 15 y 7 unidades. ¿Cuál es el módulo del
vector �⃗� ?
29. Si se tiene los siguientes vectores:
𝐴 = 2𝑖 ̂ + 3𝑗̂ − 2�̂�
�⃗� = 4𝑖 ̂ − 2𝑗̂ − 3�̂�
𝐶 = 𝑖 ̂ + 2𝑗̂ + 4�̂�
Determinar:
a) 2𝐴 - 𝐶
b) (�⃗� + 𝐶 ) – 2𝐴
c) 𝐴 .�⃗�
d) 𝐴 X�⃗�
e) 2𝐴 − 𝐶
f) Graficar en el espacio 𝐴 + 𝐶
�⃗�
𝐴
58
FÍSICA I
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30. Teniendo en cuenta el sistema de vectores
Determinar la dirección del vector que al sumarse con el módulo del vector resultante
de 𝐴 + �⃗� + 𝐶 + �⃗⃗� . Expresar ambos vectores en función a sus componentes rectangulares
y la dirección de cada uno de ellos en función al eje “x” positivo.
NIVEL AVANZADO
31. En el sistema de vectores, “O” es el centro de la circunferencia. Determinar el
módulo de la resultante en función del radio “R”.
32. En el sistema de vectores que aparecen sobre el hexágono regular de 8m de lado,
determinar el módulo de la resultante.
�⃗⃗� �⃗⃗�
�⃗⃗�
530 530
370 450
�⃗⃗�
𝐴 = 15√2
𝐵 ⃗⃗ ⃗ = 40
𝐶 ⃗⃗ ⃗ = 30
𝐷 ⃗⃗ ⃗ = 50
O
600
𝑑
𝑒
𝑎 �⃗�
𝑐
�⃗� �⃗⃗�
𝐶
�⃗� 𝐴
59
FÍSICA I
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33. En un hexágono regular de 16 cm de lado, se presentan un conjunto de vectores.
Determinar el módulo de la resultante (Adaptado de Salvador Timoteo)
34. Dos vectores de 10 y 20 unidades, al sumarse el vector resultante forma un ángulo
de 300 con el vector de mayor módulo. Determinar el ángulo que forman los
vectores por su origen.
35. El máximo módulo de la resultante de dos vectores es 24 y el mínimo es cero.
¿Cuál es el módulo de la resultante cuando ambos vectores forman un ángulo de
600?
36. Determinar el módulo de la resultante, si se sabe que CD=16 y AB = 12.
37. Expresar “𝑥 ” en función de los vectores 𝑎 y �⃗� (San Marcos)
38. Se tienen dos vectores 𝐴 y �⃗� para los cuales se cumple que :
𝐴 + �⃗� = 2𝐴 + �⃗� = 𝐴
Determinar en qué relación se encuentran los módulos de los vectores 𝐴 ; �⃗� y el ángulo
que forman dichos vectores. (San Marcos)
𝑥
𝑎 �⃗�
2𝑐𝑚 1 𝑐𝑚
C D
B
A
60
FÍSICA I
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39. En el paralelogramo mostrado, determinar el vector resultante en función de los vectores
�⃗⃗� y �⃗� . (WEZ-2014)
40. Se tiene dos vectores, que tienen como resultante máxima de 32 unidades y una mínima
de 8 unidades. Determinar:
a) El módulo de la resultante cuando los vectores forman un ángulo de 1270
b) La dirección de la resultante en función al eje x positivo
c) Expresar la resultante en función a sus componentes rectangulares.
PRÁCTICA DE LABORATORIO 4:
Guía adicional
61
FÍSICA I
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CAPÍTULO V
CINEMÁTICA
La Cinemática es parte de la Mecánica Clásica que se encarga del estudio de los movimientos
de los cuerpos independientemente de las causas que lo producen.
