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2.4 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL 2.4.1.OBJETIVOS Determinar las componentes normal y tangencial de la velocidad y la
aceleracin de una partcula que se encuentra movindose en un
trayectoria curva.
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2.4 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL 2.4.1.APLICACIONES
Cuando un auto se mueve en una
curva experimenta una aceleracin,
debido al cambio en la magnitud o en
la direccin de la velocidad.
Podra Ud. preocuparse por la
aceleracin del auto?.
Si el motociclista inicia su
movimiento desde el reposo e
incrementa su velocidad a razn
constante. Cmo podra determinar
su velocidad y aceleracin en la
parte ms alta de su trayectoria.
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2.4 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL 2.4.3. POSICIN
Cuando la trayectoria de una
partcula es conocida, a veces es
conveniente utilizar las
coordenadas normal (n) y
tangencial (t) las cuales actan
en las direcciones normal y
tangencial a la trayectoria.
En un movimiento plano se
utilizan las vectores unitarios ut y
un
El origen se encuentra ubicado
sobre la trayectoria de la
partcula.
El eje t es tangente a la
trayectoria y positivo en
la direccin del
movimiento y el eje n es
perpendicular al eje t y
esta dirigido hacia el
centro de curvatura
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2.4 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL 2.4.3. POSICIN
En un movimiento plano las
direcciones n y t se encuentran
definidas por los vectores
unitarios ut y un
El radio de curvatura , es la distancia perpendicular desde curva
hasta el centro de curvatura en aquel
punto.
La posicin es la distancia S medida
sobre la curva a partir de un punto O
considerado fijo
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2.4 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL 2.4.4. VELOCIDAD
Debido a que la partcula se
esta S
est el
tiempo
La vector
que a
la magnitud
se derivando
respecto la
posicin tanto
se
Debido a que la partcula se
esta moviendo, la posicin S
est cambiando con el
tiempo.
La velocidad v es un vector
que siempre es tangente a
la trayectoria y su magnitud
se determina derivando
respecto del tiempo la
posicin S = f(t). Por lo tanto
se tiene
/
tv vu
v s dS dt
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2.4 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL
2.4.4. ACELERACIN
Consideremos el movimiento de
una partcula en una trayectoria
curva plana
En el tiempo t se encuentra en P
con una velocidad v en direccin
tangente y una aceleracin a
dirigida hacia la concavidad de la
curva. La aceleracin puede
descomponerse en una
componente tangencial at
(aceleracin tangencial) paralela
a la tangente y otra paralela a la
normal an (aceleracin normal)
La aceleracin tangencial
es la responsable del
cambio en el modulo de la
velocidad
La aceleracin normal es la
responsable del cambio en
la direccin de la velocidad
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2.4 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL
2.4.4. ACELERACIN
Tracemos en A un vector
unitario
Si el
vector en
magnitud
Pero es
curva cambia
por
Tracemos en A un vector
unitario . La aceleracin ser
Si la trayectoria es una recta, el
vector sera constante en
magnitud y direccin, por tanto
Pero cuando la trayectoria es
curva la direccin de cambia
por lo tanto
( )t tt
d ve dedv dva e v
dt dt dt dt
0t
de
dt
te
te
te
0t
de
dt
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2.4 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL
2.4.4. ACELERACIN
Introduzcamos el vector unitario
normal dirigido
hacia la
curva forma
la x.
Entonces
La unitario
tangente
Introduzcamos el vector unitario
normal a la curva y dirigido
hacia el lado cncavo de la
curva. Sea el ngulo que forma
la tangente en A con el eje x.
Entonces se tiene
La derivada del vector unitario
tangente ser
ne
cos
cos( ) ( )2 2
cos
t
n
n
e i sen j
e i sen j
e sen i j
( ) cos
t
tn
de d dsen i j
dt dt dt
de de
dt dt
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2.4 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL 2.4.4. ACELERACIN
Por otro lado se tiene que
Donde dS es el pequeo arco a lo largo del movimiento en un dt.
