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DeterminantesGeometrıa I. Curso 2015-2016

Objetivos

Definir el determinante de una matriz cuadradaEstudiar propiedades y metodos de calculoAplicaciones: inversas, rangos y regla de Cramer

Motivacion

Queremos resolver el SEL{E1 : a11 x + a12 y = b1E2 : a21 x + a22 y = b2

Para despejar x calculamos a22 · E1 − a12 · E2

(a11 · a22 − a21 · a12) x = a22 · b1 − a12 · b2

Para despejar y calculamos a11 · E2 − a21 · E1

(a11 · a22 − a21 · a12) y = a11 · b2 − a21 · b1

Conclusion: a11 · a22 − a21 · a12 6= 0 =⇒ SCD con solucion

x =a22 · b1 − a12 · b2

a11 · a22 − a21 · a12, y =

a11 · b2 − a21 · b1

a11 · a22 − a21 · a12

El valor a11 · a22 − a21 · a12 determina si tenemos un SCD

Motivacion

(a11 · a22 − a21 · a12) x = a22 · b1 − a12 · b2

(a11 · a22 − a21 · a12) y = a11 · b2 − a21 · b1

x =a22 · b1 − a12 · b2

a11 · a22 − a21 · a12, y =

a11 · b2 − a21 · b1

a11 · a22 − a21 · a12

Motivacion

(a11 · a22 − a21 · a12) x = a22 · b1 − a12 · b2

(a11 · a22 − a21 · a12) y = a11 · b2 − a21 · b1

x =a22 · b1 − a12 · b2

a11 · a22 − a21 · a12, y =

a11 · b2 − a21 · b1

a11 · a22 − a21 · a12

Motivacion

(a11 · a22 − a21 · a12) x = a22 · b1 − a12 · b2

(a11 · a22 − a21 · a12) y = a11 · b2 − a21 · b1

x =a22 · b1 − a12 · b2

a11 · a22 − a21 · a12, y =

a11 · b2 − a21 · b1

a11 · a22 − a21 · a12

Motivacion

(a11 · a22 − a21 · a12) x = a22 · b1 − a12 · b2

(a11 · a22 − a21 · a12) y = a11 · b2 − a21 · b1

x =a22 · b1 − a12 · b2

a11 · a22 − a21 · a12, y =

a11 · b2 − a21 · b1

a11 · a22 − a21 · a12

Motivacion

Dado un SEL {E1 : a11 x + a12 y = b1E2 : a21 x + a22 y = b2

la matriz de coeficientes es

(a11 a12a21 a22

El valor a11 · a22 − a21 · a12 es lo que conocemos como det(A) o |A|

Las expresiones

x =a22 · b1 − a12 · b2

a11 · a22 − a21 · a12, y =

a11 · b2 − a21 · b1

a11 · a22 − a21 · a12

son un caso particular de la regla de Cramer

Motivacion

(a11 a12a21 a22

)El valor a11 · a22 − a21 · a12 es lo que conocemos como det(A) o |A|

Las expresiones

x =a22 · b1 − a12 · b2

a11 · a22 − a21 · a12, y =

a11 · b2 − a21 · b1

a11 · a22 − a21 · a12

Motivacion

(a11 a12a21 a22

)El valor a11 · a22 − a21 · a12 es lo que conocemos como det(A) o |A|

Las expresiones

x =a22 · b1 − a12 · b2

a11 · a22 − a21 · a12, y =

a11 · b2 − a21 · b1

a11 · a22 − a21 · a12

Determinantes en general

Hay varias formas de definir el determinante de una matriz cuadrada

La mas elegante utiliza formas multilineales alternadas

Aquı usaremos un enfoque aritmetico de naturaleza inductiva

Definicion (usando un desarrollo de Laplace)

Sea n ∈N y K = cuerpo conmutativo

El determinante de A ∈ Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o |A|Lo definiremos por induccion usando el desarrollo por la primera fila

Sea A ∈ Mn(K). Pongamos

a11 · · · a1n...

. . ....

an1 · · · ann

Sea Aij ∈ Mn−1(K) obtenida al suprimir de A la fila i y la columna j• Si n = 1 =⇒ det(A) = |A| = a11

• Si n ≥ 2 =⇒ det(A) = |A| = a11 · ∆11 + . . . + a1n · ∆1n, donde

∆ij = (−1)i+j · |Aij| (menor adjunto ij)

Obviamente |0n| = 0, ∀n ∈N

Sea n ∈N y K = cuerpo conmutativoEl determinante de A ∈ Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o |A|

Lo definiremos por induccion usando el desarrollo por la primera fila

a11 · · · a1n...

