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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERA DE MINAS, GEOLOGA Y
CIVIL
ESCUELA DE FORMACIN PROFESIONAL DE INGENIERA CIVIL
DINMICA (ICC-244)
PRIMERA PRCTICA
CINEMTICA DE PARTCULA Y CINEMTICA DE CUERPO RGIDO
GRUPO 12
Ttulo: INGENIERA MECNICA: DINMICA
Autor: R.C. Hibbeler Edicin: 12th
Docente: Ing. Cristian Castro Prez. Alumnos:
Ircaaupa Huaman, Angel. Orellana Huamn, Miguel Angel. Sosa Lozano, Elvis Jhoel. Soto Medrano, Katherine Sheylla.
AYACUCHO - PERU
2013
Universidad Nacional de San Cristbal de Huamanga UNSCH 2013
Primera Prctica de Dinmica (ICC - 244) - Grupo 12/Hibbeler
PRIMERA PRCTICA DE DNAMICA:
CINEMTICA DE PARTCULA:
PROBLEMA 1 (12.78): Las clavijas A y B estn restringidas a moverse en las ranuras elpticas debido al movimiento del enlace ranurado. Si el pasador se mueve con una velocidad constante de 10 m/s, determinar la magnitud de la velocidad y la aceleracin de la clavija A cuando x = 1 m. Solucin: a) Hallamos la magnitud de la velocidad de la clavija A, para x = 1m.
Reemplazamos x=1 en la ecuacin de la trayectoria: 2
2
22
14
(1)1
4
3
2
xy
y
y m
Derivando la ecuacin de la trayectoria con respecto al tiempo tenemos:
1(2 ) 2 0
4
1( ) 2 0
2
xx yy
xx yy
Como ,x yx v y v entonces:
1( ) 2 0................(1)
2x yxv yv
Reemplazamos 10 / 1xv m s x m en la ecuacin (1).
1 3(1)(10) 2 0
2 2
2.887 / 2.887 /
y
y
v
v m s m s
Finalmente determinamos la magnitud de la velocidad de la clavija:
4/
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Primera Prctica de Dinmica (ICC - 244) - Grupo 12/Hibbeler
b) Hallamos la magnitud de la aceleracin de la clavija A, para x = 1m.
Obtenemos la segunda derivada de la ecuacin de la trayectoria:
2 2
1( ) 2( ) 0
2
1( ) 2( ) 0
2
xx xx yy yy
x xx y yy
Como ,x yx a y a entonces:
2 21 ( ) 2( ) 0.................(2)2
x x y yv xa v ya
Reemplazamos 3
0, 1; ; 10 2.8872
x x ya x y v v en la ecuacin (2).
2 2
2 2
1 3(10 0) 2 ( 2.887) 0
2 2
38.49 / 38.49 /
y
y
a
a m s m s
Finalmente determinamos la magnitud de la aceleracin de la clavija:
4
PROBLEMA 2 (12-80): La furgoneta se desplaza sobre la colina descrita por
3 2( 1.5(10 ) 15)y x ft . Si tiene una velocidad constante de 75 ft/s, determine las
componentes x e y de la velocidad y la aceleracin de la furgoneta cuando x = 50ft.
Solucin:
a) Hallamos las componentes x e y de la velocidad de la furgoneta para x=50ft.
Derivamos la ecuacin de la trayectoria con respecto al tiempo: 3 2
3
3
1.5(10 ) 15
3(10 )
3(10 )y x
y x
y xx
v xv
4 /
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Para x=50ft tenemos: 33(10 )(50) ..............(1)y xv v
La magnitud de la velocidad est dada por la siguiente ecuacin:
22..................(2)x yv v v
Reemplazamos la ecuacin (1) en (2) y v=75ft/s:
2 2
75 0.15
74.2 /
x x
x
v v
v ft s
Reemplazamos 74.2 /xv ft s en la ecuacin (1):
33(10 )(50)( 74.2)
11.1 /
y
y
v
v ft s
b) Hallamos las componentes x e y de la aceleracin de la furgoneta para x=50ft.
