Post on 19-Sep-2018
• Tal como hemos encontrado en la diapositiva anterior los anchos espaciales y espectrales de las variables conjugadas son tales que.
2
1 kx
2
1 t
Posición / vector de onda k y frecuencia /tiempo se conocen con el nombre de variables conjugadas
De la segunda de ellas podemos ahora enterder porque debemos pagar mas dinero para poder navegar, descargar informaciòn y videos de internet ràpido.
•Navegar/descargar màs ràpido significa que por unidad de tiempo (ej x seg) debemos recibir mas bits en nuestra PC. Esto implica que cada bit (pensado ahora como un pulso regctangular ) debe ser mas angosto esto es su ancho Dt debe ser menor por ende Dw debe ser mayor ( debemos entonces contratar mayor ancho de banda!!)
Ancho spectral (REPASO CLASE ANTERIOR)Curiosidades
• Las desigualdades de Heisenberg son una consecuencia importante de la dualidad onda-partícula de la materia y la radiación y es inherente a su naturaleza cuántica. Una de las desigualdades postula, que la posición y el momento de un objeto no están definidos con exactitud simultáneamente.
2
hpx x
2
htE
Posición / momento Energía / tiempo
Posición / momento y Energía /tiempo se conocen con el nombre de variables conjugadas
Dos consecuencias importantes de las desigualdades de Heisenberg son:
•La trayectoria de una particula no está bien definida en el dominio cuántico•La incerteza es inherente al dominio cuántico y nada tiene que ver con la interacción con los instrumentos de medición o la intervención del observador
Desigualdades de Heisenberg (REPASO)Conocido como principio de incertidumbre
• Aplicando la hipòtesis de De Broglie a las desigualdades planteadas en la filmina anterior obtenemos las llamada DESIGUALDADES DE HEISENBERG conocidas tambièn como principio de incertidumbre de Heisenberg
Debemos buscar una ecuación para modelar la dinámica de las ondículas
F=macomo consecuencia de las desigualdades de Heisenberg
•La trayectoria de una particula no está bien definida en el dominio cuántico
2
2
2
2 ),(),(
t
txE
x
txEoo
2
p
f
V
kV
Pues
¿Entonces?
Ecuación de onda clásica
2
2
2
2 ),(),(
t
txE
x
txEoo
Ecuación de Onda Simetrías
2
2
)()( xxx
x -x
Inversión espacial (reflexión)
t -t 2
2
)()( ttt
Inversión temporal
Soluciones
)(),(
)(),(
)(),(
tkxietxE
tkxCostxE
tkxSentxE
kck )(
Relacion de dispersión
)(2
2
xVm
PE
Energía de una partícula en 1D
Ecuación de Schödinger dependiente del tiempo
)(2
22
xVm
k
)(exp),( tkxitx ti
2
22
x
Solución
)(
2 2
22
xVxmt
i
Ecuación de Schrödinger en 1D
EPlanck
khp De Broglie
),( tx Función de onda compleja de variable real
que representa el estado de la ondícula
La ecuación de Schrödinger dependiente de tAlgunos comentarios
• La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo describe la dinámica de una ondícula, no relativista (esto es con masa en reposo no nula y velocidad mucho menor que c)
• La ec. de Schrödinger dependiente del tiempo es una ecuación diferencial a derivadas parciales en x y t . A diferencia de la ecuación de onda clásica, es de primer orden en el tiempo. En este sentido se corresponde con la forma de una ecuación del tipo de difusión que modela un proceso irreversible.
• Sus soluciones son funciones complejas de variable real y de cuadrado integrable a diferencia de las correspondientes a la ecuación de onda clásica donde la parte real e imaginaria son soluciones.
Ahora conocemos la ecuación que describe la dinámica de una partícula
en 1D pero el precio que debemos pagar es que sus soluciones (estado
de la ondícula) son funciones complejas de variable real (no las
podemos medir directamente).
Solución
Postulado (Interpretación de Born): La densidad de probabilidad de
encontar una partícula en un pequeño intervalo de longitud δx entorno del
un punto x en un tiempo t es igual a
2 2
0( , ) ( , ) d
bb
xx a a
x t x x t x
2( , )x t x
Dado que Ψ(x,t) es una función compleja de variable real. Cómo
se corresponde con una medida fisica sobre el sistema?
Recordemos que en las OEM: el número de fotones por unidad de volumen es proporcional a la energía electromagnética por unidad de volúmen, por lo tanto, a cuadrado de la intensidad del campo electromagnético.
Así la probabilidad total de encontrar a la
partícula entre dos posiciones a y b es
a b
|Ψ|2
x
δx
Max Born
Interpretación de la función de ondaInterpretación de Born
2 *
Conservación del flujo de probabilidadOtras propiedades interesantes
)(
2 2
22
xVxmt
i
*
2
*22*
)(2
xVxmt
i
tJ
La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo admite, por ser de
segundo orden, dos soluciones linealmente independientes. Dado que
éstas son complejas entonces:
Si es solución, , su conjugada compleja, también lo es.),( tx ),(* tx
(1) (2)
Notemos que es posible a partir de (1) y (2) construir una ecuación para el |(x,t)|2,
simplemente multiplicando miembro a miembro (1) por * y (2) por .
2|),(| tx
xxm
iJ
**
2
Pantalla
detectora
Flujo incidente de partículas coherentes, o luz
sind
D
θ
y
1
2
1 2
1 2
2 2 2 * *
1 2 2 1
Término correspondiente a las “partículas” usuales
Término de interferencia
Reintrerpretando la interferencia de
doble rendija
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempoDerivación
Si el potencial es independiente del tiempo
2 2
2i ( )
2V x
t m x
h
h
El lado izquierdo de la ecuación sólo involucra la variación Ψ con t.
El lado derecho sólo involucra la
variación de Ψ con x.
