Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Karen Clemente RoblesCoautor: Dr. Fernando Macıas Romero.

Facultad de Ciencias Fısico MatematicasBUAP

X Taller Estudiantil de Teorıa de los Continuos y sus Hiperespacios.13 de noviembre 2015

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Contenido

1 IntroduccionPropiedad del punto fijoUn poco de historia.Lema de Sperner

2 Del lema de Sperner al teorema de Brouwer.Teorema de Brouwer para una 2− celda

3 Referencias

2 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Propiedad del punto fijo

Sea X un espacio topologico y f : X → X una funcion continua.

Un punto x ∈ X es un punto fijo de f si f(x) = x.

Un espacio topologico X tiene la propiedad del punto fijo si toda funcioncontinua de X en X tiene un punto fijo.

La propiedad del punto fijo es un invariante topologico.

3 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Propiedad del punto fijo

Sea X un espacio topologico y f : X → X una funcion continua.

Un punto x ∈ X es un punto fijo de f si f(x) = x.

Un espacio topologico X tiene la propiedad del punto fijo si toda funcioncontinua de X en X tiene un punto fijo.

La propiedad del punto fijo es un invariante topologico.

3 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Propiedad del punto fijo

Sea X un espacio topologico y f : X → X una funcion continua.

Un punto x ∈ X es un punto fijo de f si f(x) = x.

Un espacio topologico X tiene la propiedad del punto fijo si toda funcioncontinua de X en X tiene un punto fijo.

La propiedad del punto fijo es un invariante topologico.

3 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Propiedad del punto fijo

Sea X un espacio topologico y f : X → X una funcion continua.

Un punto x ∈ X es un punto fijo de f si f(x) = x.

Un espacio topologico X tiene la propiedad del punto fijo si toda funcioncontinua de X en X tiene un punto fijo.

La propiedad del punto fijo es un invariante topologico.

3 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Propiedad del punto fijo

Sea X un espacio topologico y f : X → X una funcion continua.

Un punto x ∈ X es un punto fijo de f si f(x) = x.

Un espacio topologico X tiene la propiedad del punto fijo si toda funcioncontinua de X en X tiene un punto fijo.

La propiedad del punto fijo es un invariante topologico.

3 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Propiedad del punto fijo

Sea X un espacio topologico y f : X → X una funcion continua.

Un punto x ∈ X es un punto fijo de f si f(x) = x.

Un espacio topologico X tiene la propiedad del punto fijo si toda funcioncontinua de X en X tiene un punto fijo.

La propiedad del punto fijo es un invariante topologico.

3 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Propiedad del punto fijo

Sea X un espacio topologico y f : X → X una funcion continua.

Un punto x ∈ X es un punto fijo de f si f(x) = x.

Un espacio topologico X tiene la propiedad del punto fijo si toda funcioncontinua de X en X tiene un punto fijo.

La propiedad del punto fijo es un invariante topologico.

3 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Un poco de historia.

Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881− 1966)

En 1909 Brouwer (matematico holandes) prueba, paran = 3, que; ((una n− celda tiene la propiedad del punto fijo)).

Jacques-Salomon Hadamard (1865− 1963)

En 1910, Hadamard (matematico frances) probo el resultadopara toda n.

Bronislaw Knaster, Kasimierz Kuratowski y Stefan Mazurkiewicz

En 1929, demuestran el teorema delpunto fijo de Brouwer usando elLema de Sperner.

4 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Un poco de historia.

Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881− 1966)

En 1909 Brouwer (matematico holandes) prueba, paran = 3, que; ((una n− celda tiene la propiedad del punto fijo)).

Jacques-Salomon Hadamard (1865− 1963)

En 1910, Hadamard (matematico frances) probo el resultadopara toda n.

Bronislaw Knaster, Kasimierz Kuratowski y Stefan Mazurkiewicz

En 1929, demuestran el teorema delpunto fijo de Brouwer usando elLema de Sperner.

4 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Un poco de historia.

Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881− 1966)

En 1909 Brouwer (matematico holandes) prueba, paran = 3, que; ((una n− celda tiene la propiedad del punto fijo)).

Jacques-Salomon Hadamard (1865− 1963)

En 1910, Hadamard (matematico frances) probo el resultadopara toda n.

Bronislaw Knaster, Kasimierz Kuratowski y Stefan Mazurkiewicz

En 1929, demuestran el teorema delpunto fijo de Brouwer usando elLema de Sperner.

4 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Lema de Sperner

Sea Q una 2− celda cuadrada dividida en un numero finito de 2− celdascuadradas por lıneas paralelas a sus lados.

Marcamos los vertices de Q con los colores: rojo, azul, verde y morado.

Los vertices de la division se marcan de acuerdo a alguno de los colores quetienen los puntos extremos de ese lado.

5 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Lema de Sperner

Sea Q una 2− celda cuadrada dividida en un numero finito de 2− celdascuadradas por lıneas paralelas a sus lados.

Marcamos los vertices de Q con los colores: rojo, azul, verde y morado.

