DERIVADAS

1º BACHILLERATO

Tasa de variación

Se llama tasa de variación (T.V.) de la función y=f(x) en el intervalo [a, a+h], a

la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los puntos de abscisas a y a+h.

T.V. = [f(a+h) − f(a)]

Tasa de variación media

Se llama tasa de variación media (T.V.M.) en el intervalo [a, a+h] al cociente entre la tasa de variación y la amplitud del intervalo :

Interpretación geométricaLa expresión anterior coincide con la pendiente de la recta secante a la función f(x), que pasa por los puntos de abscisas a y a+h.

Ejemplos de tasa de variación media

Calcular la T.V.M. de la función f(x) = x2 − x en el intervalo [1,4].

El índice de la bolsa de Madrid pasó cierto año de 1350 a 1510. Hallar la tasa de variación media mensual.

Derivada de una función en un punto

La derivada de una función f(x) en un punto x=a es el límite, si existe y es finito, de las tasa de variación media, TVM[a,a+h] cuando h tiende a cero. La representamos por f'(a) y es :

Función derivada.La función derivada de una función y=f(x), que sea derivable en su dominio, es una función que asocia a cada valor de la variable x, el valor de la derivada en ese punto. La representamos por f'(x) o y' y viene dada por :

Ejemplo de cálculo de la función derivada

Idea gráfica del concepto de derivada

Ecuación de la recta tangente y normal a una curva

La recta tangente a a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).

y-f(a)=f’(a)(x-a)

La recta normal a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a -1/f '(a).

y-f(a)=-1/f’(a)(x-a)

Derivada lateral por la izquierda

La derivada lateral por la izquierda de una función y=f(x) en el punto x=a es el límite de las tasa de variación media TVM[a,a+h] cuando h tiende a cero por la izquierda del cero, es decir tomando sólo valores negativos. Cuando el límite existe y es finito, decimos que la función tiene derivada lateral por la izquierda y es :

Derivada lateral por la derecha

La derivada lateral por la derecha de una función y=f(x) en el punto x=a es el límite de las tasa de variación media, TVN[a,a+h] cuando h tiende a cero por la derecha del cero, es decir, tomando sólo valores positivos. Cuando el límite existe y es finito, decimos que la función tiene derivada lateral por la derecha y es:

Continuación de derivadas laterales

Si en un punto x=a, las derivadas laterales no coinciden, es decir, son distintas, la función no es derivable en el punto x=a.

Si la función tiene derivada en un punto x=a, existen las derivadas laterales y son iguales,es decir;

f’(a)=f’(a+)=f’(a-)

Relación entre continuidad y derivabilidad

La condición de derivabilidad es más fuerte que la condición de continuidad, una función derivable en un punto, además de ser continua en ese punto , varía suavemente al pasar por el punto, no sufre cambios bruscos. Esto, lo expresamos matemáticamente en el siguiente enunciado:

“Si una función y=f(x) es derivable en x=a, entonces la función es continua en ese punto”

Demostración: Si existe y es finita f'(a)

Luego la función es continua en x=a.

Operaciones con derivadas

Derivadas de sumas, restas, productos y cocientes de funciones

Cálculo de derivadas de funciones elementales

Función Derivada Ejemplos

Constante

y=k y'=0 y=8 y'=0

Identidad

y=x y'=1 y=x y'=1

Funciones potenciales

Cálculo de derivadas de funciones elementales

Funciones exponenciales

Funciones logarítmicas

Funciones trigonométricas

Cálculo de derivadas de funciones elementales

Funciones trigonométricas (Continuación)

Funciones crecientes y decrecientes

Monotonía: Crecimiento y Decrecimiento

TEOREMA 1Sea (f,D) derivable en c c R. Entonces:

TEOREMA 2Sea (f,D) derivable en c c R. Entonces:

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICASi una función es creciente en un punto, la pendiente de la recta tangente es mayor o igual que cero.

Extremos relativos: Máximos y Mínimos relativos

TEOREMASea (f,D) derivable en a c R. Si f posee un máximo o un mínimo relativo en a, entonces f´(a) = 0.

El recíproco no es cierto en general: f(x) = x3 es derivable en 0, y f´(x) = 3 x2, con f´(0) = 0; pero f no tiene

máximos ni mínimos en ningún punto (es estrictamente creciente). f(x) = |x| no es derivable en 0 y posee un mínimo en él.

Aplicaciones de las derivadas a la resolución de problemas: Monotonía

Ejemplo 1

Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la formula: R(x)=-0.002x2+0.8x-5 donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros:a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidadb) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible.c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.

Solución gráfica

Aplicaciones de las derivadas a la resolución de problemas: Optimización

Ejemplo 2Tenemos dos piezas cuadradas de 36 cm de lado. Les cortamos a cada una, una esquina cuadrada de lado x, doblamos los bordes, para unir las dos piezas y formar una caja. ¿Cuánto debe valer x, el lado del cuadradito que recortamos, para que el volumen de la caja sea máximo?

La función que nos da el volumen de la caja será: V=x(36-x)2

Donde el dominio de la función será 0<x<36 ya que el cuadradito que recortamos no puede ser mayor que la pieza completa

Enlaces de interés

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Interpretacion_geometrica_derivada/Tangente_a_una_curva.htm

http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Bach_HCS_2/Aplicaciones_de_las_derivadas/crecim_decrec.htm