El conocimiento colectivodesde un punto de vista lógico

Julio Ostalé García

Profesor Tutor en el Centro UNED de La Coruña

jostale@a-coruna.uned.es

Investigaciones y prácticas actuales en Filosofía

http://unedfilosofia.wordpress.com

UNED, La Coruña (España), 22 de febrero de 2013

Objetivo y público de la charla

Objetivo:

I Analizar diferentes tipos de conocimiento colectivo mediante la

lógica modal epistémica (nivel proposicional).

I Lógica modal epistémica = Lógica sobre el discurso acerca de

(i) hechos,(ii) el conocimiento sobre hechos.

I Conocimiento colectivo = Aquello que queremos decir con

expresiones de la forma �el grupo G conoce la proposición ϕ�.

Público:

I Alumnos de Filosofía de la UNED que hayan cursado Lógica I.

I Cualquiera con conocimientos de lógica proposicional.

Nota: Estas diapositivas son una versión corregida y sin secuenciar

de las utilizadas en la charla.

Plan de la charla

1. ¾Qué es la lógica modal epistémica?

1.1 Tres lógicos en un bar1.2 Lenguaje S51.3 Semántica S51.4 Cálculo S5

2. ¾Qué es el conocimiento colectivo?

2.1 Conocimiento general, común y distribuido2.2 Lenguaje S5ECD2.3 Semántica S5ECD2.4 Niños con barro en la cara

1. ¾Qué es la lógica modal epistémica? I

I Lógica = teoría general y abstracta de la inferencia.I Un sistema lógico consta de lenguaje, semántica y cálculo.I Sirve para representar y razonar acerca de un dominio.

I Lógica clásica = lógica de los objetos matemáticos.

I Lógica modal = extensión de la lógica clásica donde �ϕ es

�necesariamente ϕ�, �en el futuro ϕ�, �obligatoriamente ϕ�. . .

I Lógica modal epistémica = lógica modal donde �iϕ signi�ca�el agente i sabe que ϕ� y se escribe Kiϕ.

I Relación �saber que� entre agentes y fórmulas.No formalizamos p. ej. �el agente i cree que ϕ�.

I Conocimiento declarativo: �a sabe que p� ⇒ (1) a cree que p,(2) p es verdadero, (3) a tiene una justi�cación de que p.No investigamos p. ej. conocimiento práctico ni directo.

I Fórmulas proposicionales.No analizamos p. ej. la diferencia entre Ki∃xϕ(x) y ∃xKiϕ(x).

1. ¾Qué es la lógica modal epistémica? II

Aplicaciones

I Filosofía: epistemología formal, análisis del conocimiento. . .

I Lingüística: verbos epistémicos, conversación. . .

I Informática: comunicación �able, sistemas multiagente. . .

I Economía: negociaciones con información asimétrica. . .

Bibliografía

I Orígenes históricos:

An Essay in Modal Logic (1951) de Georg Henrik von WrightKnowledge and Belief (1962) de Jaakko Hintikka

I Manuales clásicos:

Epistemic Logic for AI and Computer Science (1995)Reasoning about Knowledge (1995)

I Manuales contemporáneos:

Dynamic Epistemic Logic (2008)

1.1. Tres lógicos en un bar

Fuente: http://spikedmath.com/445.html

1.2. Lenguaje S5 � Gramática

Un lenguaje modal epistémico es relativo a dos conjuntos:

P = {p1, . . . , pm} con m proposiciones atómicas.

A = {1, . . . , n} con n agentes.

El lenguaje LK (P ,A) se de�ne inductivamente:

1. Toda p ∈ P es fórmula.

2. Si ϕ,ψ son fórmulas, también

2.1 ¬ϕ2.2 (ϕ ∧ ψ)2.3 (ϕ ∨ ψ)2.4 (ϕ→ ψ)2.5 (ϕ↔ ψ)

3. Si i ∈ A y ϕ es fórmula, también

3.1 Kiϕ3.2 K̄iϕ

1.2. Lenguaje S5 � Hablando sobre los tres lógicos I

Vocabulario: pi = i quiere cerveza, Kiϕ = i sabe que ϕ.