Obtenemos la segunda derivada de la ecuacin de la trayectoria:
3
3 2
3(10 )( )
3(10 )( )y x x
y xx xx
a v xa
Pero 50 74.17 /xx ft v ft s entonces
tendremos: 3 23(10 ) ( 74.17) 50
(16.504 0.15 )..................(3)
y x
y x
a a
a a
De la figura (a) hallamos el ngulo cuando x=50ft
1 1 3 1
5050
tan tan 3(10 ) tan ( 0.15) 8.531x ft
x ft
dyx
dx
Por lo tanto, a partir del diagrama mostrado en la figura (a).
cos(8.531 ) (8.531 ) 0................(4)x ya a sen
Resolviendo las ecuaciones (3) y (4) obtenemos:
/
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PROBLEMA 3 (12.83): El carro de la montaa rusa desciende por la trayectoria helicoidal a velocidad constante de modo que las ecuaciones paramtricas
que definen su posicin son csenktx , ktcy cos
, bthz , donde c, h, b son constantes. Determine las magnitudes de su velocidad y aceleracin. Solucin: El vector posicin est dado por el vector r, que tiene como componentes en los ejes x, y, z r=(x, y, z); Donde:
csenktx i ktcy cos j
bthz k Derivamos las siguientes funciones para encontrar la velocidad en cada eje.
ktickdt
dxvx cos
cksenktjdt
dyvy
bkdt
dzvz
Sabemos el mdulo de la velocidad total est dada por:
222
zyx vvvV
Reemplazando obtenemos la velocidad:
222 )()()cos( bcksenktktckV
Derivando nuevamente la velocidad en funcin del tiempo encontraremos la aceleracin:
senktickdt
dvxxa
2
ktjckdt
dvyya cos
2
0dt
dvzza
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Sabemos el mdulo de la velocidad total est dada por: 222
zyx aaaa Reemplazando obtenemos la aceleracin:
0)cos()( 2222 ktcksenktcka
PROBLEMA 4 (12.211): El movimiento del collar en A lo controla un motor en B, de modo que
cuando el collar est en piessA 3 sube a
spies /2 y su velocidad se reduce a 2/1 spies .
Determine la velocidad y aceleracin de un punto en el cable a medida que se jala hacia el motor B en este instante.
Solucin: Datos:
piessA 3 spiesvA /2
2/1 spiesaA
La longitud de la cuerda est dada por:
22 4 AB Ssl
Derivamos en funcin del tiempo:
ASs
B ss AA
)2()16(2
10 2/12 ; .ctel
Despejando obtenemos la velocidad de B en funcin de As
ASs
BV ss AAB
)()16( 2/12
Volvemos a derivar para obtener la aceleracin:
)]2()16)(2
1()16()[( 2
3
22/122
Ass
ASs
ABa ssss AAAAB
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Ordenando;
2
12
2
2
3
2 )16(
)(
)16(
2( )
s
sssss
A
AA
A
A
BA
s
Aa
Reemplazamos los datos obtenemos:
ASs
BV ss AAB
)()16( 2/12
La velocidad:
)2)(3()163( 2/12 BV
La aceleracin:
2
12
2
2
3
2 )16(
)(
)16(
2( )
s
sssss
A
AA
A
A
BA
s
Aa
2
1
2
2
2
3
2 )16)3((
)1(3)2(
)16)3((
2)2)(3(( )
Ba
2/11.1 sftaB
PROBLEMA 5 (12.214): Si el camin viaja a una velocidad constante de 6 /Tv ft s ,
Determinar la velocidad de la caja por algn ngulo de la cuerda. La cuerda tiene una
longitud de 100 ft y pasa por encima de una polea de tamao insignificante en A.
Consejo: Relacionar las coordenadas
Tx y Cx y la longitud de la cuerda
y tomar la derivada respecto al
tiempo. Luego sustituir la relacin
trigonomtrica entre Cx y .
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Solucin:
Datos:
sftvT /6
ftl 100
De la figura tenemos:
___
CAxl T
ctgxC 20
Por Pitgoras hallamos ____
CA
22____
2 20 CxCA
22____
20 CxCA
Reemplazamos el valor de ____
CA
2220 CT xxl .. (I)
Derivamos la ecuacin (I) en funcin del tiempo:
)20()()( 22
CT x
dt
d
dt
xd
dt
ld ; cteftl 100
Sabemos que:
sftT
v xT /6
CC xv
Reemplazando los datos tendremos en la ecuacin (II)
24004002
)20.2(1
ctg
ctgvCTv
21
).(6
ctg
ctgvC
; Adems:
2 21 cscctn
).().........2()20(2
10 2/122 IIxxx CCCTx
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Entonces:
2csc
).(6
ctgvC
6csc
ctgvC
Finalmente:
sftvC /cos6
CINMATICA DE CUERPO RGIDO:
PROBLEMA 6 (16.10): Durante una rfaga de viento,
las palas del molino de viento tienen una aceleracin
angular de 2(0.2 ) /rad s , donde est en
radianes. Si inicialmente las cuchillas tienen un angular
velocidad de 5 rad/s, determinar la velocidad del punto
P, que se encuentra en la punta de una de las cuchillas,
justo despus de que la cuchilla ha convertido dos
revoluciones.
