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Universidad de Oriente Matemáticas I (008-1714) Ing. Adrianna B. Finol H.
Formulas
( x±b )2=x2±2bx+b2 x2−b2=( x−b ) ( x+b )
(ax ±b )2=(ax )2±2abx+b2=a2 x2±2abx+b2 x3−b3=( x−b ) (x2+bx+b2 )
n√ x−n√ y=( x− y )
n√xn−1+ n√ yxn−2+ n√ y2 xn−3+⋯+ n√xy n−2+ n√ yn−1
Infinito más un número
∞±k=∞
x3+b3= (x+b ) ( x2−bx+b2 )
Infinito más Infinito
∞+∞=∞
Infinito por Infinito
∞×∞=∞
Infinito menos Infinito
∞−∞=Ind
Infinito por cero
∞×0=Ind
Infinito por un número
∞× (±k )=±∞ si k≠0
Cero partido por un número
0k=0
Un número partido por Cero
k0=∞
Cero partido por Infinito
0∞
=0
Un número partido por Infinito
k∞
=0
Infinito partido por cero
∞0
=Ind
Infinito partido por Un número
∞k
=∞
Cero partido por Cero
00=Ind
Infinito partido por Infinito
∞∞
=Ind
Infinito elevado a cero
∞0=Ind .
Un número elevado a cero
k 0=1
Infinito elevado al infinito
∞∞=∞
Universidad de Oriente Matemáticas I (008-1714) Ing. Adrianna B. Finol H.
Cero elevado a cero
00=Ind .
Cero elevado a un Número
ok={0 ;si k>0∞ ;si k<0
Un Número elevado a infinito
k∞={∞; si k>00 ;si k<0
Uno elevado al infinito
1∞=Ind
Cero elevado al infinito
∞∞=0Indeterminado = Ind
Para Recordar y nunca olvidar
ab×ac=ab+ c ab=a×
1b=1b×a
ab×a−c=ab−c ab±cd=a×d ±c×b
b×d
1
ac=a−c a
b± p=a
b±p1=a± p×b
b
ab
ac =ab×a−c=ab−c ab±cd±ef=a×d ±c×b
k
ab±cd±ef=a×
kb±c ×
kd±e×
kf
k
siendo k igual al productode los
comunes y nocomunes
con sumayor exponente
de los denominadores
Factor común
bap±c ap=(b±c )ap Desigualdades
n√a±b≠ n√a± n√b : (a±b )n≠ (a )n± (b )n
Radicales
n√a=a1n ; n√ap=( n√a ) p=(a p )
1n=a
p× 1n=a
pn
Radicales
n√a×b=(a×b )1n=(a
1n )(b
1n )
Universidad de Oriente Matemáticas I (008-1714) Ing. Adrianna B. Finol H.
Ejercicios resueltos
1 Calcular el dominio de las funciones:
1. Función Polinómica Domf ( x )=∀ X∈R
2. Función Polinómica Domf ( x )=∀ X∈R
Universidad de Oriente Matemáticas I (008-1714) Ing. Adrianna B. Finol H.
3.
Función Racional:
Se anula el denominador x+2=0→x=−2; Domf ( x )=∀ X∈R−{−2 }
4.
Función Racional:
Se anula el denominador x2−1=0→x2−1=( x−1 ) ( x+1 )=0
( x+1 )=0→x=−1
( x−1 )=0→x=1
Domf ( x )=∀ X∈R−{−1,1 }
5.
Función Racional: Se anula el denominador x2+1=0→x2=−1
∄ x∈R /x2=−1, es decir, no existe un número real que al elevarlo al cuadrado de un
número negativo, por lo tanto no existe un número que haga cero el denominador,
por lo tanto, su dominio es todos los reales, Domf ( x )=∀ X∈R
6.
Función Racional:
Se anula el denominador x2+2x+1=0
a=1b=2c=1
→x=−b±√b2−4ac2a
; x=−2±√22−4×1×12×1
=−22
=−1
Universidad de Oriente Matemáticas I (008-1714) Ing. Adrianna B. Finol H.
