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ESTADISTICA
DESCRIPTIVA
COMPETENCIAS Describe e interpreta las
propiedades de estadística descriptiva en problemas reales.
Es asertivo con su opinión. Participa activamente en forma
individual y grupal.
E S T A D Í S T I C A 1. Concepto
La estadística es una metodología que
nos provee de un conjunto de
métodos, pautas y procedimientos,
para la recolección, organización
(clasificación), análisis e interpretación
de datos en forma adecuada, para en
base de ellos, tomar decisiones cuando
existen situaciones de incertidumbre.
Ejemplo:
Estudiar la variación mensual del
precio del dólar durante los últimos
5 años, para averiguar qué mes del
año es el más favorable para
comprar dólares.
El grado de aceptación de un
producto por los consumidores para
averiguar la rentabilidad de un
negocio dedicado a tal producto.
2. Clases de estadística
Descriptiva
Inferencial
2.1. Estadística descriptiva
Parte de la estadística que se
ocupa de la recolección,
organización, presentación,
descripción de datos.
2.2. Estadística Inferencial
Es la parte de la estadística, que en
base a los resultados y análisis de
los datos aplicando las teorías
necesarias, pretende inferir las
peculiaridades y las leyes que
gobiernan la población de la cual
proceden los datos.
3. Concepto básicos
3.1. Población
Conjunto de todos los individuos
en las cuales se presentan una
característica que se tiene interés
en estudiar.
3.2. Muestra
Es un subconjunto de la población,
elegido convenientemente con el
propósito de obtener información
y conclusiones de la población del
cual proviene.
Se toman muestras cuando es
difícil o costosa la observación de
todos los elementos de la
población.
4. Variable estadística
Una variable es un símbolo que
representa a uno de los elementos
de un conjunto de datos.
Ejemplo:
Sea “x” la variable “estatura” de los
alumnos de 4to. de secundaria
SESIÓN 16
entonces “x” puede tomar los
valores siguientes:
x1 = 1,68 m x2 = 1,66 m
x3 = 1,52 m x4 = 1,85 m
5. Clasificación de variables
5.1. Variable cualitativa
Cuando presenta una cualidad
o atributo de la población.
Ejemplo:
- Estadio civil
5.2. Variable cuantitativa
Cuando los valores que asume
son números, como resultado
de conteos.
Ejemplo:
Peso, edad, estatura, etc.
6. Diagramas
6.1. Diagrama de barras
6.2. Diagrama de sectores
7. Medidas de tendencia central: o
promedios
Existen diferentes tipos de
promedios, entre ellos los más
usuales son:
a) La media aritmética o media.
b) La mediana
c) La moda
d) La media geométrica
e) La media cuadrática
f) La media armónica
7.1. Para datos sueltos:
Sean los siguientes datos:
a1, a2, a3, a4,…, an
A. Media aritmética a.m)x(
)x( = n
a...aaa n321
Ejemplo:
Dados los siguientes datos: 4, 12, 5,
7, 8, 6
Hallar la media aritmética.
Solución:
6
6875124x
= 7
x = 7
B. Mediana (Me)
La mediana de un conjunto de datos
ordenados en forma creciente o
decreciente es la cantidad que divide a los
datos en dos grupos de igual número de
elementos.
DATO A
DA
TO B
A
B
C
D
E
Caso 1: n = impar término central
Caso 2: n = par semisuma de los
dos términos centrales
Ejemplo 1:
Considérense las siguientes 6 datos de
medida de sus masas (kg).
3,8; 4; 6; 5; 2; 9 ; 8 ; 4; 3; 6
Solución:
Ordenando los datos:
2; 3; 3,4; 4; 5; 6; 6; 8; 8; 9
n = 10 n : par
Me = Enésima t5 y t6
Me = 4 5 9
2 2
Me = 4,5
Ejemplo 2 :
Considere los siguientes 7 datos de notas
de los alumnos del 4to. año 08; 09; 12; 05;
14; 06; 08.
Solución:
Ordenando los datos:
05; 06; 08; 08; 09; 12; 14
Luego n = 7; n = impar
Me = Término central
Me = 08
C. Moda (Mo)
Es un rango de la variable que se repite
con mayor cantidad de veces en la
distribución.
Ejemplo:
Consideremos los siguientes datos:
10; 13; 11; 8; 9; 10; 13; 8; 10; 14; 11; 12.
Solución:
Ordenando los datos:
8; 8; 9; 10; 10; 10; 11; 11; 12; 13; 13; 14.
notamos que el dato con mayor repetición
es 10.
Mo = 10
Ejercicios de aplicación
1. De los siguientes datos:
8; 12; 15; 15; 13; 21; 24; 36.
Hallar su x
a) 16 b) 18 c) 20
d) 22 e) 24
2. De los siguientes datos:
1,20; 1,22; 1,20; 1,18; 1,35
Hallar su x
a) 1,20 b) 1,21 c) 1,22
d) 1,23 e) 1,25
3. En la última práctica calificada de
aritmética se obtuvieron las siguientes
metas de 5 alumnos.
08; 12; 14; 06; 20.