MOVIMIENTO
El movimiento es un fenómeno
físico que se define como el
cambio de posición que
experimentan los cuerpos en el
espacio(es decir que en un
momento está en un lugar y en
otro momento en otro lugar), con
respecto al tiempo y a un punto de
referencia, variando la distancia de
dicho cuerpo con respecto a ese punto o sistema de referencia, describiendo una trayectoria.
CLASES DE MOVIMIENTO POR SU TRAYECTORIA
Teniendo en cuenta la trayectoria del móvil, se puede considerar las siguientes clases de
movimiento.
Movimiento rectilíneo: Este movimiento se caracteriza porque la trayectoria que describe el
punto es una línea recta.
A B
Trayectoria una línea recta
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FÍSICA I
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Movimiento curvilíneo: Este tipo de movimiento se diferencia del anterior porque el móvil o
describe una curva como trayectoria, cambiando su dirección a medida que se desplaza.
Dentro de este tipo de movimiento se puede considerar:
Teniendo en cuenta la trayectoria del sólido, se puede considerar las siguientes clases de
movimiento.
Movimiento de Traslación: En este caso el móvil cambia de un lugar a otro, pero todos los
puntos del sólido describen trayectorias paralelas, no necesariamente rectas. Por ejemplo, el
movimiento de la tierra en su órbita alrededor del sol.
Movimiento de Rotación. Este tipo de movimiento es el que realiza un cuerpo sobre su propio
eje; en este caso, todos los puntos del sólido describen trayectorias circulares concéntricas. Por
ejemplo la rotación de la tierra sobre su propio eje.
Teniendo en cuenta la velocidad del móvil, el movimiento puede ser:
Movimiento uniforme: En este caso la velocidad del móvil durante el movimiento es
constante; es decir, la velocidad es la misma en cualquier momento.
Movimiento uniformemente variado: En este caso el móvil experimenta una aceleración
constante (si negativa retardado, si positiva acelerado) como es el caso de los cuerpos en caída
libre sometidos a la aceleración de la gravedad.
ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO
MÓVIL. Es el cuerpo que realiza el movimiento mecánico respecto al sistema de referencia.
Por ejemplo un avión realiza un movimiento alejándose al Sur del Aeropuerto de
Cajamarca.
M. Curvilíneo M. Circular M. Elíptico M. parabólico
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TRAYECTORIA. Es la ruta por donde el móvil realiza el movimiento, en otras palabras es la
línea que une la sucesión de puntos por donde pasa el móvil, por lo tanto puede
tomar desde formas conocidas a formas irregulares.
RECORRIDO. Por la mayoría de la bibliografía consultada, asume que el recorrido es la
cantidad que mide la trayectoria. Es decir, en el caso por ejemplo del insecto del
gráfico anterior lo que mide de A a B es el recorrido.
DESPLAZAMIENTO. Es una magnitud física vectorial que determina el cambio de posición
que experimenta el móvil al realizar el movimiento. En forma gráfica está
representado por una línea recta que une punto inicial con punto final del
movimiento.
Como se puede deducir del gráfico, la trayectoria está constituida por todos los
puntos por donde se mueve el insecto; sin embargo el desplazamiento está
constituido por la unión del punto inicial al punto final. Es decir, que si un cuerpo
A
B
En este caso la
trayectoria que el
insecto realiza al volar es
la línea punteada desde
A hasta B
Desplazamiento
Trayectoria
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FÍSICA I
Alcides Mendoza Coba (Dalhy) 2015
parte de un punto A y luego de realizar un determinado movimiento llega al mismo
punto de partida, el desplazamiento será nulo.
Una forma más completa para definir al desplazamiento es indicando que es una
magnitud vectorial que se define como el cambio de posición que realiza un cuerpo
con respecto a un sistema de referencia (punto de referencia).
A Continuación una ilustración de la Editorial San Marcos (2014).