x2+2x+1= (x+1 )2=0 Domf ( x )=∀ X∈R−{−1 }
7. Función Racional:
Se anula el denominador x3+3x2+3 x+1=0
Factorizamos por ruffini
x3+3x2+3 x+1=0
1 3 3 1
-1 -1 -2 -1 x3+3x2+3 x+1=( x+1 ) (x+1 ) ( x+1 )=0
1 2 1 0 x3+3x2+3 x+1=( x+1 )3=0; despejamos
-1 -1 -1 ( x+1 )3=0→x+1=0→x=−1
1 1 0
Domf ( x )=∀ X∈R−{−1 }
8.Función Radical de potencia par: f ( x )= n√h ( x ) ;(n=2k numero par )
Dominio: ∀ x∈R /h ( x )≥0
Resolvemos la inecuación x−2≥0; despejamos
x≥2→x∈ (2 ,+∞ )
Domf ( x )=∀ x∈ (2,+∞ )
9.Función Radical de potencia par: f ( x )= n√h ( x ) ;(n=2k numero par )
Dominio: ∀ x∈R /h ( x )≥0
Resolvemos la inecuación – x+2≥0; despejamos
−x≥−2→multiplicamos por−1enambos lados
Universidad de Oriente Matemáticas I (008-1714) Ing. Adrianna B. Finol H.
x≤2→x∈ (−∞,2 )
Domf ( x )=∀ x∈ (−∞ ,2 )
10.
Función Radical de potencia par: f ( x )= n√h ( x ) ;(n=2k numero par )
Dominio: ∀ x∈R /h ( x )≥0
Tenemos la inecuación x2−6 x+8≥0; resolvemos la igualdad y luego la inecuación
x2−6 x+8=0
Factorizamos por ruffini
x2−6 x+8=0
1 -6 8 x2−6 x+8= ( x−2 ) (x−4 )=0
2 2 -8 ( x−2 )=0→x=2
1 -4 0 ( x−4 )=0→x=4
Ahora se busca el signo de la multiplicación de los factores ( x−2 ) ( x−4 )para determinar la
solución de la inecuación, mediante la rejilla.
Se le da valores arbitrarios a x dentro de cada intervalo para determinar el signo de cada
factor.
Intervalos (−∞,2) (2 ,4) (4 ,+∞)
Valores de x x=0 x=3 x=5 Ahora el signo del
producto de los factores
nos da el dominio de f(x)
¿ ¿ ¿ ( x−2 )
¿ ¿ ¿ ( x−4 )
¿ ¿ ¿ ( x−2 ) ( x−4 )- 2 4 +
≥0 ¿0 ≥0
Domf ( x )=∀ x∈ (−∞ ,2 ]∪¿
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También podemos expresar el dominio en función de los que están afuera de esos intervalos
Domf ( x )=∀ x∈R−{∀ x∈ (2,4 ) }
11.
Función Radical de potencia par: f ( x )= n√h ( x ) ;(n=2k numero par )
Dominio: ∀ x∈R /h ( x )≥0
Tenemos la inecuación x2−6 x+8≥0; resolvemos la igualdad y luego la inecuación
Factorizamos por ruffini
−x2+6 x−8=0
-1 +6 -8 −x2+6 x−8=( x−2 ) (−x+4 )=0
2 -2 8 ( x−2 )=0→x=2
-1 4 0 (−x+4 )=0→x=4
Ahora se busca el signo de la multiplicación de los factores ( x−2 ) (−x+4 )para determinar la
solución de la inecuación, mediante la rejilla.
Se le da valores arbitrarios a x dentro de cada intervalo para determinar el signo de cada
factor.
Intervalos (−∞,2) (2 ,4) (4 ,+∞)
Valores de x x=0 x=3 x=5 Ahora el signo del
producto de los factores
nos da el dominio de f(x)
¿ ¿ ¿ ( x−2 )
¿ ¿ ¿ (−x+4 )
¿ ¿ ¿ ( x−2 ) (−x+4 )
- 2 4 +
¿0 ≥0 ¿0
Domf ( x )=∀ x∈ (−∞ ,2 ]∪¿
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También podemos expresar el dominio en función de los que están afuera de esos intervalos
Domf ( x )=∀ x∈R−{∀ x∈ (2,4 ) }
12.
Función Radical de potencia par: f ( x )= n√h ( x ) ;(n=2k numero par )
Dominio: ∀ x∈R /h ( x )≥0
Tenemos la inecuación x2+4 x+4≥0; resolvemos la igualdad y luego la inecuación
Factorizamos por ruffini
x2+4 x+4=0
1 +4 +4 x2+4 x+4= (x+2 ) ( x+2 )=( x+2 )2=0
-2 -2 -4 Como es un factor cuadrático nunca será negativo
1 2 0 Por lo tanto el dominio son todos los reales
Domf ( x )=∀ x∈R
13.
