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10/2/2014 Curvas y superficies 3D
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Walter Mora F
Curvas y superficies cilndricas
Planos
Veamos primero algunos planos que nos van a ser tiles un poco ms adelante.
El plano (horizontal) , donde ;
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El plano (vertical) , donde ;
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El plano (vertical) , donde .
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Curvas en el espacio
Vamos a considerar curvas en el espacio tridimensional, pero definidas sobre uno de losplanos , o y con ecuaciones del tipo:
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1. en el plano , o o definidas de manera implcita por
2. en el plano , o o definidas de manera implcita por
3. en el plano , o o definidas de manera implcita por
Consideremos los siguientes ejemplos
1. La recta
Figura 7.
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2. La hiprbola
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Figura 8.
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3. La parbola
Figura 9.
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4. La Elipse
Figura 10.
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5. La parbola
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Figura 11.
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Curvas sobre los planos , , o
Una curva sobre un plano , , o , se describe dando la ecuacin de la
curva y el plano sobre la cual se encuentra. Eventualmente, estas curvas correspoden a a
una traza.
Ejemplos 8.
Dibujar las siguientes curvas:
Parbola sobre el plano
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Elipse sobre el plano
Hiprbola sobre el plano
Solucin
Para dibujar cada una de las curvas, primero trasladamos los ejes.
Parbola: trasladamos los ejes YZ hasta y dibujamos sobre estos ejes.
Figura 14.
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Elipse: trasladamos los ejes X e Y hasta y dibujamos sobre estos ejes.
Figura 15.
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Hiprbola: trasladamos los ejes X y Z hasta y dibujamos sobre estos ejes.
Figura 16.
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Superficies cilndricas
Una buena parte de las superficies con las que trabajaremos en el curso se generan a
partir de una curva que se mueve en el espacio (llamada generatriz), siguiendo una
trayectoria determinada (llamada directriz) . Trazar la grfica de una superficie de este
tipo es muy simple, la idea es arrastrar la generatriz en la direccin de la directriz, el
movimiento de la generatriz forma la superficie por la traza que va dejando. En la figura
7, la curva generatriz es una prabola y como directriz se usa el vector u = ( 0, 5, 0). En
el software para este ejemplo, se puede cambiar la curva y la trayectoria u.
Figura 7.
>[Ver superficie generada por la parbola en 3D]
>[Ver superficie generada por sen(x) en 3D]
>[Ejemplo general: superficies generadas a partir de una curva C y una trayectoria u ]
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Definicin (cilindro)
Sea una curva sobre un plano llamada directriz y sea una recta no paralela
al plano , llamada generatriz. Entonces el conjunto de todos los puntos en las
rectas paralelas a que intersecan a es un cilindro
Observacin : esta definicin es una generalizacin del conocido cilindro circular recto
donde, por ejemplo, la generatriz es que esta sobre el plano y la
directriz es paralela al eje .Para los fines del curso, vamos a estar interesados
nicamente en cilindros cuyas curvas generatrices estn sobre planos paralelos a los
planos coordenados y cuyas directrices son rectas paralelas a alguno de los ejes
coordenados.Este tipo de cilindros se conoce como cilindros rectos.Cuando la directrizes una recta que no es paralela a alguno de los ejes coordenados el cilindro generado se
conoce como oblicuo.
Un cilindro circular recto tiene como generatriz un crculo y como recta directriz una recta
paralela a uno de los ejes coordenados.En la figura 7 se muestra un cilindro con
generatriz; y con recta directriz paralela al eje .
Figura 8.
En la figura 8 se muestra un cilindro parablico con generatriz y recta
directriz paralela al eje
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Figura 9.
Si en la ecuacin:
alguna de las variables , o es libre (no aparece en la ecuacin), entonces su grfica
corresponde a un cilindro y trazarla resulta muy simple : primero dibujamos la traza de la
superficie sobre el plano coordenado correspondiente a las variables no
libres y luego movemos esta curva en la direccin del eje coordenado correspondiente a
la variable libre.Ahora presentamos algunos ejemplos que ilustran esta tcnica.
Ejemplo 5
Trazar la grfica de la superficie cilndrica cuya ecuacin est dada por:
Solucin
Observando la ecuacin notamos que la variable libre es , esto nos dice que
debemos dibujar la traza (es decir, la parbola ) de la superficie sobre el plano
(plano ) y luego mover esta traza a lo largo del eje para generar la grfica de
la superficie, como se muestra en la figura 9.
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Figura 10.
Observacin : el dominio de la funcin es , esto es un aspecto importante al
trazar su grfica.
Ejemplo 6
Trace la grfica de la superficie cilndrica
Solucin
En este caso la variable libre es , entonces debemos dibujar la traza (la curva )
de la superficie sobre el plano (plano ) y luego debemos moverla a lo largo del
eje coordenado .En este caso es muy importante tomar en cuenta que el dominio de la
funcin es , es decir, slo sobre esta regin vamos a tener
grfica.En la figura 10 se muestra la esta superficie.
Figura 11.
Incluso los planos pueden verse como superficies cilndricas, por ejemplo, el planotiene una variable libre , entonces dibujamos la traza de la superficie sobre el
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planos (plano ) y la movemos a lo largo del eje .
Un plano como , tiene dos variables libres y , entonces dibujamos la traza ( )
sobre el plano y la movemos a lo largo del eje .
Figura 12.
Ejemplo 7
Trazar la grfica de la superficie cilndrica
Solucin
La variable libre es , entonces dibujamos la traza sobre el plano (plano ) y la
desplazamos a lo largo del eje , como se muestra en la figura 13.
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Figura 13.
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Ejemplo 4
Trace la grfica del plano .
Solucin
En este caso tenemos una variable que no aparece en la ecuacin : , entonces elproceso para trazar el plano es muy simple; dibujamos la traza del plano sobre
el plano y luego la desplazamos en la direccin del eje , como se muestra en lafigura 6.
Figura 6.
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