Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogeneas

JuanManuelRodríguezPrieto

a d2ydx2

+ b dydx

+ cy = F(x)

Yasabemos Vamosaaprenderlohoy

Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogéneas

Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogéneas Ejemplo 1

d 2ydx2

+ 5 dydx

+ 6y = 1

d 2ydx2

+ 5 dydx

+ 6y = 0

Consideremoslaecuaciónhomogénea

Elpolinomiocaracterís@codelaecuaciónhomogéneaes:

r2 + 5r + 6 = 0

Lasolucióndelpolinomiocaracterís@coes

r1,2 =−5 ± 52 − 4 *6

2= −3,−2

Lasolucióndelaecuaciónhomogéneapuedeserescritacomo

yh (x) = C1e−3x +C2e

−2x

Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogéneas Ejemplo 1

d 2ydx2

+ 5 dydx

+ 6y = 1

Dedondeobtenemosque

yp (x) = A

dyp (x)dx

= 0 d 2yp (x)dx2

= 0

Siguiendolatabladeladiaposi@va2,proponemosunasoluciónpar@culardelaforma

6A = 1A = 1

6Finalmentelasolucióndelaecuacióndiferencialnohomogéneasepuedeexpresarcomo:

yh (x) = C1e−3x +C2e

−2x + 16

Elvalordelasconstantessedeterminaapar@rdelascondicionesiniciales

Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogéneas Ejemplo 1

d 2ydx2

+ 5 dydx

+ 6y = 1

Engeogebra

Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogéneas Ejemplo 2

d 2ydx2

+ 5 dydx

+ 6y = 3x + 4

Lasoluciónhomogéneaes:

yh (x) = C1e−3x +C2e

−2x

Lasoluciónpar@cularesdelaforma:

yp (x) = Ax + Bdyp (x)dx

= A d 2yp (x)dx2

= 0

Remplazandoenlaecuacióndiferencialinicialtenemos:

5A + 6(Ax + B) = 3x + 46Ax + 5A + 6B = 3x + 46A = 3

A = 12

5A + 6B = 414= B

Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogéneas Ejemplo 2

d 2ydx2

+ 5 dydx

+ 6y = 3x + 4

Lasoluciónhomogéneaes:

yh (x) = C1e−3x +C2e

−2x

Lasoluciónpar@culares:

yp (x) =12x + 1

4

yh (x) = C1e−3x +C2e

−2x + 12x + 1

4

Finalmentelasolucióndelaecuacióndiferencialestadadapor:

Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogéneas Ejemplo 2

d 2ydx2

+ 5 dydx

+ 6y = 3x + 4

Engeogebra

Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogéneas Ejemplo 3

d 2ydx2

+ 5 dydx

+ 6y = 2sen(5x)

yp (x) = Asin(5x)+ Bcos(5x)

Proponemosunasoluciónpar@culardelaforma

dyp (x)dx

= 5Acos(5x)− 5Bsin(5x)

d 2yp (x)dx2

= −25Asin(5x)− 25Bcos(5x)−19A − 25B = 225A −19B = 0

−25Asin(5x)− 25Bcos(5x)+25Acos(5x)− 25Bsin(5x)+6Asin(5x)+ 6Bcos(5x)= 2sen(5x)

−25A − 25B + 6A = 225A − 25B + 6B = 0

Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogéneas Ejemplo 3

d 2ydx2

+ 5 dydx

+ 6y = 2sen(5x)

yp (x) = − 25493

sin(5x)− 19493

cos(5x)

Proponemosunasoluciónpar@culardelaforma

y(x) = yh (x)+ yp (x) = C1e−3x +C2e

−2x − 25493

sin(5x)− 19493

cos(5x)

Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogéneas Ejemplo 3

d 2ydx2

+ 5 dydx

+ 6y = 2sen(5x)

Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogéneas Ejemplo 4

d 2xdt 2

+ 5 dxdt

+ 4x = 20cos(2t)+10sin(2t)

x(0) = 0.5x '(0) = −4

Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogéneas Ejemplo 4

d 2xdt 2

+ 5 dxdt

+ 4x = 20cos(2t)+10sin(2t)x(0) = 0.5x '(0) = −4

Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogéneas Ejemplo 4

d 2xdt 2

+ 5 dxdt

+ 4x = 20cos(2t)+10sin(2t)x(0) = 0.5x '(0) = −4

Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogéneas Ejemplo 4 d 2xdt 2

+ 5 dxdt

+ 4x = 20cos(2t)+10sin(2t)x(0) = 0.5x '(0) = −4

Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogéneas Ejemplo 5

LinductanciaRresistenciaCcapacitanciaEfuentedevoltaje

Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogéneas Ejemplo 5

LinductanciaRresistenciaCcapacitanciaEfuentedevoltaje

0.5 d2qdt 2

+ 6 dqdt

+ 10.02

q = 48sin(10t)

Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no homogéneas Ejemplo 5

0.5 d2qdt 2

+ 6 dqdt

+ 10.02

q = 48sin(10t)