Post on 06-Mar-2018
Transformada de Laplace
Definición: La Transformada de Laplace Dada una función )(tf definida para toda 0≥t , la transformada de Laplace de f es la función F definida como sigue:
( ) ( ) ( )stF s f t e f t dt∞ −= = ∫L (1) 0
( ) ( ) ( )f f∫ ( )
para todos los valores de s para los que la integral impropia converja.
Ej l 1 Ejemplo 1 Si 1)( =tf para 0≥t , la definición de la transformada de Laplace (1) implica
1 11
s=L para 0≥s .
Ejemplo 2 Si atetf =)( para 0≥t , obtenemos
1ates a
=−
L para as > .
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Ejemplo 3 Si ttf =)( para 0≥t , obtenemos
2
1t =L para as > . 2s Ejemplo 4 Si attf sin)( = para 0≥t , obtenemos
2 2sin aats a
=+
L para 0>s . s a+
Ejemplo 5 Si attf cos)( = para 0≥t , obtenemos f )( p ,
2 2cos sats a
=+
L para 0>s .
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Teorema1. Linealidad de la transformada de Laplace Si a y b son constantes, entonces ( ) ( ) ( ) ( )af t bg t a f t b g t+ = +L L L ( ) ( ) ( ) ( )af t bg t a f t b g tL L L
Ejemplo 6
El cálculo de / 2ntL se basa en el conocido valor de π=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Γ
21
de la ⎠⎝ 2
fórmula gamma. Por ejemplo, tenemos que
3113335 ⎞⎛⎞⎛⎞⎛ π43
21
21
23
23
23
25
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Γ⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛Γ=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛Γ ,
mediante la fórmula )()1( xxx Γ+Γ mediante la fórmula )()1( xxx Γ=+Γ . Aplicando la linealidad y los ejemplos precedentes, obtenemos
5
2 3/ 2 23 5/ 2 3 5
4 ( )2! 63 4 3 3t ts s s s
πΓ+ = ⋅ + = +L .
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Ejemplo 7
Considerando que ( )1h kt ktkt −+ y que ( )1i h kt ktkt − 0k > Considerando que ( )cosh2
kt ktkt e e= + y que ( )sinh2
kt ktkt e e= − , 0k > ,
determine cos ktL y sin ktL .
Ejemplo 8 Determine la transformada de Laplace de la función 2 2( ) 5 4sin 3tf t e t= + , 0t ≥ .
Funciones continuas por partes La función ( )f t es continua por partes en el intervalo acotado a t b≤ ≤ si
[ ],a b se puede subdividir en una cantidad finita de subintervalos adyacentes
de modo que: 1. f sea continua en el interior de cada uno de estos subintervalos; y 2. ( )f t tenga un límite finito cuando t tienda a cada extremo de cada subintervalo desde el interior de éste.
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Decimos que f es continua por partes para 0t ≥ si es continua por partes
en cada subintervalo acotado de [ )0 +∞ Así una función continua poren cada subintervalo acotado de [ )0,+∞ . Así, una función continua por
partes sólo tiene discontinuidades simples (si las hay) y sólo en esos puntosaislados. En tales puntos, el valor de la función sufre un salto finito, comode indica en la figura El salto en ( )f t en el punto c se define comode indica en la figura. El salto en ( )f t en el punto c se define como
( ) ( )f c f c+ −− , donde ( ) li ( )f f+ ( ) li ( )f f
0( ) lim ( )f c f c
εε
+
+
→= + y
0( ) lim ( )f c f c
εε
+
−
→= − .
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Ejemplo 9
Determinar ( )u tL , donde 1 , 0
( )0 , 0
tu t
t≥⎧
= ⎨ <⎩ , es la función escalón unitario.
Ejemplo 10 Determinar ( )au tL si 0a > . ( )a
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Ejemplo 11 Determinar ( )f tL si f está definida, mediante el gráfico siguiente.
Propiedades generales de las transformadas Def: La función f es de orden exponencial cuando t →+∞ si existenconstantes no negativas M , c y T tales que ( ) ctf t Me≤ para t T≥
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Teorema2. Existencia de transformadas de Laplace Si la función f es continua por partes para 0t ≥ y es de orden exponencial
cuando t →+∞ , entonces su transformada de Laplace ( ) ( )F s f t= L existe.
Más precisamente, si f es continua por partes y de orden exponencialcuando t →+∞ , entonces ( )F s existe para toda s c> . Corolario: ( )F s para s grande Si f satisface las hipótesis del teorema 2, entonces
lim ( ) 0s
F s→∞
= .