Teniendo en cuenta el método del polígono en la adición de vectores, se puede
deducir que:
�⃗� 𝟏 + �⃗⃗� = �⃗� 𝟐
�⃗⃗� = �⃗� 𝟐 − �⃗� 𝟏
Es decir que el vector desplazamiento depende de la variación de r.
�⃗⃗� = ∆�⃗�
Teniendo en cuenta el gráfico, 𝑟 constituye el vector posición o llamado también
radio vector, siendo este el que determina la posición de un cuerpo en cada instante
del tiempo.
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FÍSICA I
Alcides Mendoza Coba (Dalhy) 2015
Para ejemplificar la posición de un cuerpo se puede tener en cuenta el sistema de
coordenadas. Por ello se puede ubicar en el espacio, por ejemplo el siguiente
gráfico:
En seguida se explica el cambio de posición de la liebre, respecto al eje de
coordenadas (árbol).
2
4
x
y
z
La posición de la
liebre es: (4; 2;0)
La posición 1 de la liebre
es: (5; 2;0)
La posición 2 de la liebre
es: (1; 5;0)
�⃗� = p2 – p1
�⃗� = (𝟏; 𝟓; 𝟎) − (𝟓; 𝟐; 𝟎)
�⃗� = (-4; 3; 0)
|�⃗� | = √(−𝟒)𝟐 + 𝟑𝟐 + 𝟎𝟐
|�⃗� | = 𝟓 u
5
1
2
5
x
y
z
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FÍSICA I
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DISTANCIA. Es el módulo del desplazamiento. En el caso del gráfico anterior, el
módulo del desplazamiento es 5 unidades
TIEMPO. Es la duración del movimiento, es decir que todo cuerpo, partícula o
punto que realiza movimiento, lo realiza en un determinado momento.
SISTEMA DE REFERENCIA. Es aquel lugar, cuerpo o posición del espacio
respecto a la cual se tiene en cuenta el movimiento. En el gráfico de la página
anterior el sistema de referencia es el punto cero de los ejes de coordenadas, donde
se ha ubicado intencionalmente un árbol.
OTROS CONCEPTOS RELACIONADOS CON EL MOVIMIENTO
Relatividad en el movimiento mecánico. Los elementos del movimiento dependen
del sistema de referencia; es decir, que el movimiento no es igual para todos los
observadores ubicados en diferentes puntos; más aún si es que cada uno de los
observadores toma diferente punto de referencia. Por ejemplo, una persona sentada
cerca de una casa está en estado estático, pero si existe un observador en el espacio
observará que la persona y la casa no están en estado estático, porque se están
moviendo alrededor del sol.
Rapidez. La rapidez o celeridad promedio es la relación entre la distancia recorrida
y el tiempo empleado en completarla. La celeridad es una magnitud escalar.
V = LT-1
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
Es aquel movimiento en el cual el móvil describe una trayectoria rectilínea, pero recorre
espacios iguales en tiempos iguales.
2 segundos 2 segundos 2 segundos 2 segundos
15 m 15 m 15 m 15 m
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Expresiones Matemáticas para el movimiento rectilíneo uniforme
Velocidad ( �⃗⃗� )
𝒗 =𝒅
𝒕
d = v.t
𝒕 =𝒅
𝒗
Tiempo de encuentro (te) entre dos móviles separados por una distancia (d).
𝒕𝒆 =𝒅
𝐕𝐀 + 𝑽𝑩
Tiempo de alcance (ta) de un móvil a otro que se desplazan en línea recta uno delante del
otro. El móvil que está detrás tiene mayor velocidad.
𝒕𝒂 =𝒅
𝐕𝐀−𝑽𝑩 Pero VA >VB
Tiempo de cruce (tc) de dos móviles que se mueven en la misma dirección y sentido, donde
el móvil A tiene velocidad mayor que el móvil B.
𝒕𝒄 =𝒅
𝐕𝐀 − 𝑽𝑩
te
d
dA dB
A B
d
B
A B
dA dB
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Tiempo de cruce (tc) de un móvil a una zona o cuerpo que está sin movimiento.
