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Fundamentación geofísica, 02/12/2015 – Trabajo final: Determinación del
ángulo de buzamiento de una capa inclinada enterrada mediante sísmica de refracción
Trabajo final: Determinación del ángulo de buzamiento de una capa inclinada
enterrada mediante sísmica de refracción
David Alejandro Segura Sabogal 1
2517921
FUNDAMENTACIÓN GEOFÍSICA, GRUPO 2, PROFESOR JORGE CLAVIJO
1 Departamento de Geociencias, Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá, Carrera 45 No 26-85 – Edificio 224, Bogotá- Colombia, daseguras@unal.edu.co
Introducción
Puede conocerse el ángulo de buzamiento de capas enterradas mediante el uso de la sísmica,
tanto de reflexión como de refracción. Será esta última la que más nos interese mediante el uso
de la refracción crítica.
Figura 1: Fotografía donde se ilustran los fenómenos de refracción y reflexión de
ondas electromagnéticas, Sándor, Z (2005).
Existe un ángulo de incidencia de la onda, con el cual, la onda refractada tendrá un ángulo de
noventa grados con respecto a la normal del plano que separa los dos medios, a este ángulo lo
llamaremos ángulo critico de incidencia .
Si en cada medio las ondas (sísmicas) se propagan con velocidades diferentes, la velocidad del
segundo medio, es decir del medio hacia donde se refractan las ondas, deberá ser mayor que la
del primero, esto debido a que la ley de Snell no se cumpliría, ya que se tendría que el seno del
ángulo critico de incidencia sería mayor a 1.
Si es la velocidad del primer medio y la velocidad del segundo, se tiene entonces que
( )
( )
Esta ecuación será de mucha utilidad a la hora de hacer el desarrollo de la búsqueda de una
expresión que nos permita hallar el ángulo de buzamiento mediante la resolución del problema
directo.
Se puede hacer un análisis de un problema más sencillo y es el de hallar el tiempo para una
construcción donde se tienen dos medios paralelos y horizontales, se pueden interpretar con
estratos o capas horizontales.
Figura 2: Modelo base para el análisis del tiempo de llegada de una onda desde una fuente
hasta un receptor mediante la refracción crítica. STEIN, S & WYSESSION, M. (2003).
Para este análisis y para el de la capa inclinada, se usarán varios principios muy importantes
que se deben tener en cuenta que serán el Principio de Fermat y el Principio de Reciprocidad.
El primero dice “Una onda emplea la trayectoria de menor tiempo para ir de un punto a otro” y el
segundo “El tiempo de propagación de una onda sísmica de un punto A al B, es el mismo que el de B
hacia A. Esto es una consecuencia directa del Principio de Fermat, o del recorrido de tiempo mínimo”
quiere decir que el tiempo en que una onda viaja desde la fuente hasta el receptor, sería el
mismo si la onda viajara desde el receptor hasta la fuente (Anónimo, 2001).
Figura 3: Fotografía en perspectiva del Río Chicamocha, en Las
Juntas, Santander, donde se observan con claridad secuencias de
estratos horizontales.
Para el caso anterior se conoce una expresión del tiempo en función de la posición “x” del
receptor:
( )
√ (
)
( )
La razón por la que existe la onda críticamente refractada, llamada Head Wave, es una
consecuencia del Principio de Fermat. Si la entonces, es razonable que la onda cambie
de medio para llegar al receptor de la forma más óptima.
Análisis de la capa inclinada
Figura 4: Estratos inclinados aflorando.
Como se observó anteriormente, se puede llegar a una expresión del tiempo con relativa
facilidad conociendo ciertos parámetros. En el caso de la capa inclinada, se cambiarán y
añadirán unos factores:
Altura: En este caso la altura máxima será llamada , esta no se tomara perpendicular a la
topografía plana, sino se tomara paralela a la normal del plano inclinado (que es el plano que
separa los dos medios), esto para facilitar los cálculos. La altura mínima, llamada puede ser
calculada con facilidad mediante el uso de trigonometría.
Ángulo de buzamiento: Llamado en este caso , es el ángulo máximo de inclinación de la capa
con respecto a la horizontal.
Se utilizará el siguiente modelo tomado de la Corporación OSSO
Figura 5: Modelo base para hallar una expresión del tiempo de llegada de la onda críticamente refractada y
para hallar el ángulo de buzamiento. Anónimo (2001)
Queremos hallar una expresión del tiempo para ir del punto A (fuente) al punto B (receptor),
sabemos que , y que ese tiempo será igual a la suma de cada uno de los tiempos que
tarda la onda en viajar por la trayectoria ABCD
( )
Ahora el problema radica en hallar expresiones para cada una de las distancias. Nótese que
puede expresarse las distancias en función de los ángulos y
( )
( ) ( )
( )
Pero la segunda altura puede ser expresada en función de primera siendo el
cambio en z, la distancia entre el punto A y el intercepto entre la línea azul y la línea AA’, a este
punto lo llamaremos P.