Proponemos asi una solución donde x y t
son independientes( , ) ( ) ( )x t x T t
Sustituyendo:
, ( )V x t V x
2 2
2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2x T t V x x T t i x T t
m x t
h
h
2 2
2 2( ) ( ) ( )
dx T t T t
x dx
2 2
2( )
2
d dTT V x T i
m dx dt
hh
Las ecuaciones son a derivadas totales
2 2
2
1 1( )
2
d dTV x i
m dx T dt
h
h
Dividiendo ambos miembros por ψT
Note que el lado izquierdo de la Ec(3) depende sólo de x, mientras que el derecho sólo depende de t.Dado que esto es cierto para todo x y t ambos miembros debe ser iguales a una constante A. Así
2 2
2( )
2
d dTT V x T i
m dx dt
hh
1 dTi A
T dth
2 2
2
1( )
2
dV x A
m dx
h
(3)
Da cuenta de la evolución temporal
Determina la dependencia espacial
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempoContinuación
/( ) iEtT t ae h
1 dTi A
T dth
dT iAT
dt
h
/( ) iAtT t ae h
1 dTi A
T dth
2 2
2
1( )
2
dV x A
m dx
h
• Esto nos dice que la energía controla la evolución temporal del sistema.• Note que T(t) no depende explícitamente de V(x). Sí depende implícitamente dadoque el potencial como muestra (3) determina los valores posible de E.
(4) (5)
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempoEvolución temporal
2 2
2
d( )
2 dV x E
m x
h
Usando que A = E en la Ec(5):
Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (ESIT)
Note que la densidad de
probabilidad no depende
del tiempo
2 * / /
2*
, , ( ) ( )
( ) ( ) ( )
iEt iEtP x t x t x e x e
x x x
h h
/( , ) ( ) ( ) ( ) iEtx t x T t x e hLa solución de la Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo se escribe como:
Por esta razón se conoce a las soluciones de la (ESIT) como de estado estacionario.
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempoDerivación de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
ExVm
P
)(
2
2
EH
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempoSoluciones de la ESIT en potenciales constantes por partes
2 2
2
d( )
2 dV x E
m x
h
02'' k )]([2
xVEm
k
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
Puede ser reescrita como
(6) donde
Notemos que (6)es una ecuación diferencial de 2do orden. Para el caso en que V(x) sea constante podemos usar la función de prueba =exp(-ax) y así hallar su polinomio
característico
022 ka siendo las raices características ika Encontramos que (6) tiene dos posibles soluciones según sus raices caracteristicas
sean reales o imaginarias
)exp()exp()( ikxBikxAx (7)
(6)
)exp()exp()( xDxCx
VEVEm
k ;][2
EVEVm
;][2
Note que estas soluciones son la prolongación analítica una de la otra para k=+/- i
V(x)
X
Zona clásicamente permitida (ZCP) E>=V(x), Ec>=0
Zona clásicamente prohibida (ZCX) E<V(x)
E
X1 X2 X3 X4 X5 X6
E= Ec + Ep =P2/2m +V(x)
Movimiento de una partícula clásica en un potencial 1DZonas clásicamente permitidas y prohibidas en un potencial de forma arbitraria
Notemos que una partícula clásica en este caso se encuentra confinada a moverse entre los puntos de retorno xi sólo en la regiones donde E>=V(x), esto es donde tiene Ec>=0.
No existen soluciones para las regiones donde V(x) >E, por lo tanto son inaccesibles
Note que para que la partícula pase de la región [x1,x2] a la [x3,x4] debe ganar una energía extra mayor a Vmax[x2,x3] - E
V(x)
x
E
Ondícula en un potencial 1D Escribimos las soluciones de la ESIT para un potencial constante por partes
Notemos que la solución de la ESIT(6) para las ZCP (k >=0), se escriben como una combinación lineal de exponenciales imaginarias
SORPRESA!! Existe solución de la ESIT(6) para las ZCX. Estas presentan valores de k imaginarios y se escriben como una combinación lineal de exponenciales reales
)exp()exp()( xikBxikAx jjjjj )exp()exp()( xDxCx lllll
][2
2EV
mll
ZCP ZCP
ZCX ZCX ZCX
Solución general para cada ZCXSolución general para cada ZCP
dónde][2
2 jj VEm
k
dónde
Debemos escribir la ESIT para cada zona
122
1
2 2
EV
m
dx
dj
jj
jEV
m
dx
d
22
22
V(x)
x
E
Interpretando las soluciones de la ESIT para las ZCPFlujos
)exp()exp()( xikBxikAx jjjjj ZCP ZCP
ZCX ZCX ZCX
Solución general para cada ZCP
][2
2 jj VEm
k
dónde
Recordemos que de la ESDT pudimos derivar la conservación del flujo de probabilidad. t
J 2|),(| tx
xxm
iJ
**
2
dónde y
Dado que trabajamos con soluciones de estado estacionario tenemos que
)exp()(),( Eti
xtx
Por lo tanto 22 |)(||),(| xtx 0 Jy
Esto es, el flujo de partículas se conserva para todo x.
izq
l
der
lll
ll
lll
l jjBm
kA
m
kBA
m
kj 2222 ||||||||
Así podemos calcular le expresión para el flujo para la ZCPl
y obtenemos
Condiciones de continuidad de la función de onda en las discontinuidades de potencial
02'' k )(2
2
'' VEm
Note que el comportamiento de la derivada 2da queda determinado por la diferencia (E-V) . De modo que en las discontinuidades del potencial pueden presentarse los siguientes casos:
'' '
’’ discontinua de 1er orden
)('' 0
x)('' 0
x)(' 0
x)(' 0
x
’ continua
continua
)('' 0
x)('' 0
x )(' 0
x)(' 0
x
continua’’ discontinua de 2do orden ’ discontinua de 1er orden
)('' 0
x
)('' 0
x
V(x)
X=0
E
Escalón de PotencialAplicaciones de la ESIT
ZCP ZCP
x
Procedimiento metodológico para encontrar la/s solucione/s de la ESIT
1 Determinar los puntos de discontinuidad del potencialUbicar los puntos de discontinuidad. Enumerar las zonas. Tenemos así tantas Zonas como discontinuidades +1. Tendremos así tantas ESIT y soluciones como zonas hayamos contado.
2 Determinamos la naturaleza de la solución para cada zonaVemos como es la energia E respecto al potencial para cada zona, determinando si se trata de una ZCP(E>V) [cuya solución es una combinación lineal de exponenciales imaginarias (flujos)] o una ZCX [cuya solución es una combinación lineal de exponenciales reales].
