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UNIDAD 12
OBJETIVO GENERAL
Al terminar esta Unidad resolverás
ejercicios y problemas
correspondientes a las rectas en el
plano y sus ecuaciones.
Índice
Objetivos específicos:
1. Recordarás a qué se llama sistema decoordenadas rectangulares, ejes coordenadosy cuadrantes, y cómo se localizan los puntosdel plano.
2. Recordarás y aplicarás las fórmulas paradeterminar la distancia entre dos puntoscualesquiera del plano coordenado y lascoordenadas del punto que divide a unsegmento en una razón r.
3. Recordarás la definición de pendiente de unarecta y de línea recta.
Índice
Objetivos específicos:
4. Recordarás y aplicarás las diferentes formas de
la ecuación de una recta dadas dos
condiciones que la definen.
5. Recordarás y aplicarás la forma general de la
ecuación de una recta y las condiciones
necesarias y suficientes para las posiciones
relativas entre dos rectas en el plano.
6. Recordarás la definición y aplicaciones de la
expresión de una recta en la forma normal y
cómo obtenerla a partir de la forma general.
Índice
• Una característica básica de la Geometría Analítica es el uso de un sistema coordenado. En los cursos de Álgebra y Trigonometría se ha utilizado el sistema de coordenadas rectangulares - llamado también sistema cartesiano en honor al filósofo y matemático René Descartes (1596-1650) -que consiste en dos rectas, llamadas ejes, que se cruzan formando ángulos rectos. Generalmente un eje se coloca en forma horizontal y el otro vertical; el primero se llama eje de las abscisas y se representa con la letra x, y el segundo se denomina eje de las ordenadas y se representa con la letra y. El punto en que se cruzan las rectas define al origen del sistema
Eje X
EJE Y
ORIGEN
• Los ejes coordenados dividen al plano en que se trazan en cuatro partes llamadas cuadrantes, que se numeran del I al IV en sentido contrario a las manecillas del reloj.
• Los puntos que se encuentran en el primer cuadrante tiene abscisa y ordenada positivas.
• los puntos en el segundo cuadrante tienen abscisa negativa y ordenada positiva.
• En el tercer cuadrante tanto la abscisa como la ordenada son negativas, y en el cuarto cuadrante la abscisa es positiva y la ordenada negativa.
I
x > 0
y > 0
x
II
x < 0
y > 0
III
x < 0
y < 0
IV
x > 0
y < 0
OBJETIVO 1
Los cuatro puntos mencionados se
representan en la Figura
Como los puntos A y B tienen lamisma ordenada, el lado quedefinen es paralelo al eje x y sulongitud es de 3 unidades. Conesta información se puedenencontrar los otros dos vértices y,como se puede ver en la Figurauna posibilidad es que seencuentren arriba de A y de B, encuyo caso sus coordenadas seobtienen sumando la longitud dellado a la ordenada de los vérticesconocidos:
C(2, 2 + 3) = (2, 5) y D(5, 2 + 3) = (5, 5)
O bien que se ubiquen hacia abajo,para lo cual se deberá restar lalongitud del lado a las ordenadasde A y de B:
C’(2, 2 – 3) = (2, –1) y D’(5, 2 – 3) = (5, –1)
EJEMPLO 4
Si se localizan los puntos
(–5, –7) y (3, 9) y se
unen con una recta y
se hace lo mismo con
los puntos (–3, 7) y (2,
–8),
a partir de la gráfica se
pueden encontrar las
coordenadas del punto
donde se intersectan.
ejemplos
OBJETIVO 2
Recordarás y aplicarás las fórmulas para determinar la distancia entre dos
puntos cualesquiera del plano coordenado y las coordenadas del punto que divide a un segmento en
una razón r.
a) Distancia entre dos puntos.