Solucin: Datos:
2(0.2 ) /rad s srad /5
ftrP 5.2
?Pv Tenemos:
dd Resolvemos la siguiente ecuacin para obtener la velocidad angular despus de dos
revoluciones.
dd 2.0
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Integramos:
4
02.0d
srad /522.7
Finalmente hallamos la velocidad del punto P.
Sabemos que: PP rv
Reemplazamos los valores:
)5.2(522.7Pv
PROBLEMA 7 (16.38): El bloque se mueve hacia la izquierda con una velocidad
constante 0v . Determine la velocidad angular y la aceleracin angular de la barra como
una funcin de . Solucin: Las coordenadas de posicin, determinadas por su geometra, son:
cot [1]tan
ax a
Derivando la ecuacin 1 respecto al tiempo tenemos:
2csc [2]dx d
adt dt
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Dado que la velocidad 0v se dirige hacia el x positivo, entonces: 0dx
vdt
.
Adems: d
wdt
De la ecuacin 2 tenemos:
2
0
20 0
2
csc ( )
csc
v a w
v vw sen
a a
Como: dw
dt , de la expresin anterior tenemos:
0 (2 cos ) [3]v d
sena dt
Como: 2 cos 2sen sen , y 20vd
w sendt a
, al sustituir estos valores en la
ecuacin 3 tenemos:
2 2 20 0 02 ( ) ( ) 2v v v
sen sen sen sena a a
PROBLEMA 8 (16.41): La manivela AB gira con una velocidad angular constante de
5 /rad s . Determine la velocidad del bloque C y la velocidad angular de la barra BC en el
instante en que 30 .
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Solucin: Las coordenadas de posicin, determinadas por su
geometra, son:
0.6cos 0.3cos ........... 1
0.6 0.15 0.3 ........... 2
x
sen sen
Al igualar las ecuaciones 1 y 2 tenemos:
20.6cos 0.3 2 4 0.75 3x sen sen
Derivando la ecuacin 3 respecto al tiempo tenemos:
2
0.15(2cos 4 2 )[ 0.6 ] [4]
2 4 0.75
dx sen dsen
dt dtsen sen
Como: C
dxv
dt y AB
dw
dt
, entonces de la ecuacin 4 tenemos:
2
0.15(2cos 4 2 )[ 0.6 ] [5]
2 4 0.75C AB
senv sen w
sen sen
En el instante 30 y 5 /ABw rad s remplazando en 5 tenemos:
2
0.15(2cos30 4 60 )[ 0.6 30 ](5)= 3.00 m/s
2 30 4 30 0.75C
senv sen
sen sen
Tomando la derivada de la ecuacin 2, tenemos:
0.6cos 0.3cos [6]6
d d
dt dt
Y como: BC
dw
dt
y AB
dw
dt
, entonces en la ecuacin 6 tenemos:
2cos( ) [7]
cosBC ABw w
/
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En el instante 30 , y de la ecuacin 2: 30 , obtenemos en 7:
2cos30( )(5) = 10.0 rad/s
cos30BCw
Nota: El signo negativo indica que Cv se dirige en la direccin opuesta del eje x positivo.
PROBLEMA 9 (16.43): El extremo A de la barra se mueve a la izquierda a una velocidad
constante Av . Determine la velocidad angular y la aceleracin angular en funcin de su
posicin x
Solucin:
Relacionamos geomtricamente x en funcin de xsenr
Despejando x: sen
rx .[1]
Derivamos la ecuacion 1 respecto del tiempo, tenemos:
dtrsen
dr
dt
dx
2
cos [2]
Sabemos que: Avdt
dx , tambien
dt
d
De la geometria tenemos:
x
rsen ;
x
x r22
cos
Sustituyendo los valores en la ecuacion [2]:
))/(
/((
2
22
xr
xrxrv
dt
dxA
/
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Ordenando, fialmente obtenemos la velocidad angular:
*Para obtener la aceleracion angular derivamos una vez ms la ecuacion [2]
22
2
sen
r
dt
xd
]cos))(cos1
[(2
22
2
2
2
dt
d
dt
d
sendt
xda
.[3]
Se sabe que 02
2
dt
xda ; porque tiene una velocidad constante
Tambin
2
2
dt
d; sustituimos estos valores en la ecuacion [3].