3 Determinamos las condiciones de contorno para cada discontinuidad Evaluamos el cambio que experimenta la energía respecto del potencial en cada punto de discontinuidad y según corresponda aplicamos las condiciones de continuidad correspondiente.
V=V0
Modelo
V(x)
X=0
E
Escalón de PotencialCálculo para E>V0
ZCP ZCP
x
1 Determinar los puntos de discontinuidad del potencialEn este caso tenemos una sola discontinuidad en x=0. Por lo tanto tenemos dos zonas, que enumeramos como zona 1 (x<=0) y zona 2 (x>0). Así tendremos dos soluciones para la ESIT.
V=V0
P: ¿Qué esperaríamos que ocurriera si se tratara de partículas clásicas?
R:Que las partículas experimenten un cambio en la Ec (y por lo tanto en su velocidad). Disminuye en caso que las partículas viajen de izquierda a derecha o aumente en caso que lo hagan en sentido contrario.
Veamos ahora que ocurre con las ondículasSiguimos el procedimiento que propusimos anteriormente
2 Determinamos la naturaleza de la solución para cada zonaComo E es mayor que V para todo x, entonces las zonas 1 y 2 son ZCP. La solución de la ESIT corresponde a una combinación lineal de exponenciales imaginarias (flujos). Dado que Ec de las ondículas en la zona 1 y 2 son distintas mkmPEc ii 22
222
)(2
,0 022 VEm
kx
)exp()exp()( 222 xikDxikCx donde
)exp()exp()( 111 xikBxikAx Em
kx21
2,0
donde
El análisis efectuado hasta el momento ha sido suficientemente general al punto que aún no hemos definido desde donde inciden las ondículas. Nótese que si inciden de la izquierda en esta caso representa en flujo de incidente. En este caso no tiene sentido físico el flujo . Por lo tanto podemos reescribir las CC.
Escalón de PotencialCálculo para E>V0 (Continuación)
V(x)
X=0
EZCP ZCP
x
V=V0
3 Determinamos las condiciones de contorno para cada discontinuidad Notemos que la diferencia entre E y V en la discontinudad (x=0) es finita. Por lo tanto la función es continua y el salto en la derivada 2da es finita (discontinua de 1er orden). Por lo tanto, la derivada 1era es continua.
2
1 ||)( Amk
CkkAk )(2 211
)0()0( 21 )0(')0(' 21 y
DCBA )()( 21 DCikBAik y
Sustituyendo las soluciones y especializándolas en x=0 ,se obtiene
BkkAkk )()( 2121
2
2 ||)( Dmk
Donde R se conoce con el nombre de coeficiente de reflexión y T se conoce como coeficiente de transmision. R+T=1 expresa la conservación del flujo de probabilidad.
Escalón de PotencialCálculo para E>V0 (Continuación 2)
V(x)
X=0
E
A C
x
V=V0
oTransmitidreflejadoincidente JJJ
TRAk
Ck
A
B
J
J
J
J
incidente
trasmitido
incidente
reflejado 1;||
||
||
||1;1
2
1
2
2
2
2
Por la conservación del fujo de probabilidad sabemos que
)0()0( 21 JJ 2
2
2
1
2
1 ||)(||)(||)( CmkBmkAmk B
Ondículas incidentes
Ondículas Transmitidas
Ondículas reflejadas
Sorpresa!!. No teniamos esto en el caso clásico
Dado que se conoce el flujo incidente dividiendo miembro a miembro por este se obtiene
Piense acerca de este razonamiento y trate de sacar conclusiones.
Escalón de PotencialCálculo del coeficiente de reflexión y transmisión
V(x)
X=0
E
A C
x
V=V0
Calculamos el coeficiente de transmisión y reflexión
B
MUY INTERESANTE: Note que tanto R(E) como T(E) no dependen ni de m (la masa de la partícula) ni de h la constante de Planck. Es decir que este resultado debería ser aplicable a un electrón, un protón, un mosquito, un tren... Y por supuesto también Ud!!
2
0
2
0
2
12
2
12
2
2
)(
)(
)(
)(
||
||
EVE
EVE
kk
kk
A
BR
T k2 | C |2
k1 | A |2
4k1k2
(k2 k1)2
4 E(E V0)
( E V0 E )2
Note que a diferencia de lo que se espera clásicamente T=1 solo si E>>V0
CURIOSIDAD: Note que tanto R(E) como T(E) son simétricos frente ante un cambio de x -> -x, esto es, permutar k1 con k2. Por lo tanto las ondículas experimentan el mismo cambio tanto al subir como al bajar el escalón.
V(x)
X=0
E
Escalón de PotencialCálculo para E<V0
ZCP ZCX
x
1 Determinar los puntos de discontinuidad del potencialEn este caso tenemos una sola discontinuidad en x=0. Por lo tanto tenemos dos zonas, que enumeramos como zona 1 (x<=0) y zona 2 (x>0). Así tendremos dos soluciones para la ESIT.
V=V0
P:Qué esperaríamos que ocurriera si se tratara de partículas clásicas?
R:Que las partículas reboten todas en x=0 y regresen hacia la izquierda.x=0 es un punto de retorno clásico
Veamos ahora que ocurre con las ondículasSiguimos el procedimiento que efectuado anteriormente
2 Determinamos la naturaleza de la solución para cada zonaE es mayor que V para x<0 entonces la zona 1 corresponde a una ZCP. La solución de la ESIT es una combinación lineal de exponenciales imaginarias (flujos). En el caso de la zona 2 E<V (ZCX) La solución de la ESIT es una combinación lineal de exponenciales reales.
)(2
,0 02EV
mx
)exp()exp()(2 xDxCx donde
)exp()exp()( 111 xikBxikAx Em
kx21
2,0
donde
En este caso no cabe duda que que las ondículas deben incidir desde la izquierda. Nótese que si inciden de la izquierda, nuevamente que representa el flujo incidente.