𝒕𝒄 =𝑳𝒄 + 𝑳𝒎
𝐕𝐦
Donde:
Lc : longitud del móvil
Lm: longitud de la zona o cuerpo que no se mueve
Vm: Velocidad de móvil
Ejemplos:
1. Un móvil se desplaza 400 metros en 40 segundos. ¿Cuál es la velocidad del móvil?
Datos:
d = 400 m
t = 40 s
v = ?
2. Dos móviles se encuentran uno al frente del otro, se desplazan en sentidos contrarios y
en línea recta. Uno tiene una velocidad de 40 m/s y el otro móvil es 60 m/s. ¿Qué tiempo
demorarán en encontrarse si están separados por 2800 metros?
Longitud del Móvil (Lm) Longitud de la zona a cruzar (Lc) NO MÓVIL
Solución
𝑣 = 𝑑
𝑡
𝑣 = 400𝑚
40𝑠 v= 8 m/s
Respuesta
La velocidad del móvil es
de 8m/s
Datos:
VA = 40m/s
VB = 60m/s
d = 2800 m
Te= ?
Solución
𝒕𝒆 =𝒅
𝐕𝐀 + 𝑽𝑩
𝑡𝑒 =2800𝑚
40m/s + 60𝑚/𝑠
𝑡𝑒 =2800𝑚
100 m/s
te = 28 s
Respuesta
El tiempo de encuentro
entre el móvil A y el móvil B
es de 28 segundos
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FÍSICA I
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Ecuación del movimiento rectilíneo.
Caso. Un estudiante de Física, al medir el movimiento del cuerpo, registra lo que se muestra
en el cuadro siguiente. Decide graficar y determinar la ecuación para el movimiento; además,
determinar la distancia que recorrerá el móvil en 100 segundos.
Explicación: En este caso en primer lugar se graficará “t” en el eje “x” y “d” en el eje “y”; para
ello la tabla de datos se puede mostrar de la siguiente manera:
En primer lugar se debe determinar la pendiente de la recta, para ello se procede de la
siguiente manera:
Pendiente (m)
𝒎 = ∆𝒚
∆𝒙
𝒎 = 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
x t (s) 2 3
y d(m) 9,75 12.75
x t X1 =2 X2 = 3
y d Y1= 9,75 Y2 = 12.75
Puntos P1 = (2; 9,75) P2 = (3; 12,75)
P2
P1
12,75
9,75
2 3
Pendiente de la recta: Velocidad
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FÍSICA I
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𝒎 = 𝟏𝟐, 𝟕𝟓 − 𝟗, 𝟕𝟓
𝟑 − 𝟐
𝒎 = 𝟏𝟐, 𝟕𝟓 − 𝟗, 𝟕𝟓
𝟑 − 𝟐
𝒎 = 𝟑, 𝟎𝟎
𝟏
𝒎 = 𝟑 Entonces la pendiente es: 3
Ecuación para el movimiento.
Para determinar la ecuación del movimiento se procede de la siguiente manera:
𝑦 − 𝑦1 = (𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1) (𝑥 − 𝑥1 )
Reemplazando datos
𝑦 − 𝑦1 = (𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1) (𝑥 − 𝑥1 ) Como:
𝒚𝟐−𝒚𝟏
𝒙𝟐−𝒙𝟏 =3; entonces:
𝑦 − 9,75 = 3(𝑥 − 2 )
𝑦 − 9,75 = 3𝑥 − 6
𝑦 = 3𝑥 − 6 + 9,75
𝑦 = 3𝑥 + 3,75
Expresión para el movimiento: y = d; x= t
𝑑 = 3𝑡 + 3,75
La distancia recorrida en 100 segundos es:
𝑑 = 3(100) + 3,75
d = 300 + 3,75
d = 303,75 m
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FÍSICA I
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EJERCICIOS PARA RESOLVER IV
NIVEL BÁSICO
1. Un móvil recorre una distancia de 840 metros en 70 segundos. Determinar la
velocidad del móvil.