Hallar Me respectivamente.
a) 8 b) 6 c) 12
d) 14 e) 20
4. En el último examen se obtuvieron las
siguientes notas de 8 alumnos de la
ETS-PN-PNP: 12; 14; 16; 12; 14; 08;
05; 03. Hallar Me respectivamente.
a) 8 b) 12 c) 12,5
d) 14 e) 14,5
5. De los siguientes datos hallar la moda:
6; 8; 4; 6; 6; 8; 4; 12; 13; 4; 6.
a) 4 b) 6 c) 8
d) 12 e) 13
6. De los siguientes datos hallar la
mediana:
14; 16; 25; 36; 18; 12; 11; 16; 14.
a) 12 b) 11 c) 14
d) 16 e) 25
7. De los siguientes datos no agrupados
hallar la media aritmética.
26; 34; 24; 16; 14; 12; 16; 18
a) 26 b) 34 c) 20
d) 12 e) 18
8. Indicar la “ x ” de los siguientes
datos:
6; 8; 14; 16; 18; 9; 6.
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
9. Indicar la “Me” de los siguientes
datos:
12; 14; 16; 17; 14; 14; 14; 14; 16; 13;
11; 11.
a) 13 b) 14 c) 16
d) 17 e) 13
Indicar la “Mo”, según los datos:
12; 14; 16; 17; 14; 14; 14; 14; 16; 13;
11; 11.
a) 12 b) 14 c) 16
d) 17 e) 13
10. Dados los siguientes datos de las
edades de 10 personas:
22; 25; 23; 36; 32; 36; 23; 23; 23; 25.
Determinar la “Mo”
a) 22 b) 23 c) 24
d) 25 e) 28
11. De los siguientes datos hallar la moda:
7; 2; 4; 6; 7; 8; 5; 12; 10; 4; 7
a) 4 b) 6 c) 8
d) 12 e) 7
12. De los siguientes datos halla la
mediana:
15; 16; 20; 36; 22; 12; 10; 16; 18
a) 12 b) 11 c) 14
d) 16 e) 25
13. De los siguientes datos no agrupados
hallar la media aritmética:
21; 38; 20; 12; 14; 14; 18; 18; 12; 17
a) 24,2 b) 14,9 c) 20,8
d) 18,6 e) 19,4
14. Indicar la “Me” de los siguientes
datos:
10, 13, 16, 11, 13, 13, 14, 11, 16, 8, 9,
11; 8, 13, 16, 11; 9.
a) 13 b) 14 c) 16
d) 11 e) 13
15. Indicar la “ x ” de los siguientes
datos:
6; 8; 14; 16; 18; 9; 6; 6; 8; 8; 16; 18; 9
a) 10,54 b) 10,92 c) 12,15
d) 13,36 e) 10,14
Lectura de tablas
7.2. Para datos agrupados:
Veamos previamente algunas definiciones:
Tamaño de muestra (n) Número total de datos
Alcances (A) Intervalo definido por los datos de menor y mayor valor.
Rango (R) También llamado “recorrido de los datos” es la diferencia entre el mayor y el menor de los valores que toma la variable.
Frecuencia absoluta (fi) Se llama frecuencia absoluta de un valor de variable, al número de veces que se repite dicho valor en el conjunto de datos.
Frecuencia absoluta acumulada (Fi) Es la suma de las frecuencias relativas acumuladas (se suman) a los datos menores e iguales al dato en referencia.
Frecuencia relativa (hi) La frecuencia relativa de un valor, es el cociente de su frecuencia absoluta entre el tamaño de la muestra.
hi = nfi
Frecuencia relativa acumulada (Hi) La frecuencia relativa acumulada (se
suman), es el cociente de su
frecuencia absoluta acumulada entre
el tamaño de la muestra
Hi = n
Fi
Ejemplo:
Edades x fi Fi Hi Hi
[10 – 15 > 12,5 8 8 0,16 0,16
[15 – 20 > 17,5 12 20 0,24 0,40
[20 – 25 > 22,5 2 22 0,04 0,44
[25 – 30 > 27,5 3 25 0,6 0,50
[30 – 35 > 32,5 10 35 0,20 0,70
[35 – 40 > 37,5 5 40 0,10 0,80
[40 – 45 > 42,5 10 50 0,20 1,00
50 1,00
Ejemplos de aplicación
Ejemplo 1: El siguiente es la tabla de salarios de los empleados de una empresa (en soles).
Sueldos x fi Fi hi Hi
[0 – 250 > 125 20 20 0,20 0,20
[250 – 500 > 375 15 35 0,15 0,35
[500 – 750 > 625 30 65 0,30 0,65
[750 – 1000 > 875 5 70 0,05 0,70
[1000 – 1250 > 1125 20 90 0,20 0,90
[1250 – 1500 > 1375 10 100 0,10 1,00
100 1,00
16. ¿Cuántos empleados ganan entre 750
y 1000 soles? a) 5 b) 20 c) 10 d) 30 e) 15
17. ¿Cuántos empleados ganan entre 500 y 1500 soles? a) 5 b) 30 c) 20 d) 10 e) 65
18. ¿La encuesta fue realizada sobre qué cantidad de personas?