Escalón de PotencialCálculo para E>V0 (Continuación)
V(x)
X=0
E
ZCP ZCX
x
V=V0
3 Determinamos las condiciones de contorno para cada discontinuidad Notemos que la diferencia entre E y V en la discontinudad (x=0) es finita. Por lo tanto la función es continua y salto en la derivada 2da es finita (discontinua de 1er orden). Por lo tanto la derivada 1era es continua y la función
)0()0( 21 )0(')0(' 21 y
DBA DBAik )(1y
Sustituyendo las soluciones y especializándolas en x=0 ,se obtiene
)exp()exp()(2 xDxCx Notemos que |2 (x) |2 representa la probabilidad de encontrar a la partícula para x>0 y se debe cumplir que
0
2
2 |)(| dxx )exp()exp()(2 xDxCx debe ser finita, entoncesC=0
2
1 ||)( Amk
Escalón de Potencial (E<V)Cálculando el coeficiente de reflexión y transmisión
V(x)
X=0
E
A
x
V=V0
Calculamos el coeficiente de transmisión y reflexión
B
1||
||
||
||2
1
2
1
2
2
ik
ik
A
BR
T J2
J1
0
Note que obtenemos lo que se espera clásicamente R=1 y T=0
Por la conservación del fujo de probabilidad sabemos que
)0()0( 21 JJ 2
1
2
11 ||)(||)( BmkAmkJ
xxm
iJ
*
22
2*
222
Dado que 2 es real J2=0
Longitud de penetración
De las desigualdades de Heisenberg
oE E V ;
Escalón de Potencial (E<V)Interpretando la solución en la ZCX
2***
22 ))1(exp()2exp(),(),( DDxDDtxtx
para )(2
//1 02EV
mx
X=0
Barrera de PotencialCálculo para E>V0
x
1 Determinar los puntos de discontinuidad del potencialEn este caso tenemos dos discontinuidades, una en x=0 y la otra en x=a. Tenemos así tres zonas, y por lo tranto tres so,cuines de la ESIT. Enumeramos a cada una: zona 1 (x<=0) , la zona 2 (0 <=x<=a) y zona3 (x<=0) .
P: ¿Qué esperaríamos que ocurriera si se tratara de partículas clásicas?
R:Que las partículas experimenten una disminución de la Ec (y por lo tanto en su velocidad) en el intervalo[0,a]. Y que vuelva a aumentar la Ec nuevamente. Esperaríamos que todas las partículas atraviesen esta región del potencial.
Veamos ahora que ocurre con las ondículasSi seguimos el procedimiento que propusimos anteriormente
2 Determinamos la naturaleza de la solución para cada zonaComo E es mayor que V para todo x, entonces todas las zonas son ZCP. La solución de la ESIT corresponde a una combinación lineal de exponenciales imaginarias (flujos). Dado que Ec de las ondículas en la zona 1,3 y 2 son distintas mkmPEc ii 22
222
)(2
,0 022 VEm
kax )exp()exp()( 222 xikDxikCx donde
)exp()exp()( 111 xikBxikAx Em
kx21
2,0
donde
X=a
V(x) E
ZCP1ZCP2
V=V0
ZCP3
)exp()exp()( 113 xikFxikEx Em
kx21
2,0
donde
Barrera de PotencialSoluciones de la ESIT para E>V0 (Continuación)
3 Determinamos las condiciones de contorno para cada discontinuidad Notemos que la diferencia entre E y V en las discontinudades (x=0,x=a) es finita. Por lo tanto la función es continua y el salto en la derivada 2da es finita (discontinua de 1er orden). Por lo tanto, la derivada 1era es continua.
)0(')0('
)0()0(
21
21
)(')('
)()(
32
32
aa
aa
y
)()( 21 DCikBAik
DCBA
Especializando en x=0 ,obtenemos
DkkCkkAk )()(2 21211
V(x) E
ZCP1 ZCP2
V=V0
ZCP3
))exp()exp(())exp()exp((
)exp()exp()exp()exp(
112222
1122
aikGaikFikaikDaikCik
aikGaikFikDikC
Especializando en x=a ,obtenemos
[1]
[2]
[3]
[4]
k1[1] +[2]
DkkCkkBk )()(2 21211 k1[1] - [2]
)exp()()exp()()exp(2
)exp()()exp()()exp(2
12112122
12112122
aikGkkaikFkkaikDk
aikGkkaikFkkaikCk
k2[3] +[4]
k2[3] - [4]
Análogamente repitiendo la operación en x=a , podemos establecer una relación entre los flujos en la zona 2 y el correspondiente en la zona 3:
Operando con las CC en x=0 , podemos establecer una relación entre los flujos en la zona 1 y el correspondiente en la zona 2:
[5]
[6]
Barrera de PotencialConservación del Flujo de probabilidad
Si determinamos que las ondículas inciden de la izquierda en esta caso entonces. El flujo no tiene sentido físico . Operando adecuadamente con éstas ecuaciones obtenemos .
2
2 ||)( Gmk
V(x) E
V=V0
A
B
AA C F
D G
V(x) E
V=V0
AB
AA C FD G A
B
F
21 ||)( Am
kJ inc
21 ||)( Bm
kJ ref
21 ||)( Fm
kJ trans
V(x)
)0()0( 21 JJ 2
2
2
2
2
1
2
1 ||)(||)(||)(||)( DmkCmkBmkAmk
)()( 32 aJaJ 2
1
2
1
2
2
2
2 ||)(||)(||)(||)( GmkFmkDmkCmk
V(x) E
V=V0
AB
AA C FD G
Si calculamos el flujo de probabilidad en cada uno de los puntos de discontinuidad del potencial obtenemos:
Notemos que los flujos de la zona 2 conectan a los de la zona 1 y 3 respectivamente .
2
2
||
||
A
B
J
JR
incidente
reflejado 2
1
2
2
||
||
Ak
Fk
J
JT
incidente
otransmitid
El coeficiente de reflexión R y el de transmisión T, resultan en este caso.