Ahora, para hallar basta con notar que se conforma un triángulo rectángulo con los puntos
ADP. Con este se tiene que ( ), reemplazando se tiene entonces
( )
( )
( )
( ) ( )
Por último, para hallar la distancia BC, se tiene que
De manera similar a la anterior podemos llegar a expresiones de cada uno de los componentes
de la expresión BC mediante trigonometría
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Reemplazando se tiene entonces
( ) ( ) ( )
Entonces el tiempo es
( ) ( ) ( )
Utilizando la ley de Snell, se reemplaza ⁄ por
( )
, entonces, la ecuación anterior queda
( ) ( ) ( )
( )
Distribuyendo en suma y separando las fracciones se obtiene
( ) ( )
( )
( )
( )
Reemplazando las ecuaciones 4, 5 y 6 en la ecuación 3, se obtiene
( ) ( )
( )
( )
Se factoriza uniendo el primer termino con el tercero y el cuarto con el quinto
( ( ))
( ( ))
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
Reemplazando los valores de AB y CD
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ( ) ( ) ( ) ( ))
( )
( ) ( )
Se llega a una expresión muy interesante en términos del ángulo de incidencia crítica, las
velocidades y la altura máxima. Si tomamos el punto de llegada de la onda, donde se encuentra
el receptor D, como una variable “x”, y reemplazando el valor de ( ) definiendo el coseno
de un ángulo como la raíz cuadrada de uno menos el cuadrado del seno del ángulo, se tiene
entonces que ( ) √ (
)
. Reemplazando en la ecuación 7
( )
√ (
)
( )
Para el caso en el que la onda viaje de D hasta A, siendo A variable, se tiene
( )
√ (
)
( )
Es importante notar que las ecuaciones 8 y 9 son equivalentes a la ecuación 2 cuando el ángulo
de buzamiento es cero.
Figura 6: Ángulo de buzamiento de capas inclinadas
Pero aún no se llega a una expresión para el ángulo de buzamiento. Basta con despejar de la
ecuación 8
( )
( )
( )
( )
(
( )
)
(
√ (
)
) ( )
Es esta la expresión que se buscaba desde un principio. Aun así, se puede expresar de manera
más elegante. Utilizando la ley de las velocidades aparentes.
La ley de las velocidades aparentes dice que la velocidad con la que aparenta transmitirse una
onda en cierto punto de la superficie del suelo es igual al cociente entre la velocidad superficial
y el seno del ángulo de emergencia del frente de onda tomados ambos en dicho punto, donde el
ángulo de emergencia es formado por la onda emergente con la superficie (Anónimo, 2001).
Figura 7: Zoom del área emergente de la onda
Ahora la duda es saber cuál es el ángulo de emergencia de la onda, para esto hay que marcar el
frente de onda, que es la línea verde punteada, ese ángulo que forma el frente de onda con la
topografía es el ángulo de emergencia. Para este caso es muy fácil notar que es , para el
caso en que la onda viaja de D a A, será .
Se tiene que
( ) y que
( ), lo único que queda es conformar
un sistema de ecuaciones despejando y de las ecuaciones anteriores.
( )
( )
( )
De manera análoga se despeja con la otra ecuación obteniendo
( )
Sumando las ecuaciones 11 y 12
Se pasa el 2 como ½ al otro lado de la igualdad y queda
𝑣 𝑎 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑣𝑖𝑎𝑗𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 "𝐴" 𝑎 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥
𝑣 𝑑 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑣𝑖𝑎𝑗𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 "𝐷" 𝑎 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥
𝑖𝑐 𝛼 𝑣
𝑣 𝑎
𝑖𝑐 𝛼 𝑣
𝑣 𝑑
𝑖𝑐 𝑣
𝑣 𝑎
𝑣
𝑣 𝑑
(
) (
) ( )
Se llega a una expresión para el ángulo de incidencia crítico en función de las velocidades, pero
este valor podía haberse hallado desde un principio con la ley de Snell.
Reemplazando la ecuación 13 en la ecuación 12
(
)
Se llega finalmente a la siguiente expresión
(
) ( )
Los valores las velocidades tanto reales como aparentes pueden ser obtenidos mediante el
análisis de las dromocronas, por lo que un análisis de una gráfica T vs x, nos permite hallar un
valor del ángulo de buzamiento.
Se menciona en el trabajo citado de la Corporación OSSI que deben tenerse en cuenta varias
consideraciones a la hora de interpretar datos a partir de gráficas, realizando un análisis como
el anterior:
- Cuando existe un estrato o una capa delgada de suelo cuya velocidad es menor que la de
la capa superior, no hay refracción crítica, de tal manera que no habría indicios de su
presencia en las primeras llegadas en cada punto de la línea de sísmica.
- Cuando existe una capa demasiado delgada, a pesar de tener velocidades mayores no
alcanza a producir primeros arribos por el hecho mismo de ser tan delgada.
Referencias
- Anónimo (2001). Refracción Sísmica. Noviembre 2015, de Corporación OSSO Sitio web:
http://www.osso.org.co/docu/tesis/2001/comportamiento/refraccion.pdf
- STEIN, S & WYSESSION, M. (2003). Seismology and Earth structure. En An Introduction
to Seismology, Earthquakes and Earth Structure (119 a 126). USA: Blackwell Publishing.
- SÁNDOR, Z. (2005). Refraction. www.fizkapu.hu