SESIÓN 17
a) 60 b) 70 c) 20 d) 50 e) 100
19. ¿Cuántos empleados ganan menos de 1000 soles? a) 20 b) 35 c) 65 d) 70 e) 90
20. ¿Cuántos empleados ganan igual o más de 1000 soles? a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50
Ejemplo 2: Dada la siguiente tabla:
Estatura x fi Fi hi Hi
1,00 – 1,20 1,10 20 0,20
1,20 – 1,40 1,30 0,25
1,40 – 1,60 1,50 60
1,60 – 1,80 1,70 0,15
1,80 – 2,00 1,90
Completar los datos de estatura de los alumnos de I ciclo de la ETS-PNP-PP, Promoción
21. ¿Cuántos alumnos miden menos de 1,40 m? a) 25 b) 30 c) 40 d) 50 e) 100
22. ¿Cuál es el valor de: H3 + H4?
a) 1,00 b) 1,05 c) 1,10 d) 1,20 e) 1,35
23. De la tabla diga Ud. ¿Cuántos alumnos tuvo la muestra? a) 80 b) 100 c) 120 d) 150 e) 90
24. ¿Cuántos alumnos miden menos o igual a 1,80 m? a) 20 b) 50 c) 60
d) 75 e) 50
25. ¿Cuál es la frecuencia absoluta de los alumnos que miden entre 1,40 y 1,60 m.? a) 10 b) 20 c) 30 d) 35 e) 100
26. Hallar: E = h2 + h3 + h5 a) 0,75 b) 0,15 c) 0,30 d) 0,55 e) 0,65
27. Hallar: J = 4f
3f+2f+1f
a) 4 b) 2 c) 3 d) 6 e) 5
28. Hallar: P = (H2 + H4) (f4 – f2) a) 0,5 b) 2 c) 1,5 d) 2,5 e) 2,5
29. Diga Ud. ¿Cuál es la cantidad de alumnos cuya estatura es menor o igual a 1,60 m? a) 20 b) 30 c) 50 d) 80 e) 60
30. ¿Cuál es la frecuencia relativa
acumulada de los alumnos cuya estatura es menor a 1,80 m? a) 0,6 b) 0,40 c) 0,75 d) 0,25 e) 0,90
Ejemplo 3:
Completa el siguiente esquema y luego contesta las preguntas:
1. ¿Cuántos empleados ganan igual o
más a S/. 800? a) 30 b) 40 c) 60 d) 80 e) 90
2. ¿Cuántos empleados ganan menos de S/. 800? a) 25 b) 35 c) 40 d) 50 e) 80
3. ¿Cuántos empleados ganan entre S/.800 y S/. 1200? a) 15 b) 25 c) 35 d) 40 e) 80
4. ¿Cuál es la frecuencia relativa acumulada de los trabajadores que ganan hasta S/. 1200? a) 0,25 b) 0,35 c) 0,45 d) 0,55 e) 0,85
5. Calcular: E = f2 + f3 – f5 a) 15 b) 20 c) 10 d) 30 e) 50
6. Calcular: G = H1 + H4 – H2 a) 0,15 b) 0,15 c) 0,95 d) 0,05 e) 0,10
Lectura de gráficos
En las revistas, periódicos, boletines, guías, TV se ofrece información acerca de hechos como: actividades estadísticas realizadas homicidios, robos de autos, abuso sexual, asalto a mano armada, feminicidio, etc., mediante cuadros o gráficos, los cuales tienen una determinada interpretación. A continuación vamos a explicar cómo se representa e interpreta la información obtendrá como resultado de observar un fenómeno o actividad.
- Diagramas de barras
- Gráfico de sectores
- Polígonos de frecuencias
Salario x fi Fi Hi Hi
0 – 400 200 25
400 – 800 600 40 0,40
800 – 1200 1000 0,15
1200 - 1600 1400 80 0,80
1600 - 2000 1800 20
DATO A
DA
T
O B
DATO A
DA
TO B
INDIVIDUAL
A B
C
D
E
A B
C
D
% %
%
%
PARALELO
Ejemplo 1:
En el siguiente gráfico se muestra el
número de choques ocurridos en
cinco años consecutivos. (x1000).
Ejercicios propuestos 31. Promedios de choques en los cinco
años: a) 3200 b) 3800 c) 3700 d) 3600 e) 3400
32. Variación porcentual entre el primer y quinto año (aprox.) a) 92 % b) 392 % c) 292 % d) 192 % e) 302 %
En el siguiente gráfico se muestra la
población urbana y rural dada en los años 1970 y 2000. Población En 1970: 6 000 000 habitantes En 2000: 11 000 000 habitantes
33. ¿Cuál fue la variación de la población
del año 1970 al año 2000? a) 57 % b) 64,3 % c) 70,3 % d) 83,33 % e) 81,66 %
34. ¿En cuánto disminuye o aumenta la población rural del año 2000 con respecto al año 1970? a) Aumenta en 4,88 % b) Aumenta en 30 % c) Disminuye en 20 % d) Disminuye en 4,54 % e) Disminuye en 3,5 %
En una fábrica de un total de 200 vehículos se tiene:
35. ¿Cuántos vehículos corresponden a tractores del grupo B? a) 6 b) 8 c) 10 d) 4 e) 12
36. Indicar cuales con correctas: I. EL número de camiones es igual al número de tractores de tipo B y D juntos. II. El número de buses es igual que el número de tractores del tipo A. III. El número de buses es mayor que los tractores del tipo A.