. . ....

an1 · · · ann

Sea n ∈N y K = cuerpo conmutativoEl determinante de A ∈ Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o |A|Lo definiremos por induccion usando el desarrollo por la primera fila

a11 · · · a1n...

. . ....

an1 · · · ann

a11 · · · a1n...

. . ....

an1 · · · ann

a11 · · · a1n...

. . ....

an1 · · · ann

Sea Aij ∈ Mn−1(K) obtenida al suprimir de A la fila i y la columna j

• Si n = 1 =⇒ det(A) = |A| = a11

a11 · · · a1n...

. . ....

an1 · · · ann

a11 · · · a1n...

. . ....

an1 · · · ann

a11 · · · a1n...

. . ....

an1 · · · ann

Determinantes de orden 2

Caso n = 2

(a11 a12a21 a22

|A| = a11 · ∆11 + a12 · ∆12

= a11 · |A11| − a12 · |A12|= a11 · a22 − a12 · a21

|A| = a11 · a22 − a12 · a21

Caso n = 2

(a11 a12a21 a22

|A| = a11 · ∆11 + a12 · ∆12

= a11 · |A11| − a12 · |A12|= a11 · a22 − a12 · a21

|A| = a11 · a22 − a12 · a21

Caso n = 2

(a11 a12a21 a22

|A| = a11 · ∆11 + a12 · ∆12

= a11 · |A11| − a12 · |A12|= a11 · a22 − a12 · a21

|A| = a11 · a22 − a12 · a21

Caso n = 3

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

|A| = a11 · ∆11 + a12 · ∆12 + a13 · ∆13

= a11 · |A11| − a12 · |A12|+ a13 · |A13|

= a11 ·∣∣∣∣ a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣− a12 ·∣∣∣∣ a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣+ a13 ·∣∣∣∣ a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣= a11 · (a22 · a33 − a23 · a32)− a12 · (a21 · a33 − a23 · a31)

+ a13 · (a21 · a32 − a22 · a31)

= a11 · a22 · a33 − a11 · a23 · a32 − a12 · a21 · a33 + a12 · a23 · a31

+ a13 · a21 · a32 − a13 · a22 · a31

Caso n = 3

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

|A| = a11 · ∆11 + a12 · ∆12 + a13 · ∆13

= a11 · |A11| − a12 · |A12|+ a13 · |A13|

= a11 ·∣∣∣∣ a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣− a12 ·∣∣∣∣ a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣+ a13 ·∣∣∣∣ a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣= a11 · (a22 · a33 − a23 · a32)− a12 · (a21 · a33 − a23 · a31)

+ a13 · (a21 · a32 − a22 · a31)

