Post on 14-Sep-2015
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UNSa
Ing. Silvana Castillo
UNSa. Facultad de Ingeniera
ALGA(21-09-12)Segundo Cuatrimestre-Comisin 4MATRICES-SISTEMAS DE ECUACIONES-DETERMINANTEEjercicio N 1: Escribe la matriz Aij siendo:
a) Aij=2i-j
La matriz A es de 4x5:
a11=2-1=1 a21=4-1=3 a31=6-1=5 a41=8-1=7
a12=2-2=0 a22=4-2=2 a32=6-2=4 a42=8-2=6
a13=2-3=-1 a23=4-3=-1 a33=6-3=3 a43=8-3=5
a14=2-4=-2 a24=4-4=0 a34=6-4=2 a44=8-4=4
a15=2-5=-3 a25=4-5=-1 a35=6-5=1 a45=8-5=3
b) Aij=(1+2i)j-1
La matriz A es de 4x3:
a11=30=1 a21=50=1 a31= 70=1 a41=90=1
a12=31=3 a22=51=5 a32= 71 =7 a42=91=9
a13=32=9 a23=52=25 a33=72=49 a43=92=81
Ejercicio N 2: Dadas las siguientes matrices:
Calcula si fuera posible:
a) 3B-CT
3B-CT=-=
b) AB-2B
AB-2B=-=
c) CBCB=
EMBED Equation.3 =
d)-2A-BC
-2A-BC=-
EMBED Equation.3 =-=
e) Tr(A)
f) A2
g) CTBTCTBT =
=
h) Es cierto que (BC)T=CTBT?
BC=
EMBED Equation.3 =
EMBED Equation.3 ( (BC)T=
(BC)T= CTBTEjercicio N 3: Justifica porque A.B=A.C no implica necesariamente que B=CEsta afirmacin es falsa ya que es la ley cancelativa de nmeros aplicada a matrices. Esta proposicin no se cumple en todos los casos solo para matrices comutables o permutables. Doy un contraejemplo:Sean:
AB=AC pero B(C; no se cumple la ley cancelativa
Ejercicio N 4: Una matriz cuadrada A es IDEMPOTENTE si, y solo si A2=A. Verifique que la matriz que se da es idempotente y calcule rpidamente A2.346.009
EMBED Equation.3
A2346009=A2(1173004)A1=A.A=A2=AEjercicio N 5: Verifique que (AB)C=A(BC) tomando las matrices siguientes:
BC=
=(AB)C
Luego: (AB)C=A(BC)Ejercicio N 6:Diremos que una matriz P es nilpotente si, y solo si Pn=0.Determine el ndice de nilpotencia de la siguiente matriz, y calcule muy rpidamente P2.346.009
Luego P3=0, donde n=3 es el grado de nilpotencia
Entonces P2.346.009= P3(782003)=0Ejercicio N 7: Si AB=BA diremos que A y B conmutan(o que son conmutables).Ahora Ser cierto en matrices que: A2-B2=(A+B)(A-B)?Y si no se cumple?Partiendo de:
A2-B2=(A+B)(A-B)=A.A-A.B+B.A-BB=A2-AB+BA-B2 Se cumple la igualdad si y solo si AB=BA o sea si A y B son conmutables. En caso contrario no se cumple.
Ejercicio N 8: Dadas las matrices A y B, calcula:
a) A3-7A2+11
A3-7A2+11A =- 7+11
A3-7A2+11A =++A3-7A2+11A ==5IAplicando la definicin de Inversa: AA-1=I
A3-7A2+11A=5I
A (A2-7A+11I)=5I(
A-1==
==
b) (B+3I)2.(B-6I)=(B2+6B+9I)(B-6I)=B3-6B2+6B2-36B+9B-54I= B3-27B-54I
Luego: B3-27B-54I=0( B3-27B=54I Aplicando la definicin de matriz inversa:
Verificacin:
Ejercicio N9: D respuestas razonadas, claras y concisas a las preguntas siguientes:a) Un sistema de dos ecuaciones lineales con tres incgnitas Puede ser incompatible?Por ejemplo:
b) Un sistema de dos ecuaciones con tres incgnitas Puede ser compatible determinado?Puede ser compatible indeterminado? Si alguna de las respuestas es negativa, razonarlo; si es afirmativa mostrar un ejemplo.
Un sistema de ecuaciones con tres incgnitas no puede ser determinado pues necesitaramos tres ecuaciones con tres incgnitas Puede ser compatible indeterminado por ejemplo:
c) Un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incgnitas Puede ser compatible y determinado? En caso afirmativo dar un ejemplo.
Un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incgnitas puede ser compatible, por ejemplo:
Cs= {(5/2,-1/2)}Ejercicio N10 : Dado el sistema:
a) Aada una ecuacin de modo que el sistema resultante sea incompatible(Resolver y verificar!!!!)
b) Aada una ecuacin de modo que el sistema resultante sea indeterminado(Resolver y verificar!!!!)
c) Aada una ecuacin de modo que el sistema resultante sea determinado(Resolver y verificar!!!!)