Teorema3. Unicidad de las transformadas de Laplace Suponga que las funciones ( )f t y ( )g t satisfacen las hipótesis del teorema2, de modo que sus transformadas de Laplace ( )F s y ( )G s existan. Si
( ) ( )F s G s= para toda s c> (para alguna c ), entonces ( ) ( )f t g t= en todos
los puntos de [ )0,+∞ donde f y g sean continuas.
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Ejercicios Aplique la definición (1) para determinar directamente las transformadas deLaplace de las funciones siguientes:
1 1 2≤⎧1.
1 , 1 2( )
0 , etoc.t
f t< ≤⎧
= ⎨⎩
, 2.
Determine la transformada de Laplace de la función: 1 ( ) sin 3 cos3f t t t= 2 3( ) (1 )f t t= + 3 3/ 2 10( ) tf t t e−= − 1. ( ) sin 3 cos3f t t t= , 2. ( ) (1 )f t t= + , 3. ( )f t t e= . Halle la función ( )f t , si ( ) ( )f t F s=L está dada por:
3
1. 5/ 2
1 2( )F ss s
= − , 2. 2
3 1( )4
sF ss
+=
+ , 3.
32( )seF s
s
−
= .
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Sea ( ) 1f t = si a t b≤ ≤ , ( ) 0f t = si t a< o t b> (donde 0 a b< < ). Exprese af en términos defunciones escalón unitario para mostrar quef p q
( )as bse ef t
s
− −−=L .
(a) La gráfica de la función f se muestra en la figura siguiente.
Muestre que f se puede escribir de la forma
0( ) ( 1) ( )n
nf t u t n
∞
=
= − −∑ .
(b) Muestre que 1( )f t =L (b) Muestre que ( )(1 )sf t
s e−=+
L .
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Determine, usando la calculadora classPad 300, la transformada de lafunción sint t , luego, verifique su resultado aplicando la transformadainversa Resuelva el problema usando Maple inversa. Resuelva el problema, usando Maple. Solución: Usando ClassPad300: Usando ClassPad300:
Usando Maple (ingrese los comandos siguientes), verifique el resultadop ( g g ), qanterior. > with(inttrans): > f:=t*sin(t); > plot(f,t=0..5); plot(f,t 0..5);> F:=laplace(f,t,s); > F:=simplify(expand(F)); > g:=invlaplace(F,s,t); > l t( t 0 5)
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> plot(g,t=0..5);
Transformación de Problemas con Valores Iniciales Teorema1. Transformadas de derivadas Suponga que la función ( )f t es continua y suave por partes para 0t ≥ y quees de orden exponencial cuando t →∞ , de modo que existen constantes nonegativas M , c y T tales que
t ( ) ctf t Me≤ para t T≥ .
Entonces ( ) ( ) (0)f t s f t f′ = −L L .
Corolario 1. Derivadas de orden superior Suponga que las funciones f , f ′ , f ′′ ,..., ( 1)nf − son continuas y suaves porSuponga que las funciones f , f , f ,..., f son continuas y suaves porpartes para 0t ≥ , y que cada una de estas funciones satisface lascondiciones del teorema anterior, con los mismos valores de M y c .
Entonces ( ) ( )nf tL existe cuando s c> y Entonces ( )f tL existe cuando s c> , y
( ) 1 2 ( 1)( ) ( ) (0) (0) ... (0)n n n n nf t s f t s f s f f− − −′= − − − −L L .
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Ejemplo 1 Resuelva el problema con valores iniciales 6 0x x x′′ ′− − = ; (0) 2x = , (0) 1x′ = − . ( ) ( )Ejemplo 2 Resuelva el problema con valores iniciales 4 sin 3x x t′′ + = ; (0) (0) 0x x′= = . Ej l 3 Ejemplo 3 Resuelva el sistema
2 6 2x x y′′ = +⎧
2 6 22 2 40sin 3x x y
y x y t= − +⎧
⎨ ′′ = − +⎩ ,
sujeto a las condiciones iniciales (0) (0) (0) (0) 0x x y y′ ′= = = = .
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Teorema 2. Transformada de Laplace de ( )tf t
( ) ( )fL ( )dF sSi ( ) ( )f t F s=L entonces ( )( ) dF stf t
ds= −L .
Ejemplo 4 je p o
Muestre que 2
1( )
attes a
=−
L .
Ejemplo 5 Ejemplo 5
Muestre que 2 2 2
2sin( )
kst kts k
=+
L .
