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Unidad 7: Figuras planasUnidad 7: Figuras planas
1.1. Triángulos: Rectas y puntos notables. Triángulos: Rectas y puntos notables.
2.2. Teorema de Pitágoras. AplicacionesTeorema de Pitágoras. Aplicaciones
3.3. Cuadriláteros. Clasificación y Propiedades.Cuadriláteros. Clasificación y Propiedades.
4.4. Circunferencias y Rectas.Circunferencias y Rectas.
5.5. Ángulos en la Circunferencia.Ángulos en la Circunferencia.
6.6. Áreas de los polígonos.Áreas de los polígonos.
7.7. Áreas y perímetros de las figuras curvas.Áreas y perímetros de las figuras curvas.
2
Figuras geométricas cotidianas (Pág... 144).
Observa con atención las fotografías y los objetos que aparecen en la
imagen relaciónalos con las siguientes figuras geométricas.
¿Sabrías nombrar estas figuras planas?
Romboide, Pentágono, Romo, Trapecio isósceles,
Rectángulo, Triángulo, Cuadrado, Hexágono, Polígono
irregular
3
Triángulos: Rectas y puntos notables.Mediatriz y Circuncentro
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a su punto medio.
En un triángulo la mediatriz es la recta perpendicular al punto medio de cada lado.
Las mediatrices de un triángulo coinciden en un punto llamado circuncentro.
El circuncentro equidista de los tres vértices del triángulo. Por tanto, es el centro de la circunferencia circunscrita. Dibujar mediatrices
Obtener la figura completa
4
Ejercicio para clase (Pág. 146-1)
5
Triángulos: Rectas y puntos notables.Bisectrices e Incentro
Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta que divide el ángulo en dos partes iguales.
Las bisectrices de un triángulo coinciden en un punto llamado incentro.
El incentro equidista de los tres lados del triángulo. Por tanto, es el centro de la circunferencia inscrita.
Dibujar bisectrices
Obtener la figura completa
6
Ejercicio para clase (Pág. 146-2)
7
Triángulos: Rectas y puntos notables.Medianas y Baricentro.
Se llama mediana de un triángulo al segmento que une cada vértice con punto medio del lado opuesto.
Las medianas de un triángulo coinciden en un punto llamado baricentro.
La distancia del baricentro a cada vértice es doble que al punto medio del correspondiente lado opuesto.
Dibujar medianas
Obtener la figura completa
8
Ejercicio para clase (Pág. 147-3)
9
Triángulos: Rectas y puntos notables.Alturas y Ortocentro
Se define altura de un triángulo como al segmento perpendicular que va desde el vértice hasta el lado opuesto.
Las alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro.
Observar como varía el ortocentro en un triángulo obtusángulo, rectángulo y acutángulo
Las alturas ABC coinciden con las mediatrices de A´B´C´.
A´B´C´ se obtiene al trazar por cada vértice de ABC la paralela al lado opuesto.
10
Recta de Euler
El ortocentro, el baricentro, y el circuncentro de cualquier triángulo están alineados sobre la misma recta denominada recta de Euler.
Dibujar recta Euler.
11
Resumen rectas y puntos notables
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Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa
222 acb Comprobación
Demostraciones visuales
Demostraciones matemáticas
13
Aplicamos el teorema (Pág.. 148-1)
14
Como calcular el lado desconocido de un triángulo rectángulo.
Para calcular un cateto desconocido basta con despejar de la ecuación del teorema de Pitágoras.
222 acb 22
222
cab
cab
¿Cuánto valdrá el cateto b?
15
Aplicamos Pitágoras (Pág.. 148)
16
¿Cómo determinar si un triángulo es rectángulo?
En cualquier triángulo de lados a, b y c (el mayor)
rectángulo 222 cbaSi
222 cbaSi
222 cbaSiobtusángulo
acutángulo
Comprobación
17
Veamos un ejemplo. (Pág.. 149-3)
18
Resuelve tu ahora este ejercicio
19
¿Cómo calcular la altura de un triángulo no rectángulo?
La altura en un triángulo no rectángulo divide a este en dos triángulos rectángulos menores, sobre los que es posible aplicar el teorema de Pitágoras, planteando así un sistema de ecuaciones que permite obtener el valor de la altura (h) y de la hipotenusa (b).
Observar como la altura es cateto común de los dos triángulos menores.
222
222
xbhc
xha
20
Veamos un ejemplo
21
Resuelve tu este ejercicio
22
Ejercicio para clase. (Pág. 161-12)
23
Ejercicio para clase. (Pág. 161-16)
24
Ejercicio para clase. (Pág. 161-16)
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Cuadriláteros: Clasificación y propiedades.
