Estados ligados y resonancias

7/23/2019 Estados ligados y resonancias

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Estados ligados y Resonancias

Calculo de estados ligados y resonanciaspor medio del metodo Riccati-Pade

Javier Garcia, Francisco M. FernandezGrupo Quımica Teorica

Instituto de Investigaciones Fisicoquımicas Teoricas y Aplicadas

2012 - 2017

Contenidos

1 IntroduccionMetodo Riccati-PadeImplementacion

2 AplicacionesOscilador cuarticoProblemas asimetricosHamiltonianos no hermıticos

Pozos multiplesEfecto StarkEfecto Stark imaginarioIon molecula H +2

3 Conclusiones

Introduccion

Metodo Riccati-Pade

Introduccion

Metodo Riccati-Pade

Ecuacion de Riccati

Ecuacion de Schrodinger

ψ(x ) + Q (x ; E , λi )ψ(x ) = 0 (1)

f (x ) = g (x )

g (x ) −

ψ(x )

ψ(x ) (2)

f (x ) es regular en x = 0

f (x ) satisface la ecuacion de Riccati:

f (x ) = f 2(x )− 2g (x )

g (x ) f (x ) +

g (x )

g (x ) + Q (x ) (3)

E d li d R i

Introduccion

Metodo Riccati-Pade

Aproximantes de Pade

f (x ) funcion analıtica en x = 0:

f (x ) = f 0 + f 1x + f 2x 2 + . . . (4)

Aproximante de Pade:

[M /N ](x ) =

s =0 as x s

t =0 b t x t (5)

La aproximacion racional satisface:

b t x t

f r x r

as x s + O(x M +N ) (6)

E t d li d R i

Introduccion

Metodo Riccati-Pade

“Pequena” modificacion:

b t x t ∞

f r x r =M

as x s + O(x M +N +1) (7)

Obtengo un sistema de ecuaciones sobredeterminado quetiene solucion sii:

H d D (E , λi ) =

f d +1 f d +2 . . . f d +D

f d +2 f d +3 . . . f d +D +1...

... . . .

...f d +D f d +D +1 . . . f 2D +d −1

= 0 (8)

D = N + 1 y d = M − N

Introduccion

Metodo Riccati-Pade

En resumen...

Calculo los f j

Calculo el/los determinante/s H d D

Resuelvo la ecuacion H d D = 0 para D creciente.

Introduccion

Implementacion

Introduccion

Implementacion

Calculo de los determinantes

Necesitamos precision arbitraria

Se pueden calcular analıticamente con software de algebracomputacional

Alternativamente, se puede usar la expresion:

H d D −1H d +2

D −1 − H d +1D −12

H d +2D −2 (9)

Y hacer los calculos numericamente.

Introduccion

Implementacion

Busqueda de raıces

Para buscar las raıces se puede recurrir al metodoNewton-Raphson.

x n+1 = x n − f (x n)

f (x n) (10)

En el caso de hacer los calculos numericos se aproxima la

derivada como cociente incremental:

x n+1 = x n − 2h f (x n)

f (x n + h) − f (x n − h) (11)

Introduccion

Implementacion

Programacion

Librerıas GNU MPC y MPFRCodigo en C (programacion de librerıas)

Extension de Python

Programacion en Python

¡Mucho mas rapido!

Aplicaciones

Oscilador cuartico

Oscilador anarmonico cuartico

Aplicaciones

Oscilador cuartico

Oscilador anarmonico cuartico

Ecuacion de Schrodinger:

ψ(x ) + E − x 4ψ(x ) = 0 (12)

Derivada logarıtmica regularizada:

f (x ) = s

ψ(x )

ψ(x ) (13)

Ecuacion de Riccati:

f (x ) − 2sf

x − f 2(x ) + x 4 − E = 0 (14)

Aplicaciones

Oscilador cuartico

f (x ) − 2sf

x − f 2(x ) + x 4 − E = 0 (15)

Desarrollo en serie de potencias:

f (x ) =

∞ j =0

f j x 2 j +s

Combinando (16) y (15) obtengo los coeficientes:

2s + 1 (17)

f n,s = 1

2n + s + 1

f j f n− j −1 − δ n2

, n = 1, 2 . . .

