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7/21/2019 Curso Lic Sem 1 Educ Mat
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CATAMARCA
FACULTAD DE CS. EXACTAS Y NATURALES
CARRERA: LIC. EN ENSEÑANZA DE LA MATEMATICA
CÁTEDRA: SEMINARIO DE ACTUALIZACIÓN DISCIPLINAR I
MÓDULO: GEOMETRÍA
DOCENTE: ALEJANDRA DEL C. ACEVEDO
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PROGRAMA ANALITICOSEMINARIO DE ACTUALIZACIÓN DISCIPLINAR I
Programa de Contenidos teóricos
UNIDAD N!" PUNTOS Y RECTAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO1.1 Me!"#$!%e&' %!$%()%*$%(+,. A+#($"&. B!&e%#$!%e&' !)%e)#$,. Me!")"&. Te,$e-"&.1. L" $e%#" e E(+e$' e+ ,$#,%e)#$, / e+ %*$%(+, e +,& )(e0e ()#,&. Te,$e-"&.1.2 E+ !)%*$%(+,. C*$%(+,& e3%$!#,& , e3%*$%(+,&.1.4 Re%#"& e S!-&,). Te,$e-"&.UNIDAD N#" TRANSFORMACIONES GEOM5TRICAS..1 T$"&+"%!6). R,#"%!6). S!-e#$*" %e)#$"+' "3!"+ / e&+!7"". P()#,& / $e%#"& 8!9"&. C,-,&!%!6) e &!-e#$*"&. D!&#!)#,& %"&,& e %,-,&!%!,)e&..2 I&,-e#$*"& !$e%#"& / ,(e&#"&. Te,$e-"& e)e$"+e&..4 ;,-,#e%!". R,#"%!6) !+"#""' &!-e#$*" !+"#""..< Se-e9")7". P()#, !)0"$!")#e. Te,$e-"& e)e$"+e&.
UNIDAD N$" GRUPOS' SUBGRUPOS' GRUPOS CÍCLICOS. ;OMOMORFISMO DEGRUPOS.
2.1 G$(,&. De8!)!%!6). P$,!e"e& =>&!%"&. G$(,& 8!)!#,& / #"=+"& e $(,&.2. O$e) e () $(, 8!)!#,. G$(,& e %,)$(e)%!".2.2 G$(,& e =!/e%%!,)e& e () %,)9()#, / G$(,& &!-?#$!%,& S).2.4 G$(,& !e$!%,& D) / G$(, e @+e!).2.< S(=$(,&. De8!)!%!6).2. G$(,& %*%+!%,&. De8!)!%!6). C+"&e& " +" !7(!e$" e G &e) H . Te,$e-": x H H =
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2. Te,$e-" e L"$")e:
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4. C(e$,& / %"-,&. De8!)!%!6).
Programa de Contenidos Pr&cticosTra'a(o Pr&ctico N!"Primera )arte" P()#,& / $e%#"& ),#"=+e& e) e+ #$!>)(+,.C*$%(+,& / $e%#"&.Seg*nda )arte" T$")&8,$-"%!,)e& e,-?#$!%"&.Tra'a(o Pr&ctico N#"Primera )arte" G$(,&' &(=$(,&' $(,& %*%+!%,&. ;,-,-,$8!&-, e $(,&.Seg*nda )arte" A)!++,&' &(=")!++,& e !e"+e&' ")!++, %,%!e)#e. ;,-,-,$8!&-, e ")!++,&
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+UNDAMENTOS DE LA GEOMETR,A
P*ntos - Rectas Nota'.es en e. Tri&ng*.o/
C0rc*.os - Rectas/
Trans1ormaciones Geom2tricas/
E. gr*)o de .as isometr0as en e. ).ano/
A3 A.g*nas re1.e4iones so're Geometr0a - Ed*cación
HU5 ES LA GEOMETRÍAHPOR U5 GEOMETRÍA
KGEOMETRÍA ERES T"$"8$"&e"), " G(&#"0, A,+8, B?%(e$
P"$" CONOCER ()" e +"& $"-"& -"#e->#!%" ->& !)&#$(%#!0"P"$" CULTIVAR +" !)#e+!e)%!" (-")".P"$" DESARROLLAR e&#$"#e!"& e e)&"-!e)#,.P"$" DESCUBRIR +"& $,!"& ,&!=!+!"e& %$e"#!0"&.P"$" APRENDER ()" -"#e$!" !)#e$e&")#e / #!+.P"$" FOMENTAR ()" &e)&!=!+!" "%!" +, =e++,.P"$" TRABAJAR -"#e->#!%"& e3e$!-e)#"+-e)#e.
P"$" AGUDIZAR +" 0!&!6) e+ -(), (e ),& $,e".P"$" GOZAR e &(& "+!%"%!,)e& $>%#!%"&.P"$" DISFRUTAR "$e)!e), / e)&eQ"),../ ,$ (e +" GEOMETRIA e&e" e&#"$ e) &( %+"&e.
