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7/17/2019 Dinamica Final
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FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
INFORME ACADÉMICO
“VIBRACIÓN EN SISTEMAS CONTINUOS”
AUTORES:
Héctor Manue A!a"#$uén Poo
Ga%r#e A%ra&'n Ra!(re) Pe)o *u+#t& Paoa ,artra Meén+e)
V(ctor Manue Enr(-ue) S'nc&e)
A"e"or:
In./ Geo0re1 2/ Saa" De.a+o
TRARAPOTO 3 PER4
56789
INTRODUCCIÓN
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Lo" "#"te!a" !ater#ae" e"t'n co!;ue"to" ;or un n<!ero tan
.ran+e +e ;art(cua" -ue =#%ran +e $or!a aco;a+a> -ue re"utar(a
a%"ur+o #ntentar +eter!#nar e co!;orta!#ento +e una "oa +e a"
;art(cua" +e "#"te!a? a n#=e !#cro"c@;#co e" =#"#%e a
#rre.uar#+a+ +e a e"tructura +e o" !ater#ae"? #rre.uar#+a+ -ue
+e"a;arece !uc&a" =ece" a n#=ee" !acro"c@;#co" +on+e e
;ro!e+#o +e "#"te!a +e ;art(cua ;re+o!#na "o%re o" ca"o"
#n+#=#+uae"/
La" =#%rac#one" en "#"te!a" cont#nuo" e"t'n re.#+a" ;or a
ecuación de la Onda? #n#c#are!o" !ue"tro e"tu+#o +e te!a>
+e"cartan+o un ;oco e or#.en 1 eten"#@n +e o -ue re;re"enta 1
a%arca e"ta ecuac#@n +#$erenc#a ;arc#a? "oo no" #!#tare!o" en
e"te te!a a e"tu+#ar o" ca"o" !'" "#!;e" +e a" on+a"
e"tac#onar#a" 1 co!o +a+a c#erta" con+#c#one" o" "#"te!a"!ater#ae" 5"@#+o" o Bu#+o"/
Lo" !o+eo" cont#nuo" "e $or!uan !e+#ante ecuac#one" en
+er#=a+a" ;arc#ae" -ue #!;#can una !a1or +#cuta+ +e
re"ouc#@n> 1 "@o en ca"o" "#!;e" ;ue+en "er re"ueto" +e $or!a
ana(t#ca/ Para "#"te!a" !'" co!;eo" &a1 -ue recurr#r a a
re"ouc#@n +e +#c&a" ecuac#one" a;#can+o !éto+o" nu!ér#co"> o e
Méto+o +e o" Ee!ento" F#n#to"/ Una ecuac#@n +#$erenc#a ;arc#a
#n=oucra +o" o !'" =ar#a%e" 1 !uc&a" $unc#one" +#$erente"
;ue+en "er "ouc#@n? ;or eo ;ara +eter!#nar "u "ouc#@n no "e
;ue+e ;roce+er co!o una ecuac#@n +#$erenc#a +e una "oa =ar#a%e
1 e#"t#r'n =ar#o" t#;o" +e con+#c#one"> #n#c#ae" "# +e;en+en +e
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t#e!;o o con+#c#one" +e $rontera" "# +e;en+en +e a ;o"#c#@n?
con+#c#one" -ue ;er!#t#r'n +eter!#nar a" +#"t#nta" $recuenc#a"
nor!ae" +e =#%rac#@n 1 o" !o+o" +e =#%rac#@n corre";on+#ente"/
VIBRACIONES MECANICAS.
¿Qué e una !i"#ación$
Una !anera "enc#a +e +e"cr#%#r o -ue e" e"te conce;to "er(a: e
!o=#!#ento cont#nuo 1 re;et#t#=o +e un o%eto are+e+or +e una
;o"#c#@n +e e-u##%r#o/ La ;o"#c#@n +e e-u##%r#o e" a a -ue "e e.ar'
cuan+o a $uer)a -ue act<a "o%re e o%eto "ea cero/
E $en@!eno +e =#%rac#@n e" %enéco ;ara a.una" "#tuac#one" co!o
e ca"o +e $unc#ona!#ento +e #n"tru!ento" !u"#cae" con cuer+a"
co!o a .u#tarra 1a -ue ;or !e+#o +e e"te "e ;ro+uce e "on#+o 1 "e
&ace tra%aar +#c&o #n"tru!ento? "#n e!%ar.o a !a1or(a +e a" =ece"
e"to no re"uta +e"ea%e ;ue" en otro" ca"o" ;or e contrar#o
;eru+#ca "#"te!a" e='n+oo" a ;er+er ;arte"> aBoar un#one" o
#ncu"o +e"en"a!%ar"e ;or cau"a +e !#"!o !o=#!#ento/
E"te t#;o +e =#%rac#@n "e a!a =#%rac#@n +e cuer;o entero> o -ue
-u#ere +ec#r -ue to+a" a" ;arte" +e cuer;o "e !ue=en unta" en a
!#"!a +#recc#@n 1 en cua-u#er !o!ento/
E !o=#!#ento =#%rator#o +e un cuer;o entero "e ;ue+e +e"cr#%#r
co!;eta!ente co!o una co!%#nac#@n +e !o=#!#ento" #n+#=#+uae"
+e t#;o" +#$erente"/ E"o" "on tra"ac#one" en a" tre" +#recc#one"
orto.onae" 5> 1> ) 1 rotac#one" are+e+or +e o" ee" 5> 1> )>
cua-u#er !o=#!#ento co!;eo -ue e cuer;o ;ue+a re;re"entar "e
;ue+e +e"co!;oner en una co!%#nac#@n +e e"o" "e#" !o=#!#ento"/
De un ta cuer;o "e +#ce -ue ;o"ee "e#" .ra+o" +e #%erta+/
E" #!;ortante !enc#onar -ue ;ara ;o+er enten+er o -ue oca"#onan
o" +#$erente" t#;o" +e =#%rac#one" "e +e%e conocer "u" co!;onente"
%'"#co" -ue "on: "u !a"a 1 "u $uer)a re"taura+ora/
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O%#a &ane#a de e'(lica#l) e" -ue o" !o=#!#ento" =#%rator#o" en