Teorema 3 Transformadas de integrales Teorema 3. Transformadas de integrales Si ( )f t es una función continua por partes para 0t ≥ y satisface la condición
de orden exponencial ( ) ctf t Me≤ para t T≥ entonces de orden exponencial ( )f t Me≤ para t T≥ , entonces
0
1 ( )( )t F sf z dz
s s⎧ ⎫
= =⎨ ⎬⎩ ⎭∫L L f(t) ⎩ ⎭
para s c> . En forma equivalente,
1 ( ) ( )tF s f z dz
s− ⎧ ⎫ =⎨ ⎬⎩ ⎭ ∫L .
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0s⎩ ⎭
Ejemplo 6
D t i l t f d i d L l d 1( )G Determine la transformada inversa de Laplace de 2( )
( )G s
s s a=
−.
Ejercicios Utilice la transformada de Laplace para resolver los problemas con valoresiniciales siguientes: 1. sin 2x x t′′ + = ; (0) (0) 0x x′= = . ; ( ) ( ) 2. 3 2x x x t′′ ′+ + = ; (0) 0x = , (0) 2x′ = .
2′⎧3.
2t
x x yy x e−
′ = +⎧⎨ ′ = +⎩
, (0) (0) 0x y= = .
2 0′′ ′ ′+ + +⎧
4. 2 04 2 0
x x y x yy x y x y′′ ′ ′+ + + − =⎧
⎨ ′′ ′ ′+ + + − =⎩; (0) (0) 1x y= = , (0) (0) 0x y′ ′= = .
n5. (a) Aplique el teorema 1 para mostrar que 1n at n atnt e t e
s a−=
−L L .
(b) Deduzca que 1
!( )
n atn
nt es a +=−
L para n IN∈ .
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( )s a
6. Muestre que 12 2 2 3
1 sin cos( ) 2
kt kts k k
− ⎧ ⎫ −=⎨ ⎬+⎩ ⎭
L . ( ) 2s k k+⎩ ⎭
7. Si ( ) 1f t = en el intervalo [ ],a b y ( ) 0f t = en caso contrario, entonces
( )as bse ef t
s
− −−=L .
8. Si ( )f t es la función onda cuadrada cuya gráfica se muestra en la figura,
entonces 1( ) tanh2sf t
s=L .
2s(Use la serie geométrica.)
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Traslación y Fracciones Parciales Teorema 1. Traslación en el eje s Si ( ) ( )F s f t= L existe para s c> , entonces ( )ate f tL existe para s a c> + , y ( ) ( )ate f t F s a= −L .
Ejemplo 1 Ejemplo 1 Resuelva el problema con valores iniciales 6 34 0x x x′′ ′+ + = ; (0) 3x = ,
(0) 1x′ = (0) 1x = . Ejemplo 2
2 1s +Determine la transformada inversa de Laplace de 3 2
1( )2 8
sR ss s s
+=
− −.
Ejemplo 3 Resuelva el problema con valores iniciales 24 4y y y t′′ ′+ + = ; (0) (0) 0y y′= = .
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Derivadas, Integrales y Productos de Transformadas D fi i ió 1 L l ió d d f i Definición 1: La convolución de dos funciones La convolución f g∗ de las funciones continuas por partes f y g se definepara 0t ≥ como sigue: para 0t ≥ como sigue:
0
( )( ) ( ) ( )t
f g t f g t dτ τ τ∗ = −∫ .
Ejemplo 1 Ejemplo 1 Determine la convolución de ( ) sinf t t= y ( ) cosg t t= . Teorema 1: La propiedad de convolución Suponga que ( )f t y ( )g t son continuas para 0t ≥ y que ( )f t y ( )g t están
acotadas por ctMe cuando t →+∞ . Entonces, la transformada de Laplace dela convolución ( ) ( )f t g t∗ existe para s c> ; además, ( ) ( ) ( ) ( )f t g t f t g t∗ = ⋅L L L
y 1 ( ) ( ) ( ) ( )F s G s f t g t− ⋅ = ∗L
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( ) ( ) ( ) ( )F s G s f t g tL .
Ejemplo 2 Determine, usando convolución, la función ( )h t tal que
12
2 ( )( 1)( 4)
h ts s
− ⎧ ⎫=⎨ ⎬− +⎩ ⎭
L .
D i ió d t f d Derivación de transformadas Teorema 2: Derivación de transformadas Si ( )f t es continua por partes para 0t ≥ y ( ) ctf t Me≤ cuando t →+∞ ,
entonces ( ) ( )tf t F s′− =L para s c> . En forma equivalente,
1 11( ) ( ) ( )f t F s F s− − ′= =L L ( ) ( ) ( )f t F s F st
= = −L L .
Al aplicar varias veces el teorema obtenemos ( )( ) ( 1) ( )n n nt f t F s=L ( ) ( 1) ( )t f t F s= −L
para n IN∈ . Ejemplo 3 Determine 2 sint ktL .