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III
d) I y II e) I y III
1,2
2,9
3,7
4,5
4,7
95 96 97 98 99
Año
# de choques
(miles)
Año
100 %
70 %
40 %
1970 2000
Población
Urbano
Rural
Camiones
60 %
Buses
10 %
Tractores
30 %
A
10 %
B
20 %
D
30 %
C
40 %
Taller de Estadística I
1. En una clase de la ETS- PNP - PP hemos
medido la altura de los 25 alumnos. Sus
medidas en cm, son:
Elabora una tabla que represente estos
resultados con sus frecuencias absolutas,
relativas y porcentajes. Toma intervalos de
amplitud 5 cm comenzando por 150.
Resolución:
Alturas F. absolutas F. relativas Porcentajes
[150, 155) 3 0,12 12%
[155, 160) 7 0,28 28%
[160, 165) 6 0,24 24%
[165, 170) 4 0,16 16%
[170, 175) 5 0,2 20%
2. En una clase de 25 alumnos hemos
preguntado la edad de cada uno, obteniendo
estos resultados:
14; 14; 15; 13; 15; 14; 14; 14; 14; 15; 13; 14;
15; 16; 14; 15; 13; 14; 15; 13; 14; 14; 14; 15;
14.
Haz una tabla donde aparezcan las
frecuencias absolutas acumuladas y las
frecuencias relativas acumuladas.
Resolución:
Edad F. absoluta F. absoluta acumulada F. relativa F. relativa acumulada
13 4 4 0,16 0,16
14 13 17 0,52 0,68
15 7 24 0,28 0,96
16 1 25 0,04 1
3. Representa mediante diagrama de barras
las ganancias semanales medias de los
trabajadores, según el sexo, en el cuarto
trimestre del 2013, que se recogen en la
siguiente tabla
Resolución:
4.- Se ha hecho una encuesta sobre el
número de hijos en 50 familias, con los
siguientes resultados:
Haz una tabla donde se recojan estos datos
con sus frecuencias absolutas acumuladas y
relativas acumuladas.
Resolución:
Nº hijos F. absoluta F. absoluta acumulada F. relativa F. relativa acumulada
0 6 6 0,12 0,12
1 13 19 0,26 0,38
2 16 35 0,32 0,7
3 9 44 0,18 0,88
4 4 48 0,08 0,96
5 2 50 0,04 1
5.- Las edades de los jugadores de un equipo
167 159 168 165 150 170 172 158 163 156
151 173 175 164 153 158 157 164 169 163
160 159 158 174 164
Sector Varones Mujeres
Industria 284.363 206.204
Construcción 214.446 205.372
Servicios 263.554 195.447
Sueldo en ptas.
0 2 1 2 5 2 1 1 1 4 0 0 2
0 4 4 1 1 2 2 3 1 2 3 0
3 1 3 2 2 3 3 1 5 4 3 3
1 2 2 2 3 2 2 1 0 2 2 1
1
SESIÓN 17
0 50
100 150 200 250 300
Indu
str
ia
Co
nstr
uc
ció
n
Se
rvic
ios
Sueldo medio en soles.
Varones
de baloncesto son: 27; 18; 28; 26; 25; 19;
31; 19; 24 y 26 años. ¿Cuál es la edad media?
Resolución:
24,3 (redondeando, 24 años).
Taller de Estadística II
Enunciado 1: Dada la siguiente distribución de frecuencias según el mismo número de empleados por empresa.
250TOTAL
)(fFrecuencia
EmpleadosdeNumero
i
15]200;180[
15180;140[
20140;100[
20100;80[
3080;60[
5060;40[
4040;30[
3530;20[
2020;10[
510;0[
01) Determinar el porcentaje de empresas
que tienen un número de empleados entre 50 y 90. R.
02) Determinar el porcentaje de empresas
con número de empleados inferior a 35. R.
Enunciado 2: En esta fábrica se hizo un estudio sobre la edad de los trabajadores; con el fin de establecer un plan de seguro grupal. Los resultados fueron los siguientes:
52475131674544574155
23512646485343464242
48464932675541473430
38613747303233603422
03) ¿Cuántos trabajadores tienen por lo menos 49 años y que porcentaje representan? R.
04) ¿Qué porcentaje de trabajadores tiene
de 39 a 58 años? R.
Enunciado 3: Se clasifico la inversión de un grupo de compañías mineras en una tabla de distribución de frecuencias. Se sabe que la máxima inversión es de 56 millones de soles; que la amplitud de los intervalos es de 8 millones de soles; que las frecuencias absolutas correspondientes a los intervalos son: 1; 16; 21; 9; 8; 3 y 2. Con esta información resolver los problemas 5; 6; 7; 8 y 9. 05) ¿Qué porcentaje de compañías
invierten menos de 40 millones de soles? R.
06) ¿Qué porcentaje de compañías
invierten 24 millones como mínimo? R.
07) Hallar la inversión promedio (en
millones de soles) R.
08) Hallar la mediana de los datos
clasificados. (en millones de soles) R.
09) Hallar la moda de los datos agrupados.
(en millones de soles) R.