= a11 · a22 · a33 − a11 · a23 · a32 − a12 · a21 · a33 + a12 · a23 · a31

+ a13 · a21 · a32 − a13 · a22 · a31

Regla de Sarrus

|A| = a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32

− a13 · a22 · a31 − a11 · a23 · a32 − a12 · a21 · a33

Caso n = 4

a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44

|A| = a11 · ∆11 + a12 · ∆12 + a13 · ∆13 + a14 · ∆14

= a11 · |A11| − a12 · |A12|+ a13 · |A13| − a14 · |A14|

= a11 ·

∣∣∣∣∣∣a22 a23 a24a32 a33 a34a42 a43 a44

∣∣∣∣∣∣− a12 ·

∣∣∣∣∣∣a21 a23 a24a31 a33 a34a41 a43 a44

∣∣∣∣∣∣+ a13 ·

∣∣∣∣∣∣a21 a22 a24a31 a32 a34a41 a42 a44

∣∣∣∣∣∣− a14 ·

∣∣∣∣∣∣a21 a22 a23a31 a32 a33a41 a42 a43

∣∣∣∣∣∣= 24 sumandos con 4 factores cada uno

Conclusion: El calculo de |A| por la definicion es largo si n ≥ 4

Caso n = 4

|A| = a11 · ∆11 + a12 · ∆12 + a13 · ∆13 + a14 · ∆14

= a11 · |A11| − a12 · |A12|+ a13 · |A13| − a14 · |A14|

= a11 ·

∣∣∣∣∣∣a22 a23 a24a32 a33 a34a42 a43 a44

∣∣∣∣∣∣− a12 ·

∣∣∣∣∣∣a21 a23 a24a31 a33 a34a41 a43 a44

∣∣∣∣∣∣+ a13 ·

∣∣∣∣∣∣a21 a22 a24a31 a32 a34a41 a42 a44

∣∣∣∣∣∣− a14 ·

∣∣∣∣∣∣a21 a22 a23a31 a32 a33a41 a42 a43

Caso n = 4

|A| = a11 · ∆11 + a12 · ∆12 + a13 · ∆13 + a14 · ∆14

= a11 · |A11| − a12 · |A12|+ a13 · |A13| − a14 · |A14|

= a11 ·

∣∣∣∣∣∣a22 a23 a24a32 a33 a34a42 a43 a44

∣∣∣∣∣∣− a12 ·

∣∣∣∣∣∣a21 a23 a24a31 a33 a34a41 a43 a44

∣∣∣∣∣∣+ a13 ·

∣∣∣∣∣∣a21 a22 a24a31 a32 a34a41 a42 a44

∣∣∣∣∣∣− a14 ·

∣∣∣∣∣∣a21 a22 a23a31 a32 a33a41 a42 a43

Determinantes de orden n

Pongamos

a11 · · · a1n...

. . ....

an1 · · · ann

Se puede probar que

|A| = ∑σ∈Pn

(−1)[σ] a1 σ(1) · a2 σ(2) · . . . · an σ(n)

Pn = permutaciones (biyecciones) de {1, . . . , n}[σ] = no inversiones de σ (ocurren si i < j y σ(i) > σ(j))

La formula anterior contiene n! sumandos con n factores cada uno

Cuestion: ¿Calculo mas simple de |A| si A ∈ Mn(K) y n ≥ 4?

Pongamos

a11 · · · a1n...

. . ....

an1 · · · ann

Se puede probar que

|A| = ∑σ∈Pn

(−1)[σ] a1 σ(1) · a2 σ(2) · . . . · an σ(n)

Pongamos

a11 · · · a1n...

. . ....

an1 · · · ann

Se puede probar que

|A| = ∑σ∈Pn

(−1)[σ] a1 σ(1) · a2 σ(2) · . . . · an σ(n)

Pongamos

a11 · · · a1n...

. . ....

an1 · · · ann

Se puede probar que

|A| = ∑σ∈Pn

(−1)[σ] a1 σ(1) · a2 σ(2) · . . . · an σ(n)

Propiedades

Escribamos una matriz (v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn) por sus columnas

1. det(v1 | · · · | vj | · · · | vi | · · · | vn) =−det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn)

2. det(v1 | · · · | a · vi | · · · | vn) = a · det(v1 | · · · | vi | · · · | vn), ∀a ∈ K

3. det(v1 | · · · | vi | · · · | vj + a · vi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn), ∀a ∈ K

4. det(a ·A) = an · det(A), ∀a ∈ K, ∀A ∈ Mn(K)

5. det(v1 | · · · | vi + wi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vn) + det(v1 | · · · |wi | · · · | vn)

6. det(A) = desarrollo por adjuntos de cualquier fila

7. det(At) = det(A)

8. Las propiedades de arriba valen para filas y columnas

9. det(A · B) = det(A) · det(B), ∀A, B ∈ Mn(K)

Ejercicio: ¿Es cierto que det(A + B) = det(A) + det(B)?

Propiedades

7. det(At) = det(A)

Propiedades

7. det(At) = det(A)

Propiedades

7. det(At) = det(A)

Propiedades

7. det(At) = det(A)

Propiedades

7. det(At) = det(A)

Propiedades

7. det(At) = det(A)

Propiedades

7. det(At) = det(A)

Propiedades

7. det(At) = det(A)

Propiedades

7. det(At) = det(A)

Propiedades

7. det(At) = det(A)

Consecuencias

Si A ∈ Mn(K) es triangular =⇒ |A| = a11 · . . . · ann

Si A ∈ Mn(K) es diagonal =⇒ |A| = a11 · . . . · ann

|In| = 1, ∀n ∈N

Si A contiene una fila o una columna de ceros =⇒ |A| = 0Si A contiene dos filas o columnas proporcionales =⇒ |A| = 0

Ejercicio: Calcular los determinantes∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 4 62 −1 3 43 0 6 74 3 2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ ,

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 40 1 2 42 3 4 52 0 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ y