Dados dos puntos cualesquiera del plano
coordenado, uno de los siguientes tres casos
puede ocurrir:
1. Que ambos puntos
tengan la misma
ordenada: A(x1, y1),
B(x2, y1). La
distancia entre tales
puntos se determina
tomando el valor
absoluto de la
diferencia de las
abscisas:12 xxd
2. Que los puntos
tengan la misma
abscisa: A(x1, y1),
B(x1, y2). En este
caso la distancia se
obtiene tomando el
valor absoluto de la
diferencia de las
ordenadas:12 yyd
Las longitudes de los catetos a y b se obtienen aplicandolos casos 1. y 2.
a= = y b = =
Valores que se sustituyen en la expresión del Teorema dePitágoras:
Como al elevar al cuadrado se elimina la posibilidad deuna distancia con signo negativo, la expresión quedacomo
y al tomar la raíz cuadrada, dado que se trata de unadistancia, sólo se considera la raíz cuadrada positiva
AC 12 xx
,
BC12 yy
222 bad
212
2
12
2 yyxxd
212
2
12 yyxxd
b) Coordenadas del punto que divide a
un segmento en una razón dada.
Por razón se entiende uncociente de dos númerosexpresado en forma defracción común, porejemplo:
Cuando se dice que un puntoP divide al segmento enla razón r, significa que
lo cual se muestragráficamente:
1 3 6 9; ; ;
2 4 1 8
AB
PB
APr
Si A(x1, y1) y B(x2, y2) son los extremosde un segmento , las coordenadas deun punto P que divide a este segmento enla razón dada son:
Cuando P es el punto medio del segmento
Y las fórmulas se reducen a
AB
PB
APr
r
rxxx
1
21
r
ryyy
1
21
11
1
PB
APr
2
21 xxx
2
21 yyy
OBJETIVO 2
EJEMPLO 1
Encontrar la distancia
entre los puntos:
A(9, –2) y B(9, 11)
Como puede verse, los puntos
tienen la misma abscisa, por lo
tanto su distancia se encuentra
aplicando la expresión del caso 2:
12 yyd
211
211 = 13
Encontrar el perímetro deltriángulo que determinan lospuntos A(2, 2), B(0, 5) yC(–2, 2)
El perímetro de un polígonoes la suma de las longitudesde sus lados. La gráficaindica que el cateto quedefinen los puntos A y C esparalelo al eje x. Su longitudes la distancia entre ellos yse encuentra aplicando lafórmula del primer caso:
EJEMPLO 2
12 xxd
22
4
Los otros dos lados del triángulo no son paralelos a alguno de los ejes, por
lo que se debe aplicar la fórmula del caso 3 para encontrar su longitud:
225202 AB
94
13
222520 BC
94
13
Estos resultados comprueban lo que se aprecia en la gráfica: el triángulo tiene dos
lados iguales, por lo que es un triángulo isósceles, y su perímetro es:
Perímetro = 1324
aproximadamente 11.21 unidades
Encontrar el área del triángulo queforman los puntos A(-2, 2), B(1, 0) yC(0, 5)
El área de un triángulo es la mitad delproducto de la base por la altura.
Al graficar los puntos se observa que,aparentemente, el vértice Acorresponde a un ángulo recto, y enun triángulo rectángulo uno de loscatetos es la base y el otro la altura,pero es necesario que secompruebe primero si efectivamentees un triángulo rectángulo. Por losdatos disponibles esto se puedehacer mediante el Teorema dePitágoras, comprobando que lasuma de los cuadrados de loscatetos sea igual al cuadrado de lahipotenusa:
EJEMPLO 3
EJEMPLO 4
1) El punto medio de unsegmento sobre el eje xes (7, 0). Si uno de losextremos tiene abscisa2, encontrar lascoordenadas del otroextremo.
Los datos del problema sonlas coordenadas de unextremo del segmento,el punto A(2, 0), y lasdel punto medio (7, 0).
Se conocen el valor de
x y el de x1 y se pide
determinar el valor de
x2, entonces:
2
27 2x
2214 x
122 x
→ B(12, 0)
es el otro extremo del segmento.