Las normales a la curva en A y A se intersecan en C. Entonces
La razn de cambio del vector unitario tangencial es
d d dS d
vdt dS dt dS
1
dS d
d
dS
1tn
dee
dt
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2.4 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL 2.4.4. ACELERACIN
Remplazando esta ecuacin en
la aceleracin se tiene
Es decir las aceleraciones
tangencial y normal se escriben
La magnitud de la aceleracin total ser
2
tt
t n
t t n n
dedva e v
dt dt
dv va e e
dt
a a e a e
2
: t t t ndv v
a e a edt
2 2
t na a a
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CASOS ESPECIALES
1. La partcula se mueve a lo largo de una lnea recta
=> an = v2/ 0 > a = at = v
La componente tangencial representa la razn
de cambio de la magnitud de la velocidad
2. La partcula se mueve en la curva a velocidad constante
at = v = 0 => a = an = v2/
La componente normal representa la razn de cambiode la direccin de la
velocidad
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3) La componente tangencial de la aceleracn es
constante, at = (at)c.
So and vo son la posicin y la velocidad de la partcula en t = 0
4. La partcula se mueve a lo largo de la rayectoria dada por y
= f(x). Entonces el radio de curvatura es
2
0 0
0
2 2
0 0
1( )
2
( )
2( ) ( )
c c
c c
c c
s s v t a t
v v a t
v v a s s
2 3/ 2
2 2
[1 ( / ) ]
/
dy dx
d y dx
CASOS ESPECIALES
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Ejemplo 01
Un esquiador viaja con una rapidez de 6 m/s la se est incrementando a razn de 2 m/s2, a lo largo de la trayectoria parablica indicada en la
figura. Determine su velocidad y aceleracin en el instante que llega a
A. Desprecie en los clculos el tamao del esquiador.
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Solucin
Estableciendo los ejes n y t mostrados se tiene.
La velocidad de 6 m/s es tangente a la trayectoria y su
direccin ser
Por lo tanto en A la velocidad forma 45 con el eje x
1,20
1
10
2 xdx
dyxy
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Solucin
La aceleracin se determina aplicando la ecuacin
Para ello se determina el radio de curvatura
2
t n
dv va e e
dt
2 3/ 2
2 2
2 3/ 2
[1 ( / ) ]
/
[1 ( /10) ]
1/10
28.28
dy dx
d y dx
x
m
2
2
6 2
28,3
2 1,27
A t n
A t n
A t n
dv va e e
dt
a e e
a e e
Page 61
Solucin
La magnitud y la direccin de la aceleracin sern
2 2 2
1
2 1.237 2.37 /
2tan 57.5
1.327
a m s
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Ejemplo 02
Un carro de carreras C viaja alrededor de una pista horizontal circular que tiene un radio de 90 m. Si el carro incrementa su rapidez a razn constante
de 2,1 m/s2 partiendo desde el reposo, determine el tiempo necesario para
alcanzar una aceleracin de 2,4 m/s2. Cul es su velocidad en ese
instante.
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Solucin
Se sabe que la aceleracin tangencial es constante e igual
a
La aceleracin normal ser
La aceleracin total ser
La velocidad en este instante ser
2
0
2,1 /
0 2,1
t
t
a m s
Entonces
v v a t
v t
2 22 2(2,1 ) 0.049 /
90n
v ta t m s
2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2,1 0.049
2,1 [0.049 ]
2,4 2,1 [0.049 ]
4,87
t t n
t n
va a e e
a e t e
a t
t
t
2.1 10.2 /v t m s
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Ejemplo 03
Una caja parte del reposo en A e
incrementa su rapidez a razn de
at = (0.2t) m/s2 y viaja a lo largo
de la pista horizontal mostrada.
Determine la magnitud y direccin
de la aceleracin cuando pasa por
B
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Ejemplo 03
La posicin de la caja en cualquier
instante es S medida a partir del
punto fijo en A.
La velocidad en cualquier instante
se determina a partir de la
aceleracin tangencial, esto es
0 0
2
0.2 (1)
0.2
0.1 (2)
t
v t
a v t
dv tdt
v t
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Ejemplo 03
Para determinar la velocidad en B,
primero es necesario determinar S
= f(t), despus obtener el tiempo
necesario para que la caja llegue a
B. es decir
De la geometra se tiene
sB = 3 + 2(2)/4 = 6.142 m.
Entonces tenemos
2
2
0 0
3
0.1
0.1
0,0333 (3)
S t
dsv t
dt
ds t dt
S t
36,142 0,0333
5,69
t
t s
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Ejemplo 03
Remplazando el tiempo en las ecuaciones (1) y (2) resulta
En el punto B el radio de curvatura es
= 2 m, entonces la aceleracin ser
La aceleracin total ser
Su modulo y direccin sern
2
2
( ) 0.2(5.69) 1.138 /
0.1(5.69) 3.238 /
B t B
B
a v m s
v m s
22( ) 5.242 /BB n
B
va m s
2
,
1,138 5,242
BB t B t n
B t n
va a e e
a e e
2 2 2
2
1,138 [5,242]
5,36 /
a
a m s
1 5.242[ ] 77,751,138
tg
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Ejemplo 04
Una partcula se mueve en una trayectoria curva de tal manera
que en cierto instante tiene una velocidad v y una aceracin a.