PARALELOGRAMOS(Lados opuestos paralelos)
NO PARALELOGRAMOS(Lados opuestos no paralelos)
RECTÁNGULOS
ROMBOS
ROMBOIDES
TRAPECIOS
OTROS
CUADRADOS
Pinchar sobre cada figura
26
Ejercicio para clase. (Pág. 151-1)
27
Ejercicio para clase. (Pág. 151-2)
28
Ejercicio para clase. (Pág. 151-3)
29
Ejercicio para clase. (Pág. 161-13)
30
Circunferencias y Rectas. Posiciones relativas.
POSICIONES RELATIVAS de recta y circunferencia: Secantes: Se cortan en dos puntos Tangentes: Se cortan en un punto Exteriores: No tienen ningún punto en común
La historia sucede en un plano y tiene como personajes principales a una recta y un círculo. ¿Qué puede pasar entre ellos?
(“El teorema del loro” de Denis Guedj)
Posiciones relativas
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Circunferencias y Rectas. Posiciones relativas.
El radio (r), la mitad de la cuerda (c/2) y la distancia del centro a la cuerda (d) forman un triángulo rectángulo sobre el que se puede aplicar el teorema de Pitágoras.
22
2
2d
cr
Demostración
La historia sucede en un plano y tiene como personajes principales a una recta y un círculo. ¿Qué puede pasar entre ellos?Puede ser que la recta corte al círculo o bien que no lo corte. Puede rozarla, observó Ruche. Si lo corta, lo dividirá forzosamente en dos partes. Y para que las partes sean iguales, ¿cómo debe estar situada la recta? Tales le dio la respuesta: para que la recta divida al círculo en dos partes iguales, debe ………………
(“El teorema del loro” de Denis Guedj)
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Desde un punto exterior se pueden trazar dos tangentes a una circunferencia. Cada una de ellas es perpendicular al radio en el punto de tangencia. Por tanto, el triángulo de lados d, r y t es rectángulo.
Circunferencias y Rectas. Posiciones relativas.
222 trd
Demostración
El punto donde una recta tangente corta a una circunferencia se llama punto de tangencia. La recta tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia.
Punto de tangencia
33
Ejercicio para clase. (Pág. 152-1)
34
Ejercicio para clase. (Pág. 152-2)
35
Tangentes comunes a dos circunferencias
Dos circunferencias exteriores o secantes tienen dos tangentes comunes exteriores.
El cuadrilátero que se forma es un trapecio rectángulo sobre el que se puede aplicar el teorema de Pitágoras.
Demostración
Demostración
Demostración
Dos circunferencias exteriores tienen dos tangentes comunes interiores.
222 ´ trrd
36
Ejercicio para clase. (Pág. 153-3)
37
Ejercicio para clase. (Pág. 153-4)
38
Ángulos en la Circunferencia
El ángulo central de una circunferencia es el que tiene su vértice en el centro de la misma.
La medida angular del arco de circunferencia coincide con la de ángulo central.
Ángulo central
El ángulo inscrito es aquel que esta determinado por dos cuerdas de extremo común. Su vértice está en el perímetro de la circunferencia.
La medida angular de un ángulo inscrito coincide con la mitad del arco que abarca.
Ángulo inscrito
Demostración Dos ángulos inscritos en una circunferencia que
abarcan el mismo arco son iguales
39
Ángulos en la Circunferencia Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto Cualquier ángulo inscrito en una semicircunferencia abarca un arco de 180º, luego su medida siempre será 90º.
Otros tipos de ángulos son: Semiinscrito: Determinado
por una cuerda y una tangente, mide la mitad del arco que abarca.
Interior: Cuando su vértice está en el interior de la circunferencia. Mide la mitad de la suma de los arcos determinados por sus lados y prolongaciones.
Exterior: Cuando su vértice está en el exterior de la circunferencia. Mide la mitad de la diferencia de los arcos determinados por sus lados.
Demostración
Actividad
40
Ejercicio para clase. (Pág. 155-1)
41
Ejercicio para clase. (Pág. 155-2)
42
Ejercicio para clase. (Pág. 155-3)
43
Ejercicio para clase. (Pág. 155-4)
44
Áreas de los polígonos: Rectángulo y Cuadrado.
hbS
RectánguloCabri
Geocebra
Cuadrado
2lS Geocebra
45
Áreas de los polígonos: Romboide y Rombo.
baS
Paralelogramo o Romboide
Cabri Geocebra
Rombo
2
dDS
Cabri
Geocebra
46
Áreas de los polígonos: Triángulo
2
hbS
Triángulo cualquiera
Cabri
Geocebra
Triángulo rectángulo
2
ahS
2
´ccS
47
Áreas de los polígonos: Trapecio y Polígono irregular.