!'-u#na" "e ;re"entan cuan+o "o%re a" ;#e)a" e'"t#ca" act<an
$uer)a" =ar#a%e"/ Genera!ente e"to" !o=#!#ento" "on #n+e"ea%e">
aun cuan+o en a.uno" ca"o" "e +#"ean +e !anera +e#%era+a en a
!'-u#na/
E an'#"#" +e a" =#%rac#one" re-u#ere e "#.u#ente ;roce"o .enera:
• E=auar a" !a"a" 1 a ea"t#c#+a+ +e a" ;#e)a" a e"tu+#o/• Cacuar a cant#+a+ +e ro)a!#ento actuante/• I+ea#)ar e #!;e!ento !ec'n#co rea> ree!;a)'n+oo ;or un
"#"te!a a;ro#!a+a!ente e-u#=aente +e !a"a"> re"orte" 1
a!ort#.ua+ore"/• E"cr#%#r a ecuac#@n +#$erenc#a +e !o=#!#ento +e "#"te!a
#+ea#)a+o/• Re"o=er a ecuac#@n e #nter;retar o" re"uta+o"/
E "#"te!a #+ea !'" "enc#o con"#"te +e una !a"a <n#ca> un re"orte
<n#co 1 un a!ort#.ua+or co!o "e !ue"tra en a .ura/ E"te "#"te!a
"e +ene co!o un "#"te!a +e un .ra+o +e #%erta+/
m x ´ ´ +c x ´ +kx= f (t )
Cua-u#er "#"te!a +e un "oo .ra+o +e #%erta+ ;ue+e +e"cr#%#r"e ;or
!e+#o +e a !#"!a $or!a +e ecuac#@n +#$erenc#a e"cr#ta
anter#or!ente> "# a $uer)a +e re"orte e" ;ro;orc#ona a
+e";a)a!#ento 1 a $uer)a +e ro)a!#ento e" ;ro;orc#ona a a
Dónde*&* !a"a+* con"tante +e re"orte 5$uer)a ;orun#+a+ +e +e$or!ac#@nc* con"tante +e a!ort#.ua!#ento5$uer)a ;or un#+a+ +e =eoc#+a+/ Se"u;one -ue e a!ort#.ua!#ento e"=#"co"o> e" +ec#r> -ue a $uer)are"#"tente e" ;ro;orc#ona a a=eoc#+a+/, -%* $uer)a eterna> $unc#@n +e
t#e!;o/* +e";a)a!#ento +e a !a"a +e"+ea ;o"#c#@n +e e-u##%r#o e"t't#co
: +er#=a+a" ;r#!era 1 "e.un+are";ect#=a!ente +e con re";ecto a
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=eoc#+a+/ Para e "#"te!a .enera +e un "oo .ra+o +e #%erta+
;o+e!o" e"cr#%#r:
me x´´ +ce x
´ +k e x= f (t )
Don+e !e>ce>e "on a !a"a e-u#=aente> a con"tante +e
a!ort#.ua!#ento e-u#=aente 1 a con"tante +e re"orte e-u#=aente>
re";ect#=a!ente/ E +e";a)a!#ento ;ue+e "er #nea o an.uar/
IM0ORTANCIA DE 1AS VIBRACIONES MEC2NICAS
En a era !o+erna> .ran+e" a;ortac#one" !ate!'t#ca" =#n#eron are"o=er a.uno" ;ro%e!a" en e ca!;o +e a" =#%rac#one"!ec'n#ca"/
En e ca"o +e o" !éto+o" +e Ra1e#.& -ue "#r=en ;ara +eter!#nar a"$recuenc#a" +e re"onanc#a +e a.uno" ee!ento" %a"'n+o"e enecuac#one" +e ener.(a> a" =ar#a%e" +e e"ta+o -ue ;er!#tenJre"o=erK 1 ana#)ar ;ro%e!a" %a"a+o" en ecuac#one" +#$erenc#ae"
no #neae"/
Ee!;o:
C1ASI,ICACIÓN DE 1AS
VIBRACIONES.
1a !i"#aci)ne )n li"#e/3 Cuan+o no e#"ten $uer)a" o acc#one"eter#ore" +#recta!ente a;#ca+a" a "#"te!a a o ar.o +e t#e!;o/
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V#%rac#one"L#%re"
A!ort#.ua+a"
No A!ort#.ua+a"
V#%rac#one"For)a+a"
A!ort#.ua+a"
No A!ort#.ua+a"
1a !i"#aci)ne )n 3)#4ada/3 Cuan+o e#"ten acc#one" oec#tac#one" +#recta!ente a;#ca+a" a "#"te!a a o ar.o +e t#e!;o>a+e!'" +e a" $uer)a" o !o!ento" #nterno"/
Tanto a" =#%rac#one" li"#e co!o a" 3)#4ada ;ue+en "u%+#=#+#r"e>
+e;en+#en+o +e a e#"tenc#a o no +e $uer)a" re"#"tente" -uea!ort#.uan e !o=#!#ento =#%rator#o> en:
Sin a&)#%i5ua&ien%). No e#"te re"#"tenc#a ;a"#=a a !o=#!#ento+e "#"te!a/
C)n a&)#%i5ua&ien%). E#"ten re"#"tenc#a" ;a"#=a" a !o=#!#ento+e "#"te!a> e" +ec#r> $uer)a" o !o!ento" +#"#;at#=o" -ue a!ort#.uane !o=#!#ento =#%rac#ona/
De6nición de una !i"#ación li"#e
Una e"tructura e"t' en =#%rac#@n #%re cuan+o e" ;ertur%a+a +e "u
;o"#c#@n e"t't#ca +e e-u##%r#o 1 co!#en)a a =#%rar "#n a ec#tac#@n +e
una $uer)a eterna a.una 5P 5t7/ E"ta" =#%rac#one" "e ;re"entan
cuan+o +e";ué" +e una ;ertur%ac#@n #n#c#a> no e#"te $uer)a eterna
+e ec#tac#@n> e"to e"> F 5t 7/ La ecuac#@n +#$erenc#a e":
me x´´ +ce x
´ +k e x=0
Se %u"can "ouc#one" +e a $or!a: C e"t
A"(> a "ouc#@n +e e"ta ecuac#@n ;ue+e e"cr#%#r: Ae"8t ,e"6t/
D@n+e: S1=
−C e
2me +
√( ce
2me )− k e
me 1 S2=
−C e
2me −
√( ce
2me )− k e
me
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A81 A6 Son con"tante" +eter!#na+a" ;or a" con+#c#one" #n#c#ae"/
A =aor 2√ k e ∙me "e +eno!#na a&)#%i5uad) c#7%ic) Cc.