Escalón de PotencialCálculo del coeficiente de transmisión para E>V0
A partir de las ecuaciones [5],[6] podemos obtener una relación entre A y F de modo de calcular el coeficiente de transmisión T. Despejando C y D de [6] y reemplazándo en [5] se obtiene
22
221221
22
2
2
1 |||2)(2|||16 FaSenkkikaCoskkkAkk
De esta expresión puede calcularse de manera directa T y se obtiene:
akSenkk
kkA
FT
2
2
2
21
2
1
2
2
2
2
21
1
||
||
Note en este caso que al igual que en el escalón de potencialT(E)=1 si E >>V0, esto es cuando k1 >>k2. CURIOSIDAD:Note que tambien T(E) =1 si
nak 2 22 na 0
2
2
2 2 VmkEn nak 2 22 na
[7]
Barrera de PotencialCálculo para E<V0
1 Determinar los puntos de discontinuidad del potencialEn este caso tenemos dos discontinuidades, una en x=0 y la otra en x=a. Tenemos así tres zonas, y por lo tranto tres soluciones de la ESIT. Enumeramos a cada una: zona 1 (x<=0) , la zona 2 (0 <=x<=a) y zona3 (x<=0) .
P: ¿Qué esperaríamos que ocurriera si se tratara de partículas clásicas?
R:Si las partículas inciden de izquierda a derecha esperamos que el punto x=0 sea un punto de retorno clasíco donde las partículas rebota y vuelven al mismo medio.
Veamos ahora que ocurre con las ondículasSeguimos el procedimiento usual para resolver el problema
2 Determinamos la naturaleza de la solución para cada zonaComo E es mayor que V en las zonas 1 y 3, estas serán ZCP y La solución de la ESIT corresponde a una combinación lineal de exponenciales imaginarias (flujos). Note que en este caso la Ec de las zonas 1 y 3 son las mismas y por ende los k1=k3.En el caso de la zona 2 como el potencial es mayor que la E se trata de una ZCX
202)(
2,0 ikEV
max
)exp()exp()(2 xDxCx donde
)exp()exp()( 111 xikBxikAx Em
kx21
2,0
donde
)exp()exp()( 113 xikFxikEx Em
kx21
2,0
donde
X=0 xX=a
V(x)
E
ZCP1ZCX
V=V0
ZCP3
NOTE!! Que en este caso dado que la ZCX (zona 2) es de dimensión finita a, los coeficientes
C y D en 2 pueden ser ambos distintos de cero manteniendo finita
0
2
2 |)(| dxx
Barrera de PotencialSoluciones de la ESIT para E>V0 (Continuación)
3 Determinamos las condiciones de contorno para cada discontinuidad Notemos que la diferencia entre E y V en las discontinudades (x=0,x=a) es finita. Por lo tanto la función es continua y el salto en la derivada 2da es finita (discontinua de 1er orden). Por lo tanto, la derivada 1era es continua como ocurrió en el caso en que E>V
)0(')0('
)0()0(
21
21
)(')('
)()(
32
32
aa
aa
y
)()(1 DCBAik
DCBA
Especializando en x=0 ,obtenemos
DikCikAk )()(2 111
))exp()exp(())exp()exp((
)exp()exp()exp()exp(
112
11
aikGaikFikaDaC
aikFaikFaDaC
Especializando en x=a ,obtenemos
[8]
[9]
[10]
[11]
k1[8] +[9]
DikCikBk )()(2 111 k1[8] - [9]
)exp()()exp()()exp(2
)exp()()exp()()exp(2
1111
1111
aikGikaikFikaD
aikGikaikFikaC
k2[10] +[11]
k2[10] - [11]
Análogamente repitiendo la operación en x=a , podemos establecer una relación entre los flujos en la zona 2 y el correspondiente en la zona 3:
Operando con las CC en x=0 , podemos establecer una relación entre los flujos en la zona 1 y las soluciones en la zona 2:
[12]
[13]
X=0 xX=a
V(x)
E
ZCP1 ZCX
V=V0
ZCP3
Escalón de PotencialCálculo del coeficiente de transmisión para E>V0
A partir de las ecuaciones [12],[13] y suponiendo que las ondículas inciden por la izquierda(G=0) podemos obtener una relación entre A y F de modo de calcular el coeficiente de transmisión T. Despejando C y D de [11] y reemplazándo en [10] se obtiene:
22
1
22
1
22
1
2 |||4)(2|||16 FaChkiaShkAk De esta expresión puede calcularse de manera directa T .
aShk
kA
FT
2
2
1
2
1
22
2
21
1
||
||
Note que en el caso en que si E >>V0 o a >>1 (esto es el potencial de la barrera es grande repecto de la energía o la barrera es ancha) Entonces a>>1 el coeficiente de transmisión tiene una forma exponencial decreciente.
)2exp(2
||
||2
2
1
2
1
2
2
ak
k
A
FT
22 ||)2exp(|| AaF
A
B F
SORPRESA!! Las ondículas tienen una probabilidad finita de transmitirse a través
de la barrerra. Este fenómeno se conoce como EFECTO TUNEL
NOTA: Es posible obtener [14] a partir de [7] simplemente reemplazando k2 =i. Por qué?
[14]
aeV
E
V
ET 2
00
116
Efecto tunel con fotones. Analogía con OEM
• Si se hace pasar luz através de un prisma como el
que se muestra en la figura con un ángulo mayor al
ángulo crítico la luz se refleja en la superficie interna
ocurriendo el fenómeno conocido como reflexión total
interna frustrada. Sin embargo, el campo
electromagnético en la proximidad de la superficie
reflectorano es exactamente cero. Si se coloca otro
prisma muy cerca del primero se encuentra que una
OEM (luz) aparece en el segundo prisma. Se conoce
a la solución de la ecuación en la proximidad de la
superfice del primer prisma con el nombre de onda
evanescente.Se encuentra que la intensidad de la
OEM que se propaga en el segundo prisma decrece
exponencialmente con la distancia entre ambos
prismas (Efecto tunel de fotones!!)
