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I N S T I T U T O T E C N O L O G I C O S U P E R I O R D E A P A T Z I N G A N XVII Evento Nacional de Ciencias Básicas en su Fase Local
Nombre: ___________________________________________________. Fecha: ___________________
Disciplina: “Física”
Etapa frente al pizarrón
1. Desde el interior de una patrulla estacionada en una zona de 70km/h de velocidad permitida, un oficial de policía observa un automóvil que viaja con velocidad lenta y constante. Creyendo que el conductor del automóvil podría estar intoxicado, el oficial pone en marcha su carro, acelera uniformemente hasta 90km/h en 8 s y, manteniendo una velocidad constante de 90km/h, alcanza al automovilista 42 s después de que el automóvil pasó frente a él. Sabiendo que transcurrieron 18 s antes de que el oficial iniciara la persecución del automovilista, determine a) la distancia que el oficial recorrió antes de alcanzar al automovilista, b) la velocidad del automovilista.
Tiempo: 25 minutos
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Solución del problema 1:
Datos: Para t=0 , xa=x p=0
Para t=42 s→xa=xp
va=constante ; para 0≤ t ≤18 s , v p=0 ;
para18 s<t ≤26 s , ap=constante; y de t=26 s→v p=90kmh
para26 s<t ≤42 s , v p=90km /h
Buscamos: a) x p→t=42 s
b) va
Esquema:
t = 42 s t = 26 s t = 18 s
(v p )42=90kmh
=25ms
(v p )42=90kmh
=25 ms
(v p )42=0
a) para18 s<t ≤26 s :v p=(v p )18+a p ( t−18 )=ap ( t−18 )
Cuando t=26 s :25=ap (26−18 )
Por lo tanto a p=3.125m
s2
También x p=(x p )18+(v p )18 (t−18 )+ 12ap (t−18 )2
Cuando t = 26 s: (x p )26=12
(3.125 ) (26−18 )2=100m
Para 26 s<t ≤42 s : x p=(x p )26+(v p )26 ( t−26 )
Cuando t = 42 s: (x p )42=100+25 (42−26 )=500mó0.5km .
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5.00 cm
α β
3.00 cm4.00 cm
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b)Para el automovilista; xa=(xa )0+va t
Cuando t = 42 s, xa=x p :500=va (42 )despejendova=11.9048ms=42.9 km
h
2. Calcular la magnitud de la fuerza neta F sobre la carga q3, si se colocan tres cargas como se
muestra en la figura. Se sabe que la magnitud de q1 es de 2.00 uC, pero su signo y el valor de la
carga q2 se desconocen. La carga de q3 es de + 4.00 uC y la fuerza neta F sobre q3 está
enteramente en la dirección x negativa. Considerar los diferentes signos posibles de q 1 y q2 para
dibujar los cuatro posibles diagramas de fuerzas que representan las fuerzas F1 y F2 que q1 y q2
ejercen sobre q3 ; y con base en los dibujos y la dirección de F deduzca los signos de q1 y q2 para
a partir de ahí resolver el problema. Tiempo: 25 min
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q2
F
q1
q3
F2
F1F2
F1
F2F1
F2
F1
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Solución:
Puede ser que q1 y q2 sean ambas o POSITIVAS O NEGATIVAS, por lo que se pueden obtener cuatro
posibles diagramas de fuerza para q3.
Caso 1. Si q1 > 0 y q2 > 0 Caso 2. Si q1 > 0 y q2 < 0
Caso 3. Si q1 < 0 y q2 > 0 Caso 4. Si q1 < 0 y q2 < 0
Al observar que la F neta sobre q3 esta completamente en la dirección X negativa (←), deducimos que:
En el Caso 1 la componente Y no puede ser igual a cero.
En el caso 2 la componente Y puede ser cero, pero la componente x esta en la dirección X positiva.
En el caso 3 la componente Y puede ser igual a cero y la componente X esta en la dirección x negativa
En el caso 4 la componente Y no puede ser igual a cero.
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5.00 cm
α β
3.00 cm4.00 cm
F2
F1
53.13°
36.87°
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Por tanto q1 tiene que ser NEGATIVA y q2 tiene que ser POSITIVA, para que la fuerza F neta sobre q3
tenga componente Y igual a cero y componente X en la dirección de las X negativas.
