Post on 08-Jan-2017
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
TEORÍA DE INTERPOLACIÓN
Efrain Cortez.
C.I: 21.505.204
Mayormente en una función sólo conocemos un conjunto de
valores. Si queremos calcular el valor de la función para una abscisa
diferente de las conocidas, debemos utilizar otra función que la
aproxime y, naturalmente, el valor que obtengamos será una
aproximación del valor real o como también puede suceder que
sepamos la expresión analítica de la función, pero sea lo
suficientemente complicada como para calcular aproximaciones a los
valores de la función a partir de otros ya conocidos.
Existen varias formas de hacer esto, pero la más sencilla y una de
las más utilizadas es la interpolación, que consiste en construir una
función que pase por los valores conocidos (llamados polos) y utilizar
ésta como aproximación de la función primitiva. Si se utilizan
polinomios como funciones de aproximación, hablamos de
interpolación polinómica. Si la abscisa para la que queremos encontrar
un valor aproximado de la función se encuentra fuera del mayor
intervalo definido por las abscisas de los polos, se dice que estamos
haciendo extrapolación. Siempre que se utiliza un valor aproximado se
está cometiendo un error. El estudio del error queda fuera de los
límites del curso al que está dirigida esta unidad didáctica.
Ya antes mencionado, podemos recordar que la Teoría de
Interpolación consiste en construir una función que pase por los
valores conocidos (llamados polos) y utilizar ésta como aproximación
de la función primitiva
Tabla De Diferencias
Dados los valores de una función desconocida correspondiente a
dichos valores de X, ¿Cuál será exactamente el comportamiento de la
función?; el propósito es determinar dicho comportamiento, con las
muestras de los pares de datos (X, F(X)); se encontrará un polinomio
que satisfaga un conjunto de puntos seleccionados (Xi, F (Xi)) donde
los valores que aporten el polinomio y la función se comportan casi de
la misma manera, en el intervalo en cuestión.
Si deseamos conseguir un polinomio que pase a través de los
mismos puntos que la función desconocida se puede implantar un
sistema de ecuaciones, pero este desarrollo es un poco complicado;
resulta adecuado organizar los datos en una tabla con los valores de X
en forma ascendente. Por ello, las columnas para X y para F(x) se
tabulan las diferencias de los valores funcionales. Cada una de las
columnas de la derecha de F(x), se determina calculando las diferencias
entre los valores de la columna a su izquierda.
La siguiente tabla es una tabla típica de diferencias,
Ejemplo:
Polinomios Interpolantes de Newton-
Gregory y Gauss Polinomio.
Interpolante de Newton-Gregory.
Cuando la función ha sido tabulada, se comporta como un
polinomio, se le puede aproximar al polinomio que se le parece. Una
forma sencilla de escribir un polinomio que pasa por un conjunto de
puntos equiespaciados, es la fórmula del Polinomio Interpolante de
Newton-Gregory (en avance y retroceso).
Fórmula de Avance
Fórmula de Retroceso
Éstas fórmulas usan la notación, que es el número de
combinaciones de “s” cosas tomadas de “n” a la vez, lo que lleva a
razones factoriales. Donde “s” viene dada por: X es el valor a interpolar
el polinomio obtenido; Xo viene a ser el punto de partida para
seleccionar los valores, que serán seleccionados de la tabla de
diferencias, formando una fila diagonal hacia abajo en el caso de la
fórmula de avance; en caso de la fórmula de retroceso los valores
forman una fila diagonal hacia arriba y a la derecha. Y ha viene a ser la
longitud o distancia entre los valores de Xi.
Polinomio Interpolante de Gauss
Existe una gran variedad de fórmulas de interpolación además del
Método de Newton-Gregory, que difieren de la forma de las
trayectorias tomadas en la tabla de diferencias; Por ejemplo la fórmula
del Polinomio Interpolante de Gauss (en avance y retroceso), donde la
trayectoria es en forma de Zigzag, es decir los valores desde el punto
de partida Xo serán seleccionados en forma de Zigzag.
En el caso de la fórmula de avance los valores son tomados en
forma de zigzag, iniciando primero hacia abajo, luego hacia arriba,
luego hacia abajo, y así sucesivamente. En fórmula de avance los
valores son tomados en forma de zigzag, iniciando primero hacia
arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba, y así sucesivamente.