Enunciado 4: Se tiene la siguiente tabla de distribución de frecuencias relativas de 300 empleados según su edad.
10,033;31
10,030;28
40,027;25
25,024;22
15,021;19
inEdades
10) ¿Cuántos empleados tienen edades de
22 a 33 años? R.
11) ¿Qué porcentaje de los empleados
tienen 25 años a más? R.
12) ¿Cuántos empleados tienen 27 años o
menos? R.
13) ¿Qué porcentaje de los empleados
tienen 24 años o menos? R.
Enunciado 5: La siguiente distribución muestra el peso en gramos de 30 paquetes en un determinado producto.
13;035;30
K29;25
K224;20
17,019;15
2/K14;10
in(g)Peso
14) ¿Cuántos paquetes tienen pesos que
van desde 15 hasta 29 gramos? R.
15) ¿Cuántos paquetes tiene 22 gramos a
más? R.
16) ¿Cuántos paquetes tiene 27 gramos o menos? R.
Enunciado 6: A partir del siguiente cuadro:
10472375269
91139615649
924872121003
3101004101985
4185933842
17) ¿Calcular la media de los datos
agrupados? R.
18) ¿Calcular la mediana para los datos
agrupados? R.
19) ¿Calcular la moda para los datos
agrupados? R.
Enunciado 7: La siguiente información representa la composición de una dieta alimenticia.
Gramos Calorías
Carbohidratos 500 2050
Proteínas 100 410
Grasas 100 930
20) ¿Qué porcentaje del total de calorías de
la dieta se debe a las proteínas. R.
Reforzando Enunciado 8: Se analizan las notas de 20 alumnos en el curso de Estadística recogiendo los siguientes datos:
3; 4; 8; 2; 7; 11; 10; 12; 16; 15.
7; 11; 13; 10; 6; 9; 9; 10; 13; 14. 01) Agrupe los datos en intervalos de ancho
común igual a 4 y complete la siguiente tabla.
;
;
;
;
;0
fXHhFfX iiiiiiii .I
Dar como respuesta: F3 + H4 + X2. f2 a) 38; 70 b) 43; 40 c) 99; 40
d) 38; 95 e) 76; 70 02) ¿Cuántos estudiantes aprobaron el
curso; según los datos originales y según los datos agrupados? Dar como respuesta la diferencia de los valores obtenidos? (Nota aprobatoria igual a 10)
a) 1 b) 2 c) 3 d) 1,71 e) 1,4 03) ¿Cuántos obtuvieron notas superiores o
iguales a 15? Dar como respuesta la diferencia de los valores obtenidos (en datos originales y en datos agrupados)
a) 1,25 b) 0,5 c) 0,75 d) 1,75 e) 0,25 04) Calcular la media (para datos sin
agrupar) a) 10,5 b) 10,2 c) 9,5 d) 10,31 e) 12,7
05) Calcular la media. a) 9,8 b) 11,3 c) 10,7 d) 10,3 e) 9,71 06) Calcular la mediana. a) 9,2 b) 9,8 c) 10,1 d) 10 e) 9,83 07) Calcular la moda. a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 08) Calcular: F1 + F2 a) 6 b) 6 c) 9 d) 2 e) 4 09) Calcular: H3 + H4 a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 10) Calcular: H3 + H4 a) 5 b) 7 c) 7 d) 11 e) 10 11) A partir de la siguiente gráfica: Calcular
el tamaño; la mediana y la moda de la muestra.
a) 10; 4, 125; 5,2 b) 25; 4, 125; 5,2 c) 25; 4,125; 1,2 d) 25; 5, 125; 5,2 e) 25; 5, 125; 1,2
3
8
F
I
16
22
25
i
i
Enunciado 8: Dado el tablero incompleto de la distribución de la frecuencia de las notas de 25 alumnos. Completar el tablero con un ancho de clase constante e igual a 2.
25;[
22;[
8;[
1411;[
206;[
15;[
fxFFx iiiiii
I
12) Si la nota aprobatoria es 11 ¿Qué porcentaje de alumnos desaprobados existe?
a) 72 % b) 74 % c) 76 % d) 78 % e) 80 %
13) Determinar la clase en la cual se
encuentra el mayor porcentaje de alumnos y hallar dicho porcentaje.
a) 1ra; 20 % b) 4To; 32 % c) 3era; 44 % d) 4to; 76 % e) 3era; 32 %
14) ¿Cuántos alumnos obtuvieron notas
menores que 8?
a) 15 b) 15 c) 13 d) 12 e) 11 15) Dada en la siguiente distribución de
frecuencias.
100
g80;70[
n70;50[
450;40[
m40;20[
420;10[
fii
I
Si se sabe además que: h1 = h5 y h2 = h4. Determinar la suma h5 + h2. a) 1/3 b) 1/4 c) 1/2 d) 1/5 e) 3/4
16) Dada la siguiente tabla: Calcular el máximo valor de (h2; h3); sabiendo que la media aritmética es 0,61.
10,040,0;20,0[
hii
I
a) 0,30 b) 0,40 c) 0,50 d) 0,60 e) 0,70
Problemas resueltos
1. En el último examen de admisión a la
Universidad Nacional de educación
“Enrique Guzmán y Valle” se observó la
edad de los postulantes, la cual se
muestra en el siguiente histograma:
Calcula la media de las edades.