EJEMPLO 5
Encontrar las coordenadas de los puntos de trisección del segmento que va de A(–2, 3) a B(6, –3)
Los puntos de trisección son los que dividen al segmento en tres partes
iguales, por lo tanto son dos puntos y por la definición de razón,
el primer punto P1 se encuentra a una “parte” de distancia del punto A, inicio
del segmento, y a 2 “partes” del punto B que es el final del segmento, por lo
que
BP
APr
1
12
1=
Las coordenadas de P1 son:r
rxxx
1
21
2
11
62
12
2
3
32
2
3
1
3
2= =
r
ryyy
1
21
2
11
32
13
2
32
33
2
32
3
= = = = 1
=
Para encontrar las coordenadas del segundo punto P2, se observa
que ahora la distancia del punto extremo A a P2 es de 2 “partes” y
de P2 a B es de una “parte”, 2
1
2r
y las coordenadas (x, y) del otro punto que divide al segmento son:
r
rxxx
1
21
21
622
3
10
r
ryyy
1
21
= =
21
323
1
3
63
1,
3
10
= =
P2
Si A(–4, 2) y B(4, 6) son los extremos de un segmento dirigido de A a B, encontrar las coordenadas del punto P que divide a este segmento en la razón r = –3
Como se verá en la representación gráfica, el punto P es externo al segmento, de ahí que la razón es negativa:
EJEMPLO 6
PB
APr = –3
r
rxxx
1
21 31
434
82
16
r
ryyy
1
21
31
632
8
2
16
=
= =
=
Entonces P(8, 8) está fuera del segmento.
ejemplos
OBJETIVO 3
Recordarás la definición de pendiente
de una recta y de línea recta.
Se llama ángulo de
inclinación de una
recta al ángulo que se
forma por la parte
positiva del eje x y la
recta, cuando ésta se
considera dirigida
hacia arriba. Se
designa por la letra
griega α.
Se llama pendiente o
coeficiente angular de
una recta, a la
tangente de su
ángulo de inclinación.
Se designa
comúnmente por la
letra m, por lo tanto
m = tan α
111 , yxP 222 , yxP
Se llama línea recta al lugar geométrico de los puntos tales que,
tomados dos puntos diferentes cualesquiera del lugar, el valor de la
pendiente m resulta siempre constante.
Dados los puntos y
la pendiente se calcula como
12
12
xx
yym
21 xx
yxP ,
111 , yxP 222 , yxP
Por lo tanto, si es un punto cualquiera de la recta que pasa por
y
por la definición anterior las coordenadas del punto P satisfacen la ecuación
1
1
xx
yym
y quitando el denominador se obtiene 11 xxmyy
Esta expresión se llama forma punto – pendiente de la ecuación de una recta.
OBJETIVO 4
Recordarás y aplicarás las diferentes
formas de la ecuación de una recta,
dadas dos condiciones que la definen.
Una recta en particular tiene una pendiente
dada, pasa por un número infinito de
puntos, e intersecta a uno de los ejes
coordenados en un punto específico, o a
ambos en un punto a cada uno.
Conocidas dos cualesquiera de estas
condiciones, es posible determinar la
ecuación de la recta que las cumple.
OBJETIVO 4
Determinar la ecuación de la recta que tiene
pendiente –3 y pasa por el punto (11, –8).
EJEMPLO 1
La ecuación de la recta que pasa por el punto P1 y tiene pendiente m está
dada por la fórmula 11 xxmyy
Entonces, la ecuación de la recta con pendiente –3 y que pasa por el punto
P1(11, –8) se obtiene sustituyendo estos valores en la ecuación:
1138 xy
3338 xy
3 25y x la ecuación pedida es:
EJEMPLO 2
Determinar la
ecuación de la recta
cuyo ángulo que
forma con el eje x
es de 72 grados y
pasa por el punto
(1, 1)
Como la pendiente de la
recta es la tangente del
ángulo que forma con el
eje x, se debe obtener el
valor de la tangente de
72º para así disponer de
dos características
necesarias para
determinar su ecuación:
el valor de la pendiente y
uno de los puntos por los
que pasa.
tan 72° = 3.0777
Se sustituyen en la forma
punto – pendiente los
valores de m y las
coordenadas del punto:
10777.31 xy
1 3.0777 3.0777y x
3.0777 2.0777y x
la ecuación pedida es:
EJEMPLO 3
Determinar la
ecuación de la recta
que pasa por los
puntos
(4, 2) y (–5, 7)
El cálculo se puede realizar
directamente en la fórmula
sustituyendo la expresión de m: 1
12
121 xx
xx
yyyy
4
54
722
xy 4
9
52 xy
9
20
9
52 xy
Si se utiliza P1 para sustituir x1 y y1 en la ecuación:
Y si se quita el denominador del segundo miembro para tener una
ecuación con coeficientes enteros:
205189 xy 9 5 38y x
Determinar la ecuación de la recta que su
pendiente es 1/7 y su intersección con el
eje y se encuentra a 2 unidades del
origen.