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1a b c da2 b2 c2 d2

a3 b3 c3 d3

∣∣∣∣∣∣∣∣Soluciones: 63, −3 y (d− a) (d− b) (d− c) (c− a) (c− b) (b− a)

Consecuencias

|In| = 1, ∀n ∈N

∣∣∣∣∣∣∣∣ ,

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 40 1 2 42 3 4 52 0 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ y

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1a b c da2 b2 c2 d2

a3 b3 c3 d3

Consecuencias

|In| = 1, ∀n ∈N

∣∣∣∣∣∣∣∣ ,

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 40 1 2 42 3 4 52 0 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ y

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1a b c da2 b2 c2 d2

a3 b3 c3 d3

Consecuencias

|In| = 1, ∀n ∈N

Si A contiene una fila o una columna de ceros =⇒ |A| = 0

Si A contiene dos filas o columnas proporcionales =⇒ |A| = 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ ,

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 40 1 2 42 3 4 52 0 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ y

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1a b c da2 b2 c2 d2

a3 b3 c3 d3

Consecuencias

|In| = 1, ∀n ∈N

∣∣∣∣∣∣∣∣ ,

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 40 1 2 42 3 4 52 0 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ y

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1a b c da2 b2 c2 d2

a3 b3 c3 d3

Consecuencias

|In| = 1, ∀n ∈N

∣∣∣∣∣∣∣∣ ,

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 40 1 2 42 3 4 52 0 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ y

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1a b c da2 b2 c2 d2

a3 b3 c3 d3

∣∣∣∣∣∣∣∣

Soluciones: 63, −3 y (d− a) (d− b) (d− c) (c− a) (c− b) (b− a)

Consecuencias

|In| = 1, ∀n ∈N

∣∣∣∣∣∣∣∣ ,

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 40 1 2 42 3 4 52 0 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ y

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1a b c da2 b2 c2 d2

a3 b3 c3 d3

Matriz inversa y determinantes

A ∈ GL(n, K) si existe B ∈ Mn(K) tal que A · B = In y B ·A = In

B es unica, se denota A−1 y se llama inversa de A

Si A ∈ GL(n, K) =⇒ |A| 6= 0 y |A−1| = |A|−1

Sea A ∈ Mn(K). La matriz adjunta de A es la matriz en Mn(K) dada por

Adj(A) = (∆ij), ∆ij = (−1)i+j · |Aij|

Se comprueba queA ·Adj(A)t = |A| · In

Adj(A)t ·A = |A| · In

A ∈ GL(n, K)⇐⇒ |A| 6= 0. En tal caso

A−1 =1|A| ·Adj(A)t

Si A ∈ GL(n, K) =⇒ |A| 6= 0 y |A−1| = |A|−1

Adj(A) = (∆ij), ∆ij = (−1)i+j · |Aij|

A−1 =1|A| ·Adj(A)t

Si A ∈ GL(n, K) =⇒ |A| 6= 0 y |A−1| = |A|−1

Adj(A) = (∆ij), ∆ij = (−1)i+j · |Aij|

A−1 =1|A| ·Adj(A)t

Si A ∈ GL(n, K) =⇒ |A| 6= 0 y |A−1| = |A|−1

Adj(A) = (∆ij), ∆ij = (−1)i+j · |Aij|

A−1 =1|A| ·Adj(A)t

Si A ∈ GL(n, K) =⇒ |A| 6= 0 y |A−1| = |A|−1

Adj(A) = (∆ij), ∆ij = (−1)i+j · |Aij|

A−1 =1|A| ·Adj(A)t

Ejercicio: Demostrar que 1 2 32 3 43 4 6

−2 0 10 3 −21 −2 1

Rango y determinantes

Sea A ∈ Mm×n(K). Una submatriz de A es una matriz obtenida alsuprimir completamente de A algunas filas y columnas

Ejemplo: Dada la matriz

1 2 32 3 43 4 6

se tiene que

(1 22 3

)y C =

(3 4 6

)son submatrices de A, mientras que

(1 43 6

)y E =

(3 4 4

)no lo son

1 2 32 3 43 4 6

se tiene que

(1 22 3

)y C =

(3 4 6

(1 43 6

)y E =

(3 4 4

)no lo son

1 2 32 3 43 4 6

se tiene que

(1 22 3

)y C =

(3 4 6

(1 43 6

)y E =

(3 4 4

)no lo son

1 2 32 3 43 4 6

se tiene que

(1 22 3

)y C =

(3 4 6

(1 43 6

)y E =

(3 4 4

)no lo son

rg(A) = mayor orden de B submatriz cuadrada de A con |B| 6= 0

rg(A) = r⇐⇒ ocurren dos cosas:existe B ∈ Mr(K) submatriz de A con |B| 6= 0|C| = 0, ∀C ∈ Ms(K) submatriz de A con s > r