2. Un móvil tiene una velocidad de 45 m/s durante un tiempo de 120 segundos.
Determinar la distancia recorrida.
3. Un móvil tiene una velocidad de 20 m/s y recorre una distancia de 1400 m.
Determinar el tiempo que emplea móvil.
4. Un móvil recorre una distancia de 1600 m en 20 segundos. Determinar la
velocidad en cm/s.
5. Dos móviles se encuentra en línea recta uno frente al otro, se desplazan en
sentido contrario con velocidades de 70 m/s y 30 m/s. Determinar:
a) Tiempo de encuentro entre ambos móviles.
b) Tiempo que se encuentran por separado 200 metros por primera vez.
c) Tiempo que se encuentran por separado 200 metros por segundo vez.
d) Distancia que recorre el móvil de menor de velocidad al momento del
encuentro.
6. El móvil “A” tiene una velocidad triple a la velocidad del móvil “B”. Si el móvil
“B” recorre 120 metros en 6 segundos. ¿Qué distancia recorrerá el móvil “A” en
24 segundos?
7. Un ómnibus que viaja a 15 km/h describiendo un M.R.U. llega a su destino a la
hora “H”. Si viajara a 10 km/h tendría un retraso de 2 horas. ¿A qué velocidad
tiene que viajar para llegar a la hota “H +1”? (Dar la repuesta en km/h).
8. Un móvil se encuentra uno al frente del otro separados por una distancia de 800
metros, inician el movimiento en forma simultánea, el móvil que está adelante
tiene una velocidad de 20 m/s y el móvil que está atrás tiene una velocidad de 60
m/s. Determinar el tiempo de alcance.
9. Un tren de 140 metros debe atravesar un túnel de 260 metros. Si el tren va con
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FÍSICA I
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una velocidad de 40 m/s ¿Cuál es el tiempo que demora el tren en atravesar el
túnel?
10. Un hombre que se encuentra frente a una montaña emite un grito. Si la rapidez
del sonido en el aire es 340 m/s. ¿después de qué tiempo se escuchará el eco? La
distancia del hombre a la montaña es de 1700 metros.
11. Una motocicleta con MRU se desplaza en dirección a una montaña con rapidez
de 40 m/s. En un instante mientras se desplaza, el conductor toca bocina y
escucha el eco luego de 8 segundos. ¿A qué distancia de la montaña se
encontrará el motociclista cuando escucha el eco?
12. Una persona se encuentra entre dos montañas, en cierto instante emite un grito
y percibe el primer eco a los 3,0 segundos, y a los 3,6 segundos, correspondiente
a la otra montaña. Sabiendo que la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s.
Determinar la distancia entre montañas ( WEZ, 2013).
13. Un auto recorre una distancia entre dos ciudades con 30 km/h de velocidad
constante en forma rectilínea. Cuando faltaban 24 km para llegar a su destino
sufre un desperfecto que le obliga a detenerse 8 minutos. ¿Con qué velocidad
constante deberá reanudar el viaje para llegar sin retraso?
14. Un tren experimenta un Movimiento Rectilíneo Uniforme avanzando con una
rapidez de 72 km/h. Si tarda 80 segundos en recorrer completamente un túnel de
1200 metros de longitud, determinar la longitud del tren.
15. Teniendo el siguiente gráfico posición vs. Tiempo de dos móviles A y B.
Determinar la diferencia de las velocidades.
20
B
A
t (s)
60
40
d (m)
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FÍSICA I
Alcides Mendoza Coba (Dalhy) 2015
16. A las 11:00 a.m. parte de un punto A, un automóvil con velocidad uniforme de
60km/h; a las 15 horas, parte de otro automóvil del mismo punto con una
velocidad de 100 km/h, siguiendo la misma dirección del primero. Determinar a
qué hora y a qué distancia de A el segundo alcanza al primero.