Función Radical de potencia par: f ( x )= n√h ( x ) ;(n=2k numero par )
Dominio: ∀ x∈R /h ( x )≥0
Tenemos la inecuación x2+ x+4≥0; resolvemos la igualdad y luego la inecuación
x2+ x+4=0
a=1b=1c=4
→x=−b±√b2−4 ac2a
; x=−1±√12−4×1×42×1
=−1±√−152
∉ R
Noexisteunnúmero quehaga irreal la función por lo el dominio sontodos losreales
Domf ( x )=∀ X∈R
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Universidad de Oriente Matemáticas I (008-1714) Ing. Adrianna B. Finol H.
14.
Función Radical de potencia par: f ( x )= n√h ( x ) ;(n=2k numero par )
Dominio: ∀ x∈R /h ( x )≥0
Tenemos la inecuación −x2−x−4≥0; resolvemos la igualdad y luego la inecuación
−x2−4 x−4=0
-1 -4 -4 −x2−4 x−4=( x+2 ) (−x−2 )=− (x+2 )2=0
-2 2 4 Como es un factor cuadrático nunca será negativo
-1 -2 0 Por lo tanto el dominio no pertenece a los reales
Domf ( x )={∅ }
15.
Función Radical de potencia par: f ( x )= n√h ( x ) ;(n=2k numero par )
Dominio: ∀ x∈R /h ( x )≥0
Tenemos la inecuación −x2−x−4≥0; resolvemos la igualdad y luego la inecuación
x3−4 x2+3 x=0→x (x2−4 x+3 )=01 -4 3
1 1 -3 x3+3x2+3 x+1=x (x−1 ) ( x−3 )=0
1 -3 0 x=0
3 3 x−1=0→x=1
1 0 x−3=0→x=3
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Ahora se busca el signo de la multiplicación de los factores x (x−1 ) ( x−3 )para determinar la
solución de la inecuación, mediante la rejilla. Se le da valores arbitrarios a x dentro de cada
intervalo para determinar el signo de cada factor.
Intervalos (−∞,0) (0,1) (1,3) (3 ,+∞)
Valores de x x= -1 x=0,5 x=2 x=4
¿ ¿ ¿ ¿ x
¿ ¿ ¿ ¿ ( x−1 )
¿ ¿ ¿ ¿ ( x−3 )
¿ ¿ ¿ ¿ x (x−1 ) ( x−3 )- 0 1 3 +
¿0 ≥0 ¿0 ≥0
Domf ( x )=∀ x∈ [0,1 ]∪¿
16.
Función Radical de potencia impar: f ( x )= n√h ( x ) ;(n=2k+1numeroimpar )
Dominio:∀ x /h (x )∈R, h(x) es una función racional
h ( x )=3 x+1x+1
Se anula el denominador x+1=0→x=−1; Domf ( x )=∀ X∈R−{−1 }
17. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(−12 ,3) y B( 15 ,−16 )
Ecuación de la recta Punto Pendiente y− yo=m (x−x0 ); m=y2− y1x2−x1
Determinamos la pendiente de recta dados los puntos A(−12 ,3) y B( 15 ,−16 )
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m=
−16
−3
15−(−12 )
=
−1−1862+510
=
−196710
→ m=−19042
=−9521
→ m=−9521
y− yo=m (x−x0 )→ y−3=−9521 (x−(−12 ))→ y−3=
−9521 ( x+ 12 )
y−3=−9521
x−9542
→y=−9521
x−9542
+3→y=−9521
x+−95+3×4242
y=−9521
x+ 3142
Ecuación de la Recta
18. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-4,2) y es paralelo al eje x
Al ser una recta paralela al eje x significa que su pendiente es igual a cero por lo tanto
utilizando la ecuación de la recta Punto Pendiente y− yo=m (x−x0 ) ;m=0y el punto
tendremos la ecuación.
y−2=0 (x−(−4 ) )→ y−2=0→ y=2
y=2 Ecuación de la Recta
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19. Sea la recta Louna recta que pasa por los puntos Po y P1; siendo Po el punto de
intersección de las rectas L1 y L2, el P1tiene ordenada -5; se sabe que la recta Lo es
paralela a la recta L3; De acuerdo a los datos suministrados a continuación
determinar la abcisa de P1y la ecuación de la recta Lo.
Datos
Lo=?
P0∈Lo
P1∈ Lo ; P1 (? ,−5 )
Po=L1∩L2
L1:3 x−4 y=−21
L2:2 y−5x=0
L3: x−2 y=1 ; L0∥L3
Solución:
Debemos determinar el punto P0¿¿resolviendo el sistema de ecuaciones.