Se +ene e a!ort#.ua!#ento reat#=o co!o e coc#ente entre e
a!ort#.ua!#ento rea 1 e a!ort#.ua!#ento cr(t#co/ ξ=C e
C c
Se (ueden di%in5ui# 8 ca)*
8/ A!ort#.ua!#ento "u;ercr(t#co/6/ A!ort#.ua!#ento cr(t#co/
/ A!ort#.ua!#ento "u"cr#t#co/Q/ A!ort#.ua!#ento nuo 5ee"/
Vi"#ación li"#e a&)#%i5uada
Con o +e"cr#to en a +en#c#@n anter#or no" ;o+e!o" +ar una %re=e
#ntro+ucc#@n a o -ue e" una =#%rac#@n #%re a!ort#.ua+a> ;ero e"
nece"ar#o -ue +ena!o" +e !anera !'" ;ro$un+a e"te conce;to +e
!o=#!#ento +e un o%eto/
En to+o" o" !o=#!#ento" o"c#ante" reae"> "e +#"#;a ener.(a
!ec'n#ca +e%#+o a a.<n t#;o +e $r#cc#@n o ro)a!#ento> +e $or!a -ue
+ea+o #%re!ente a "( !#"!o un !uee o ;én+uo na!ente +ea +e
o"c#ar/ E"te !o=#!#ento "e +eno!#na a!ort#.ua+o 1 "e caracter#)a
;or-ue tanto a a!;#tu+ co!o a ener.(a !ec'n#ca "e +#"!#nu1en
con e t#e!;o/
La ecuac#@n +#$erenc#a -ue +e"cr#%e e !o=#!#ento e":
m x´ ´ +c x
´ +kx= f (t )
La "ouc#@n +e e"ta ecuac#@n +e !o=#!#ento no" ;er!#te o%tener e
+e";a)a!#ento en $unc#@n +e t#e!;o:
X (t )= xm∗e−( c
2m ) t
sen ( wd∗t +δ )
Dónde*
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2+ e" a $recuenc#a an.uar +e a =#%rac#@n a!ort#.ua+a/
C e" e coec#ente +e a!ort#.ua!#ento/
co!o "e +#o anter#or!ente e#"te un =aor C a!a+o coec#ente +e
a!ort#.ua!#ento cr(t#co 5Cc> e cua "e o%t#ene +e a "#.u#ente
$or!ua:
C c=2m ωn
Dónde*
2n e" a $recuenc#a natura +e "#"te!a "#n ro)a!#ento/
La con"tante 5ccc "e conoce co!o $actor +e a!ort#.ua!#ento/ En
.raco "#.u#ente "e re;re"enta una t(;#ca .raca +e !o=#!#ento
a!ort#.ua+o +é%# 1 "e o%"er=a -ue aun cuan+o a a!;#tu+ e"
+ecrec#ente> e ;er(o+o +e a =#%rac#@n "e !ant#ene con"tante/
Gr'co +e una =#%rac#@n a!ort#.ua+a
E coec#ente +e a!ort#.ua!#ento cr(t#co> Cc 1 a ra)@n o reac#@n +e
a!ort#.ua!#ento cr(t#co> "on ;ar'!etro" -ue +eter!#nan e t#;o +e
!o=#!#ento +e "#"te!a/
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Co!o e;u"#!o" ante" en =#%rac#one" #%re e#"ten Q n#=ee" +e
a!ort#.ua!#ento o" cuae" e;#care!o" a cont#nuac#@n:
A&)#%i5ua&ien%) 3ue#%e ) u(e#c#7%ic)
Se ;ro+uce cuan+o CCC 1 corre";on+e a un !o=#!#ento no
=#%rator#o> ;or-ue e "#"te!a recu;era "u ;o"#c#@n +e e-u##%r#o "#n
o"c#ar/
La ecuac#@n +e e"te ca"o e":
( C e
2me )2
> K e
me
→ C e>2√ K e∗me
La" ra(ce" +e a ecuac#@n "on +o" "ouc#one" +#"t#nta"> reae" 1
ne.at#=a":
X = A∗es1∗t +B∗e
s2∗t
La "ouc#@n no e" +e t#;o on+uator#o "#no -ue e" +e t#;o e;onenc#a
+ecrec#ente> 1 t#en+e ante" a cero con$or!e !a1or e" e
a!ort#.ua!#ento Ce:
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A&)#%i5ua&ien%) c#7%ic)
Se ;ro+uce cuan+o CCC 1 a-u( e !o=#!#ento ta!;oco e" =#%rator#o/
La ecuac#@n ;ara e"te "e.un+o ca"o e" a "#.u#ente:
( C e
2me )2
=
K e
me →C e>2√ K e∗me
La" ra(ce" +e a ecuac#@n "on +o" #.uae"> reae" 1 ne.at#=a":
X =( A+B)∗e
−C e2m e
∗t
S# e a!ort#.ua!#ento e" #.ua o !a1or -ue e cr(t#co> entonce" a
"ouc#@n +e a ecuac#@n ;ara =#%rac#one" #%re" no cont#ene tér!#no";er#@+#co"/ La !a"a> +e";ué" +e a ;ertur%ac#@n #n#c#a> re.re"a a a
;o"#c#@n +e e-u##%r#o ;ero no o"c#a/ E" +ec#r> en e"te ca"o> a #.ua
-ue en e ca"o 8> a "ouc#@n no e" +e t#;o on+uator#o "# no +e t#;o
e;onenc#a +ecrec#ente/
E ca"o 8 corre";on+e con 8 1 e ca"o 6 con 8/
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A&)#%i5ua&ien%) u"c#7%ic)
Se ;ro+uce cuan+o CCC 1 en e"te ca"o e !o=#!#ento e" =#%rator#o
+e a!;#tu+ +ecrec#ente/
( C e
2me )2
< K e
me
→ C e>2√ K e∗me=C C
E"te ca"o corre";on+e con 8/
La" ra(ce" +e a ecuac#@n "on +o" "ouc#one" +#"t#nta" 1 co!;ea"/
K e
2me
¿2
¿ K eme
−¿
j∗√ ¿
X =− A∗e
−C e
2me
∗t
∗e¿
X = X ∗e∝∗t ∗sin (w d t +γ )
Don+e a" con"tante" > "e +eter!#nan +e a" con+#c#one" #n#c#ae"/
∝= C e
2me
C e
2me
¿2
K e
me
−¿
w d=√ ¿
2+ e" a $recuenc#a a!ort#.ua+a +e "#"te!a/ S# e a!ort#.ua!#ento
$uera cero> a $recuenc#a "er#a W n=√ K eme
> a cua "e a!a $recuenc#a
natura/
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A&)#%i5uad)# nul) -e9e.
En e"te ca"o> x= x∗sin (wd t +γ )
E "#"te!a tra" a ;ertur%ac#@n #n#c#a "e -ue+a o"c#an+o +e $or!a
#n+en#+a 1a -ue no &a ro)a!#ento/ La $recuenc#a +e o"c#ac#@n e":
w d=√ K eme
=wn
Vi"#ación 1i"#e n):a&)#%i5uada.