A traves de la ley de los Senos:
sen α3.00
= sen β4.00
= sen 905.00
α=36.87 ° y β=53.13 °
Del caso 3:
F1=k q1q3r2
=(8.99 x109) (2 x10−6 )(4 x10−6)
(0.04 )2=44.95N
Al hacer sumatoria de fuerzas en Y:
F2 sen53.13−F1 sen36.87=0
F2=F1 sen36.87
sen53.13=44.95 sen36.87
sen53.12
F2=33.71N
Al realizar sumatoria de fuerzas en X
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F2cos53.13+F1 cos36.87=FR=F
FR=33.71cos 53.13+44.95cos36.87
F=FR=56.19N
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Nombre: ___________________________________________________. Fecha: ___________________
Disciplina: “Matemáticas”
Etapa frente al pizarrónTiempo: 20 minutos
1. En el mundo de las bacterias se desato impensablemente y un conflicto. Cuatro de entre las más jóvenes decidieron intervenir en la dimensión de los humanos, con el firme propósito de sumergirse en su sangre y mediante una rapidísima proliferación segregar una sustancia alrededor del corazón que lo inmunizara del mal, de la mentira y de la fealdad.
A pasar de una oposición de la colonia bacteriana, las cuatro amigas estudiaron su plan. Vieron que si su rapidez de crecimiento era proporcional a la cantidad de bacterias presentes en cada momento, el corto tiempo llegarían a recubrir un corazón humano con la sustancia que llamó biverbe. Observaron que se duplicaban al cabo de 5 min y su pregunta siguiente fue que cantidad de bacterias debía tener la nueva y revolucionaria colonia para que en 20min hasta el corazón más renuente fuera recubierto de biverbe.
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Solución.
x=cantidad de bacterias presente encadamomento del proceso .
La proporcionalidad observada viene dada por:
dxdt
dx=¿ dxdt
=kx ;k=cte . de proporcionalidad .
1.-Resolución de la ecuación diferencial 2.- utilizando las condiciones iníciales
dxx
=kdt sit=0 , x=4 y x=ce0 4=c=¿c=4
∫ dxx
=k∫dt Por lo tanto x=4ekt
¿ x=kt+c Para t=5 min, el número de bacterias se duplico:
x=ekt+c x=2 (4 ) ;x=8
x=cekt Por lo tanto 8=4 e5k
2=e5K
ln2=5k
k=ln 25
Por lo tanto la solución es:
X=4 eln( 25 )t
Para t=20 x=4(2)205
x=4(32)
sol . x=64 bacterias
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Tiempo: 15 minutos
2. Supongamos que una gota esférica se evapora a una velocidad proporcional a su superficie; si al principio su radio de la gota es de 2mm, y al cabo de 10min es de 1mm, hallar una función que relacione el radio r con el tiempo t.
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Solución:
Si volumen de la esfera: V=4/3 ∏r³
Superficie de la esfera S=4∏r²
Variación del volumen respecto al tiempo. dvdt
=4∏r ²drdt
La gota se evapora proporcionalmente a su superficie dvdt
=ks
Igualando: 4 π r2 drdt
=k 4 π r2 dr=kdt r=kt+c
Tomando condiciones iníciales: t=0→r=2
t=10→r=1
2=0+c=¿c=2 r=kt+2
1=10k+2=¿−1=10k
por lo tanto la soluciones
r=−110
t+2
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3. La edad de un padre es dob le de la suma de las edades de sus dos h i jos ,
mientras que hace unos años (exactamente la d i ferenc ia de las edades actua les
de los h i jos ) , la edad de l padre era t r ip le que la suma de las edades , en aquel
t iempo, de sus h i jos . Cuando pasen tantos años como la suma de las edades
actua les de los h i jos , la suma de edades de las t res personas será 150 años .
¿Qué edad ten ía e l padre en e l momento de nacer sus h i jos?
T iempo: 15 minutos
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SOLUCION
x = Edad actual del padre.
y = Edad actual del hi jo mayor.
z = Edad actual del hi jo menor.
Relac ión actua l : x = 2(y + z)
Hace y - z años : x - (y - z ) = 3[y - (y - z ) + z - (y - z ) ]
Dentro de y + z : x + (y + z) + y + (y + z) + z + (y + z) = 150
A l nacer los h i jos , e l padre ten ía 35 y 40 años , respect ivamente.
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