I El lógico 1 sabe que 2 quiere cerveza.

K1p2

I El lógico 1 sabe que 2 no quiere cerveza.

K1¬p2I El lógico 1 no sabe que 2 quiere cerveza. (ambiguo)

¬K1p2

I El lógico 1 no sabe que 2 no quiere cerveza. (ambiguo)

¬K1¬p2I Si el lógico 1 quiere cerveza, lo sabe y sabe que lo sabe.

p1 → K1p1 ∧ K1K1p1

I Si el lógico 1 quiere cerveza, lo sabe 2 o lo sabe 3.

p1 → K2p1 ∨ K3p1

1.2. Lenguaje S5 � Hablando sobre los tres lógicos II

I El lógico 1 sabe que al menos uno quiere cerveza.

K1(p1 ∨ p2 ∨ p3)

I El lógico 1 sabe que sólo uno quiere cerveza.

K1[(p1 ∧ ¬p2 ∧ ¬p3) ∨ (¬p1 ∧ p2 ∧ ¬p3) ∨ (¬p1 ∧ ¬p2 ∧ p3)]

I El lógico 1 sabe que 2 sabe que 3 quiere cerveza, pero 2 ignora

que 1 sabe todo eso.

K1K2p3 ∧ ¬K2K1K2p3

I El lógico 1 sabe si 3 quiere cerveza.

K1p3 ∨ K1¬p3I El lógico 1 no sabe si 3 quiere cerveza.

¬K1p3 ∧ ¬K1¬p3I El lógico 1 no sabe si 2 ha leído sus pensamientos en lo

referente a 3, del que 1 sabe que 2 sabe que quiere cerveza.

¬K1(K2K1K2p3) ∧ ¬K1¬(K2K1K2p3)

1.3. Semántica S5 � Modelos de Kripke

Sea un lenguaje LK (P ,A) con n agentes.

Un modelo M = (W ,R1, . . . ,Rn,V ) está formado por

1. Un conjunto no vacío W de estados.

2. Una relación Ri ⊆ W ×W por cada i ∈ A.

3. Una aplicación V : P −→ P(W ).

Ejemplo:

{p, q,¬r} = w2

w1 = {p, q, r}a 22eeeeeeeeee

a,,YYYYY

YYYY

{p,¬q,¬r} = w3

I Un estado se identi�ca con un conjunto de hechos atómicos.

I En cada estado el agente considera �alternativas epistémicas�.

1.3. Semántica S5 � Verdad en un modelo

¾Relación entre una fórmula y un modelo?

I Las fórmulas son verdaderas o falsas respecto de un estado

dentro de un modelo.

I Dado un modelo M = (W ,R1, . . . ,Rn,V ) y un estado

w ∈ W , la expresión M,w � ϕ se lee �ϕ es verdadera en el

estado w del modelo M� y se de�ne inductivamente:

M,w � p sii w ∈ V (p)M,w � ¬ϕ sii M,w 2 ϕ

M,w � ϕ ∧ ψ sii M,w � ϕ y M,w � ψM,w � ϕ ∨ ψ sii M,w � ϕ o M,w � ψM,w � ϕ→ ψ sii M,w � ϕ implica M,w � ψM,w � ϕ↔ ψ sii M,w � ϕ→ ψ y M,w � ψ → ϕ

M,w � Kiϕ sii M,w ′ � ϕ para todo w ′ ∈ W tal que wRiw′

M,w � K̄iϕ sii M,w ′ � ϕ para algún w ′ ∈ W tal que wRiw′

I M � ϕ sii M,w � ϕ para todo w ∈ W .

1.3. Semántica S5 � Ejemplo

Consideramos de nuevo el modelo:

{p, q,¬r} = w2

w1 = {p, q, r}a 22eeeeeeeeee

a,,YYYYY

YYYY

{p,¬q,¬r} = w3

1. M,w1 � p ∧ q ∧ r

2. M,w1 � p ↔ q

3. M,w1 � Kap

4. M,w1 � ¬Kaq (a pesar de 2 y 3, pues S5 es intensional)

5. M,w1 � Ka¬r6. M,w1 � r ∧ Ka¬r (se evitaría si Ra fuese re�exiva)

1.3. Semántica S5 � La clase S5 de modelos

¾Relación entre una fórmula y una clase de modelos?