2
hbBS
Trapecio
Cabri
Geocebra
Geocebra
Polígono cualquiera
TRIÁNGULOSdeáreasdeSUMASPOLÍGONO
48
Áreas de los polígonos: Polígono regular.
2
.
2
. aPerímetroalnS
Octogono
DodecagonoPentágono Hexagono
Regular 36 lados
Podemos aplicar Pitágoras sobre el triángulo rectángulo para calcular la apotema (segmento que une el centro con el punto medio de cada lado).
222
2
L
ra
49
Ejercicio para clase. (Pág. 157-1)
50
Soluciones
51
Soluciones
52
Ejercicio para clase. (Pág. 162-29)
53
Soluciones
54
Soluciones
55
Soluciones
Bloque: GEOMETRÍAUnidad: nº 7, FIGURAS PLANAS
Apartados: - 7.7. AREAS Y PERÍMETROS DE LAS FIGURAS CURVAS
(Ver páginas de notas con orientaciones)
57
7.7. AREAS Y PERÍMETROS DE LAS FIGURAS CURVAS (pág. 158)
a) PERÍMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA:
rP ..2
58
Curiosidades sobre el número π.
Históricamente estudiado: En la antigua Babilonia
se consideraba π ≈ 3
Saltar al áreadel círculo
59
Curiosidades sobre el número π.
Históricamente estudiado: En el Antiguo Egipto se consideraba
1605,36
19
Saltar al áreadel círculo
60
Curiosidades sobre el número π.
Históricamente estudiado: En Europa, el genial
Arquímedes demostró (en el siglo III a.d.C.) que
7
22
71
223
Saltar al áreadel círculo
¿Cómo?
Más sobre Arquímedes
61
Curiosidades sobre el número π.
Históricamente estudiado: En China Tsu Ch'ung, en el siglo V calculó que
3,14159113
355
Saltar al áreadel círculo
En occidente hubo que esperar 1000 años para alcanzar este nivel.
62
Curiosidades sobre el número π.
Históricamente estudiado: Los árabes en el siglo XV
consiguieron hasta 17 decimales exactos de π tras determinar el lado del polígono regular de 2832 lados
3589793243,14159265
Saltar al áreadel círculo
63
Curiosidades sobre el número π.
Históricamente estudiado: Actualmente: Se conocen
más de 30 millones de decimales de π y se siguen buscando los siguientes
Saltar al áreadel círculo
64
7.7. AREAS Y PERÍMETROS DE LAS FIGURAS CURVAS (pág. 158)
b) ÁREA DEL CÍRCULO:
2.rA
65
7.7. AREAS Y PERÍMETROS DE LAS FIGURAS CURVAS (pág. 158)
b) ÁREA DEL CÍRCULO:
Como suma de triángulos
2.2
...2
2
.r
rraPA
66
7.7. AREAS Y PERÍMETROS DE LAS FIGURAS CURVAS (pág. 158)
c) ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR:
º360
º.. 2 nrA
67
7.7. AREAS Y PERÍMETROS DE LAS FIGURAS CURVAS (pág. 158)
d) SEGMENTO CIRCULAR:
TRIÁNGULOSECTORSEGMENTO AAA
68
7.7. AREAS Y PERÍMETROS DE LAS FIGURAS CURVAS (pág. 158)
e) CORONA CIRCULAR:
).(.. 2222 rRrRA
69
7.7. AREAS Y PERÍMETROS DE LAS FIGURAS CURVAS (pág. 158)
f) ELIPSE:
baA ..
70
SOLUCIONES:
71
SOLUCIONES:
72
Más EJERCICIOS para casa
p163e30 y 32
73
Arquímedes (298 AC - 212 AC )
El matemático más grande de la antigüedad
Contribuyó enormemente al desarrollo de la Geometría
También fue físico, ingeniero e inventor (catapulta, un sistema de poleas, el torno, la rueda dentada, …)
Famoso por el Principio de Arquímedes
Alguna anécdota
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“Dadme un punto de apoyo y os levantaré el mundo“
Logró defender durante tres años a Siracusa que estaba sitiada por los romanos mediante sus inventos mecánicos y ópticos. Asesinado por un soldado a pesar de haber
ordenado el cónsul Marcelo respetar la vida del sabio.
Arquímedes: Anécdotas “¡Eureka!” Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical
y hacia arriba igual al peso de fluido desalojado