Aplicaciones

Oscilador cuartico

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0

D − 1

| v s D

3 4 5 6 7 8 9 1 0

Aplicaciones

Oscilador cuartico

Energıa del estado fundamental...E = 1.060362090484182899647046016692663545515208728528977933216245241695943563044344421126896299134671703510546244358582525580879808210293147013176836373824935789226246004708175446960141637488417282256905935757790888061788790263601549395690275196148900942934873584409442694897901213971464290951923354533828347033505757615112025703988852372024022184110308657373109139891545365841031116794058335486000922744006963112670238862297142969961059215583226671376935508673610000831830027517926233573913906136180776498596961814994127928092728407079561060440722946809949136275729273872791368902798424722261716944488954751370438068405439187787729532342458743725431783231906038106874160440343745301468472781391861294047043103401351071607110353008929823275427661518986950565047160252756089526262191025688200964410287815640052705292932405076382650282591124773625384718547144025722854384852974504585709788402490669995704768445877091762029124375273254907116433440230294730692398190895685374535988446016002313291933059395869304916644281633946163324287004261461237743009952234204208597735690153565416850308941851348795734106585479719467596466796613467688586437952654519560568286715958338884743467012042420714918747871038429573389138985245894022263471696176996560440931170998547160646641857421281143088181114951122148431408871216620593130769234180229827246883626045356507913236221596486925870033200744409688064046239788178394698378070482686021742719460350750696

19165822498300960613457266639286359217643534013718920448148464837302894125296386344044695435393447373343344770723047821550882096423511069003828339002378482309391948. . .

Aplicaciones

Problemas asimetricos

A li i

Aplicaciones

Ecuacion de Schrodinger:ψ(x ) + [E − V (x )]ψ(x ) = 0 (19)

V (x ) admite desarrollo en serie:

V (x ) =∞

v j x j (20)

Derivada logarıtmica:

f (x ) = −ψ(x )

ψ(x ) (21)

A li i

Aplicaciones

Ecuacion de Riccati:

f (x )− f 2(x ) + V (x )− E = 0 (22)

f (x ) tambien:

f j = 1

j −1k =0

f j −k −1f k − v j −1 + E δ j 1

, j = 1, 2, . . .

En este caso no se conoce f 0 → tenemos dos incognitas:E y f 0

Aplicaciones

Varias alternativas...F (E , f 0) = H

d 1D = 0

G (E , f 0) = H d 2D = 0

Aplicaciones

Determinantes con coeficientes pares e impares:

H e (D , d ) =

f 2d +2 f 2d +4 . . . f 2d +2D

f 2d +4 f 2d +6 . . . f 2d +2D +2

... ...

. . . ...

f 2d +2D f 2d +2D +2 . . . f 4D +2d −2

H o (D , d ) =

f 2d +1 f 2d +3 . . . f 2d +2D −1

f 2d +3

f 2d +5

. . . f 2d +2D +1...

... . . .

f 2d +2D −1 f 2d +2D +1 . . . f 4D +2d −3

Aplicaciones

Separacion de la funcion de onda en partes par e impar:

ψ(x ) = ψP (x ) + ψI (x ) (25)

ψP (x ) + Q P (x )ψP + Q I (x )ψI (x ) = 0

ψI (x ) + Q P (x )ψI (x ) + Q I (x )ψP (x ) = 0(26)

Se pueden resolver las dos ecuaciones acopladas con el

Aplicaciones

Hamiltonianos no hermıticos

Hamiltonianos no hermıticos con espectro real

Aplicaciones

Caso paradigmatico:

H = p 2 + x 2(ix ) (27)