I Axioma K � Distribución del conocimiento

K (ϕ→ ψ) → (Kϕ→ Kψ)

Verdadero en todos los modelos.

I Axioma T � Verdad del conocimiento

Kϕ→ ϕ

Verdadero en M sii R re�exiva.

I Axioma 4 � Introspección positiva

Kϕ→ KKϕ

Verdadero en M sii R transitiva.

I Axioma 5 � Introspección negativa

¬Kϕ→ K¬KϕVerdadero en M sii R euclídea.

S5 = clase de modelos con R de equivalencia

1.3. Semántica S5 � Consecuencia

¾Cuándo puede decirse que una fórmula �se sigue� de otras?

I Dijimos que la lógica era la teoría de la inferencia.

I Mediante la noción de verdad podemos construir una noción

semántica de inferencia.

I Relativizamos la noción de consecuencia a la clase S5 de

modelos cuyas relaciones de accesibilidad son de equivalencia.

I Idea: en cualquier estado de cualquier modelo de S5, una

fórmula (conclusión) será consecuencia de otras (premisas) si

la verdad de éstas entraña la verdad de aquélla.

Consecuencia semántica: {ϕ1, . . . , ϕn} �S5 ψLa fórmula ψ es consecuencia semántica (en la clase de modelos

S5) del conjunto {ϕ1, . . . , ϕn} sii M,w � ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn implica

M,w � ψ para cualquier modelo M de S5 y estado w en M.

1.3. Semántica S5 � Ejemplo de no-consecuencia

I Queremos demostrar K (p ∨ q) 2S5 (Kp ∨ Kq)

I Bastará mostrar un modelo con al menos un estado que haga

verdadera a la premisa pero falsa a la conclusión.

I Como R es de equivalencia, en su representación se omiten las

�echas re�exivas y cada línea es una �echa de doble dirección.

{p,¬q} = w2

w1 = {p, q}

eeeeeeeeeeee

YYYYYYYYYYYY

{¬p, q} = w3

M,w1 � K (p ∨ q)

M,w1 2 Kp ∨ Kq

1.4. Cálculo S5 � Derivabilidad

Axiomas y reglas del sistema S5

A1.1 ϕ→ (ψ → ϕ)A1.2 [ϕ→ (ψ → χ] → [(ϕ→ ψ) → (ϕ→ χ)]A1.3 (¬ϕ→ ¬ψ) → (ψ → ϕ)A2 K (ϕ→ ψ) → (Kϕ→ Kψ)A3 Kϕ→ ϕA4 Kϕ→ KKϕA5 ¬Kϕ→ K¬KϕR1 De ϕ, ϕ→ ψ extraer ψR2 De ϕ extraer Kϕ

Derivabilidad formal: {ϕ1, . . . , ϕn} ⊢S5 ψψ es S5-derivable de {ϕ1, . . . , ϕn} sii hay secuencia de fórmulas

acabada en ψ tal que cada fórmula está en {ϕ1, . . . , ϕn} o es

axioma de S5 o se sigue de fórmulas previas por R1, R2 (no siendo

aplicable R2 a ϕ1, . . . , ϕn ni a fórmulas que dependan de ellas).

1.4. Cálculo S5 � Ejemplo de derivabilidad

I Queremos demostrar Kp ∨ Kq ⊢S5 K (p ∨ q)

I Bastará una S5-derivación desde Kp ∨ Kq hasta K (p ∨ q).

A1 será cualquier teorema de la lógica proposicional clásica.