En e"te ca"o "e e"tu+#ara "#!;e +e una =#%rac#@n #%re> +e ta !o+o
-ue una ecuac#@n !ate!'t#ca +enotara "u co!;orta!#ento/
A a ecuac#@n +#$erenc#a -ue +eter!#na "u co!;orta!#ento "e e
a!a $or!a can@n#ca +e un "#"te!a #%re no a!ort#.ua+o/
La ecuac#@n +#$erenc#a +e !o=#!#ento e":
m x´ ´ +kx=0
Su ecuac#@n caracter("t#ca e":
mr2+k =0
S#en+o "u" ra(ce" #!a.#nar#a" conu.a+a":
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r=±√ k
mi
La "ouc#@n .enera e" +e a $or!a:
wn t +φ
x= sen¿
D@n+e a 5a!;#tu+ 1 φ 5$a"e #n#c#a "on con"tante" -ue "e ;ue+en
+eter!#nar> en ca+a ca"o ;art#cuar> con a" con+#c#one" #n#c#ae"/
La $recuenc#a natura +e a =#%rac#@n 1 e ;er#o+o "on:
w n=√ k m 1 ! =2"
√mk
En e"te t#;o +e =#%rac#one" "e cu!;e e ;r#nc#;#o +e a con"er=ac#@n
+e a ener.(a !ec'n#ca> e" +ec#r> a "u!a +e a ener.(a c#nét#ca 1 e
;otenc#a e'"t#co e" con"tante e #.ua a a ener.(a tota co!un#ca+a
#n#c#a!ente a "#"te!a> ;or o -ue "e =er#ca a ecuac#@n:
m2
x´ 2+ k 2
x2=cte=12
k 2
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1. VIBRACIONES EN
BARRAS.
VIBRACIONES EN BARRAS.
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Con"#+ere!o" a =#%rac#@n +e una %arra e'"t#ca +e ar.o 1 "ecc#@n
=ar#a%e> co!o "e #n+#ca en a 5.ura 8/8/ La +en"#+a+ +e a %arra
"e +enota ;or W 1 e aréa +e a "ecc#@n co!o A5/ U"an+o e
"#"te!a +e coor+ena+a" #n+#ca+o en a .ura> a "u!a +e $uer)a"
en un ee!ento #nte"#!a en a +#recc#@n e"/
58/8
+on+e X5>t e" a +eBecc#@n +e a %arra en a +#recc#@n > F +enota
a $uer)a -ue actua ;or a #)-u#er+a +e ee!ento> !#entra" -ue F
+ e" a $uer)a actuan+o ;or a +erec&a/ Reor+enan+o a ecuac#on
anter#or "e t#ene -ue:
58/6
8/8/ ,arra e!;otra+a con
=#%rac#on on.#tu+#na
en a
+#recc#@n /
De re"#"tenc#a +e
!ater#ae" a $uer)a F =#ene +a+ ;or FY e" a ten"#@n un#tar#a en a
+#recc#@n 1 t#ene e =aor EZ> +on+e E e" e !o+uo +e 1oun. 1 Z
e" a +e$or!ac#@n un#tar#a/ E"to e=a a:
58/
Ree!;a)an+o 8/ en a ecuac#on 8/6:
58/Q
En o" ca"o" en -ue A5 e" con"tante> a ecuac#@n anter#or "e
;ue+e e"cr#%#r co!o:
58/9
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En a ecuac#@n "e conocr co!o a ecuac#on +e on+a c √ #/ $
corre";on+e a a =eoc#+a+ +e ;ro;a.ac#@n $r a +e$or!ac#@n en a
%arra/
La ecuac#@n 8/9 "e re"ue=e con un !eto+o +e "e;arac#@n +e
=ar#a%e"/ En e"te !éto+o "e a"u!e -ue a "ouc#@n X5>t "e ;ue+e
e"cr#%#r co!o a !ut#;#cac#@n +e +o" $unc#one"> una -ue +e;en+e
"oo +e 1 otra -ue +e;en+e "oo +e t/ Por o tanto:
58/
Ree!;a)an+o en a ecuac#@n 8/9:
58/[
reor+enan+o>
58/\
+a+o -ue a!%o" a+o" +e a ecuac#on "on $unc#one" +e una
=ar#a%e +#"t#nta> entonce" ;ara -ue "e cu!;a a reac#on 8/\>
a!%o" +e%en "er #.uae" a una con"tante:
58/]
en e"te ca"o> a con"tante ^Y "e e#.e ;ara a"e.urar -ue "ea un
nu!ero ne.at#=o/ En rea#+a+ "e +e%en con"#+erar to+a" a"
o;c#one" 5ne.at#=o> ;o"#t#=o o cero/ S#n e!%ar.o> con a" otra" +o"
o;c#one" "e e.an a re"uta+o" #"#ca!ente #!;o"#%e"/
Reor+enan+o 8/]> "e t#ene -ue 5 +e%e "at#"$acer:
58/87
La -ue t#ene "ouc#@n +e a $or!a:
58/88
Son _8 1 _6 "on con"tante" +e #nte.rac#on 1 +e;en+en +e a"
con+#c#one" +e %or+e/
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S# con"#+era!o" e ca"o +e una %arra e!;otra+a ;or a #)-u#era 1
#%re en e etre!o +erec&o> "e t#enen a" "#.u#ente" con+#c#one" +e
%or+e:
58/86
A;#can+o a ;r#!era ecuac#@n "e o%t#ene -ue _6 7> +e !anera
-ue 5 t#ene a $or!a:
58/8
A;#can+o a "e.un+a con+#c#@n:
58/8Q
Da+o -ue _8 no ;ue+e "er #.ua a cero> entonce" "e +e%e cu!;#r
-ue:
58/89
Lo" !o+o" +e =#%rac#on "on entonce" +e a $or!a:
58/8
Con"#+ere!o" a&ora a ecuac#@n ;ara T5t:
58/8[
a -ue t#ene "ouc#on +e a $or!a:
58/8\
a "ouc#on na e" ;or o tanto +e a $or!a:
58/8]
E "et +e con"tante" cn 1 +n "e ;ue+e +eter!#nar a a;#car a"
con+#c#one" #n#c#ae" +e X5>t/ con"#+ere!o" e +e";a)a!#ento
#n#c#a:
58/67
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58/68
58/66
58/6
58/6Q
58/69
58/6
58/6[
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En a ta%a 8/8 1 8/6 "e re+u!en +#"t#nta" con+#c#one" +e %or+eu"uae" en %arra" con "u" re";ect#=o" !o+o" 1 $recuenc#a"caracter#"t#ca"/
Ta%a 8/8 : re"u!en +e =ar#a" con+#c#one" +e %or+e ;ara a=#%rac#@n on.#tu+#na +e una %arra/
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Ta%a 8/6 : D#"t#nta" con.ac#one" ;ara una %arra con =#%rac#@n
on.#tu+#na #u"tran+o "u" !o+o" 1 $recuenc#a" caracter#"t#ca/
2. VIBRACIÓN TORSIONAL.
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VIBRACIÓN TORSIONA1.