Aplicaciones y evidencias del efecto tunel (EF) Decaimiento alfa,fusión nuclear, microscopía de efecto tunel STM
El efecto tunes ha tenido muchas aplicaciones tecnológicas especialemente
en la electrónica, por ejemplo, el diodo tunel en el cual se produce un flujo de
electrones por efecto tunel controlando la altura de la barrera mediante ;a
aplicación de un potencial externo
• En 1973 el premio Nobel de física se le otorgó al el físico japonés Leo Esaki
(por la aplicación de la teoria de ET a heteoestructuras semiconductoras),
Ivar Giaever (por la aplicación a superconductores) y Brian Josephson (la
aplicación a la juntura Josephson, que describe un artefactu de conmutación
rápida basado en EF)
• En 1986 Gerd Binning y Heinrich Rohrer ganaron el premio Nobel por el
desarrollo del microscopio de efecto tunel STM
• Pero el debut de la tería de efecto tunel fué en el dominio de la físca nuclear
en la explicación del decaimiento alfa (Georg Gamow, Ronald Gurnay, Sir
Edward U. Condon).
Microscopía de efecto tunel STM
Se utilizan tres barras de cuarzo para regsitrar la topografía de una superficie semi/condutora por medio de una sonda muy
fina (un átomo)Se estable una diferencia de potencialentre el material y una fina punta detungsteno. Cuando la distancia entre lapunta y la superficie conductora ES pequeña, se entablece una corriente entre lasuperficie y la punta por ET. El nro deelectrones que fluyen desde la superficiepor unidad de tiempo (corriente tunel) esmuy sensible a la distancia entre la puntay el material.
Principio de operación
Las barras de cuarzo forma un un soporte piezoeléctrico, dado que suspropiedades elásticas dependen de la tensión aplicada. Un circuitoelectrónico sensa la corriente La magnitud de la corriente y con estomantiene constante la distancia entre la punta y la superficie y lapunta. Asi la punta se mueve hacia arriba y hacia abajo siguiendo elcontorno de la superficie generando un mapa topográfico de lasuperfice a escala atómica.
Si(111) reconstrucción (7x7) Si(110) reconstrucción (2x1).
Terrazas, islas y huecos
Microscopía de efecto tunel STMObservando y manipulando el paisaje a escala atómica
Barrera de PotencialSoluciones de la ESIT para E=V0
X=a
V(x)
EZCP1 ZCX
V=V0
ZCP3
1 Determinar los puntos de discontinuidad del potencialEn este caso tenemos dos discontinuidades, una en x=0 y la otra en x=a. Tenemos así tres zonas, y por lo tranto tres soluciones de la ESIT. Enumeramos a cada una: zona 1 (x<=0) , la zona 2 (0 <=x<=a) y zona3 (x<=0) .
Veamos ahora que ocurre con las ondículas en este caso
2 Determinamos la naturaleza de la solución para cada zonaComo E es mayor que V en las zonas 1 y 3, estas serán ZCP y La solución de la ESIT corresponde a una combinación lineal de exponenciales imaginarias (flujos). Note que en este caso la Ec de las zonas 1 y 3 son las mismas y por ende los k1=k3.En el caso de la zona 2 como el potencial es igual a E se trata de una ZCX
ax 0DCxx )(2 dado que
)exp()exp()( 111 xikBxikAx Em
kx21
2,0
donde
)exp()exp()( 113 xikFxikEx Em
kx21
2,0
donde
NOTE!! Que en este caso dado que la ZCX (zona 2) es de dimensión finita a, los coeficientes
C y D en 2 pueden ser ambos distintos de cero
0)(22
2
xdx
d
Escalón de PotencialCálculo del coeficiente de transmisión para E=V0
Nuevamente suponiendo que las ondículas inciden por la izquierda (G=0) podemos obteneruna relación entre A y F. Notemos que en este caso no es necesario repetir todo el procedimiento dado que las solución en el caso de E<Vo es la prolongación analítica de lascorrepondiente a E>V0 . Por lo tanto la solución en el caso E=Vo puede obtenerse en el límitede cualquiera de éstas evaluando:
0)(2
limlim 0200 EV
mVEVE
2
12
2
1
2
1
202
2
0
21
1
21
1lim
||
||lim)(
0
ak
aShk
kA
FVET VE
Note que en el caso podemos obtener T(E) a partir de [14] tomando el límite arriba propuesto.
DCxxQxPxQxPx )1()1()exp()exp()(02
Qué ocurre si a>>1 es decir que transforma la barrera en un escalón?
Potencial delta de DiracLa función Delta de Dirac es una distribución o función generailzada, que se define como"límite distribucional" de una sucesión de funciones que convergen puntualmente a la función cero en todos los puntos de su dominio excepto uno. Se dice que una sucesión de funciones fn(x) converge distribucionalmente cuando:
0
0
00
)(xx
xxsixx
Ecuación de Shrodinger con un potencial tipo delta de Dirac.
1)( 0
dxxx
)()()( 00 xFdxxxxF
)()()()(2 2
22
xExxPxdx
d
m
)(lim)]()()(2
[lim
0
0
02
220
0
0 xExxPxdx
d
m
)]()()([2
lim)]0()0([lim
0
0
0
0
20
''
0 xEdxxxPm
)0(2
)0()0( 2,12
'
1
'
2 mP
Definición:
Propiedad importante que utilizaremos en nuestros cáculos:
Condiciones de continuidad de derivada para la delta de Dirac:
Barrera de potencial tipo delta de Dirac
x
P(x)En este caso tenemos una potencial tipo delta de Dirac. Notemos que en este caso el problema admite soluciones para E> 0 y son
E>0
Operando algebraicamente 3 y 4 podemos expresar fácilmente A y B en función de C y D
Em
kxikxBikxAx21
2,0),exp()exp()(
Em
kxikxDikxCx22
2,0),exp()exp()(
Soluciones de la ESIT
)0()0( 21
)0(2
)0(')0(' 2,1212 mP
[1]
[2]
)(2
)()(2
DCmP
BAikDCik
DCBA
[3]
Aplicamos las condiciones de contorno en x=0 que es la única discontinuidad
[4]
1 2
k
mPQ
D
C
iQiQ
iQiQ
B
A21
1
Pozo de potencial tipo delta de DiracCálculo del coficiente de transmisión y reflexión
Para el caso en que las ondículas inciden de izquierda a derecha
Asi concluimos que el potencial tipo delta de Dirac divide al espacio en dos mitades y el coeficiente de transmisión y reflexión son distintos de 1 y 0 respectivamente
2
22
2
2
22
2
21
1
||
||
21
1
||
||
mP
EA
BRy
E
mPA
CT
Pozo de potencial de paredes infinitas
Consideremos una partícula confinada en una región de tamaño
finito –a<x<a por dos barreras de potencial infinito
x
Dado que e potencial es infinito en las zonas 1 y 3 la solución en
la de la ESIT es cero indicando que la ondícula esta confinada a
la región [0,a]
V V V(x)
0 a
0V
Solución general:
ZCX 1 ZCX 3ZCX 2
0,0)(1 xxE
mkaxikxBikxAx
22
2,0),exp()exp()(
axx ,0)(3
En este caso la solución en la ZCP2 debe conectarse a las soluciones reales en la ZCX1,3. Dado que no hay flujo en la ZCX1,3 resulta que el flujo en la ZCP2 J2=0.