1. Kp ∨ Kq Premisa

2. p → p ∨ q A1

3. K (p → p ∨ q) R2 en 2

4. K (p → p ∨ q) → (Kp → K (p ∨ q)) A2

5. Kp → K (p ∨ q) R1 en 3,4

6. q → p ∨ q A1

7. K (q → p ∨ q) R2 en 6

8. K (q → p ∨ q) → (Kq → K (p ∨ q)) A2

9. Kq → K (p ∨ q) R1 en 7,8

10. (5) → [(9) → (Kp ∨ Kq → K (p ∨ q))] A1

11. (9) → (Kp ∨ Kq → K (p ∨ q)) R1 en 5,10

12. Kp ∨ Kq → K (p ∨ q) R1 en 9, 11

13. K (p ∨ q) R1 en 1, 12

1.4. Cálculo S5 � Relación entre semántica y cálculoSemántica y cálculo son cosas muy distintas:

I Consecuencia se de�ne mediante la noción de verdad.

I Derivabilidad se de�ne mediante la noción de derivación.

¾Cómo se relacionan consecuencia semántica y derivabilidad formal?

I Teorema de Corrección Fuerte:

{ϕ1, . . . , ϕn} ⊢S5 ψ implica {ϕ1, . . . , ϕn} �S5 ψI Teorema de Completud Fuerte:

{ϕ1, . . . , ϕn} �S5 ψ implica {ϕ1, . . . , ϕn} ⊢S5 ψ¾Por qué complicarlo tanto?

I Para demostrar que ϕ se sigue de {ϕ1, . . . , ϕn} conviene usar

la derivabilidad, que depende de una sola derivación (la

consecuencia depende de in�nitos modelos).

I Para demostrar que ϕ no se sigue de {ϕ1, . . . , ϕn} conviene

usar la no-consecuencia, que depende de un solo modelo (la

no-derivabilidad depende de in�nitas derivaciones).

2. ¾Qué es el conocimiento colectivo?

Tenemos una herramienta formal y un problema conceptual:

I Herramienta: Sistema S5 (lenguaje, semántica, cálculo)

I Problema: ¾Qué signi�ca �en A se sabe que ϕ�?

Tres tipos de conocimiento colectivo o de grupo:

I Conocimiento general (o universal o conjunto)

Todos saben que ϕ.

Todos saben que todos saben n veces que ϕ.

I Conocimiento común

Todos saben que todos saben in�nitas veces que ϕ.

I Conocimiento distribuido (o implícito)

Entre todos pueden concluir que ϕ.

Nota:

I Conocimiento mutuo puede signi�car general o común

dependiendo de las fuentes consultadas.

2.1. Conocimiento general, común y distribuido I

I Situación A:

En Microsoft se convoca a las personas 1 y 2 a una reunión

mediante correos electrónicos. En ellos se dice que va a

hablarse de un nuevo proyecto. A 1 se le dice que Bill Gates o

Melinda Gates presentarán el proyecto. A 2 se le dice que

Melinda Gates no va a presentarlo. Al reunirse 1 y 2 guardan

silencio sobre lo que han leído en sus respectivos correos.

I Situación B:

Como A, pero 1 y 2 han leído a escondidas el correo del otro.

I Situación C:

Como A, pero en cada correo aparecen los dos destinatarios.

I Formalización:

p = Va a presentarse un nuevo proyecto.

b = Bill Gates va a presentar el nuevo proyecto.

m = Melinda Gates va a presentar el nuevo proyecto.

2.1. Conocimiento general, común y distribuido II

I Conocimiento general

En A todos saben que p.

En A no todos saben que todos saben que p.

En B todos saben que p.

En B todos saben que todos saben que p.

En B no todos saben que todos saben que todos saben que p.

I Conocimiento común

En C todos saben que todos saben (in�nitas veces) que p.

I Conocimiento distribuido

En A existe conocimiento distribuido de p (obvio).

En A existe conocimiento distribuido de b, ya que por un lado

K1(b ∨m) y por otro lado K2(¬m).

2.2. Lenguaje S5ECD � Operadores

Dado un lenguaje LK (P ,A), añadimos tres operadores modales:

I Eϕ = Hay en A conocimiento general de ϕ.

I Cϕ = Hay en A conocimiento común de ϕ.