Ahora podemos deducir que

Si A ∈ Mn(K), son equivalentes estas afirmaciones1. A es regular2. rg(A) = n3. |A| 6= 0

Ejercicio: Calcular el rango de

3 6 5 91 1 2 41 −2 3 7

usando tanto el metodo de Gauss como los determinantes

Otra consecuencia interesante es esta:

B = {v1, . . . , vn} es base de Kn ⇐⇒ |A| 6= 0, donde

A = ((v1)Bu | · · · | (vn)Bu)

Ejercicio: Calcular el rango de

3 6 5 91 1 2 41 −2 3 7

usando tanto el metodo de Gauss como los determinantes

Otra consecuencia interesante es esta:

B = {v1, . . . , vn} es base de Kn ⇐⇒ |A| 6= 0, donde

A = ((v1)Bu | · · · | (vn)Bu)

Regla de Cramer

Un SEL con ecuacion matricial A · x = b es de Cramer siA ∈ Mn(K) (no ecuaciones = no incognitas)A ∈ GL(n, K) (|A| 6= 0)

Todo SEL de Cramer es un SCD con solucion x = A−1 · bEn la practica se puede calcular la solucion ası:

Si A = (v1 | v2 | · · · | vn), entonces

x1 =1|A| · det(b | v2 | · · · | vn)

x2 =1|A| · det(v1 | b | · · · | vn)

xn =1|A| · det(v1 | v2 | · · · | b)

Ventaja frente a Gauss: puedo despejar las incognitas en cualquier orden

Regla de Cramer

Todo SEL de Cramer es un SCD con solucion x = A−1 · b

En la practica se puede calcular la solucion ası:

x1 =1|A| · det(b | v2 | · · · | vn)

x2 =1|A| · det(v1 | b | · · · | vn)

xn =1|A| · det(v1 | v2 | · · · | b)

Regla de Cramer

x1 =1|A| · det(b | v2 | · · · | vn)

x2 =1|A| · det(v1 | b | · · · | vn)

xn =1|A| · det(v1 | v2 | · · · | b)

Regla de Cramer

x1 =1|A| · det(b | v2 | · · · | vn)

x2 =1|A| · det(v1 | b | · · · | vn)

xn =1|A| · det(v1 | v2 | · · · | b)

Regla de Cramer

Ejercicio: Estudiar, en funcion de a ∈ R, cuando el SEL dado pora x + y + z = 1x + a y + z = ax + y + a z = a2

es de Cramer. Para tales valores resolverlo por la regla de Cramer

Otras aplicaciones

Area del paralelogramo determinado por~u = (a, b) y~v = (c, d)

area =

∣∣∣∣det(

a cb d

)∣∣∣∣

Volumen paralelepıpedo asociado a~u = (a, b, c),~v = (d, e, f ) y ~w = (g, h, i)

volumen =

∣∣∣∣∣∣det

a d gb e hc f i

∣∣∣∣∣∣Producto vectorial de~u = (a, b, c) y~v = (d, e, f )

~u×~v = det

~e1 ~e2 ~e3a b cd e f

Producto mixto de~u = (a, b, c),~v = (d, e, f ) y ~w = (g, h, i)

[~u,~v,~w] = det

a d gb e hc f i

Otras aplicaciones

area =

∣∣∣∣det(

a cb d

)∣∣∣∣Volumen paralelepıpedo asociado a~u = (a, b, c),~v = (d, e, f ) y ~w = (g, h, i)

volumen =

∣∣∣∣∣∣det

a d gb e hc f i

∣∣∣∣∣∣

Producto vectorial de~u = (a, b, c) y~v = (d, e, f )

~u×~v = det

[~u,~v,~w] = det

a d gb e hc f i

Otras aplicaciones

area =

∣∣∣∣det(

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volumen =

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~u×~v = det

[~u,~v,~w] = det

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Referencias

Todas las demostraciones se pueden encontrar en

Luis Merino y Evangelina SantosAlgebra lineal con metodos elementalesEdiciones Paraninfo, S.A; edicion 1 (17 de abril de 2006)

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