Post on 11-Aug-2015
Definición de factorial y número combinatorio
Publicado por wgs84 en Sábado, 17 marzo, 2007
El factorial de un número natural se escribe n! y su valor es
Con números:
Por convenio 0!=1
Hay que observar que el factorial de un número siempre se puede “rebajar”
En general:
Esta “rebaja” en los factoriales nos permite simplificar expresiones
fraccionarias que incluyan factoriales
Una vez introducidos los factoriales defninamos número combinatorio
con m
Para calcular un número combinatorio siempre podemos “rebajar” los factotiales
Propiedades de los números combinatorios
Publicado por wgs84 en Sábado, 17 marzo, 2007
Propiedades de los números combinatorios:
1.
2.
3.
4. Números combinatorios complementarios:
5. Formula de Stifel:
“rebajamos” los factoriales mayores:
Sacamos factor común:
sumando las fracciones entre paréntesis:
Sumamos y restamos 1 en
y nos queda
Con estás propiedades y lo que sabemos de expresiones factoriales podemos construir el triángulo de Tartaglia (Pascal) y resolver ya ecuaciones con números combinatorios
Ecuaciones con números combinatorios 1
Publicado por wgs84 en Sábado, 17 marzo, 2007
Vamos a resolver la ecuación mediante desarrollo de factoriales:
Aplicamos la definición de número combinatorio y algunas de las propiedades que conocemos:
Rebajamos los factoriales:
Esto ya es una ecuación algebraica normal. Eliminando denominadores y parénteis:
Veremos más ejemplos más adelante
Ecuaciones con números combinatorios 2
Publicado por wgs84 en Domingo, 18 marzo, 2007
Ecuaciones del tipo :
Estos dos números combinatorios o son idénticos o són complementarios:
Si son idénticos: a=b Si son complementarios: a=m-b m=a+b
Ejemplo:
1. Consideramos que son iguales:
y p=14 por lo que tenemos
y la solución es válida
2. Consideramos que son complementarios:
y p=8 por lo que tenemos
y la solución también es válida
Ecuaciones con números combinatorios 3
Publicado por wgs84 en Domingo, 18 marzo, 2007
Resolución mediante la aplicación de la fórmula de Stifel:
Aplicamos la fórmula de Stifel:
La ecuación queda así:
Volvemos a aplicar la fórmula:
La ecuación queda así:
Aplicamos la fórmula por tercera vez y obtenemos:
Estos números combinatorios han de ser a la fuerza complementarios por lo que:
y entonces a=11
Ecuaciones con números combinatorios 4
Publicado por wgs84 en Lunes, 19 marzo, 2007
Vamos a resolver un último ejemplo de ecuación con números combinatorios. Se trata de ecuaciones con números combinatorios a ambos lados de la igualdad .Se resuleven “rebajando” los factoriales y eliminando factores comunes en ambos miembros de la ecuación
Método 1:
Simplificamos factoriales y coeficientes numéricos y nos queda:
Eliminamos los factores
Las soluciones son x= -2 (eliminada por ser negativa) y x=7 que es la buena.
Metodo 2:
Desarrollamos para buscar factores comunes a ambos lados de la igualdad:
Eliminamos factores comunes:
Multiplicando en cruz llegamos a la misma ecuación de segundo grado y a la misma solución.