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ESPACIOS LINEALES
Capítulo
S
H
V
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ESPACIO LINEAL
Definición
Notación: "V"
Clasificación: 1. E. vectoriales
2. E. polinomial
3. E. matriciale
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AXIOMAS!
!
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SUBESPACIO DE UN "V"
Definición Notación: "H"
Axiomas: 1, 4 y 6
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CONJ. GENERADOR "S"
Conjunto generador "S"S = , , … ,
Subespacio generado "H"
H = , , … ,
Espacio lineal (vectorial) "V"
V = ℜ
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CONJ. GENERADOR "S"
Conjunto geneS = ;
Subespacio:
H =
Espacio vector
V = ℝ
S
H
V
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ESPACIOS VECTORIALE
Ejercicio iDados y en un espacio vecto
Sea = , . Demuestre qu
un subespacio de V.
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ESPACIOS VECTORIALE
Ejercicio iiSea "H" el conjunto de todo
vectores de la forma + ,
donde y son escalares. Demque "H" es un subespacio de ℝ.
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ESPACIOS VECTORIALE
Ejercicio iiiDemuestre que la recta : ; +
no es un subespacio lineal .
Ejercicio iv Dado el conjunto = ; /
diga si es o no un espacio lineal.
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ESPACIOS VECTORIALE
Ejercicio v El conjunto de todos los vectores
cuyas componentes satisfacen
ecuaciones: ++ = y ¿es o no un subespacio lineal?
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ESPACIOS VECTORIALE
Ejercicio vi¿El conjunto solución de la ecu
matricial = es un sube
lineal?¿El CS de la ecuación matricial
es un subespacio lineal?
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THE NULL SPACE OF A
•
Written as NulA• Nul = ∈ ℝ =
• Definition:
NulA is the set of all solutions homogeneous equation = .
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THE NULL SPACE OF A
Ejercicio viiLet "H" be the set of all solutions
following system of linear equati
= + =
Show that "H" is a subspace of ℝ
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THE COLUMN SPACE O
•
Written as ColA• Col = ∈ ℝ = , ∈ ℝ
• Definition:
ColA is the set of all combinations of the columns of
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THE COLUMN SPACE O
Ejercicio viiiFind a matrix A such the =
=
+
; , ∈ℜ
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BASE DE UN SUBESPAC
Sea "H" un subespacio de "Vconjunto de vectores = ; ;
es una base para "H" si
= ; ; … ;
y además es LI .
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BASE DE UN SUBESPAC
Ejercicio ix
Hallar una base para ColA y otra NulA
=
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DIMENSIÓN DE UN 'H'
La dimensión de un "H" es el vectores que tiene una base de
subespacio
() =
+ () =
() + () =
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BASE DE UN 'V' COMPL
=
,
=
,
,
=
,
,
,
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SIST. DE COORDENADA
Si =;
; … ;
es una base pa
ℝ, entonces todo vector ∈ ℝ s
puede expresar como CL de los "n
vectores de la base
= + + ⋯ + =
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SIST. DE COORDENADA
donde , o , se denomina veccoordenadas de relativas a la ba
=
⋮
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SIST. DE COORDENADA
Ejercicio x
Considere = , una base para ℝ
=
=
Encuentre y grafique un vector de ℝ
vector de coordenadas es =
.
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SIST. DE COORDENADA
Ejercicio xi
Sea "B" una base para ℝ
=
,
Hallar las coordenadas del vector
=
relativas a la base "B".
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SIST. DE COORDENADA
Ejercicio xiiSean = (, , ), = (, , ) y
= , , , donde = , e base para = , Determ
está en "H". Si fuera así, encuen vector de coordenadas de relatla base .
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CAMBIO DE BASE
•
Matriz de cambio de base =
− =
−
• Método alternativo ~
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CAMBIO DE BASE
Ejercicio xiiiSean "B" y "C" bases para ℝ
=
,
=
,
Hallar si =
.
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CAMBIO DE BASE
Ejercicio xiv
Considere dos bases = , y
= , de ℝ, tales que:
= + y = +
Suponga que: = + . Encuentrematriz de cambio de base de a yencuentre .
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ESPACIOS MATRICIALE
Ejercicio xv Averiguar si el siguiente conjunto
,
,
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ESPACIOS MATRICIALE
Ejercicio xvi
Hallar una base para
=
,
,
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ESPACIOS MATRICIALE
Ejercicio xvii
Agregar dos matrices a "S"
obtener una base para = (,)
= ,
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ESPACIOS POLINOMIAL
Ejercicio xviii
Averiguar si los siguientes polin
son LI
=
++;
++;
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ESPACIOS POLINOMIAL
Ejercicio xix
Averiguar si los siguientes polin
forman una base para el espac
polinomios de grado ≤
.
= ++ ; ; ;
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ESPACIOS POLINOMIAL
Ejercicio xx
Hallar el vector de coorde
relativas a la base B de =
sabiendo que
= ++ ; ; ;