Demuestre que el radio de curvatura puede obtenerse a partir
de la ecuacin
3
1 vxa
v
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Ejemplo 04
Sabemos que la aceleracin en
cualquier instante es
Multiplicando ambos miembros por la
velocidad v tenemos
Debido a que la aceleracin
tangencial son colineales su producto
vectorial es nulo. Entonces tenemos
Remplazado la aceleracin normal
tenemos
t na a a
t n
t n
t n
a a a
vxa vx a a
vxa vxa vxa
0
90
n
n n
n
n
vxa vxa
vxa vxa
vxa vxa va sen va
2
3
( )
1
vvxa v
vxa
v
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Ejemplo 5
El auto viaja a lo largo de una curva que tiene un radio de 300m. Si su rapidez se incremente uniformemente de 15 m/s a 27 m/s en 3s.
Determine la magnitud de su aceleracin en el instante en que su
rapidez es de 20m/s.
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Ejemplo 6
En un instante dado la locomotora del tren en el punto E tiene una rapidez de 20 m/s y una aceleracin de 14m/s2 .actuando en la direccin
mostrada. Determine la tasa de incremento en la velocidad del tren y el
radio de curvatura del camino.
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Ejemplo 7
El automvil est originalmente en S=0. si parte incrementando su velocidad a v=(0.05t^2)m/s^2. donde t est en segundos, determine las
magnitudes de su velocidad y aceleracin en s=165m
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Ejemplo 8
Partiendo desde el reposo, un bote a motor viaja alrededor de una trayectoria circular de radio r = 50 m con una velocidad . Determine la
magnitud de la velocidad y de la aceleracin del bote en t = 3 s.
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Ejemplo 9
Un avin viaja a lo largo de una trayectoria parablica
vertical .
En el punto A el avin tiene una velocidad de 200 m/s la
cual se incrementa a razn
de 0,8 m/s2. Determine la
magnitud de la aceleracin
del avin cuando pase por
A.
20,4y x
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Ejemplo 10
El jugador de bisbol lanza una pelota con una velocidad inicial de v0 = 30 m/s a un ngulo = 30 como se muestra en la figura. Hallar el radio de curvatura de la trayectoria: (a) inmediatamente
despus del lanzamiento y (b) en el vrtice. Calcular en cada
caso, la variacin de celeridad por unidad de tiempo.
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ANALISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTICULAS USANDO EJES EN TRASLACIN
Hasta ahora se ha estudiado el movimiento absoluto de una partcula usando un marco de referencia fijo.
Sin embargo, existen ejemplos en el que la trayectoria del movimiento de una partcula es complicada, de modo que es ms
factible analizar el movimiento en partes usando dos o ms marcos
de referencia.
Por ejemplo, el movimiento de una partcula localizada en la hlice de un avin , mientras ste est en vuelo , es ms fcil describirlo si
observamos primero el movimiento del avin a partir de un sistema de
referencia fijo y despus se superpone vectorialmente el movimiento
circular de la partcula medida a partir de un marco de referencia
mvil unido al aeroplano.
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ANALISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTICULAS USANDO EJES EN TRASLACIN
En esta seccin nos ocuparemos del estudio del movimiento solo a marcos de referencia en traslacin. El anlisis del movimiento relativo
de partculas usando marcos de referencia en rotacin se tratar en el
curso de Dinmica.
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MOVIMIENTO RELATIVO: POSICIN
Consideremos dos partculas A y B movindose en las trayectorias
mostradas
Las posiciones absolutas de A y B con respecto al observador fijo en el
marco de referencia OXYZ sern
El observador B slo experimenta traslacin y se encuentra unidos al
sistema de referencia mvil Oxyz
La posicin relativa de A con respecto al observador B , es
Ar OA
Br OB
/A B A Br r r
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Movimiento relativo: Velocidad
Derivando la ecuacin de la posicin relativa se tiene
/A B A Bv v v
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Movimiento relativo: Aceleracin
Derivando la ecuacin de la velocidad relativa se tiene
/A B A Ba a a
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Ejemplo 01
Un tren T, viajando a una velocidad constante de 90 km/ h, cruza una carretera, como se muestra en la figura. Si el automvil A est
viajando por la carretera con una velocidad de 67,5 km/h. Determine
la magnitud y direccin de la velocidad relativa del tren con respecto
al auto.