I Dϕ = Hay en A conocimiento distribuido de ϕ.

¾Son de�nibles en términos de LK (P ,A)?

I Eϕ = K1ϕ ∧ · · · ∧ Knϕ (fórmula)

I Cϕ = Eϕ ∧ EEϕ ∧ EEEϕ ∧ · · · (pseudo-fórmula)

I Dϕ = ? (ausencia de fórmula)

Ejemplos:

I DCp ∧ ¬CDpI EEp ∧ ¬EEEpϕ→ ¬CpI (K1Cp → CK1p) ∨ (CK1p → K1Cp)

I Dp ↔ K1b ∨ K2b

2.3. Semántica S5ECD � Verdad en un modelo

Informalmente:

I Eϕ en w sii ϕ es verdadera en los estados que algún miembro

del grupo considere posible desde w .

I Cϕ en w sii ϕ es verdadera en los estados que algún miembro

considere posible desde cualquier estado alcanzable desde w .

I Dϕ en w sii ϕ es verdadera en todos los estados que todo

miembro del grupo considera posibles desde w .

Formalmente:

M,w � Eϕ sii M,w ′ � ϕ para todo w ′ tal que(w ,w ′) ∈ R1 ∪ . . . ∪ Rn

M,w � Cϕ sii M,w ′ � ϕ para todo w ′ quesea �alcanzable� desde w en R1 ∪ . . . ∪ Rn

M,w � Dϕ sii M,w ′ � ϕ para todo w ′ tal que(w ,w ′) ∈ R1 ∩ . . . ∩ Rn

2.3. Semántica S5ECD � Ejemplo

{p, q, r} = w2 a{p, q,¬r} = w5

w1 = {p, q, r}

a

lllllllllllllllll

b RRRRRR

RRRRRR

RRRRR a,b

{p, q, r} = w3

{p,¬q, r} = w4

M,w1 � Cp ∧ Ep ∧ Dp

M,w1 � ¬Cq ∧ ¬Eq ∧ Dq

M,w1 � ¬Cr ∧ Er ∧ Dr

2.3. Semántica S5ECD � Relevancia de Cϕ

¾Qué relación existe entre los diferentes tipos de conocimiento?

Cϕ⇒ Eϕ⇒ Kiϕ⇒ Dϕ⇒ ϕ

¾Por qué interesa en �losofía el conocimiento común?

I Aparentemente es muy débil, luego sus objetos deberían ser o

bien verdades lógicas o bien obviedades.

I Presupuestos conversacionales: �¾Te ha gustado la película?�

I Normas sociales: cortesía, ajedrez, señales de trá�co. . .

I Lo público: anuncios verbales, escenarios visuales. . . .

I Lewis, en Convention (1969), sostiene que la diferencia entre

una convención social y una mera regularidad es que aquélla es

objeto de conocimiento común.

I Comprobar si hay conocimiento común es una �supertarea�.

2.4. Niños con barro en la cara

I Origen incierto: ¾1950? Existen muchas variantes.

I Popular desde Barwise, �Scenes and other situations� (1981).

2.4. Niños con barro en la cara � Planteamiento

I Situación:

De n niños hay k (1 < k ≤ n) con la cara manchada de barro.

El padre los coloca a su alrededor. Cada niño puede ver la cara

de los demás, aunque no su propia cara; no hay espejos y no se

puede hablar. Son capaces de entender lo que está a punto de

decir el padre, así como de razonar y sacar conclusiones.

También se les supone obedientes. Y todo esto es además

conocido por cada uno de los niños.

I Acciones del padre:

1. Anuncia ϕ = �Al menos uno de vosotros tiene barro en la cara�.2. Ordena ω = �Quien tenga barro en la cara que dé un paso�.3. Si nadie da un paso al frente, vuelve al paso 2.