Resolución:
Como muestra el histograma, estamos
trabajando con datos agrupados, luego la
media se determina por:
Y por ello calculamos :
Finalmente aplicamos la fórmula y
resolvemos:
2. Dada una tabla simétrica de distribución
de frecuencias se sabe que
H7 = 1; X3 = 18; f5 = 30; h3 = 3h6;
f1 = 3X2; X6 = 39; H1 = 0.15
Determine F4 + F5
Resolución:
Dado que H7 = 1; se sabe que hay 7
intervalos de clase
Dado que X3 = 18; X6 = 39, entonces
19 + 3w = 39
w = 7 y X2 = 18 – 7 = 11
f1 = 33
Dado que es simétrica f1 = 33 = f7
H1 = 0,15 = 33/n, entonces n = 220
También f5 = f3 = 30
Xi fi Fi
33
11 10 43
18 30
74
30
39 10
33
Dado que h3 = 3h6 entonces f3 = 3f6
f6 = 10 y f4 = 220 – 146 = 74
F2 = 33 + 10=43; F4= 33 + 10 + 30 + 74= 147
Piden: 43 + 147 = 190
3. Jorge que es profesor de Matemática ha
perdido las actas de promedios de las
notas de los alumnos, pero recuerda que
los promedios presentaban una
distribución simétrica con 6 intervalos de
clase de ancho de clase común, además
en sus archivos encuentra lo siguiente:
Resolución:
Sea w el ancho de clase común
Notas xi fi
7,5 – 2w
7,5 – w
7,5
7,5 + w
7,5 + 2w
7,5 + 3w
Dato:
(7,5 - 2w) + (7,5 - w) + 7,5 + (7,5 + w) + (7,5 +
2w) + (7,5 + 3w) = 54
w = 3;
Sea 22K el total de datos:
Notas xi fi
[ 0; 3 > 1,5 K
[ 3; 6 > 4,5 2K
[ 6; 9 > 7,5 8K
[ 9; 12 > 10,5 8K
[ 12; 15 > 13,5 2K
[ 15; 18 > 16,5 K
Observe que es una variable continua
Entonces de 9 a 12 hay 8N datos y de 11 a 12
hay “a” datos
Entonces
Aprobados:
,
entonces x % =
por lo tanto los desaprobados:
100 % - =
4. Dado el cuadro
N° de hijos N° de familias
0 – 2 300
3 – 6 1200
7 – 9 600
10 – 12 300
13 – 15 100
¿Cuántas familias tienen de 4 a 8 hijos?
Resolución:
Observe que la variable es discreta
En I2
En I3
Piden cuántas familias tienen de 4 a 8 hijos
900 + 400 = 1300
5. Pedro observa el mapa de Piura con las
distancias a algunas de sus ciudades.
Luego de realizar un cálculo mental,
afirma: “La distancia promedio de Piura a
sus ciudades es 126 km
aproximadamente”.
¿Qué proceso realizó Pedro para
establecer su afirmación? ¿Será correcta
su afirmación?
Resolución:
Lo que Pedro hizo es:
Pedro calculó el promedio aritmético simple
de las distancias, y su afirmación es correcta,
puesto que redondeó el resultado obtenido.
6. En una excursión a la ciudad de Piura,
para practicar el cálculo de promedio
aritmético, Rosa tomó nota de la
cantidad de maletas que tenía cada uno
de sus compañeros.
N° de intervalos f
X1 = 1 10
X2 = 2 16
X3 = 3 6
X4 = 4 4
Total 36
Resolución:
Rosa multiplicó cada valor con su respectiva frecuencia, sumó los resultados, y la suma la dividió entre el total de datos. Luego, los compañeros de Rosa llevaron 2 maletas, en promedio Problemas Propuestos
1. Se tienen los promedios ponderados de
10 estudiantes del curso de Matemática
Básica I.
10,2 12,6 11,1 14,4 10,8 16,4
13,6 14,9 12,5 11,5
Si se clasifican los datos para 4
intervalos de clase, calcule: h2 + H3
A) 50 % B) 75 % C) 84 %
D) 92 % E) 100 %
2. Si se tiene la siguiente distribución de
frecuencias sobre las estaturas (en
metros) de un grupo de 50 jóvenes.
Ii fi hi Hi
[1,55 – 1,60 >
[1,60 – 1,65 >
[1,65 – 1,70 >
[1,70 – 1,75 > 5 0,96
[1,75 – 1,80 >
h1 = h5
h2 = h4
M: tanto por ciento de jóvenes que
poseen una estatura no menor de
1.70 m
Calcule M + 0
A) 27 % B) 31 % C) 19 %
D) 38 % E) 41 %
3. Dado el siguiente cuadro de frecuencias
Ingreso hi fi
[ 500 – 800 > 1/a A
[ 800 – 1100 > 2/a
[ 1100 – 1400 > 9/a
[ 1400 – 1700 > 3/a
Calcule cuántas personas ganan entre S/.