EJEMPLO 4
La expresión “su intersección
con el eje y se encuentra a 2
unidades del origen” no
precisa si es en la parte
positiva o en la parte negativa
del eje, por lo tanto, o bien el
punto de intersección es P1(0,
2), o es P2(0, –2). Ya sea uno
u otro punto, se cuenta con las
dos condiciones necesarias
para determinar la ecuación de
la recta: la pendiente y un
punto. Si el punto es P1(0, 2),
la ecuación es
Si esta ecuación se maneja de
manera que en el primer
miembro quede solamente la
variable y, quedarán explícitos
tanto el valor de la pendiente
como la ordenada del punto
donde la recta intersecta al eje
y (esta intersección se denota
por b y, en este caso, b = 2):
07
12 xy
xy7
12
27
1 xy 2
7
1 xy
se reacomoda de forma que
aparezcan explícitamente la
pendiente y la ordenada al origen,
ahora b = –2, la ecuación es:
27
1 xy
Determinar la ecuación de la recta determinada por los
segmentos sobre los ejes x y y dados por 2 y –3
respectivamente.
En este caso, a diferencia del ejemplo anterior,
se da una cantidad positiva y la otra negativa,
con lo que se entiende que el punto de
intersección que define el segmento de 2
unidades es hacia el lado positivo del eje x, y
el segmento de –3 unidades sobre el eje y es
hacia abajo del origen.
EJEMPLO 5
Los puntos en los que la recta
intersecta a cada eje son P1(2,
0) y P2(0, –3). Con ellos se
emplea la forma dos puntos de
la ecuación de una recta:
1
12
121 xx
xx
yyyy
220
030
xy
22
3 xy
32
3 xy
Y tomando alguno, por ejemplo P1,
la ecuación de la recta es:
Encuentra la ecuación de la recta en la
forma simétrica, si los segmentos que
determina sobre los ejes x y y son 2 y –3
respectivamente.
Como se determinó en el ejemplo 5, los
puntos de intersección con los ejes son
(2, 0) y (0, –3) y se aplicó la forma dos
puntos obteniendo:
EJEMPLO 6
32
3 xy
Si se multiplica por 2 para tener sólo coeficientes
enteros: 632 xyla forma simétrica se obtiene igualando a 1 la ecuación anterior, de
modo que deberán dejarse los términos en x y en y en el primer
miembro y dividir entre –6 toda la ecuación:
6
6
6
2
6
3
yx
Para que la ecuación muestre claramente las intersecciones con los
ejes, conviene que en la segunda fracción se deje el signo menos en el
denominador:
132
yx
Encontrar la ecuación de la recta que
pasa por los puntos (–3, 0) y (0, 5).Es claro que los puntos son sus intersecciones con el
eje x y con el eje y, respectivamente. En el ejemplo
anterior se comprobó que la forma de la ecuación de la
recta que se puede utilizar directamente cuando se
conocen sus intersecciones con los ejes coordenados,
sin necesidad de pasar por la forma dos puntos, es la
forma simétrica: a ≡ inters. con eje x,
b ≡ inters. con eje y,
EJEMPLO 7
1b
y
a
x
Entonces, la ecuación que se pide es1
53
yx
ejemplos
OBJETIVO 5
Recordarás y aplicarás la forma general de la ecuación de una recta y las condiciones
necesarias y suficientes para las posiciones relativas entre dos rectas en el plano.