I Problema:

A. ¾Cuántas veces tiene que repetirse la orden ω para que todoslos niños con barro den un paso al frente?

B. ¾Qué ocurre si el padre no anuncia ϕ antes de dar las órdenes?

2.4. Niños con barro en la cara � Solución y paradoja

I Solución:

A. Tras el anuncio ϕ, los k niños con barro en la cara darán unpaso al frente después de k repeticiones de la orden ω.

B. Sin el anuncio ϕ, ningún niño dará un paso al frente pormucho que el padre repita la orden ω.

I Paradoja:I El anuncio ϕ es imprescindible: sin él ningún niño con barro en

la cara llega a saber que tiene barro en la cara.I El anuncio ϕ es super�uo: no dice nada que los niños no sepan.

I Observaciones:I Antes de la lógica epistémica ya se conocía la solución.I Pero no se entendía bien la paradoja.I El anuncio público de ϕ convierte Eϕ en Cϕ.I Cuidado con las distintas formulaciones del problema, pues no

todas son equivalentes (a veces se exige que todos los niños�no sólo los manchados� sepan si tienen o no barro en la cara).

2.4. Niños con barro en la cara � Formalización

A nivel sintáctico:

I b1 = �El niño 1 tiene barro en la cara�

I b2 = �El niño 2 tiene barro en la cara�

I b3 = �El niño 3 tiene barro en la cara�

I ϕ1 = b1 ∨ b2 ∨ b3

I ϕ2 = (b1 ∧ b2) ∨ (b1 ∧ b3) ∨ (b2 ∧ b3)

I ψ2 = (b1 ∧ b2 ∧ ¬b3) ∨ (b1 ∧ ¬b2 ∧ b3) ∨ (¬b1 ∧ b2 ∧ b3)

A nivel semántico:

I El nombre de cada estado son tres dígitos que informan sobre

las fórmulas atómicas verdaderas en él.

I Ejemplo: en el estado 010 sólo el niño 2 tiene barro en la cara.

I Para cada niño i ∈ {1, 2, 3} la relación Ri vincula estados

indistinguibles para i .

I Ejemplo: 010 R2 000 porque 2 ignora si b2.

2.4. Niños con barro en la cara: escenario 1

I El estado 110 es el real.

I Cada niño sabe que ϕ1, por tanto Eϕ1.

I Todavía no se ha anunciado ϕ1.

011 111

010

����110

����

001 101

000

����100

����

M, 110 � b1 ∧ b2 ∧ ¬b3M, 110 � ¬K1b1 ∧ ¬K2b2 ∧ ¬K3¬b3M, 110 � Eϕ1 ∧ ¬Cϕ1 ∧ ¬Cϕ2 ∧ ¬Cψ2

2.4. Niños con barro en la cara: escenario 2

I El padre acaba de anunciar ϕ1.

I Con ello se ha generado Cϕ1.

I Nadie sabe aún si tiene barro en la cara.

011 111

010

����110

����

001 101

100

����

M, 110 � b1 ∧ b2 ∧ ¬b3M, 110 � ¬K1b1 ∧ ¬K2b2 ∧ ¬K3¬b3M, 110 � Eϕ1 ∧ Cϕ1 ∧ ¬Cϕ2 ∧ ¬Cψ2

2.4. Niños con barro en la cara: escenario 3

I Se acaba de ordenar ω por primera vez.

I Nadie se ha movido.

I 1 y 2 saben que tienen barro en la cara, 3 no sabe si lo tiene.

011 111

110

����

101

M, 110 � b1 ∧ b2 ∧ ¬b3M, 110 � K1b1 ∧ K2b2 ∧ ¬K3¬b3M, 110 � Eϕ1 ∧ Cϕ1 ∧ Cϕ2 ∧ ¬Cψ2

2.4. Niños con barro en la cara: escenario 4

I Se acaba de ordenar ω por segunda vez.

I 1 y 2 han dado un paso al frente.

I 1 y 2 saben que tienen barro en la cara, 3 sabe que no lo tiene.

110

M, 110 � b1 ∧ b2 ∧ ¬b3M, 110 � K1b1 ∧ K2b2 ∧ K3¬b3M, 110 � Eϕ1 ∧ Cϕ1 ∧ Cϕ2 ∧ Cψ2