La %arra +e ca;#tuo anter#or ;ue+e =#%rar ta!%#en en a +#recc#on
tor"#ona co!o "e !ue"tra en e ee c#rcuar +e a F#.ura 6/8/ En
e"te ca"o> a =#%rac#@n ocurre en a +#recc#@n an.uar en torno a
centro +e ee/ La rotac#@n +e ee> `> e" una $unc#@n +e a ;o"#c#@n a
o ar.o> > 1 e t#e!;o> t/ La ecuac@n +e !o=#!#ento "e o%t#ene a
con"#+erar e %aance +e !o!ento +e un ee!ento #nte"#!a +e
ar.o +> co!o e #u"tra+o en a F#.ura 6/8/ E tor-ue a a +erec&a+e ee!ento e" > !#entra" -ue e tor-ue a a #)-u#er+a =#ene +a+o
;or % r
% x +/
F#.ura 6/8/
56/8
56/6
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56/
56/Q
56/9
En a ta%a 6/8
La "ouc#@n +e a ecuac#@n /8 +e;en+e +e +o" con+#c#one" #n#c#ae"
en e t#e!;o 5`5>7 1 %& 5>7 % t ¿ 1 +o" con+#c#one" +e %or+e>una en ca+a etre!o +e ee/ La" eecc#one" ;o"#%e" +econ+#c#one" +e %or+e "on "#!#are" a a" +e a %arra/ En a ta%a 6/6"e entre.an a.una" con+#c#one" +e %o+e u"uae"/
En a ta%a 6/ "e entre.an a" $recuenc#a" naturae" 1 !o+o" +e=#%rac#@n ;ara +#"t#nta" con.urac#one"/ Notar a "#!##tu+ con eca"o +e a %arra con !o=#!#ento on.#tu+#na/ La <n#ca +#$erenc#ae"t' en a #nter;retac#@n $("#ca +e !o=#!#ento/
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Ta%a 6/8: A.uno" =aore" +e a con"tante tor"#ona ;ara +#"t#nta""ecc#one"/
Ta%a 6/6: Re"u!en +e =ar#a" con+#c#one" +e %or+e ;ara a=#%rac#@n tor"#ona +e un ee/
7/17/2019 Dinamica Final
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Ta%a 6/: D#"t#nta" con.urac#one" ;ara una ee con =#%rac#@ntor"#ona #u"tran+o "u" !o+o" 1 $recuenc#a" caracter("t#ca"/
3. VIBRACIÓNTRANSVERSAL EN VIGAS.
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VIBRACIÓN TRANSVERSA1 EN VI;AS.
En a F#.ura /8 "e #u"tra una con =#%rac#@n en a +#recc#@ntran"=er"a? +eBe#@n X5>t en a +#recc#@n 1/ La =#.a t#ene "ecc#@nA5 1 ar.o / A"oc#a+a a a =#.a "e +ene a r#.#+e) ;or Be#@n EI5> +on+e E e" e !@+uo +e oun. ;ara a =#.a e I5 a #nerc#a +ea "ecc#@n con re";ecto a ee )/ De re"#"tenc#a +e !ater#ae"> e!o!ento "o%re a =#.a> M5> t> "e reac#ona con a +eBe#@n> X5>t>;or:
5/8
Un !o+eo ;ara =#%rac#one" en Be#@n "e ;ue+e +er#=ar a
ea!#nar un ee!ento #nn#te"#!a co!o e +e a F#.ura /8/ De a"u!a +e $uer)a" en a +#recc#@n 1 "e o%t#ene
5/6
5/
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F#.ura /8: V#.a +e ar.o en a =#%rac#@n tran"=er"a 1 +e$or!a+a;or una $uer)a ;or un#+a+ +e ar.o +enota+a $5>t
5/Q
5/9
5/
5/[
5/\
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5/]
5/87
5/88
5/86
5/8
5/8Q
5/89
5/8
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5/8[
a"u!#en+o una "ouc#@n +e a $or!a Aea> a "ouc#@n .enera +ea ecuac#@n Q/8 t#ene a $or!a:
5/8\
En e etre!o e!;otra+o "e +e%en cu!;#r a" con+#c#one" +e%or+e +a+a" en /87:
b
F#.ura /6: V#.a +e ar.o e!;otra+a en un etre!o 1 con una;o1o "#!;e en e otro etre!o/
De !anera "#!#ar> en e etre!o +e a +erec&a "e +e%en cu!;#ra" reac#one" +a+a" en /88:
E"ta" cuatro con+#c#one" +e %or+e entre.an cuatro ecuac#one" ;ara o"cuatro coe$#c#ente" +e"conoc#+o" _8> _6> _ > 1 _Q/ E"to "e ;ue+e e"cr#%#r+e $or!a !atr#c#a/
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La -ue "e "at#"$ace ;ara un n<!ero #n$#n#to +e =aore" +e >+enota+a ;or n/ La "ouc#@n "e ;ue+e =#"ua#)ar a .racar a!%o"tan d 1 tan& d =er"u" d en e !#"!o .r'$#co> co!o !ue"tra en aF#.ura //
F#.ura /: Gra$#co tan d 1 tan& d =er"u" d
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En a F#.ura /Q "e !ue"tra o" ;r#!ero" tre" !o+o" +e =#%rac#@n;ara 5_Qn 8
F#.ura /Q: Graco +e o" ;r#!ero" tre" !o+o" +e =#%rac#@n +e una
=#.a e!;otra+a a;o1a+a/
5/8]
5/67
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En a Ta%a /8 "e re"u!en a" $recuenc#a" naturae" 1 !o+o" +e=#%rac#@n ;ara una =#.a con +#"t#nta" con+#c#one" +e %or+e/ Lo"coe$#c#ente" Yn $ueron +eter!#na+o" a ;art#r +e a" ecuac#one"
+a+a" en a ta%a /6/
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Ta%a /8: D#"t#nta" con.urac#one" ;ara una =#.a con =#%rac#@ntran"=er"a #u"tran+o "u" !o+o" 1 $recuenc#a" caracter("t#ca"/ La
$recuenc#a natura =#ene +a+a ;or /
7/17/2019 Dinamica Final
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Ta%a /6: Ecuac#one" ;ara o" coe$#c#ente" Yn u"a+o" en a ta%a/8/
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Q/ MODELOS DE AMORTIGUAMIENTO.