Generalmente la ecuación de una recta se expresa
igualando a cero el segundo miembro. En los ejemplos del objetivo anterior, el resultado se daría como sigue:
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
Ejemplo 4:
Ejemplo 5:
Ejemplo 6:
Ejemplo 7:
3338 xy 0253 yx
0777.30777.31 xy 00777.20777.3 yx
205189 xy 03895 yx
27
1 xy 02
7
1 yx 0147 yx
32
3 xy 03
2
3 yx 0623 yx
132
yx 0623 yx
153
yx 01535 yx 01535 yx
Una ecuación en una o dos variables de
primer grado igualada a cero, se llama
forma general de la ecuación de una
recta. Su expresión genérica es:
0 CByAxdonde al menos uno de los coeficientes, A o B , debe ser diferente de cero
y C puede o no ser cero. Esta expresión también se denomina ecuación
lineal o función lineal.
Dada una ecuación lineal en la forma general con B ≠ 0, al expresarla en la
forma punto pendiente se encuentra que:
0 CByAx
CAxBy
B
Cx
B
Ay
la pendiente m de la recta está dada por el cociente
B
Am
y su ordenada al origen, b , es el cociente
B
Cb
Si ahora se expresa en la forma simétrica para conocer sus intersecciones con
los ejes coordenados:0 CByAx
CByAx
C
C
C
By
C
Ax
1
B
C
y
A
C
x
La intersección con el eje x es La intersección con el eje y es
A
Ca
B
Cb
Dadas dos rectas, uno y sólo uno de los
siguientes casos puede ocurrir:
• Las rectas son paralelas
• Las rectas son coincidentes (es la misma
recta)
• Las rectas se cortan en uno y solamente
un punto y, al cruzarse, el ángulo que
forman es de 90º, por lo tanto son
perpendiculares diferente de 90º
Dadas las rectas y ,
la(s) condición(es) necesaria(s) y suficiente(s)
para estos casos son:
1. Paralelas
Para esto se requiere que sus pendientes sean iguales, m = m΄.
Dos rectas son paralelas si los coeficientes de x y y son proporcionales
2. Coincidentes
Para esto se necesita que tengan la misma pendiente y un punto
común, es decir:
m = m΄
3. Se intersecten en un punto y sólo uno:
a) Formando un ángulo de 90º (rectas perpendiculares).
b) Formando un ángulo diferente de 90 grados
0 CByAx 0''' CyBxA
OBJETIVO 5
Dada la ecuación de la recta , encontrar su pendiente y el punto de intersección con el eje y.Como la ecuación está dada en la forma general donde A = 6; B =–5; C = 18, la solución se encuentra aplicando las fórmulasanteriores.
La pendiente de la recta es: = =
Y el punto de intersección con el eje y: = =
EJEMPLO 1
B
Am
5
6
5
6
B
Cb
5
18
5
18
Encontrar la pendiente de la recta , sus intersecciones con los ejes coordenados y representarla en el plano cartesiano.La ecuación de la recta no está en la forma punto -pendiente ni en la forma pendiente - ordenada al origen; de manera que lo más conveniente es expresarla en la forma general y aplicar las fórmulas para determinar la pendiente y las intersecciones con los ejes.
Primero se debe multiplicar la ecuación por el denominador de la fracción y después igualarla a cero y reducir términos semejantes:
EJEMPLO 2
42
313 xy
8326 xy
08263 yx 01063 yx
Con la ecuación de la recta en la forma general, donde A = 3; B = 6 y C = –
10, se encuentra que
B
Am
6
3
2
1= =
3
10
3
10
A
Ca
B
Cb
3
5
6
10
Para representarla en el plano se tienen los dos puntos sobre los ejes:
0,
3
10A
3
5,0B
Indicar el lugar geométrico que determina la
ecuación:
EJEMPLO 3
yxxyx 51622
yxxyxx 51644 22
0165422 yyxxxx
Se necesita reducir los términos semejantes de la ecuación efectuando las
operaciones indicadas:
Si se pasan todos los términos al primer miembro:
Lo que se obtiene es la ecuación de una recta en la forma general
0179 yx 0179 yx
Por tanto, la expresión yxxyx 51622 representa una recta.