Ejemplo 4 Determine 1 1tan ( )s
−L .
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s
Integración de transformadas Teorema 3: Integración de transformadas Si ( )f t es continua por partes para 0t ≥ , que ( )f t satisface la condición
( )f t0
( )limt
f tt+→
exista y sea finito, y que ( ) ctf t Me≤ cuando t →+∞ . Entonces
( )f t ∞⎧ ⎫ ( ) ( )
s
f t F dt
σ σ⎧ ⎫ =⎨ ⎬⎩ ⎭ ∫L
Para s c> . En forma equivalente,
( ) ( ) ( )s
f t F s t F dσ σ∞⎧ ⎫
= = ⎨ ⎬⎩ ⎭∫-1 -1L L .
Ejemplo 5
Determinesinh t
t⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭L .
Ejemplo 6
Determine 2 2
2( 1)
ss
⎧ ⎫⎨ ⎬−⎩ ⎭
-1L .
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⎩ ⎭
Funciones de entrada continuas y continuas por partes Teorema 1: Traslación sobre el eje t Teorema 1: Traslación sobre el eje t Si ( )f tL existe para s c> , entonces
( ) ( ) ( )asu t a f t a e F s−− − =L
y ( ) ( ) ( )ase F s u t a f t a− = − −-1L
para s c a> + . Ejemplo 1 Si 21
2( )f t t= , el teorema1 implica que
21
2 2 ( ) si 01( ) ( )as t a te u t a t a
− ⎧⎧ ⎫ − ≥= =⎨ ⎬ ⎨
-1L 3 ( ) ( )2 0 si 0
u t a t as t
= − − =⎨ ⎬ ⎨<⎩ ⎭ ⎩
L
Ejemplo 2 Determine ( )g tL si
2 si 3
( )0 si 3t t
g tt
⎧ <= ⎨
≥⎩
Ej l 3 Ejemplo 3 Determine ( )f tL si
cos 2 si 0 2
( )0 i 2t t
f tt
π≤ <⎧= ⎨ ≥⎩
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0 si 2t π⎨ ≥⎩
Impulsos y funciones delta
d l f óConsidere la función
,
1 si ( )
0 t ia
a t ad tε
εε
⎧ ≤ < +⎪= ⎨⎪⎩
0 en caso contrario⎪⎩
cuyo gráfico se muestra en la figura A partir de esta función definimos la función delta de Dirac
,0
si ( ) lim ( )
0 si a a
t at d t
t aεεδ
→
+∞ =⎧= = ⎨ ≠⎩
y la transformada de Laplace y la transformada de Laplace ( ) as
a t eδ −=L ( 0a ≥ ).
Si escribimos 0( ) ( )t tδ δ= y ( ) ( )at a tδ δ− =
entonces ( ) 1tδ =L y ( ) ast a eδ −− =L .
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Ejemplo 1 Resuelva el problema con valores iniciales Resuelva el problema con valores iniciales 2 2 2 ( )x x x tδ π′′ ′+ + = − ; (0) (0) 0x x′= = . Ejemplo 2 Ejemplo 2 Este problema trata de una masa m unida a un resorte (con constante k ), que recibe un impulso 0 0p mv= en el instante 0t = . Muestre que los
problemas con valores iniciales problemas con valores iniciales 0mx kx′′ + = ; (0) 0x = , 0(0)x v′ =
y y 0 ( )mx kx p tδ′′ + = ; (0) 0x = , (0) 0x′ =
tienen la misma solución. Así, el efecto de 0 ( )p tδ consiste en proporcionar a
la partícula un momento inicial 0p .
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Aplicaciones a solución de problemas de Física
Ejemplo 1 Ejemplo 1 Considere el circuito RLC de la figura, con 100 R = Ω , 1 L H= , 0.001 C F= yuna batería que proporciona 0 90 E V= . Inicialmente, no hay corriente en el
circuito y no hay carga en el condensador En el instante 0t = el interruptorcircuito y no hay carga en el condensador. En el instante 0t = , el interruptorse cierra y se mantiene así durante 1 segundo. En el instante 1t = se abrey se mantiene así de ahí en adelante. Determine la corriente resultante enel circuito. Ejemplo 2 Una masa 1m = está unida a un resorte con constante 4k = ; no hay
Una masa 1m está unida a un resorte con constante 4k ; no hayamortiguador. La masa se libera desde el reposo, con (0) 3x = . En elinstante 2t π= golpeamos la masa con un martillo, proporcionando unimpulso 8p = . Determine el movimiento de la masa.
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p p