MODE1OS DE AMORTI;UAMIENTO.
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5Q/8
5Q/6
5Q/
5Q/Q
Se !ue"tra en a F#.ura Q/8/
5Q/9
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5Q/
F#.ura Q/8: ,arra en =#%rac#@n on.#tu+#na "ueta ;or un "#"te!are"orte a!ort#.ua+or en a!%o" etre!o"/
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5. ECUACIÓN DE LA ONDA
ECUACIÓN DE 1A ONDA
ONDA*: En $("#ca> una )nda con"#"te en a ;ro;a.ac#@n +e una;ertur%ac#@n +e a.una ;ro;#e+a+ +e un !e+#o> ;oree!;o> +en"#+a+> ;re"#@n> ca!;o eéctr#co o ca!;o !a.nét#co> a
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tra=é" +e +#c&o !e+#o> #!;#can+o un tran";orte +e ener.(a "#ntran";orte +e !ater#a/ E !e+#o ;ertur%a+o ;ue+e "er +e naturae)a+#=er"a co!o a#re> a.ua> un tro)o +e !eta e> #ncu"o> #n!ater#aco!o e =ac(o/
La !a.n#tu+ $("#ca cu1a ;ertur%ac#@n "e ;ro;a.a en e !e+#o "e
e;re"a co!o una $unc#@n tanto +e a ;o"#c#@n co!o +e t#e!;o/ Mate!'t#ca!ente "e +#ce -ue +#c&a $unc#@n e" una on+a "# =er#caa ecuac#@n +e on+a":
Don+e e" a =eoc#+a+ +e ;ro;a.ac#@n +e a on+a/ Por ee!;o>
c#erta" ;ertur%ac#one" +e a ;re"#@n +e un !e+#o> a!a+a" "on#+o>=er#can a ecuac#@n anter#or> aun-ue a.una" ecuac#one" no #neae"ta!%#én t#enen "ouc#one" on+uator#a"> ;or ee!;o> un "o#t@n/
SO1ITÓN*: Un )li%ón e" una on+a "o#tar#a -ue "e ;ro;a.a "#n+e$or!ar"e en un !e+#o no #nea/ Se encuentra en $en@!eno" $("#co"co!o "ouc#@n a ecuac#one" +#$erenc#ae" no #neae"/
DE,INICIONES*
Una =#%rac#@n ;ue+e +en#r a" caracter("t#ca" nece"ar#a" 1
"uc#ente" -ue caracter#)an un $en@!eno co!o on+a/ E tér!#no"uee "er enten+#+o #ntu#t#=a!ente co!o e tran";orte +e;ertur%ac#one" en e e";ac#o> +on+e no "e con"#+era e e";ac#o co!oun to+o "#no co!o un !e+#o en e -ue ;ue+en ;ro+uc#r"e 1;ro;a.ar"e +#c&a" ;ertur%ac#one" a tra=é" +e é/
E1EMENTOS DE UNA ONDA*
• C#e%a* La cre"ta e" e ;unto +e !'#!a eon.ac#@n o !'#!aa!;#tu+ +e on+a? e" +ec#r> e ;unto +e a on+a !'" "e;ara+o +e
"u ;o"#c#@n +e re;o"o/
• 0e#7)d) - * E ;er#o+o e" e t#e!;o -ue tar+a a on+a en #r +e
un ;unto +e !'#!a a!;#tu+ a "#.u#ente/
• A&(li%ud - * La a!;#tu+ e" a +#"tanc#a =ert#ca entre una
cre"ta 1 e ;unto !e+#o +e a on+a/ N@te"e -ue ;ue+en e#"t#r
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on+a" cu1a a!;#tu+ "ea =ar#a%e> e" +ec#r> cre)ca o +ecre)ca con
e ;a"o +e t#e!;o/
• ,#ecuencia - * N<!ero +e =ece" -ue e" re;et#+a +#c&a
=#%rac#@n ;or un#+a+ +e t#e!;o/ En otra" ;aa%ra"> e" una "#!;ere;et#c#@n +e =aore" ;or un ;er(o+o +eter!#na+o/
• Valle* E" e ;unto !'" %ao +e una on+a/
• 1)n5i%ud de )nda - * E" a +#"tanc#a -ue &a1 entre e !#"!o
;unto +e +o" on+uac#one" con"ecut#=a"> o a +#"tanc#a entre
+o" cre"ta" con"ecut#=a"/
• N)d)* e" e ;unto +on+e a on+a cru)a a (nea +e e-u##%r#o/
• El)n5ación - * e" a +#"tanc#a -ue &a1> en $or!a
;er;en+#cuar> entre un ;unto +e a on+a 1 a (nea +e
e-u##%r#o/
• Cicl)* e" una o"c#ac#@n> o =#ae co!;eto +e #+a 1 =ueta/
• Vel)cidad de (#)(a5ación - * e" a =eoc#+a+ a a -ue "e
;ro;a.a e !o=#!#ento on+uator#o/ Su =aor e" e coc#ente +e
a on.#tu+ +e on+a 1 "u ;er(o+o/
CARACTER<STICAS*
La" on+a" ;er#@+#ca" e"t'n caracter#)a+a" ;or crestas o
montes 1 valles> 1 u"ua!ente e" cate.or#)a+a co!o on.#tu+#na otran"=er"a/ Una on+a tran"=er"a e" a-uea con a" =#%rac#one";er;en+#cuare" a a +#recc#@n +e ;ro;a.ac#@n +e a on+a? ee!;o"#ncu1en on+a" en una cuer+a 1 on+a" eectro!a.nét#ca"/ On+aon.#tu+#na e" a-uea con =#%rac#one" ;araea" en a +#recc#@n +e a;ro;a.ac#@n +e a" on+a"? ee!;o" #ncu1en on+a" "onora"/
Cuan+o un o%eto corte &ac#a arr#%a 1 a%ao en una on+a en un
e"tan-ue> e;er#!enta una tra1ector#a or%#ta ;or-ue a" on+a" no"on "#!;e" on+a" tran"=er"ae" "#nu"o#+ae"/
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On+a" en a "u;erc#e +e una cu%a "on rea!ente una co!%#nac#@n+e on+a" tran"=er"ae" 1 on.#tu+#nae"? ;or o tanto> o" ;unto" en a"u;erc#e "#.uen ca!#no" or%#tae"/
To+a" a" on+a" t#enen un co!;orta!#ento co!<n %ao un n<!ero +e
"#tuac#one" e"t'n+ar/ To+a" a" on+a" ;ue+en e;er#!entar a""#.u#ente":