Interpolación De Hermite
Aquí buscamos un polinomio por pedazos Hn(x) que sea cúbico
en cada subintervalo, y que interpole a f(x) y f'(x) en los puntos. La
función Hn(x) queda determinada en forma única por estas condiciones
y su cálculo requiere de la solución de n sistemas lineales de tamaño
4x4 cada uno. La desventaja de la interpolación de Hermite es que
requiere de la disponibilidad de los lo cual no es el caso en muchas en
muchas aplicaciones.
Interpolación Usando Splines
Los dos tipos de polinomios por pedazos que hemos discutidos
hasta ahora tienen la desventaja de que su segunda derivada no es
continua en los puntos de interpolación. Se ha observado que en
aplicaciones gráficas, el ojo humano es capaz de detectar
discontinuidades en las segundas derivadas de una función, haciendo
que los gráficos con este tipo de funciones no luzcan uniformes. Esto
motiva el uso de los splines que son funciones s(x) continúas por
pedazos con las siguientes propiedades:
1. s(x) es polinomio cúbico en.
2. existen y son continuas en.
3. s(x) interpola a la función f en los datos.
4. s(x) es continua en el intervalo.
Si escribimos, entonces tenemos un total de 4n desconocidas. Las
condiciones 2) y 4) nos dan 3(n-1) ecuaciones mientras que de 3)
obtenemos n+1 para un total de 4n-3(n-1)-(n+1)=2 grados de libertad.
Estos grados de libertad se fijan imponiendo condiciones de frontera
adicionales en s(x).
Polinomio Interpolante De LaGrange.
Para construir un polinomio de grado menor o igual que n que
pase por los n+1 puntos:, donde se supone que si i ¹ j. Este Polinomio
Pn es la fórmula del Polinomio Interpolante de LaGrange.
Esta fórmula si puede aplicarse independientemente del
espaciamiento de la tabla, pero tiene el inconveniente de que no se
conoce el grado del polinomio. Como no se conoce, se tiene que
determinar iterativamente. Se propone un grado, se realiza la
interpolación, se propone el siguiente grado, se vuelve a interpolar y se
compara con algún criterio de convergencia, si se cumple terminamos
si no, se repite el procedimiento.
Para entender las diferentes formas de interpolación
Diferencias Divididas Y La fórmula General
De Newton
La diferencia dividida de Newton para la Interpolación de
Polinomios está entre los modelos más populares y útiles. Para un
polinomio de grado n se requiere de n + 1
puntos: ..., se usan estos datos para
determinar los coeficientes para las diferencias divididas.
Partiendo de una tabla de diferencias divididas que viene dada por:
Para aplicar el Polinomio de Interpolación por diferencias divididas
de Newton, no es necesario que los datos tabulados sean
necesariamente equiespaciados o que los valores deban estar
ordenados en forma ascendente. El valor que aporta el polinomio de
Newton está sujeto a un error.
Aplicación De Los Métodos Numéricos De
Interpolación En La Resolución De
Problemas.
Para datos tabulados en forma equiespaciada o no
esquiespaciada, a través de una serie de técnicas que antes de la
llegada de las computadoras tenían gran utilidad para la interpolación,
sin embargo, con fórmulas como las de Newton Gregory, Gauss,
LaGrange, Hermite, Newton, etc., son compatibles con computadoras y
debido a las muchas funciones tabulares disponibles, como subrutinas
de librerías; dichas fórmulas tienen relevancia en la solución de
ecuaciones diferenciales ordinarias.
Matemáticamente, estas ecuaciones corresponden a casos
particulares del problema de Sturm-Liouville, vale decir, ecuaciones de
auto valores para un operador diferencial auto adjunto. No entraremos
en los detalles de esta discusión. Sólo diremos que los polinomios de
Hermite son un caso particular de soluciones a un problema de Sturm-
Liouville. Dichas soluciones forman un conjunto completo y ortogonal,
con cierta función de peso. En el caso de familias de polinomios
ortogonales, existen relaciones de recurrencia que vinculan cada
polinomio con los de grados inmediatamente anterior y posterior, y
típicamente poseen una función generatriz, así_ como operadores de
subida y de bajada. En los capítulos siguientes encontraremos nuevas
familias de polinomios ortogonales. Todos ellos provienen de sendos
problemas de Sturm-Liouville, y por tanto no será extraño encontrar las
mismas características que hemos identificado en los polinomios de
Hermite.