)exp(0)|||(| 22
2 iBABAm
kJ
Continuidad de ψ en x = 0:
Continuidad de ψ en x = a:
Dado que la discontuidad del potencial es infinita en x=0 y
x=a la derivada primera es discontinua en dichos puntos
Pozo de potencial de paredes infinitas
0)exp()exp( ikaBikaA
)0()0( 21
)()( 32 aa
0 BA
nkakaASen 0)(
2
2222
82 ma
nhE
m
kE n
)()( x
a
nASenxn
[1]
Usando [1] tenemos que A= -B resulta que
Dado que la ondícula tiene solo energía cinética en la ZCP resulta que
Sorpresa la energía no puede tomar cualquier valor. ES DISCRETA!!
Pozo de potencial de paredes infinitasPor qué el espectro de energía es discreto?
)(2
)("2
VEm
x
nkakaASen 0)(
2
2222
82 ma
nhE
m
kE n
)()( x
a
nASenxn
Para comprender la naturaleza discreta del espectro de energía de la ondícula confinada entre dos zonas clásicamente prohibidas, note que la energía cinética de la
ondícula
está relacionada con la curvatura (derivada segunda) de la función de onda. Dado que la solución debe ser continua en los puntos de discontinuidad entonces no cualquier
curvatura de la función puede ajustar a las soluciones en las ZCX de modo continuo y por lo tanto no cualquier energía es posible para la ondícula con lo que el espectro de
energía es de naturaleza discreta
Dado que la partícula se haya confinada en la región [0,a]. Así la probabilidad de encontrarla en dicho intervalo es igual a uno
axxa
nASenxn 0),()(
1)(|||)(|1|)(|0
22
0
2
2
2
dxxa
nSenAdxxdxx
aa
aA
2
Pozo de potencial de paredes infinitasNormalización de la solución
1|)(|)( 2
dxxxP
Usando las soluciones obtenidas en el paso anterior y reemplazando en la integral podemos calcular el valor de A (constante de normalización)
Reemplazando obtenemos
)(2
)( xa
nSen
axn
Soluciones de la ESIT Densidad de probabilidad
Note que la probabilidad para el estado fundamental |1| es máxima en el centro, mientras que para |2| es cero en el centro. Significa esto que la partícula nunca pasa por el centro?
( )x2
( )x
)(2
)(1 xa
Sena
x
)2
(2
)(2 xa
Sena
x
)3
(2
)(3 xa
Sena
x
2
2
18ma
hE
12 4EE
13 9EE
Pozo de potencial de paredes infinitasGraficamos las soluciones
2
3 |)(| x
2
2 |)(| x
2
1 |)(| x
Es interesante verificar que la densidad de probabilidad: xa
nSen
axn
22 2
|)(|
en el límite en que n y teniendo en cuenta que el valor medio de 2
12 xSen
Se recupera la probabilidad clásicaa
xPcl1)( Principio de correspondencia
• El espectro de energía es discreto. Se dice que la energía está cuantificada. Esta es una caracteristica general de los problemas con estados ligados, esto es donde la ondícula está confinada a una región finita del espacio.
• Los niveles de energia están asociados con un número cuántico n (entero) y está relacionado con el número de nodos (n-1) de la función de onda y la energia de la ondicula en dicho estado con la curvatura de la función de onda.
• El nivel mas bajo de energia del sistema se conoce con el nombre de estado fundamental y esta próximo al límite establecido por las desigualdades de Heisenberg
Pozo de potencial de paredes infinitasResumen
Se reduce la barrera de potencial a una altura finita V0
V(x)
x
-a a
V0
1 2 3
Zona 1 Zona 2 Zona 3
Pozo de potencial de de paredes finitasSoluciones de la ESIT
)exp()exp()(3 qxGqxFx )exp()exp()(1 qxBqxAx )exp()exp()(2 ikxDikxCx 0 0
ZCPZCX ZCX
)exp()(1 qxAx )exp()(3 qxGx
))(()())(()( imparxxparxx
)()( xVxVNotemos que como La ESIT es invariante ante una reflexión espacial
esto es xx de modo que las soluciones
)(2
02
2 EVm
q
)(2
02
2 EVm
q
Em
k2
2 2
01 J 03 J ,0),exp(||||0 22
2 iDCDCJ
Soluciones pares Soluciones impares
Pozo de potencial de de paredes finitasSoluciones pares e impares
)()( 31 xx
|)|exp()(|| xqAxax
Notemos que usando los argumentos de paridad reducimos el número de coeficientes
de cuatro a dos. Por lo tanto cuando planteamos las condiciones de contorno y dada lasimetría del potencial solo será necesario hacerlo en uno de los dos puntos de
discontinuidad x=-a o x=a, simplificando así el problema de resolver un sistema de 4x4 a dos simples sistemas dos 2x2 uno para las soluciones pares y otro para las impares
)()( xx )()( 22 xx
GA DC
)()(|| kxCCosxax
)()( 31 xx
|)|exp()sgn()(|| xqAxxax
)()( xx )()( 22 xx
GA DC
)()(|| kxCSenxax
x a x a )()( 21 aa
Pozo de potencial de de paredes finitasCondiciones de contorno
)(')(' 21 aa )()( 32 aa
)(')(' 32 aa Tal como adelantamos usando los argumentos de paridad y utlizando las soluciones
pares e impares , solo es necesario evaluar las condiciones de contorno en una de las discontinuidades. Hagámoslo por ejemplo en x=a [2]
Soluciones pares Soluciones impares
[1] [2]
CCoskaqaA )exp(
kCSenkaqaqA )exp(
CSenkaqaA )exp(
kCCoskaqaqA )exp(
Dividiendo ambas ecuaciones obtenemos
Energías para las soluciones pares
tanq k ka cotq k ka
Energías para las soluciones impares
Los valores de las energías pueden obtenerse resolviendo numéricamente estas ecuaciones o bien en forma gráfica. Presentamos a continuación esta forma de solución
Las energías de soluciones pares corresponden a las intersecciones de las curvas azul y roja(siempre existe al menos una)
Las energias de las soluciones impares corresponden a las intersecciones de las curvas azul y verde
Pozo de potencial de paredes infinitasEspectro de energia
Espectro continuo q imaginario
Espectro discreto q>0q=0
•Todos los estados de energía tienen una curvatura menor que los correpondientes
al pozo de paredes infinitas dado que la ondícula puede penetrar en las zonas
clásicamente prohibidas conforme V0 – E disminuye.