Ejercicio N 11: Aplicando Algoritmo de Gauss, resuelve los sistemas siguientes:
a)
Cs={(4,-1,-1) El sistema es compatible determinadob)
Cs={(0,0,0) Es la solucin trivialc)
d)
Cs=(Ejercicio N 12: Determina los valores (reales) de la constante k para que el sistema dado tenga: a)Solucin nica(darla) b)Infinitas soluciones(hallar la solucin general)c)Ninguna Solucin
1)
a) Solucin nica(k(R; k2( k-5 z (k-2)(k+5)=4(k-2)(
-2y-(3+k)z=-4(
x+2y+zk=1(
b) Infinitas soluciones: k=2
Elijo z variable libre:Cs= {(-7z-3,5/2z+2, z)}
c) Ninguna Solucin: k= -5
2)
a) Solucin nica
(k(R; k17 z (k-17)=9-5k(
7y+(2-3k)z=k-6(
x+2y+z k=1(
b) Infinitas soluciones: ( k que cumpla esta condicinc) Ninguna Solucin: k= 173)
a) Solucin nica
(k(R; k1( k--2
z (1-k)2(k+2) =(1-k)2(
(1-k2)y+(1-k)z=(1-k)(
x+ky+z=1(
b) Infinitas soluciones: k=1
3variables-1ecuacin=2variables libres
Elijo z e y variables libres:
Cs= {(1-y-z ,y, z)}
c) Ninguna Solucin: k=-2 Cs=
Ejercicio N 13: Slo usando propiedades de determinantes y la definicin de matriz singular, concluir que la matriz A dada es singular:
A es singular si y solo si
Ejercicio N14: Enuncie aquellas propiedades de determinante que justifican las igualdades siguientes:a) =
b)
c)
Ejercicio N15: Usando propiedades del determinante, determina todas las races factorizando alguna lnea del primer miembro. Verifica los resultados obtenidos mediante la Regla de Sarrus.a)
Las races son: x1,2=-2(doble) y x3=4Verificacin por Regla de Sarrus:
Para x=-2
Para x=4
b)
Las races son: x1,2=1(doble) y x3=5
Verificacin por Regla de Sarrus:
Para x=1
Para x=5
c)
Las races son: x1=1(doble) y x2,3=2(doble)Verificacin por Regla de Sarrus:
Para x=1
Para x=2
Ejercicio N16: Dada la matriz M calcula su determinante mediante:
a) Desarrollo por la primera fila
b) Desarrollo por la segunda columna
c) Aplicando Regla de Sarrus
d) Aplicando el Algoritmo de Gauss:
Ejercicio N17: Dadas las matrices B y C, calcule sus determinantes usando: a)Propiedad de hacer cerosb)Algoritmo de Gauss
1)
a) Propiedad de hacer ceros
b) Algoritmo de Gauss
2)
a) Propiedad de hacer ceros
b) Algoritmo de Gauss
=28
Ejercicio N18: Dada la matriz que se indica:a) Calcula la matriz de Cofactores de A
(Matriz Cofactor de A)
b) Calcula la matriz adjunta de A.
c) Si existe, calcula la matriz Inversa de A
Determinamos el Determinante de A (Por Sarrus):
(( A-1
d) Si X y B designan vectores columnas genricos, despeje en forma terica la incgnita x de la ecuacin matricial
AX=B
AX=B multiplicando en ambos miembros por A-1A-1AX=A-1B por definicin de matriz inversa A-1 A= A. A-1=IX= A-1Be) Escalone la matriz (A(I), obtenida ampliando A con la matriz unidad I, mediante Algoritmo de Gauss y tambin operaciones elementales sobre las filas hasta llevarla a la forma escalonada Reducida (I(C) y compruebe que C=A-1(Este es el que llamaremos Mtodo de Gauss para hallar la matriz inversa En que momento puede asegurarse que la matriz es inversible o no?).Aplicando el Mtodo de Gauss-Jordan:
Aplicando El Algoritmo de Gauss:
Ejercicio N19: Resuelva los sistemas dados por Regla de Cramer y usando matriz inversa:a)
1) Por la Regla de Cramer
Determinante del Sistema
Determinantes sustitutos
Cs={(1,2,3)}2) Por el Mtodo de la Matriz Inversa
X=A-1.BDeterminamos la inversa de A con el mtodo de Gauss Jordan:
Cs={(1,2,3)}b)
1)Por la Regla de Cramer
Determinante del Sistema
Determinantes sustitutos
Cs={(1,-1,1,-1)}3) Por el Mtodo de la Matriz Inversa
X=A-1.B
Determinamos la inversa de A con el mtodo de Gauss Jordan:
Cs = {(1,-1, 1,-1) }Ing Silvana Castillo EMBED Equation.3
A (BC)
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
AB
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
P. P. P
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
A. A
A3
A2
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
A-1
EMBED Equation.3
A. A-1
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
B. B
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
B3
B2
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
B-1
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
B. B-1
EMBED Equation.3
( -18z=18(
z=-1
( 3y=-3(
y=-1
( x+y-z=4(
x=-y+z+4(
x=4
x=0
x=-2y-3z (
( x+2y+3z=0(
y=0
z=0
( -3y-3z=0(
( 12z=0(
EMBED Equation.3
( x+2y+2z=1( x=-2(5/2z+2)-2z+1=-5z-4-2z+1=-7z-3
( -2y-5z=-4( y=5/2z+2
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
( -4z =0( z=0
( -30z=0 ( Cs={(1/3,-2/3,0)}
( 64z=3( z=3/64
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
( x+y+z=1( x=1-y-z
EMBED Equation.3
(-1)
+
EMBED Equation.3
(-1)
+
EMBED Equation.3
(-1)
(-1)
(-1)
+
EMBED Equation.3
(x2)
(x-2)
EMBED Equation.3
(x2)
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
( 0(-2 ( Cs=(
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
X=A-1B
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
X=A-1B
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
( -3y-4z=-2 entonces y=-2/3
( x-y+z=1 entonces x=1/3
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