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CURSO PROPEDEUTICO
b. Integración por sustitución c. Integración por partes d. Teorema fundamental del cálculo e. Integral definida
DERIVADASTEOREMAS PARA EL CÁLCULO DE DERIVADAS
Teorema 1. La derivada de una función constante es cero
Ejemplo:
1. Si entonces
2. Si entonces
3. Si entonces
Teorema 2
Si entonces es derivable
sobre y
Ejemplo:
1.
2.
3.
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Teorema 3
Si con y pertenece al conjunto A en el que está bien
definida, entonces es derivable en y
Ejemplo:
1. Si entonces
2. Si entonces
3.
4.
5.
6.
7.
1 1 51
4 4 41 1
( )4 4xD x x x
8.
Teorema 4
Si la función es derivable sobre un intervalo y es un número real, entonces la
función para la que es derivable sobre , además .
Ejemplos:
1. Si entonces
2. Si entonces
3.
4.
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5.
Teorema 5
Si y son dos funciones derivables sobre un intervalo , entonces la función es derivable
sobre y además , para .
donde son funciones derivables sobre un intervalo .
Ejemplos:
1.
2.
3.
Si y son funciones derivables sobre un intervalo entonces la función es derivable sobre ,
y además para cualquier se tiene que
Ejemplos:
1.
2.
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Teorema 6
Si y son funciones derivables sobre un intervalo entonces la función es
derivable sobre , y además para cualquier se tiene que
Ejemplos:
1.
2.
3.
, con a, b, c, k constantes.
4.
Teorema 7
Si y son dos funciones derivables y si sobre un intervalo
entonces la función es derivable sobre , y además para
cualquier y se tiene que
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Ejemplos:
1.
con
2.
con
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3.
con
OPERACIONES DE FUNCIONES
Función Suma
Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función suma está dada por
( f + g ) ( x ) = f (x) + g (x)
Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 1 y h (x) = |x| entonces:
( h + f )(x) = h (x) + f (x) = |x| + 2x + 1
( h + f )(2) = h (2) + f (2) = |2| + 2 ( 2 ) + 1= 7
Sean las funciones f(x) = 3x + 1, y g(x) = 2x - 4. Definir la función f + g y calcular las imágenes de los números 2, -3 y 1/5.
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Solución: La función f + g se define como (f + g) (x) = f(x) + g(x) = 3x + 1 + 2x - 4 = 5x - 3. (f + g) (2) = 5 · 2 - 3 = 7 (f + g) (-3) = 5(-3) - 3 = -18 (f + g) (1/5) = 5 · 1/5 - 3 = -2 Obsérvese que si se calculan las imágenes de f y g por separado y se suman, el resultado es el mismo. Por ejemplo, para la imagen del 2,
Función Diferencia
Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función diferencia está dada por
( f - g ) ( x ) = f (x) - g (x)
Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 1, g (x) = x2 entonces:
( f - g )( x ) = f (x) - g (x) = 2x + 1 - x2 = 1 + 2x - x2
( f - g )(- 1) = f (- 1) - g (- 1) = 2 ( -1) + 1 - ( -1)2 = -2 + 1 - 1 = - 2
Dadas las funciones f (x) = x2 - 3, y g(x) = x + 3, definir la función (f - g)(x). Calcular las imágenes de 1/3, -2 y 0 mediante la función f - g. Solución:
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Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado.
Función Producto
Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función producto está dada por
( f g ) ( x ) = f (x) g (x)
Ejemplo 3 Si g (x) = x2 y h (x) = x - 2 entonces:
( h • g )(x) = h (x) • g (x) = ( x - 2 ) x2 = x3 – 2x2
( h • g )(5) = h (5) • g (5) = ( 5 - 2 ) ( 5 )2 = 3 (25) = 75
Resolución:
Función Cociente
Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función cociente está dada por
( fg )( x )=
f ( x )g( x )
donde g( x )≠0
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Ejemplo Si f (x) = 2x + 1, g (x) = x 2 entonces:
1.( g
f )( x )=g( x )f ( x )
= x2
2 x+1donde 2 x+1≠0
Dadas las funciones f(x) = -x - 1, y g(x) = 2x + 3, definir f/g.
Solución:
La función f/g está definida para todos los números reales, salvo para x = -3/2, donde la función g se anula.
Calculando por separado las imágenes de los números mediante las funciones f y g, y
después efectuando su cociente, se obtienen los mismos resultados.
Producto de un número por una función
Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función
definida por
Obtener las imágenes de los números 2, 1 y 0 mediante la función 3 · f.
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Solución:
Ejemplo
Sea f ( x )=3 x−1 y g( x )=x+5 , entonces:
f ∘g( x )=f ( g (x ))=f ( x+5)=3( x+5)−1=3 x+15+1=3 x+16g∘f ( x )=g ( f (x ))=g(3 x−1 )=3 x−1+5=3 x+4
Ejercicios
Sea f ( x )= 1 - x , g ( x )=(x + 1)2 , h ( x )=√ x-1 , j( x )=x2+1 , halla las funciones indicadas e identifica el Dominio de cada una de ellas.
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1. ( f + g ) (x)
2. ( g – f ) ( x ) (x=2)
3. (j·f )(x) ( x= -1 )
4. (g/f)(x)
5. (f/j(x))
6. j°f(x))
7. h°(j(x))
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS
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Ejercicios
1) f(x) = ln (2x2 + 4).
2) f(x) = ln (x2 + 6)
3) g(x) = ln x2
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6) h(x) = ln (x2 + 3)
7) y = ln x4
8) y = (ln x)4
9) y = x ln x
Ejercicios
1) y = log10 (3x + 1)
2) y = log2 (x2 + 1)
3) y = log10 (x4 + 13)
5) f(x) = log2 (x3 + 1).
