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Derivadas ImplícitasDerivadas ImplícitasDerivadas ImplícitasDerivadas Implícitas
Diseño: Prof. Helmuth Calderón ©
Tema:Tema:Tema:Tema:
Cuya gráfica es:Cuya gráfica es:Cuya gráfica es:Cuya gráfica es:
Consideremos la ecuación de la circunferencia: Consideremos la ecuación de la circunferencia: Consideremos la ecuación de la circunferencia: Consideremos la ecuación de la circunferencia:
922 yx
Introducción:Introducción:Introducción:Introducción:
¿Es una función la¿Es una función lagráfica de la derecha?gráfica de la derecha?
¿Es una función la¿Es una función lagráfica de la derecha?gráfica de la derecha?
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La respuesta es ¡NO!La respuesta es ¡NO!La respuesta es ¡NO!La respuesta es ¡NO!
Derivadas ImplícitasDerivadas ImplícitasDerivadas ImplícitasDerivadas Implícitas
f(x)
x
f(x)
Uso la propiedad de la adición, sumo a ambos lados Uso la propiedad de la adición, sumo a ambos lados Uso la propiedad de la adición, sumo a ambos lados Uso la propiedad de la adición, sumo a ambos lados
922 yx
Para conocerlas vamos a aislar:Para conocerlas vamos a aislar:Para conocerlas vamos a aislar:Para conocerlas vamos a aislar:
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y)( 2x
Sin embargo la ecuación de abajo tiene Sin embargo la ecuación de abajo tiene implicitamenteimplicitamente dos funciones dos funcionesSin embargo la ecuación de abajo tiene Sin embargo la ecuación de abajo tiene implicitamenteimplicitamente dos funciones dos funciones
Derivadas ImplícitasDerivadas ImplícitasDerivadas ImplícitasDerivadas Implícitas
Acomodamos la ecuaciónAcomodamos la ecuaciónAcomodamos la ecuaciónAcomodamos la ecuación
2x
Para ello vamos a aislar:Para ello vamos a aislar:Para ello vamos a aislar:Para ello vamos a aislar:
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y
)( 2x 92 y )( 2x922 yx
Derivadas ImplícitasDerivadas ImplícitasDerivadas ImplícitasDerivadas Implícitas
Cancelamos términos semejantes, es decir las Cancelamos términos semejantes, es decir las Cancelamos términos semejantes, es decir las Cancelamos términos semejantes, es decir las
2x
Para ello vamos a aislar:Para ello vamos a aislar:Para ello vamos a aislar:Para ello vamos a aislar:
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y2x
)( 2x 92 y )( 2x922 yx
Derivadas ImplícitasDerivadas ImplícitasDerivadas ImplícitasDerivadas Implícitas
2x
Para ello vamos a aislar:Para ello vamos a aislar:Para ello vamos a aislar:Para ello vamos a aislar:
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y
)( 2x 92 y )( 2x922 yx
22 9 xy
y obtenemos y obtenemos y obtenemos y obtenemos
2y
Derivadas ImplícitasDerivadas ImplícitasDerivadas ImplícitasDerivadas Implícitas
2x
Para ello vamos a aislar:Para ello vamos a aislar:Para ello vamos a aislar:Para ello vamos a aislar:
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y
)( 2x 92 y )( 2x922 yx
Recuerda que todavía no esta aislada la variable Recuerda que todavía no esta aislada la variable Recuerda que todavía no esta aislada la variable Recuerda que todavía no esta aislada la variable Por lo tanto aplicamos raíz cuadrada a ambos ladosPor lo tanto aplicamos raíz cuadrada a ambos ladosPor lo tanto aplicamos raíz cuadrada a ambos ladosPor lo tanto aplicamos raíz cuadrada a ambos lados
22 9 xy 22 9 xy
Derivadas ImplícitasDerivadas ImplícitasDerivadas ImplícitasDerivadas Implícitas
2x
Para ello vamos a aislar:Para ello vamos a aislar:Para ello vamos a aislar:Para ello vamos a aislar:
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y
)( 2x 92 y )( 2x922 yx
Cancelamos el radical con el cuadrado para aislar la variable Cancelamos el radical con el cuadrado para aislar la variable Cancelamos el radical con el cuadrado para aislar la variable Cancelamos el radical con el cuadrado para aislar la variable
22 9 xy 22 9 xy
29 xy
Finalmente las funciones obtenidas son:Finalmente las funciones obtenidas son:Finalmente las funciones obtenidas son:Finalmente las funciones obtenidas son:
Repetir este temaRepetir este temaRepetir este temaRepetir este tema
Derivadas ImplícitasDerivadas ImplícitasDerivadas ImplícitasDerivadas Implícitas
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Derivadas ImplícitasDerivadas ImplícitasDerivadas ImplícitasDerivadas Implícitas24 xy depende de depende de xxdepende de depende de xxLa funciónLa funciónLa funciónLa función
24)( xxyy Mientras deriva, tenga presente que:Mientras deriva, tenga presente que:Mientras deriva, tenga presente que:Mientras deriva, tenga presente que:
por lo tanto decimos por lo tanto decimos y=y(x)y=y(x)por lo tanto decimos por lo tanto decimos y=y(x)y=y(x)
Derivadas ImplícitasDerivadas ImplícitasDerivadas ImplícitasDerivadas Implícitas
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24 xy Ahora derivamos esta funciónAhora derivamos esta funciónAhora derivamos esta funciónAhora derivamos esta función
)4()( 2xdx
dy
dx
d Aplicamos la notación de derivadaAplicamos la notación de derivada