17. Dos móviles parten simultáneamente desde un mismo punto; trazando
trayectorias rectilíneas perpendiculares entre sí con velocidades de 600 cm/s y
800 cm/s. Determinar la distancia de cada móvil al origen del movimiento, en el
instante que la distancia entre ambos es de 400 metros.
18. Un insecto se mueve desde el punto A = (-8�̂� – 4𝑗̂ )m, hasta el punto B= (16�̂�+
16𝑗̂)m, en un tiempo de 10 segundos. Determinar la velocidad del insecto.
19. Una persona cuenta con 12 horas para realizar un paseo. La ida lo hace en
motocicleta con una velocidad de 24 km/h y el regreso lo realiza caminando a 4
km/h por la misma trayectoria. ¿Cuánto tiempo caminó para regresar al punto
de inicio?
20. Un insecto se mueve desde el punto P1 = (40; 42) al punto P2 = (88; 78). Determinar
la distancia recorrida y qué tiempo demora en desplazarse si la velocidad es de
4m/s.
NIVEL MEDIO
21. Un móvil recorre una distancia de 400 metros en 10 segundos. Determinar el
tiempo que necesita para recorrer 1600 metros.
22. ¿Cuánto tiempo en minutos o segundos luego que se ha ocultado el sol una
persona de la tierra lo percibe el ocultamiento? (Distancia de la tierra al sol 150
millones de kilómetros).
23. Un móvil se encuentra separado del otro por una distancia de 4, 8 km. Ambos
parten en simultáneo, en línea recta, uno en sentido contrario al otro. Si la
velocidad de uno de ellos es 40 m/s y del otro móvil 20 m/s más que el primero.
Determinar:
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FÍSICA I
Alcides Mendoza Coba (Dalhy) 2015
a) Tiempo de encuentro entre ambos móviles.
b) Tiempo que se encuentran por separado 600 metros por primera vez.
c) Tiempo que se encuentran por separado 900 metros por segundo vez.
d) Distancia que recorre el móvil de mayor velocidad al momento del encuentro.
24. Un conductor que lleva un auto con una velocidad de 90 km/h se desplaza en
línea recta dirigiéndose a una pared. Si el conductor toca la bocina y escucha el
eco después de 2 segundos. ¿A qué distancia de la pared se tocó la bocina?
25. Un ómnibus de 10 metros de largo con movimiento rectilíneo uniforme, se
desplaza con una velocidad de 36 km/h. Si el móvil tarda 4 segundos en atravesar
completamente un túnel. ¿Cuál es la longitud del túnel?
26. Una moto acuática parte de un punto específico de un muelle en dirección Oeste,
luego de avanzar 0,6 km, cambia de dirección hacia el Norte, logrando avanzar
900 metros. Si la moto acuática se mantuvo en movimiento 6 minutos.
Determinar la distancia al punto de partida y la velocidad con la que se desplazó.
Dar la respuesta en m y m/s
27. Para atravesar un túnel de 315 pulgadas de longitud, un tren que se mueve con
M.R.U. con una velocidad de 50 m/s; emplea 20 segundos. Determinar la
longitud del móvil. (considerar solo la parte entera para los cálculos).
28. Dos móviles A y B, separados por 100 metros, se mueven en la misma dirección
y sentido contrario, con velocidad constante de 40 m/s y 15 m/s,
respectivamente, señalar en qué tiempo mínimo, el móvil A estará a 75 m delante
de B.
29. Si al registrar el movimiento de un móvil se tiene la siguiente tabla:
Graficar y Determinar:
a) La velocidad del móvil
X (ts) 3 4 5
Y (dm) 7,98 9,98 11,98
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FÍSICA I
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b) La ecuación para el movimiento.
c) La distancia recorrida en 200 segundos.