840 y S/. 1480 mensuales, además
determine el valor de F4 respectivamente
A) 135 y 250 B) 120 y 225 C) 135 y 225
D) 173 y 225 E) 173 y 250
4. Dada la siguiente distribución de
frecuencias
[ Li ; Ls > fi
20 – 30 2
30 – 40 1
40 – 50 3
50 – 60 6
60 – 70 n
Calcule el valor de n, si la mediana es
A) 12 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24
5. Determina la media, la mediana y la
moda de cada caso.
a) las notas de Matemática de un grupo
de estudiantes son: 12; 16; 18; 12; 15; 13;
16; 12; 18; 12; 16 ; 12; 14; 12; 11; 12.
b) Las edades de un grupo de estudiantes
son: 11; 12; 10; 11; 12; 11; 12; 13; 11; 12;
11; 13; 12; 14; 12; 11.
R.
6. Determina la media, la mediana y la
moda en cada caso.
a)
Edad 15 16 17 18 19
F 7 9 8 5 1
b)
Edad 08 10 12 16 17
F 6 10 10 2 2
R.
7. En una determinada zona de Jaén
(Cajamarca), las superficies de una
muestra de 100 viviendas están
distribuidas de acuerdo a la siguiente
tabla:
Superficie (m2) fi
[ 50 – 60 > 20
[ 60 – 70 > 25
[ 70 – 80 > 15
[ 80 – 90 > 25
[ 90 – 100 ] 15
De acuerdo a los datos:
a. Determina cuál es la variable y de
qué tipo es.
b. Elabora la tabla de frecuencias (xi,
fi, Fi, hi, Hi)
c. Representa gráficamente
mediante histogramas el polígono
de frecuencias y la ojiva
d. ¿Qué medidas de tendencia
central se pueden determinar con
estos datos?(Justifica tu
respuesta)
R.
8. Cuál de las variables siguientes
representa datos discretos?
a) número de litros de agua necesarios para cada máquina de lavar b) número de libros en cada estante de la biblioteca c) diámetros de las pelotas producidas por una fábrica d) peso de los alumnos de la Escuela Técnica Superior PNP – PP e) estado civil de los sub oficiales PNP– PP
9. Una variable es continua cuando:
a) su valor resulta de la operación de contar b) se expresa en forma cualitativa c) su valor resulta de la operación de medir d) puede tomar diferentes valores e) se obtiene de operar convenientemente con los datos
10. Cuál de los siguientes datos
representa un atributo?
a) lugar de nacimiento de los alumnos de la ETS PNP – PP b) numero de nacidos vivos diariamente c) edades de los alumnos de la ETS PNP–PP d) número de asignaturas que aprueba un alumno e) ingresos de los sub oficiales PNP en Lima
11. Si el Titulo de un cuadro estadístico es
"Población Económicamente Activa
de 15 años y más, del departamento de Lima; por nivel educativo, según ramas de actividad", podemos afirmar que: a) Las ramas de actividad se encuentran en el encabezamiento b) Los niveles educativos se encuentran en la columna indicadora c) Las respuestas a y b son correctas d) Las ramas de actividad y los niveles
educativos se colocan en el encabezamiento.
e) Los niveles educativos se colocan en el encabezamiento
12. Si en una gráfica circular un ángulo de
90º representa a 50 alumnos PNP del
aula Nº 21, el porcentaje de
población de alumnos PNP
representada por un ángulo de 135º
es :
a) 75 % b) 37,5 % c) 200 % d) 243 % e) 90 %
13. En la tabla de la distribución de la
pregunta 6, la expresión: "el 16 % de
alumnos tiene 20 años" corresponde a
la interpretación de:
a) X4 b) h2 c) h4 d) f1 + f2 e) H1
14. En la distribución de la pregunta 6
¿Cuantos alumnos tienen a lo más 18
años?
a) 15 b) 20 c) 26 d) 25 e) 52
15. En la distribución de la pregunta 6
¿Qué porcentaje de alumnos tiene 20
o 19 años?
a) 16 % b) 36 % c) 18 %
d) 88 % e) 100 %
Con la siguiente distribución de puntajes obtenidos por un grupo de alumnos en un examen de Estadística, elabora una tabla de frecuencias. ¿Cuál es el valor de la marca de clase del cuarto intervalo?
a) 30 b) 40 c) 25 d) 15 e) 35
16. En la tabla de la pregunta anterior,
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es
correcta?
a) el 74 % de los alumnos obtuvo entre 20 y 30 puntos incluso 20
b) 20 alumnos obtuvieron 40 puntos c) el 20 % de los alumnos obtuvo entre
30 y 40 puntos incluso 30 d) 30 alumnos obtuvieron menos de 20
puntos e) 38 alumnos obtuvieron más de 20
puntos
17. Observando la tabla de la pregunta 10
podemos afirmar que "el 74% de los
alumnos obtuvieron:
a) entre 20 y 30 puntos incluso 20 b) menos de 30 puntos c) mas de 30 puntos d) 25 puntos e) menos de 25 puntos
18. Al número resultante de haber
operado con ciertos datos, de acuerdo
con
procedimientos específicos se le
denomina:
a) atributo b) estadístico c) variable d) dato estadístico e) estadígrafo Las preguntas desde la 16 hasta la 18 se refieren a la siguiente distribución de edades de un grupo de estudiantes.