Condiciones de contorno dependientes de Para < 2 se puede trabajar sobre el eje real

Funcionan todas las variantes para potenciales asimetricos

¡Ojo! Incluso para valores pares de el problema esasimetrico

Aplicaciones

Estados ligados y ResonanciasAplicaciones

5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5

D − 1

| v s D

Pozos multiples

−6 −4 −2 0 2 4 6

V (x ) = x 2 − 2g 2x 4 + g 4x 6 (28)

Pozos multiples

Posee infinitos estados ligados

Tambien ¿infinitas? resonanciasEl RPM converge a ambos exponencialmente

Pozos multiples

0 . 0 0 0 . 0 5 0 . 1 0 0 . 1 5 0 . 2 0 0 . 2 5 0 . 3 0

1 4 0 0

1 2 0 0

1 0 0 0

V ( x ) = x

− 2 g

P ´l i l

Pozos multiples

0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6

1 . 5 5

1 . 5 0

1 . 4 5

1 . 4 0

1 . 3 5

1 . 3 0

1 . 2 5

1 . 2 0

1 . 1 5

D − 1

| = α + β D

l i g a d o

r e s o n a n c i a

P ´lti l

Pozos multiples

Im (E ) ∼ A

g 2 e − 1

g → 0 (29)

0,19 0,2 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,3

g 2 e x p [ 1 / ( 2 g

2 ) ] I m E ( g

Benassi, L., S. Graffi y V. Grecchi: Phys. Lett., 82B(2):229–232, 1979

Pozos multiples

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

g 2 e x p [ 1 / ( 2 g

) ] I m E ( g

Pozos multiples

−10 −5 0 5 10

V (x ) = x 2 − 2J exp(−λx 2) + 2J (30)

Pozos multiples

El RPM da una resonancia extrana en lugar de dar elestado ligadoFernandez F. M: J. Phys. A 29, 3167 (1996)

Mediante el metodo variacional con rotacion complejaobtuvimos dicha resonancia

Usando valores de D mas grandes pudimos obtener elestado ligado.

Efecto Stark

Efecto Stark en el atomo de Hidrogeno

La ecuacion−

2∇2 −

r + Fz

ψ(x , y , z ) = E ψ(x , y , z ) (31)

Se puede separar en coordenadas parabolicas cuadradas

d 2ω1(µ)

d µ2 +

1 − 4m2

4µ2 + 2E µ2 − F µ4 + Z

ω1(µ) = 0

d 2ω2(ν )d ν 2

1 − 4m2

4ν 2 + 2E ν 2 + F ν 4 + 4 − Z

ω2(ν ) = 0

Efecto Stark

Se puede aplicar el RPM para resolver las dos ecuacionesacopladas simultaneamente

El RPM converge exponencialmente a las resonancias

−300

−250

−200

−150

−100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

|0, 0, 0 >

|0, 5, 0 >

|0, 0, 1 >|0, 1, 0 >|1, 0, 0 >

l o g 1 0

[ | R e ( E D )

e ( E D − 1

Los resultados coinciden con los que se encuentran enliteratura y con nuestros calculos usando rotacion

compleja y teorıa de perturbaciones

Efecto Stark

Pudimos verificar una formula WKB:

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03

l o g 1 0 [

| I m ( E ) | ]

RPMasymptotic

Im E 00,0(F ) ∼ −2

F e −

1 + A00F + B 00F 2 (33)

L. Benassi, V. Grecchi: J. Phys. B: At. Mol. Phys., 13, 911 (1980)

Efecto Stark

Calcular estados excitados:

1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2

|39, 0, 0 > a: V. V. Kolosov Journal of Physics B , 20, 2359 (1987), b: RPM

Efecto Stark

Y tambien corregir calculos de otros autores:Re E Γ

[1] −0,5000553416 0,8944475605× 10−7

[2] 9,4983× 10−56

CRLM −0,500056284793 < 1 × 10−13

RPM −0,5000562847938 9,49802741674× 10−56

[1] L. Fernandez-Menchero, H. P. Summers, Phys. Rev. A 88, 022509 (2013)[2] L. Benassi, V. Grecchi: J. Phys. B: At. Mol. Phys., 13, 911 (1980)