Los vertices de la division se marcan de acuerdo a alguno de los colores quetienen los puntos extremos de ese lado.

5 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Lema de Sperner

Sea Q una 2− celda cuadrada dividida en un numero finito de 2− celdascuadradas por lıneas paralelas a sus lados.

Marcamos los vertices de Q con los colores: rojo, azul, verde y morado.

Los vertices de la division se marcan de acuerdo a alguno de los colores quetienen los puntos extremos de ese lado.

5 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Lema de Sperner

Entonces, existe una cara cuyos vertices estan marcadoscon almenos tres colores diferentes.

6 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Lema de Sperner

Entonces, existe una cara cuyos vertices estan marcadoscon almenos tres colores diferentes.

6 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Teorema de Brouwer para una 2− celda:

Cada 2− celda tiene la propiedad del punto fijo.

Idea de la demostracion:

Sean Q = [0, 1]× [0, 1] y

f : Q→ Q una funcion continua.

7 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Teorema de Brouwer para una 2− celda:

Cada 2− celda tiene la propiedad del punto fijo.

Idea de la demostracion:

Sean Q = [0, 1]× [0, 1] y

f : Q→ Q una funcion continua.

7 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Teorema de Brouwer para una 2− celda:

Cada 2− celda tiene la propiedad del punto fijo.

Idea de la demostracion:

Sean Q = [0, 1]× [0, 1] y

f : Q→ Q una funcion continua.

7 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Teorema de Brouwer para una 2− celda:

Cada 2− celda tiene la propiedad del punto fijo.

Idea de la demostracion:

Sean Q = [0, 1]× [0, 1] y

f : Q→ Q una funcion continua.

7 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Sean Q = [0, 1]× [0, 1] y

f : Q→ Q una funcion continua.

8 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Sean Q = [0, 1]× [0, 1] y

f : Q→ Q una funcion continua.

9 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Marcamos los vertices de la division, de acuerdo a la direccion del vector,con los numeros 1, 2, 3 y 4 como sigue:

10 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Marcamos los vertices de la division, de acuerdo a la direccion del vector,con los numeros 1, 2, 3 y 4 como sigue:

10 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

11 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

12 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

13 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

14 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Hemos encontrado que existe una 2− celda cuadrada de la division cuyosvertices estan marcados con almenos tres numeros diferentes.

15 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Sea Dm = {τ1, τ2, τ3, ...τm, ...} una sucesion de divisiones finitas en2− celdas cuadradas de Q.

16 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Sea Dm = {τ1, τ2, τ3, ...τm, ...} una sucesion de divisiones finitas en2− celdas cuadradas de Q.

16 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Sea Dm = {τ1, τ2, τ3, ...τm, ...} una sucesion de divisiones finitas en2− celdas cuadradas de Q.

17 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Sea Dm = {τ1, τ2, τ3, ...τm, ...} una sucesion de divisiones finitas en2− celdas cuadradas de Q.

18 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Entonces existe una 2− celda cuadrada en τm cuyos vertices estanmarcados con almenos tres numeros diferentes.

19 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Entonces existe una 2− celda cuadrada en τm cuyos vertices estanmarcados con almenos tres numeros diferentes.

20 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Sean (xm), (ym), (zm) y (wm) sucesiones en Q.

21 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Sean (xm), (ym), (zm) y (wm) sucesiones en Q.

22 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Sean (xm), (ym), (zm) y (wm) sucesiones en Q.

23 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Sean (xm), (ym), (zm) y (wm) sucesiones en Q.

24 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Veamos que p0 es un punto fijo.

Supongamos que p0 6= f(p0)

Caso 1.Si el vector (p0, f(p0)) tiene un angulo ρ = π/2

25 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Veamos que p0 es un punto fijo.

Supongamos que p0 6= f(p0)

Caso 1.Si el vector (p0, f(p0)) tiene un angulo ρ = π/2

25 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Veamos que p0 es un punto fijo.

Supongamos que p0 6= f(p0)

Caso 1.Si el vector (p0, f(p0)) tiene un angulo ρ = π/2

25 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Caso 1.Si el vector (p0, f(p0)) tiene un angulo ρ = π/2

26 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Caso 1.Si el vector (p0, f(p0)) tiene un angulo ρ = π/2

27 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Caso 1.Si el vector (p0, f(p0)) tiene un angulo ρ = π/2

28 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Caso 1.Si el vector (p0, f(p0)) tiene un angulo ρ = π/2

29 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Otros casos.

30 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

Referencias

Lopez Sanchez CristinaPropiedad del Punto Fijo: Lema SpernerTesis de Licenciatura, FCFM-BUAP, 2014.

Rupert Henry BingThe elusive fixed point propertyAmer. Math. Monthly, 76(1969), 119-132.

Sam B. Nadler, Jr.The Fixed Point Property for ContinuaAportaciones Matematicas, Textos, nivel avanzado, 30, 2005.

31 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer

Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias

32 / 32

Del lema de Sperner al teorema de Brouwer