•El número de estado ligados depende de la profundidad del pozo,
sin embargo encontramos que siempre existe aún cuando el potencial
sea muy pequeño
•En el límite V0→∞:
Recuperamos los energias correspondientesal pozo de paredes infinitas
•El espectro de energía es discreto para E<Vo y continuo para E>V0
20
nkasolucionesk
Pozo de potencial de paredes infinitasResumen
Pozo de potencial tipo delta de Dirac
)0()0( 21
)0(2
)0(')0(' 2,1212 mP
[1]
[2]
Condiciones de contorno y cálculo de la energía
Note que de [1] surge que A=D. Usando esto en [2] obtenemos que
2
2
2 2
22
mP
EmP
[3]
La ec [3] nos dice que el pozo tipo delta de Dirac tiene solo un estado ligado cuya energía depende de la magnitud del potencial P (peso de la delta) y de la masa de la
ondícula. Esto es a mayor |P| mayor es la curvatura de la función de onda y más localizada se encuentra
Curiosidad!!. Note que el valor de la energía calculado en la ec [3] coincide con el polo del coeficiente de transmisión calculado en la transparencia anterior.
Note también que la discontinuidad en la derivada según [3] crece con |P|
Aplicamos las condiciones de contorno en x=0 que es la única discontinuidad
Potencial doble delta de Dirac
0,)(2
,),exp()(21 EconEm
axxAx
0,)(2
,),exp()(23 EconEm
axxEx
dxx |)(| 3,1
Un módelo simple de molécula diatómica homopolar
Note que podemos explotar la simetría del potencial para evitar tener que plantear las condiciones de contorno en x=-a y x=a respectivamente. Recordemos que por ser de
simetría par el potencial (x)=(-x) y (x) =-(-x) son soluciones de la ESIT Así obtenemos.
Aplicamos las condiciones de contorno en x=a que es la única discontinuidad
xZCX 1 ZCX2
-P(x+a)
E>0
E<0 xZCX3
-P(x-a)
Nuevamente hemos aplicado la condición de
normalización a las soluciones de la ZCX1 y 3
)(2
,||),exp()exp()(22 Em
axxDxCx
Solución par
|x|<=a|x|>=a
|)|exp()( xAxout xDChxin )(
Solución impar |)|exp()sgn()( xAxxout xDShxin )(
Potencial doble delta de Dirac
0,)(2
,),exp()(21 EconEm
axxAx
0,)(2
,),exp()(23 EconEm
axxEx
dxx |)(| 3,1
Condiciones de contorno y cálculo de la energía
Note que podemos explotar la simetría del potencial para evitar tener que plantear las condiciones de contorno en x=-a y x=a respectivamente. Recordemos que por ser de
simetría par el potencial (x)=(-x) y (x) =-(-x) son soluciones de la ESIT Así obtenemos.
Aplicamos las condiciones de contorno en x=a que es la única discontinuidad
xZCX 1 ZCX2
-P(x+a)
E>0
E<0 xZCX3
-P(x-a)
Nuevamente hemos aplicado la condición de
normalización a las soluciones de la ZCX1 y 3
)(2
,||),exp()exp()(22 Em
axxDxCx
Solución par
|x|<=a|x|>=a
|)|exp()( xAxout xDChxin )(
Solución impar |)|exp()sgn()( xAxxout xDShxin )(
Potencial doble delta de DiracSoluciones, probabilidad y enlace covalente
Manipulando algebraicamente [1,2] es posible calcular la energía
xZCX
1ZCX2
-P(x+a)x
ZCX3
-P(x-a)
Función de onda (Orbital enlazante) correspondiente a la solución par. Su energía es
menor que la de cada orbital por separado yNote que tiene un probabilidad no nula en el centro
(enlace covalente)
Condición de contorno para la solución par en x=a
)()( aa inout aAeaDCh
)(2
)(')(' ,2a
mPaa outininout
aa AemP
aDChAe
2
2
2
2
2)1
2()1
2(
mPa
QyaxconQ
xe
a
mPaath x
[1]
[2]
2x/Q-1
2x
x
Valor de la energía correspondiente al estado par(Fundamental) dado que tiene la menor curvatura
Potencial doble delta de DiracSoluciones, probabilidad y enlace covalente. Cont
Manipulando algebraicamente [3,4] es posible calcular la energía
xZCX
1ZCX2
-P(x+a)x
ZCX3
-P(x-a)Condición de contorno para la solución impar x=a
)()( aa inout
)(2
)(')(' ,2a
mPaa outininout
aAeaDCh aa Ae
mPaDChAe
2
2
2
2
2)
21()1
2(
mPa
QyaxnuevamenteQ
xe
a
mPaacth x
[3]
[4]
Función de onda (Orbital antienlazante) correspondiente a la solución impar. Note que tiene
probabilidad nula en el centro
1-2x/Q
Valor de la energía correspondiente al orbital antielazante. Note que es módulo menor (menos negativa)que la correspondiente al
orbital ligantedado que tiene mayorcurvatura