L1:3 x−4 y=−21(I)
L2:2 y−5x=0(II) multiplicamos por (2) y resolvemos el sistema de ecuaciones
(I) 3 x−4 y=−21
(II) 4 y−10 x=0
−7 x=−21→x=−21−7
→x=3
x=3 ; Sustituimos en cualquiera de las dos ecuaciones para conseguir y
Utilizamos la primera ecuación
3 x−4 y=−21→3×3−4 y=−21→−4 y=−21−9→−4 y=−30, →
y=−30−4
=152→P
o(3 , 152 )
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Ahora nos faltará un punto para hallar la ecuación de Lo , que sería P1 (? ,−5 ) pero su abscisa
es desconocida, por lo tanto tomamos otro dato, que viene a ser la pendiente, que puede ser
calculada por la condición de paralelismo, como L0∥L3 entonces m0=m3
L3: x−2 y=1, buscamos dos puntos arbitrarios de L3para calcular la pendiente.
Para x = 0 → x−2 y=1 →0−2 y=1→ y= 1−2
→ y=−12
→A (0 ,−12 )
Para y = 0 → x−2 y=1 →x−2×0=1→x=1→B (1,0 )
m=0−(−12 )1−0
→
121→m3=
12
→ m0=m3=12→m0=
12
m0=12
; Po(3 , 152 ) → y− yo=m (x−x0 )→ y−152
=12
( x−3 )→ y−152
=12x−32
,
y=12x−32+152→ y=1
2x+ 122
L0 : y=12x+6 Ecuación de la recta L0
Ahora con la ecuación de la recta L0 podemos encontrar el valor de la abcisa del punto P1.
P1∈ Lo ; P1 (? ,−5 )L0 : y=12x+6→x1=? y y1=−5→ Sustituimos en L0
y=12x+6, sustituimos x → −5=
12x+6→ 1
2x=−5−6→x=−11
2
P1(−112 ,−5) Coordenadas del P1.
20. Sea la recta Louna recta que pasa por los puntos Po y P1; siendo Po el punto de
intersección de las rectas L1 y L2; se sabe que la recta Lo es perpendicular a la recta
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L3; De acuerdo a los datos suministrados a continuación determinar las incógnita y
la ecuación de Lo.
Datos
Lo=?
P0∈Lo
P1∈ Lo ; P1 (2, ? )
Po=L1∩L2
L1:2 x−3 y=4
L2: x− y=3
L3: 3x−4 y=−2 ; L0⊥L3
Solución:
Debemos determinar el punto P0resolviendo el sistema de ecuaciones.
L1:2 x−3 y=4 (I)
L2: x− y=3 (II) multiplicamos por -2
(I) 2 x−3 y=4
(II) −2 x+2 y=−6
− y=−2
y=2 ; Sustituimos en cualquiera de las dos ecuaciones para conseguir x
Utilizamos la segunda ecuación original
x− y=3→x−2=3→x=3+2→x=5, → Po (5,2 )
Ahora nos faltará un punto para hallar la ecuación de Lo , que sería P1 (2, ? ) pero su abscisa es
desconocida, por lo tanto tomamos otro dato, que viene a ser la pendiente, que puede ser
calculada por la condición de perpendicularidad, como L0⊥L3 entonces m0×m3= -1
L3: 3x−4 y=−4 , buscamos dos puntos arbitrarios de L3para calcular la pendiente.
Para x = 0 → 3x−4 y=−4→0−4 y=−4→ y=−4−4
→ y=1→A (0,1 )
Para y = 0 → 3x−4 y=−4→3x−4×0=−4→x=−43
→B(−43 ,0)
Universidad de Oriente Matemáticas I (008-1714) Ing. Adrianna B. Finol H.
m= 0−1−43
−0→
−1−43
→m3=34 → m0×m3=−1→m0×
34=−1→m0=
−43
m0=−43
; Po (5,2 ) → y− yo=m (x−x0 ) y−2=−43
( x−5 )→y−2=−43
x+ 203
,
y=−43
x+ 203
+2→ y=−4 x+20+63
L0 : y=−43
x+263
Ecuación de la recta L0
Universidad de Oriente Matemáticas I (008-1714) Ing. Adrianna B. Finol H.
Ahora con la ecuación de la recta L0 podemos encontrar el valor de la ordenada del punto P1.
P1∈ Lo P1 (2, ? ) ; L0 : y=−43
x+263
→x1=2 y y1=?→ Sustituimos en L0
y=−43
x+ 263
, Sustituimos → y=−43
×2+263→ y=−8
3+ 263→ y=18
3=6
P1 (2,6 ) Coordenadas del P1.