Bibiana Hdez. Hdez.

Teresa Esteban

de la Cruz

Eduardo Pozo

Montuy

• En las empresas tenemos muchas situaciones donde se espera que ocurra o no un evento específico. Éste puede ser de éxito o fracaso sin dar paso a un punto medio. Por ejemplo, en la producción de un artículo, éste puede salir bueno o malo. Casi bueno no es un resultado de interés. Para situaciones como éstas se utiliza la distribución binomial.

INTRODUCCIÓN

El cálculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo con el trabajo del matemático suizo Jacob Bernoulli (1654-1705).

Bernoulli definió el proceso conocido por su nombre el cual establece las bases para el desarrollo y utilización de la distribución binomial.

ANTECEDENTES

La distribución binomial se utiliza en situaciones cuya solución tiene dos posibles resultados.

Por ejemplo: 

Al nacer un/a bebé puede ser varón o hembra.

En el deporte un equipo puede ganar o perder.

En pruebas de cierto o falso sólo hay dos alternativas.

UTILIDAD

También se utiliza cuando el resultado se puede reducir a dos opciones.

Por ejemplo:

Un tratamiento médico puede ser efectivo o inefectivo.

La meta de producción o ventas del mes se pueden o no lograr.

En pruebas de selección múltiple, aunque hay cuatro o cinco alternativas, se pueden clasificar como correcta o incorrecta.

Estos ejemplos los podemos considerar como

“Experimentos de Bernoulli”

1 - En cada prueba del experimento sólo hay dos posibles resultados: éxitos o fracasos.

2 - El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos en pruebas anteriores.

3 - La probabilidad de un suceso es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad del complemento es 1- p  y la representamos por q .

PROPIEDADES DE UN EXPERIMENTODE BERNOULLI

Si repetimos el experimento n veces podemos obtener resultados para la

construcción de la distribución binomial.

• La distribución de probabilidad binomial es un ejemplo de distribución de probabilidad discreta.

• Está formada por una serie de experimentos de Bernoulli. Los resultados de cada experimento son mutuamente excluyentes.

Para construirla necesitamos:

• 1 - La cantidad de pruebas n.

• 2 - La probabilidad de éxitos p.

• 3 - Utilizar la función matemática.

• A continuación vemos la función de probabilidad de la distribución Binomial, también denominada “Función de la distribución de Bernoulli”:

• k - es el número de aciertos. • n - es el número de experimentos. • p - es la probabilidad de éxito, como por ejemplo, que

salga "cara" al lanzar la moneda.• 1-p - también se le denomina como “q ”.

LA FUNCIÓN P(X=K)

• ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces?

• El número de aciertos k es 6. Esto es x=6

• El número de experimentos n son 10

• La probabilidad de éxito p, es decir, que salga "cara" al lanzar la moneda es 50% ó 0.50

• La fórmula quedaría:

• P (k = 6) = 0.205

• Es decir, que la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar 10 veces una moneda es de 20.5%.

EJEMPLO A

• ¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro veces el número 3 al lanzar un dado ocho veces?

• El número de aciertos k es 4. Esto es x=4

• El número de experimentos n son 8

• La probabilidad de éxito p (probabilidad de que salga un 3 al tirar el dado) es 1 / 6 (= 0.1666)

• La fórmula queda:

• P (k = 4) = 0.026

• Es decir, que la probabilidad de obtener cuatro veces el números 3 al tirar un dado 8 veces es de 2.6%.

EJEMPLO B

Utilizando la tabla de probabilidad binomial se pueden resolver los ejemplos anteriores.

Para esto debe saber los valores k y B (n,p) . • k es el número de éxitos que buscamos. Este

valor se encuentra entre 0 y n.• En el parámetro B(n,p), n debe ser mayor de 0 y

p un valor desde 0 al 1.

TABLA DE PROBABILIDAD BINOMIAL

En los ejemplos 1 y 2 los parámetros B(n,p) son B (10,0.50) y B (8,0.1666) respectivamente.

• En una fábrica de cámaras el 5% sale con defectos. Determine la probabilidad de que en una muestra de 12 se encuentren 2 cámaras defectuosas.

• Solución:

• Se trata de una distribución binomial de parámetros B (12, 0.05). Debemos calcular la probabilidad de que x sea igual a k que en este caso es 2. Esto es P (k=2).

• Busque en la parte izquierda de la tabla n=12, luego en la parte superior p=0.05 . La probabilidad estará en x=2 .

• El resultado es 0.0988.

EJEMPLO A

LA DESVIACIÓN MEDIA µ Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR σ

1 7

C a r a c t e r í s t i c a s d e l a d i s t r i b u c ió n b in o m ia l

n = 5 p = 0 . 1

n = 5 p = 0 . 5

M e d i a

= E ( X ) = n p

= 5 · 0 . 1 = 0 . 5

= 5 · 0 . 5 = 0 . 2 5

D e s v i a c i ó n e s t á n d a r

0. 2. 4. 6

0 1 2 3 4 5

X

P ( X )

. 2

. 4

. 6

0 1 2 3 4 5

X

P ( X )

0

1.1)5.01(5.05

67.0)1.01(1.05

)1(

pnp