en ambos lados del signo igualen ambos lados del signo igualAplicamos la notación de derivadaAplicamos la notación de derivada
en ambos lados del signo igualen ambos lados del signo igual
)4(42
1)( 2
2x
dx
d
xy
dx
d
)2(42
1)(
2x
xy
dx
d
24)(
xy
dx
d
y
xy
dx
d )(
Cancelamos y ordenamosCancelamos y ordenamosCancelamos y ordenamosCancelamos y ordenamos
Derivamos la segundaDerivamos la segunda expresiónexpresión
Derivamos la segundaDerivamos la segunda expresiónexpresión
Derivamos usando la regla deDerivamos usando la regla de la cadenala cadena
Derivamos usando la regla deDerivamos usando la regla de la cadenala cadena
Sustituimos en el radical la variable Sustituimos en el radical la variable yySustituimos en el radical la variable Sustituimos en el radical la variable yy
x
Repetir este temaRepetir este temaRepetir este temaRepetir este tema
Es la solución “Derivada Tradicional”Es la solución “Derivada Tradicional”Es la solución “Derivada Tradicional”Es la solución “Derivada Tradicional”
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Derivadas ImplícitasDerivadas ImplícitasDerivadas ImplícitasDerivadas Implícitas
Aprendamos a derivarAprendamos a derivar implicitamenteimplicitamente
Aprendamos a derivarAprendamos a derivar implicitamenteimplicitamente
922 yxEsto significa que no esEsto significa que no es
necesario aislar necesario aislar yyEsto significa que no esEsto significa que no es
necesario aislar necesario aislar yy
Derivadas ImplícitasDerivadas ImplícitasDerivadas ImplícitasDerivadas Implícitas
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922 yxRecuerda que no esRecuerda que no es
necesario aislar necesario aislar yyRecuerda que no esRecuerda que no es
necesario aislar necesario aislar yy
Derivadas ImplícitasDerivadas ImplícitasDerivadas ImplícitasDerivadas Implícitas
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922 yx Aplicamos la notación de derivadaAplicamos la notación de derivada en ambos lados del signo igualen ambos lados del signo igual
Aplicamos la notación de derivadaAplicamos la notación de derivada en ambos lados del signo igualen ambos lados del signo igual
)9()( 22
dx
dyx
dx
d
Derivamos usamos propiedades…Derivamos usamos propiedades…
Teniendo siempre presente que: Teniendo siempre presente que: y=y(x)Derivamos usamos propiedades…Derivamos usamos propiedades…
Teniendo siempre presente que: Teniendo siempre presente que: y=y(x)0)(22 ydx
dyx
)(2 ydx
dy x2
Uso la propiedad de la adición para Uso la propiedad de la adición para 2x2xUso la propiedad de la adición para Uso la propiedad de la adición para 2x2x
Uso la propiedad de la multiplicación para Uso la propiedad de la multiplicación para 2y2yUso la propiedad de la multiplicación para Uso la propiedad de la multiplicación para 2y2y
y
xy
dx
d
2
2)(
y
xy
dx
d )(
Cancelando los números Cancelando los números 22 obtenemos: obtenemos: Cancelando los números Cancelando los números 22 obtenemos: obtenemos:
Es la solución “Derivada Implícita”Es la solución “Derivada Implícita”Es la solución “Derivada Implícita”Es la solución “Derivada Implícita”
Debemos aislar:Debemos aislar:Debemos aislar:Debemos aislar: )(ydx
d
Ahora comparemos Ahora comparemos ambas derivadasambas derivadas
Ahora comparemos Ahora comparemos ambas derivadasambas derivadas
Repetir este temaRepetir este temaRepetir este temaRepetir este tema
Derivadas ImplícitasDerivadas ImplícitasDerivadas ImplícitasDerivadas Implícitas
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922 yx
)9()( 22
dx
dyx
dx
d
0)(22 ydx
dyx
)(2 ydx
dy x2
y
xy
dx
d
2
2)(
y
xy
dx
d )(
Derivadas ImplícitasDerivadas ImplícitasDerivadas ImplícitasDerivadas Implícitas
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Hemos comprobado que ambas derivadas son igualesHemos comprobado que ambas derivadas son igualesHemos comprobado que ambas derivadas son igualesHemos comprobado que ambas derivadas son iguales¿Cuál es la ventaja de saber derivar implícitamente?¿Cuál es la ventaja de saber derivar implícitamente?¿Cuál es la ventaja de saber derivar implícitamente?¿Cuál es la ventaja de saber derivar implícitamente?
Derive en forma “tradicional”Derive en forma “tradicional”Derive en forma “tradicional”Derive en forma “tradicional”
Veamos el siguiente caso:Veamos el siguiente caso:Veamos el siguiente caso:Veamos el siguiente caso:
Aislar Aislar yy es muy difícil y casi imposible en algunos casos es muy difícil y casi imposible en algunos casosAislar Aislar yy es muy difícil y casi imposible en algunos casos es muy difícil y casi imposible en algunos casos
yxy 4Quiz No 3 – (20 puntos)Quiz No 3 – (20 puntos)Quiz No 3 – (20 puntos)Quiz No 3 – (20 puntos)
Sección 16851 entregar 29 Nov. y secc 16736 entregar 30 Nov. 2004 Sección 16851 entregar 29 Nov. y secc 16736 entregar 30 Nov. 2004 Sección 16851 entregar 29 Nov. y secc 16736 entregar 30 Nov. 2004 Sección 16851 entregar 29 Nov. y secc 16736 entregar 30 Nov. 2004
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