30. Un helicóptero se dirige de “B” hacia “C”, el ruido del motor emitido en “B”
alcanza al observador “A” en el instante en que el avión llega a la posición “C”.
Determinar la velocidad constante del avión.
NIVEL AVANZADO
31. Dos móviles se encuentran uno frente al otro, separados por una distancia de 5
kilómetros. Parte el móvil con una velocidad de 60 m/s, luego de 30 segundos
parte el otro móvil en sentido contrario con una velocidad de 40 m/s. Determinar:
a) Tiempo de encuentro desde la partida del primer móvil.
b) Distancia al primer móvil que se encuentran.
32. Un tren demora en pasar frente a una persona en reposo (muy cerca al tren) 18
segundos. Después atraviesa un túnel de 400 metros de largo en 90 segundos con
velocidad constante. ¿Cuánto mide el largo del tren?
33. Un móvil se desplaza con una velocidad constante durante 8 segundos, tiempo
en el que recorre una determinada distancia (primer tramo). Luego aumenta su
velocidad a 8 m/s en forma constante, recorriendo la misma distancia en 7
segundos. Determinar la velocidad con la que el móvil recorre el primer tramo.
34. Un altavoz ubicado entre dos montañas emite un sonido hacia la derecha. El eco
de dicho sonido llega a la montaña de la izquierda en 6 segundos luego de ser
emitido. Determinar la distancia entre las montañas, si el altavoz se encuentra a
40 metros de la montaña de la izquierda.
35. Un tren se dirige en línea recta con una velocidad de constante de 10 m/s, a un
puente. Si los vagones son de igual longitud (l) y se sabe que un vagón cruza
completamente el puente en 11 segundos y dos vagones lo hacen en 12 segundos;
C
160
530
A
A
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FÍSICA I
Alcides Mendoza Coba (Dalhy) 2015
¿en cuánto tiempo cruzarán el puente nueve vagones juntos? (ADUNI, 2004).
36. Dos automóviles se cruzan simultáneamente en un instante determinado. Si cuando
se cruzan, un móvil habrá recorrido 72 km más que el otro, y a partir de ese instante
el primero (el más veloz) tarda 1 hora en llegar al punto de partida del segundo
móvil y el segundo 4 horas en llegar al punto de partida del más veloz. Determinar
la distancia entre los puntos de partida de los automóviles, considerando que el
desplazamiento se dio en línea recta.
37. Al borde de una pista rectilínea se encuentran dos centros de recreación
distanciados a 308 metros. Un motociclista, que se desplaza con rapidez constante
entre ambos centros de recreación, escucha el sonido de un disparo dando inicio a
una maratón al centro de recreación “A” y estaría a 34 metros de éste, luego de 0,25
segundos escucha el sonido del otro disparo del otro centro de recreación. Si ambos
disparos se realizaron al mismo instante. Determinar la velocidad del motociclista.
38. Dos móviles parten de un mismo punto en direcciones opuestas, dirigiéndose
respectivamente a “A” y a “B”. Luego de llegar a su destino emprenden el retorno.
¿A qué distancia de “Q” se vuelven a encontrar?
39. Una partícula se encuentra en t0 = 2s en la posición 𝑟 =(2𝑖̂+4𝑗̂+6�̂�)𝑚 y en t= 4s en la
posición 𝑟 = (8𝑖̂ + 8𝑗̂ + 8�̂�)𝑚 . Si el movimiento que efectúa la partícula M.R.U,
determinar el desplazamiento(en m) en t1 = 3s y t2 = 8s. (WEZ 2014)
40. Un tren se dirige hacia una montaña con velocidad constante. El maquinista hace
sonar su silbato y recibe el eco 4 segundos más tarde. En el instante de recibir el eco
vuelve a tocar el silbato y recibe el segundo eco 3 segundos después. Calcular la
rapidez del tren. (considerar la velocidad del sonido 336 m/s)
A B
120 m 280 m
PRÁCTICA DE LABORATORIO 5:
Guía adicional