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SOLUCIN
La velocidad relativa es medida desde el observador ubicado en el auto al
cual se le asocial el sistema de
referencia OXY,
Como las velocidades de T y A son conocidas, entonces la velocidad
relativa se obtiene de
/
/
/
90 (67.5cos 45 67.5sin 45 )
{42.3 47.7 ) /
T A T A
T A
T A
v v v
i i j v
v i j km h
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solucin
La magnitud de la velocidad relativa ser
La direccin de la velocidad relativa es
2 2 2
/ (42.3 47.7 ) 63.8 /T Av km h
/
/
47.7tan
42.3
48.40
T A y
T A x
v
v
Page 84
EJEMPLO 2
Dos aviones estn volando horizontalmente a la misma elevacin, como se indica en la figura. El avin A est volando en una trayectoria recta, y en el
instante mostrado desarrolla una velocidad de 700 km/h y una aceleracin
de 50 km/h2. El avin B est volando en una trayectoria curva circular de
400km de radio con una rapidez de 600 km/h y est decreciendo su
rapidez a razn de 100 km/h2. Determine la velocidad y la aceleracin
relativa de B medida por el piloto A
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Solucin
Al avin A esta movindose rectilneamente y se asocia un marco
de referencia mvil Oxy.
La velocidad relativa de B respecto de A es
El avin B tiene aceleracin normal y tangencial pues se mueve en
una curva.
La aceleracin normal ser
Aplicando la ecuacin para determinar la aceleracin relativa
se tiene
/
/
/
600 700
100 / 100 /
B A B A
B A
B A
v v v
v
v km h km h
2
2900 /BB nv
a km h
/
/
2
/
900 100 50
900 150 /
B A B A
B A
B A
a a a
i j j a
a i j km h
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EJEMPLO 3
En un determinado instante los carros A y B estn viajando con
velocidades de 18m/s y 12m/s,
respectivamente. Adems en dicho
instante la velocidad de A est
disminuyendo a razn de 2m/s2 y B
experimenta un incremento de su
velocidad a razn de 3 m/s2.
Determine la velocidad y la
aceleracin de B con respecto de A
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Solucin El sistema de referencia fijo est en
tierra y el marco mvil en el auto A.
Por tanto se tiene
La direccin de la velocidad relativa ser
La aceleracin normal ser
La aceleracin relativa ser
Su direccin ser
/
/
/
2 2
/
12 18cos60 18sin 60
9 3.588 /
9 3.588 9.69 /
B A B A
B A
B A
B A
v v v
j i j v
v i j m s
v m s
/
/
3.588tan
9
21.7
B A y
B A x
v
v
2
21.440 /BB nv
a m s
/
/
2
/
1.440 3 2cos60 2sin 60
2.440 4.732 /
B A B A
B A
B A
a a a
i j i j a
a i j m s
2
/ 5.32 /
62.7
B Aa m s
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Ejemplo 4
Los pasajeros que viajan en el avin A que vuela horizontalmente a velocidad
constante de 800 km/h observan un
segundo avin B que pasa por debajo
del primero volando horizontalmente.
Aunque el morro de B est sealando
en la direccin en la direccin
45noreste, el avin B se presenta a los pasajeros de A como separndose
de ste bajo el ngulo de 60 representado. Halle la velocidad
verdadera de B
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Solucin
El marco mvil est asociado al avin A donde se efectan las
observaciones relativas
La velocidad de A es conocida en mdulo y direccin, el ngulo de 60 de la velocidad relativa de B
respecto de A es conocido y la
velocidad verdadera de B tiene una
direccin de 45. Entonces tenemos.
Aplicando estas ecuaciones en la velocidad relativa se tiene
Resolviendo estas ecuaciones se obtiene
/B A B Av v v
/ / /
(800 ) /
[ cos 45 45 ]
[ cos60 60 ]
A
B B B
B A B A B A
v i km h
v v i v sen j
v v i v sen j
/
/
:
cos 45 800 cos60
:
45 60
B B A
B B A
componente i
v v
componente j
v sen v sen
/ 586 / ; 717 /B A Bv km h v km h