Efecto Stark imaginario

La ecuacion ahora es:−

2∇2 −

r + i Fz

ψ(x , y , z ) = E ψ(x , y , z ) (34)

Las ecuaciones separadas:d 2ω1(µ)

d µ2 +

1 − 4m2

4µ2 + 2E µ2 − i F µ4 + Z

ω1(µ) = 0

d 2ω2(ν )

d ν 2 +1 − 4m2

4ν 2 + 2E ν 2

+ i F ν 4

+ 4 − Z ω2(ν ) = 0

El metodo funciona de igual maneraMisma velocidad de convergencia

Mismas propiedades de convergencia

Francisco M. Fernandez, Javier Garcia: Ann. Phys., 363, 496 (2015)

Ion molecula H +2

Ion molecula H +

Ion molecula H +2

Ecuacion de Schrodinger:−

2∇2 −

r 1−

ψ = E e (R )ψ (36)

Es separable en coordenadas esferoidales:

λ2 − 1

dL(λ)

λ2 − 1 − λ2 + 2R λ + A

L(λ) = 0

d µ1 − µ2 dM (µ)

d µ+ − m2

1 − µ2

+ µ2 − AM (µ) = 0

= −R 2E e /2, A: constante de separacion.

Ion molecula H +2

Ambas ecuaciones se pueden escribir de la siguiente

manera:

Y (x ) + P (x )Y (x ) + Q (E , x )Y (x ) = 0 (38)

Haciendo µ = x obtenemos P y Q para M (µ):

P (x ) = − 2x

1− x 2, Q (x ) =

x 2 − A

1− x 2 −

[1 − x 2]2 (39)

Haciendo λ = x

+ 1 los obtenemos para L

P (x ) = 2 (x + 1)

x (x + 2), Q (x ) =

2R (x + 1) + A − (x + 1)2

x (x + 2) −

x 2(x + 2)2

Ion molecula H +2

Definimos nuestra f (x ):

f (x ) = s

Y (x )

Y (x ) , s =

2 (41)

Y obtenemos los f j :

f −1 = 2s 2 + s − + 2R + A

2(2s + 1) (42)

f n = 1

2n + 2s + 1

1 j =0

f j f n− j −1 −n−

1 j =0

P j f n− j −1 + sP n + Q n

n = 0, 1, 2, . . . (44)

Ion molecula H +2

A continuacion calculamos los determinantes de Hankel yencontramos sus raıces:

F (,A) = H 0D µ = 0, G (,A,R ) = H 0D λ = 0 (45)

Tambien se puede calcular la distancia internuclear deequilibrio agregando una ecuacion:

∂ R =

∂ R −

∂ A∂ F

∂ E ∂ G

∂ A − ∂ F

∂ A∂ G

∂ E = 0 (46)

Aplicaciones

Ion molecula H +20 . 3 0

2 4 6 8 1 0

0 . 6 0

0 . 5 5

0 . 5 0

0 . 4 5

0 . 4 0

0 . 3 5

U ( R ) = E

( R ) +

Aplicaciones

Ion molecula H +25

D − 1

| v s D

4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6

= 1 . 9 9 7 1 9 3 3 1 9 9 6 9 9 9 2 1 2 0 0 6 8 2 9 8 1 4 1 1

Conclusiones

En todos los casos que probamos el RPM converge tantoa los estados ligados como las resonancias

En la mayorıa de los casos la convergencia es exponencial

Nuestra nueva implementacion del metodo es mucho maseficiente que la anterior; esto nos permite

Obtener resultados extremadamente precisosObtener resultados con buena precision y enorme rapidez

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Resonancias asimetricasPotenciales singulares

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Cosas en el tintero

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