Xi 17 18 19 20 23
fi 6 20 10 8 6
19. ¿Cuál es la edad promedio?
a) 20,00 b) 22,6 c) 17,00
d) 19 e) 18,50
20. El 50 % de los alumnos tiene edades
menores o iguales a:
a) 18 b) 18,5 c) 19
d) 17,76 e) 20
21. La moda es:
a) 19 b) 18,5 c) 17,76
d) 20 e) 18
La siguiente tabla se refieren a la siguiente distribución de puntajes obtenidos por un grupo de alumnos en un examen de Estadística.
L,-Ls) 00-10 10-20 20-30 30-40 40-50
Fi 8 30 36 20 6
22. ¿Cuál es el valor de la marca de clase
del cuarto intervalo?
a) 30 b) 40 c) 25
d) 15 e) 35
23. La nota promedio es:
a) 26,4 b) 23,4 c) 12,6
d) 49 e) 23,6
24. La mediana, aproximada a centésimas,
es:
a) 21,2 b) 20,33 c) 23,33
d) 10,00 e) 14,00
L i -L s )
00-10
10-20
20-30
30-40
40-50
fi 8 30 36 20 6
25. La nota más frecuente, aproximada a
centésimas, es:
a) 8,18 b) 32,73 c) 27,73
d) 22,73 e) 22,79
26. Si la frecuencia más alta de una
distribución es 80 y está asociada a la
variable 15, podemos afirmar que:
a) el promedio es 15
b) la moda es 15
c) la mediana es 80
d) la mediana es 15
e) la moda es 80
27. Si el 50 % de los estudiantes de
Estadística ha obtenido notas mayor o
iguales a 23 puntos podemos afirmar
que:
a) la mediana es 23
b) la mediana es 50
c) la moda es 23
d) la moda es 50
e) el promedio es 23
28. Es una propiedad de la mediana:
a) es el centra de gravedad de la distribución b) tiene la ventaja de utilizar toda la información c) no puede calcularse en el caso de intervalos de la forma [38 y más> d) no resulta influenciada por valores observados anormalmente grandes e) ninguna de las anteriores
29. Si en una distribución se tiene que la
moda es menor que la mediana y esta
a su vez es menor que la media
aritmética, podemos afirmar que la
distribución:
a) presenta asimetría con sesgo hacia la derecha b) presenta asimetría con sesgo hacia la izquierda c) es simetrica d) es platicurtica e) es normal
30. Indica que variables son cualitativas y
cuales cuantitativas:
a) Comida Favorita
Cualitativa
b) Profesión que te gusta
Cualitativa
c) Número de goles marcados por tu
equipo favorito en la última temporada.
Cuantitativa
d) Número de alumnos de tu Instituto.
Cuantitativa
e) El color de los ojos de tus compañeros
de clase.
Cualitativa
f) Coeficiente intelectual de tus
compañeros de clase.
Cuantitativa
31. De las siguientes variables indica cuáles
son discretas y cuales continúas.
a) Número de acciones vendidas cada
día en la Bolsa.
Discreta
b) Temperaturas registradas cada hora
en un observatorio.
Continua
c) Período de duración de un
automóvil.
Continua
d) El diámetro de las ruedas de varios
coches.
Continua
e) Número de hijos de 50 familias.
Discreta
f) Censo anual de los españoles.
Discreta
32. Clasificar las siguientes variables en
cualitativas y cuantitativas discretas o
continuas.
a) La nacionalidad de una persona.
Cualitativa
b) Número de litros de agua
contenidos en un depósito.
Cuantitativa continúa
c) Número de libro en un estante de
librería.
Cuantitativa discreta
d) Suma de puntos tenidos en el
lanzamiento de un par de dados.
Cuantitativa discreta
e) La profesión de una persona.
Cualitativa
f) El área de las distintas baldosas de
un edificio.
Cuantitativa continúa
33. Calcular la moda de la siguiente serie
de números: 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4,
8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.
Mo = 5
34. Un pediatra obtuvo la siguiente tabla
sobre los meses de edad de 50 niños
de su consulta en el momento de
andar por primera vez:
Meses Niños 9 1 10 4 11 9 12 16 13 11 14 8 15 1 Calcular la moda.
Mo = 12
APORTES DEL MG. MARCOS GUEVARA FABIÁN Existen muchas definiciones; los especialistas aún no se ponen de acuerdo en considerar a la estadística como ciencia o como disciplina y mientras estas discrepancias se mantengan, la estadística puede describirse como “LA TECNOLOGÍA DEL MÉTODO CIENTÍFICO” pues nos proporciona un conjunto de reglas, técnicas e instrumentos de investigación de aplicación general en cualquier campo de la ciencia que orienta la toma de decisiones a partir del análisis e interpretación de observaciones realizadas en forma directa o experimentalmente. Sugerencia de concepto del Mg(e)Lic. Marcos Avidemio Guevara Fabián La estadística es una TECNOLOGÍA DEL MÉTODO CIENTÍFICO que nos proporciona un conjunto de reglas, técnicas e instrumentos de investigación de aplicación general en cualquier campo de la ciencia, para la recolección, organización (clasificación), análisis e interpretación de datos de manera adecuada que orienta la toma de decisiones a partir de observaciones realizadas en forma directa o experimentalmente.