Encontrar el valor de k
para que la recta sea
paralela a la rectaRecordando que dos rectas son paralelas si los coeficientes de x y y
son proporcionales, es decir,si →
EJEMPLO 4
0181 ykkx
0734 yx
'' B
B
A
A 0'' BAAB
Si se toman los coeficientes de la primera recta como A y B:
A = k y B = k – 1;
y los de la segunda como A’ y B’:
A’ = 4 y B’ = 3,
0'' BAAB
0143 kk
0443 kk 04 k
4k
entonces
31k
01834 yx
0'' BAAB
03434
Estos son los coeficientes de la primera recta:
Se puede observar que los coeficientes de x y de y son iguales en las dos rectas y que
Las rectas sólo difieren en el término independiente.
Determinar si las rectas R1 que pasa por los
puntos (1, 1) y (4, 4) y R2 que pasa por (0, 4) y
(3, 1) son perpendiculares entre sí.
EJEMPLO 5
0'' BBAA
'
1
m
Se deben analizar los datos que se proporcionan para resolver el
problema de la manera más eficiente. Si los datos fueran las ecuaciones
de las rectas, lo más sencillo sería verificar si la condición
se cumple o no. Pero como la información son dos puntos de cada
recta, lo mejor es utilizar la condición de que las rectas serán
perpendiculares si m = Entonces,
12
12
1 xx
yymR
14
14
1
3
3= = 03
412
Rm 1
3
3
=
2
1
1
R
Rm
m 1"1
RR mmPor lo que y las rectas son perpendiculares.
La ecuación de la recta R1 es
Escribir la ecuación de todas las rectas
paralelas a ella.
EJEMPLO 6
01175 yx
Como se recordará, dos rectas son paralelas si sus pendientes son
iguales, lo que significa que los coeficientes de x y de y son tales que:
'' B
B
A
A
0 CByAx
'' B
B
A
A
75
BA
Si la ecuación de todas las rectas paralelas a R1 se representa como
los coeficientes de R1 serán A’= 5 y B’= –7, de modo que
→7
5
BA
0 CByAx
07
5
CByx
B
Al sustituir A por su equivalente en
0775 CByBx
0775
B
Cy
B
Bx
B
B0
775
B
Cyx
Que también puede expresarse como:
B
C7
075 kyx
01175 yx
Dado quees una constante arbitraria, se le puede llamar k y la ecuación
anterior queda como
Todas las rectas paralelas a R1:
son aquellas que difieren de ésta únicamente en el término independiente.
0975 yx
0179165 yx
055
7 yx
0447
20 yx
1)Corroborar que las siguientes rectas son paralelas a R1:
a)
b)
c)
EJEMPLO 7
Para comprobar que cada recta propuesta es paralela a R1 se debe encontrar
una expresión equivalente de ella con los coeficientes de x y de y iguales a los de
R1
0179165 yx
5 1
' 5 13 13
7 1
' 7 13 13
A
A
B
B
'' B
B
A
A
Como 65 es múltiplo de 5 (ya que 65 = 5 x 13), lo siguiente es verificar si 91 es
múltiplo de 7:
91 = 7 x 13;
dado que las rectas son paralelas si los coeficientes de x y de y son proporcionales
y tenemos:
entonces: y las rectas son paralelas-
055
7 yx
05
5
75 yx
02575 yx
Ahora el coeficiente de x es 1; si esta recta es paralela a R1. Por
comodidad, puede encontrarse una expresión equivalente con coeficiente
5 (para eliminar la fracción en el coeficiente de y).
Al multiplicar por 5 ambos miembros de la ecuación y simplificar, queda:
Se obtiene que A = A’ , B = B’ y las rectas son paralelas.
0447
20 yx
7
47
4
4
7
04
74
4
74
4
7
7
20
4
7
yx
0774
20 yx
0775 yx
En este ejemplo es sencillo encontrar las operaciones que se deben efectuar para
llegar a una ecuación equivalente con coeficiente 5 para x y –7 para y, al observar
que el coeficiente de y en la ecuación es +4, lo que indica que –7 fue multiplicado
por –
Entonces, si se dividen ambos miembros de la ecuación por –
que es equivalente a multiplicarla por,se encuentra que:
Lo que corrobora que R1 y la recta propuesta son paralelas. ejemplos