]cos)cos1
[(0 22
2
sensen
r
22
)cos
cos1(
sen
[4]
Finalmente sustituyendo ls valores, x
rsen ,
x
x r22
cos
y Avrxx
r)(
22 , en
la ecuacion [4].
PROBLEMA 10 (16.48): El hombre tira de la cuerda a una velocidad constante de 0.5m/s. Determine la velocidad angular y aceleracin angular de la viga AB cuando =60. El haz rota alrededor de A. Despreciar el espesor de la viga y el tamao de la polea.
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Solucin: Las coordenadas de posicin: Aplicando la ley de cosenos:
cos)6)(6(266 222 s
22 )cos7272( ms
Tomando la derivada respecto al tiempo:
Aqu,
acta en sentido negativo de s. Cuando =60,
, as de la ecuacin (1) tenemos:
El signo negativo indica que acta en el sentido de giro contrario a s. De la derivada respecto al tiempo de la ecuacin (1) tenemos:
( )
Si es constante, . Cuando =60.
PROBLEMA 11 (16.138): El brazo de la gra gira con velocidad angular y acelaracin angular como se muestra en la figura. En ese mismo instante, el brazo se extiende con una velocidad constante de 0.5 ft/s, medido en relacin con el brazo. Determine la magnitud de la velocidad y la aceleracin en el punto B en ese instante.
/
/
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Solucin:
*El sistema de referencia rotacional xyz est unido a AB, y coincide con el sistema de referencia fijo XY en el instante considerado, figura (a).
Por lo tanto, el movimiento del sistema XY con respecto al sistema xyz es:
/ /
Para el movimiento del punto B respecto al sistema xyz, tenemos:
/
/
Determinaremos la velocidad, aplicando la ecuacin de velocidad relativa:
/
/ La magnitud de vB, figura (b) es:
/
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Determinaremos la aceleracin aplicando la ecuacin de la aceleracin relativa:
/ ( / )
( ) 4
4 /
La magnitud de aB, figura (c) es:
4 PROBLEMA 12 (16.143): En un instante dado, la barra AB tiene los movimientos angulares que se muestran. Determine la velocidad y aceleracion angulares de la barra CD en este instante.Hay un collarin en C. Solucin: Datos:
skradAB /5 2/12 skradAB
iftr AC 2/
ivV ACAC )( //
iaa ACAC )( //
Sabemos que la velocidad y aceleracion en A es cero, es decir:
0Av
0Aa
4/
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Tenemos que:
ACACAc vxrvv // ivixkv ACc /)2()5(0
jivv ACc 10/ .[1]
Pero tambien:
CDCDc xrv ..[2]
Igulanos as ecuaciones [1] y [2]
)()(10/ CDCDAC rxkjiv
jsenir ooCD 60260cos2
jsenixkjiv ooCDAC 60260cos2)(10/ jijiv CDCDAC 732.110/ ..[3]
Comparando la ecuacion [3] Tenemos que ;
Por otro lado:
sftv AC /32.17)10(732.1/
Calculamos la aceleracin angular:
ACACACACAC avxxrxrxaa //// )(2
iaivxkixkxkixka ACACC )(])[()5(2]2)5[()5()2()12(0 // jviaa ACACC ]24)(10[]50)[( // .[4]
Pero sabemos tambin:
CDCDDCCDC xrxra2
/
.[5] Igualamos las ecuaciones [4] y [5]
CDCDDCCDACAC xrxrjvia2
/// ]24)(10[]50)[(
Remplazamos los valores:
)60260cos2()10()60260cos2()(]24)32.17(10[]50)[( 2/ jsenixjsenixkjiaoooo
CDAC
Agrupando las ecuaciones
jijia CDCDAC )32.17()100732.1(]24)32.17(10[]50)[( /
..[6]
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Finalmente por comparacin obtenemos la aceleracin angular.
)32.17(]2432.1710[ CD *Por otro lado:
iia CDAC )100732.1(]50)[( /
ia AC )10024732.1(]50)[( / 2
/ /43.8 sfta AC