6) y = log3 x
7) y = log10 2x
DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
La derivada de la función exponencial es igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la
base y por la derivada del exponente
f(x)= au
f´(x)= u´ au In a
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DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE E
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La derivada de la función exponencial de base e es igual a la misma función por la derivada del
exponente
f(x)=e u
f´ (x) = u´e u
f(x)=e3-x2
f´ (x) = -2xe 3 - x 2
Ejercicios: Deriva cada una de las siguientes funciones:
1) f(x) = e2x
2 ) y=e−2 x+ x2
3) y=e√x
4) g(x) = (e –x + e x)3
5) y = x2 e-x
6) y = x2 ex – 2x ex + 2 ex
7) f(x) = 4x
8) g(x) = 5 x – 2
9) h(x) = 2e x + 1
10) f(x) = 4 –x + !
DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIÓN
Calcula la 3ª derivada de las siguientes funciones:
1)f(x) = x 6 -3x 2 +4x +1
f ' (x) = 6x 5 - 6x +4
f '' (x) = 30x 4-6
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f ''' (x) = 120 x
2. f(x) = x 4+ 2x 3-3x 2 + 4x -10
f'(x) = 4x 3+6x 2 -6x + 4
f '' (x) = 12x 2 + 12x + 6
f'''(x) = 24x + 12
f''''(x) = 24
f'''''(x) = 0
Calcula las derivadas 1ª, 2ª, 3ª y 4ª de:
DERIVADAS IMPLÍCITAS
Ejemplo:
Hallar , de la función implícita:
Aplicando la notación , a cada término y extrayendo las constantes;
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.
En el primer término las variables coinciden, se deriva normalmente, en el segundo término se aplica
la derivada de un producto (primer paréntesis cuadrado), lo mismo en el tercer término.
.
La regla de la cadena se aplica el término , como puede observarse a continuación
claramente en el segundo paréntesis,
quitando paréntesis y ordenando los términos,
,
pasando algunos términos al lado derecho,
extrayendo el factor común ,
y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida:
Ejercicios:
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x2+y2=1
x3-3x2y+2xy2=12
x2+y2=25
xy2+x2y=3
x2y+xy2=3x
4x2y+3y=x3-1
X2+5y3=x+9
x2 y3+2 xy−3+5 x+3 y+11=0
x3 y−2+3 x−3 y+3=0
4 xy3−x2 y+x3−5x+6=0
5 x2−xy−4 y2=0
DIFERENCIAL
Sea una función y = f (x).
Se define como la diferencial de la variable independiente a: dx = Δx
Se define como la diferencial de la variable dependiente a: dy = f '(x)× dx
Esto significa que la diferencial de la variable x es por definición igual al incremento que experimenta,
sin embargo, la diferencial de la variable y no es igual su incremento:
dx = Δx
dy≠ Δy
Ejemplo.
Obtener la diferencial dy de la función y = 4x2 - 6x + 5.
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Solución:
dy = (8x - 6)dx
Ejemplo.
Sea y = x2
Obteniendo la diferencial de y : dy = 2x ×dx
Para efectuar el cálculo de la diferencial general dy de una función y f x, basta con aplicar las
fórmulas de derivación y después multiplicar el resultado por dx.
Ejemplos.
Obtener la diferencial dy de las siguientes funciones:
1) y = -4 x3 + 10x2 - 5x +7
dy= (- 12x2+ 20X-5)dx
2) y= 9/x3
y=9x-3
dy=-27x-4 dx
3) y =( 5x)( 4x) = 20x2
dy=40xdx
TEOREMA PARA EL CÁLCULO DE INTEGRALES INDEFINIDAS
Teorema 1.
"La antiderivación proceso mediante el cual se determina el conjunto de todas las antiderivadas de una función dada.
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El símbolo denota la operación de antiderivación, y se escribe donde
y
En la igualdad
x es la variable de integración,
es el integrando y la expresión
recibe el nombre de antiderivada general o integral indefinida de f.
Si es el conjunto de todas las funciones cuyas diferenciales sean también es el conjunto de todas las funciones
Teorema 2.
Teorema 3.
donde a es una constante.
Teorema 4.
Si las funciones f y g están definidas en el mismo intervalo, entonces
Teorema 5.
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Si las funciones están definidas en el mismo intervalo, entonces
donde son constantes.
Teorema 6.
Si n es un número racional, entonces
Ejemplos.
1) Evalúe
Solución.
2) Calcule
Solución.
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3) Determine
Solución.
Los teoremas para las integrales indefinidas de las funciones trigonométricas seno, coseno, secante
al cuadrado, cosecante al cuadrado, secante por tangente y cosecante por cotangente, son
deducciones inmediatas de los teoremas correspondientes de diferenciación. A continuación se
presentan tales teoremas.
Teorema 7.
Teorema 8.
Teorema 9.
Teorema 10.
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Teorema 11.
Teorema 12.
Ejercicios
1. ʃ5x-5
2. ʃ-3x5+4x2-4x+3
3. ʃx2-5x-2
4. ʃ√2x3 +7x2+9
5. ʃ7x4
6. ʃ 1/x2
7. ʃ√x
8. ʃ3√5x2
9. ʃ3√x +√5x3 / 3x
10. ʃ√5x3/ 3√3x
11. ʃx4-5x2+3x-4 /x
12. ʃx4-5x2+3x-4 /x+1
13. ʃx4-5x2+3x-4 /x2+1
14. ʃ x3 /x-2
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