• Di3#acción. Ocurre cuan+o una on+a a to;ar con e %or+e +e
un o%"t'cuo +ea +e #r en (nea recta ;ara ro+earo/
• E3ec%) D)((le#. E$ecto +e%#+o a !o=#!#ento reat#=o entre a
$uente e!#"ora +e a" on+a" 1 e rece;tor +e a" !#"!a"/
• In%e#3e#encia. Ocurre cuan+o +o" on+a" "e co!%#nan aencontrar"e en e !#"!o ;unto +e e";ac#o/
• Re=e'ión. Ocurre cuan+o una on+a> a encontrar"e con un
nue=o !e+#o -ue no ;ue+e atra=e"ar> ca!%#a +e +#recc#@n/
• Re3#acción. Ocurre cuan+o una on+a ca!%#a +e +#recc#@n a
entrar en un nue=o !e+#o en e -ue =#aa a +#"t#nta =eoc#+a+/
• Onda de c>)?ue. Ocurre cuan+o =ar#a" on+a" -ue =#aan en
un !e+#o "e "u;er;onen $or!an+o un cono/
0O1ARI@ACIÓN
Artículo principal: 0)la#i4ación elec%#)&a5né%ica
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Una oa ro!;#en+o contra a" roca"/
Una on+a e" ;oar#)a+a> "# "oo ;ue+e o"c#ar en una +#recc#@n/ La;oar#)ac#@n +e una on+a tran"=er"a +e"cr#%e a +#recc#@n +e a
o"c#ac#@n> en e ;ano ;er;en+#cuar a a +#recc#@n +e =#ae/ On+a"on.#tu+#nae" tae" co!o on+a" "onora" no e&#%en ;oar#)ac#@n>;or-ue ;ara e"ta" on+a" a +#recc#@n +e o"c#ac#@n e" a o ar.o +e a+#recc#@n +e =#ae/ Una on+a tran"=er"a> co!o a u) ;ue+e "er;oar#)a+a u"an+o un tro ;oar#)a+or o a "er reBea+a ;or un+#eéctr#co #nc#na+o> e/./ =#+r#o +e =entana/
E9e&(l)
Ee!;o" +e on+a":
• Ola> -ue "on ;ertur%ac#one" -ue "e ;ro;a.an ;or e a.ua/
• Onda de #adi) &ic#))nda )nda in3#a##)9a lu4
!ii"le lu4 ul%#a!i)le%a #a) / #a) 5a&&a c)n3)#&an
la #adiación elec%#)&a5né%ica. En e"te ca"o> a ;ro;a.ac#@n e"
;o"#%e "#n un !e+#o> a tra=é" +e =ac(o/ La" on+a"
eectro!a.nét#ca" !ia9an a 6]] []6 Q9\ !" en e =ac(o/
• S)n)#a una on+a !ec'n#ca -ue "e ;ro;a.a ;or e a#re> o"
(-u#+o" o o" "@#+o"/
• Onda de %#6c) 5e"to e"> a ;ro;a.ac#@n +e +#$erente"
+en"#+a+e" +e =e&(cuo"> etc/ e"ta" ;ue+en !o+ear"e co!o
on+a" c#ne!'t#ca" co!o &#)o Si# M. . 1i5>%>ill
Onda 7&ica en %e##e&)%).
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• Onda 5#a!i%aci)nale -ue "on Buctuac#one" en a cur=atura
+e e";ac#o3t#e!;o ;re+#c&a" ;or a #ela%i!idad 5ene#al. E 8[ +e
!ar)o +e 678Q "e anunc#@ a o%"er=ac#@n e;er#!enta +e o"
re"to" +e on+a" .ra=#tac#onae" +urante e ;er#o+o +e e;an"#@n
+e un#=er"o tra" e Bi5 Ban5> ;ero e +e"cu%r#!#ento "e ;u"o enentre+#c&o ;o"ter#or!ente/
DESCRI0CIÓN MATEM2TICA*
De"+e un ;unto +e =#"ta !ate!'t#co> a on+a !'" "enc#a o$un+a!enta e" a onda sinusoidal +e"cr#ta ;or a $unc#@n
Don+e e" aa&(li%ud
+e una on+a 5a eon.ac#@n !'#!a o atura+e a cre"ta +e a on+a/ La" un#+a+e" +e a!;#tu+ +e;en+en +e t#;o+e on+a a" on+a" en una cuer+a t#enen una a!;#tu+ e;re"a+aco!o una +#"tanc#a 5!etro"> a" on+a" "onora" co!o ;re"#@n5;a"cae" 1 on+a" eectro!a.nét#ca" co!o a a!;#tu+ +e ca!;oeéctr#co 5=ot#o"!etro"/ La a!;#tu+ ;ue+e "er con"tante> o ;ue+e=ar#ar con e t#e!;o 1o ;o"#c#@n/ La $or!a +e a =ar#ac#@n +e a!;#tu+e" a!a+a a envolvente +e a on+a/
La l)n5i%ud de )nda 5"#!%o#)a+a ;or e" a +#"tanc#a entre +o"
cre"ta" o =ae" "e.u#+o"/ Se !#+e en un#+a+e" +e on.#tu+> tae"co!o e !etro 5!> "u" !<t#;o o "u%!<t#;o" "e.<n con=en.a/ A"(>en a @;t#ca> a on.#tu+ +e on+a +e a u) "e !#+e en nan@!etro"/
Un n&e#) de )nda an5ula# ;ue+e "er a"oc#a+o con a on.#tu++e on+a ;or a reac#@n:
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E (e#i)d) e" e t#e!;o re-uer#+o ;ara -ue e !o=#!#ento +eo"c#ac#@n +e a on+a +e"cr#%a un c#co co!;eto/ La 3#ecuencia e"e n<!ero +e c#co" co!;eto" tran"curr#+o" en a un#+a+ +e t#e!;o5;or ee!;o> un "e.un+o/ E" !e+#+a en &erc#o"/ Mate!'t#ca!ente
"e +ene "#n a!%#.fe+a+ co!o:
En otra" ;aa%ra"> a $recuenc#a 1 e ;er#o+o +e una on+a "onrec(;roca" entre "(/
La frecuencia angular re;re"enta a $recuenc#a en ra+#ane" ;or"e.un+o/ E"t'reac#ona+a con a$recuenc#a ;or
Ha1 +o" =eoc#+a+e" +#$erente" a"oc#a+a" a a" on+a"/ La ;r#!era e"a !el)cidad de 3ae> a cua #n+#ca a ta"a con a -ue a on+a "e;ro;a.a> 1 e"t' +a+a ;or:
La "e.un+a e" a !el)cidad de 5#u()> a cua +a a =eoc#+a+ con a-ue a" =ar#ac#one" en a $or!a +e a a!;#tu+ +e a on+a "e ;ro;a.an;or e e";ac#o/ E"ta e" a ta"a a a cua a #n$or!ac#@n ;ue+e "er
tran"!#t#+a ;or a on+a/ E"t' +a+a ;or:
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Ca+a ;art(cua +e un !e+#o !ater#a en e -ue "e ;ro;a.a una on+a!ec'n#ca +e +e";a)a!#ento tran"=er"a rea#)a una o"c#ac#@nar!@n#ca "#!;e en +#recc#@n tran"=er"a a a +#recc#@n +e;ro;a.ac#@n +e a on+a
ECUACIÓN DE ONDA
La ecuación de )nda e" un t#;o +e ecuac#@n +#$erenc#a -ue +e"cr#%ea e=ouc#@n +e una on+a ar!@n#ca "#!;e a o ar.o +e t#e!;o/ E"taecuac#@n ;re"enta #.era" =ar#ante" +e;en+#en+o +e c@!o "etran"!#te a on+a> 1 +e !e+#o a tra=é" +e cua "e ;ro;a.a/ S#con"#+era!o" una on+a un#+#!en"#ona -ue "e tran"!#te a o ar.o +euna cuer+a en e ee x > a una =eoc#+a+ 1 con una a!;#tu+ 5-ue.enera!ente +e;en+e tanto +e 1 +e > a ecuac#@n +e on+a e":
Tra"a+a+o a tre" +#!en"#one"> "er(a
Don+e e" e o;era+or a;ac#ano/
La =eoc#+a+ +e;en+e +e t#;o +e on+a 1 +e !e+#o a tra=é" +e cua=#aa/
*ean e Ron+ +gAe!%ert o%tu=o una "ouc#@n .enera ;ara a ecuac#@n+e on+a en una +#!en"#@n:
E"ta "ouc#@n ;ue+e #nter;retar"e co!o +o" #!;u"o" =#aan+o a o
ar.o +e ee x en +#recc#one" o;ue"ta": F en e "ent#+o +x 1 G en e -
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x / S# .enera#)a!o" a =ar#a%e x > ree!;a)'n+oa ;or tre"=ar#a%e" x > y > z > entonce" ;o+e!o" +e"cr#%#r a ;ro;a.ac#@n +e unaon+a en tre" +#!en"#one"/
La ecuac#@n +e Sc&rh+#n.er +e"cr#%e e co!;orta!#ento on+uator#o+e a" ;art(cua" ee!entae"/ La" "ouc#one" +e e"ta ecuac#@n"on $unc#one" +e on+a" -ue ;ue+en e!;ear"e ;ara &aara +en"#+a+ +e ;ro%a%##+a+ +e una ;art(cua/
ONDA SIM01E
E" una ;ertur%ac#@n -ue =ar(a tanto con e t#e!;o co!o con a+#"tanc#a +e a "#.u#ente !anera:
Don+e e" a a!;#tu+ +e a on+a> e" e número de onda 1e" a fase/ La =eoc#+a+ +e $a"e v f +e e"ta on+a e"t' +a+a ;or
Don+e e" a longitud de onda/
ONDA ESTACIONARIA
On+a e"tac#onar#a 5en ne.ro or#.#na+a ;or a #nter$erenc#a entre +o"on+a" ;ro.re"#=a" en +#recc#one" o;ue"ta": en a)u a -ue a=an)a&ac#a a +erec&a 1 en roo a -ue "e ;ro;a.a &ac#a a #)-u#er+a/ Lo";unto" roo" re;re"entan o" no+o" +e a on+a e"tac#onar#a/
Una on+a e"tac#onar#a e" a-uea -ue ;er!anece a> "#n ;ro;a.ar"ea tra=é" +e !e+#o/ E"te $en@!eno ;ue+e +ar"e> %#en cuan+o e!e+#o "e !ue=e en "ent#+o o;ue"to a +e ;ro;a.ac#@n +e a on+a> o%#en ;ue+e a;arecer en un !e+#o e"t't#co co!o re"uta+o +ea #nter$erenc#a entre +o" on+a" -ue =#aan en "ent#+o" o;ue"to"/
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La "u!a +e +o" on+a" -ue "e ;ro;a.an en "ent#+o" o;ue"to"> con#+ént#ca a!;#tu+ 1 $recuenc#a> +an u.ar a una on+a e"tac#onar#a/ La"on+a" e"tac#onar#a" nor!a!ente a;arecen cuan+o una $rontera%o-uea a ;ro;a.ac#@n +e una on+a =#aera 5co!o o" etre!o" +e
una cuer+a> o e %or+#o +e una ;#"c#na> !'" a' +e o" cuae" a on+ano ;ue+e ;ro;a.ar"e/ E"to ;ro=oca -ue a on+a "ea reBea+a en"ent#+o o;ue"to e #nterera con a on+a #n#c#a> +an+o u.ar a unaon+a e"tac#onar#a/ Por ee!;o> cuan+o "e ra".a a cuer+a +e un=#o(n> "e .eneran on+a" tran"=er"ae" -ue "e ;ro;a.an en+#recc#one" o;ue"ta" ;or to+a a cuer+a &a"ta e.ar a o" etre!o"/Una =e) a-u( "on reBea+a" +e =ueta &a"ta -ue #ntereren a una cona otra +an+o u.ar a una on+a e"tac#onar#a> -ue e" o -ue ;ro+uce "u"on#+o caracter("t#co/
La" on+a" e"tac#onar#a" "e caracter#)an ;or ;re"entar re.#one" +on+ea a!;#tu+ e" nua 5no+o" 1 otra" +on+e e" !'#!a 5=#entre"/ La
+#"tanc#a entre +o" no+o" o =#entre" con"ecut#=o" e" u"ta!ente >+on+e e" a on.#tu+ +e on+a +e a on+a e"tac#onar#a/
A contrar#o -ue en a" on+a" =#aera"> en a" on+a" e"tac#onar#a" no"e ;ro+uce ;ro;a.ac#@n +e ener.(a/
Para cacuar a =eoc#+a+ +e on+a e"tac#onar#a "e a;#ca a $@r!ua:
Don+e
Don+e
E" a a!;#tu+ +e a on+a +e ca+a ;unto +e !e+#o 1 e" a;u"ac#@n en ca+a ;unto +e !e+#o/
Co!o a a!;#tu+ +e a on+a +e;en+e +e ten+re!o" -ue "eanuar' cuan+o ;ara
Por o tanto> co!o e n<!ero +e on+a> "u"t#tu1en+o ten+re!o" -ue
> ;or o -ue ;ara
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E*ERCICIO PROPUESTOS
ECUACION DE UNA ONDA
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