C+"(! A+&!)" C"#"+>' J,&e F,$#()/ A/-e-*' R"8"e+ P?$e7 G6-e7
A.g*nas consideraciones 5istóricas
Eta)a +orma.i6adora E+ "$#e e+ &. XVI 8(e e+
-,#,$ "$" e+ ,$!e) e +"e,-e#$*" P$,/e%#!0" /De&%$!#!0".
A$!#-e#!7"%!6) e +"e,-e#$*" e)%(e)#$" &(,$!e) e) +" Ge,-e#$*"A)"+*#!%" e De&%"$#e&.
M>& $,=+e-"&' ->&e,-e#$*"&: Ge,-e#$*"
"+e=$"!%"' $,="=!+*&#!%" ,!)#e$"+' +"& ), e(%+!e"&'%,-=!)"#,$!"' e#%.
Eta)a Ingen*a o Int*iti7a L" )e%e&!" e -e!$ L" )e%e&!" e (&"$
%!e$#"& 8!($"& e) $,%e&,&%,)&#$(%#!0,& / "%e$ $e$e&e)#"%!,)e&
S( e)&eQ")7" 8(e$e&#$!)!" " ()" -!),$*"e +" 9e$"$(!7""&,%!e" e!%!".
Eta)a A4iom&tica Ge,-e#$*" %!e)#*8!%" &.
VI / III ".C. T"+e& "=!e), e&#", e)
E!#, !)#$,(9, +"e,-e#$*" " G$e%!".
E&%(e+"& P!#>,$"&';e$"%+!#, e E8e&,';!6%$"#e& e (*,'E(,3,' E(%+!e&'A$(!-ee&' A,+,)!,'
e#%. L,& E+e-e)#,& e
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Una Geometr0a )ara .oros
La 5erencia de Don 8*.io Re- Pastor 9s/ ::3 (*nto a s*s disc0)*.os" Pedro P*ig Adam;Pedro Pi Ca..e(a; L*is Antonio Santa.ó - otros/
E. <A'a(o E*c.ides= De 8ean Die*donn2 en e. Seminario Internaciona. de Matem&tica9!>?>3 - e. nacimiento de .a Matem&tica Moderna @*e e4a.tó e. c*.ti7o de. rigor; .aconstr*cción 1orma. de .os conce)tos matem&ticos; - considerar como '&sico )ara .aensean6a de .a matem&tica .os )ro'.emas de 1*ndamentación de .a disci).ina/Consec*encia negati7a )ara .a ed*cación )rimaria - sec*ndaria/
La Geometr0a )endiente" Retorno de .a Geometr0a
Re1ormas c*rric*.ares e im)actos tecno.ógicos/
Ba- @*e demostrar.o todo
BTiene sentido *na matem&tica sin demostración BLa demostración de)ende de. ni7e. o .a edad
BCon7encer es demostrar
BConstit*-e .a Geometr0a e. me(or a)artado )ara e(em).i1icar .as demostracionesmatem&ticas en c.ase
BP*ede 'asarse .a metodo.og0a )ara desarro..ar *n c*rr0c*.o de matem&ticaesco.ar en genera.; o de geometr0a en )artic*.ar; en .a reso.*ción de )ro'.emas
BP*eden ser 7a.orados .os distintos ra6onamientos Geom2tricosBCómo
B*2 )rocedimientos de 7a.oración - e7a.*ación de'er&n em).earse BEs )osi'.edisting*ir en e. a*.a .os a.*mnos @*e ra6onan mediante .a com)rensión dea@*e..os @*e a)renden a.go mec&nicamente BCómo
BC*&.es son .as ca*sas de. 1racaso de .os est*diantes en .a creación de )r*e'as1orma.es en geometr0a
E. gran reto es @*e .a Geometr0a )*eda 7o.7er a TODAS .as a*.as
La demostración en c.ase de Geometr0a La reso.*ción de )ro'.emas en c.ase de Geometr0a Fa.oración - e7a.*ación de. ra6onamiento en Geometr0a
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P.ani..a )ara 7a.oración genera. de )rocesos en .as acti7idades geom2tricas/
Ni7e."C.ase"
Criterios
A.*mno"Notas o esca.a 9! a !3
Inter)retaciónO'ser7ación
Identi1icaciónReconocimientoRe1.e4iónCr0tica
Organi6ación
Estr*ct*raciónContro. de 7aria'.esE1icienciaMani)*.ación - generación dedatosTratamiento de .a in1ormación
Proceso deSim'o.i6ación
An&.isis
Re)resentaciones -con7enciona.ismoUso correcto de instr*mentos
+orm*.ación dei)ótesis
Mode.i6aciónEsta'.ecimiento de re.acionesDemostración8*sti1icación - An&.isis
Ca)acidadCom*nicati7a
Re)resentación+orm*.ación de so.*cionesInter7ención escritaInter7ención ora.Inter7ención gr*)a.
T/P/N ! 9!era/ Parte3" PUNTOS H RECTAS NOTALES DEL TRIANGULO
ACTIFIDADES CONTENIDOS
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E+ #$!>)(+, e +,& ()#,& -e!,& -e!"+ e& &e-e9")#e "+ #$!")(+, ,$!!)"+ /
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E+ #$!>)(+, 8,$-",& ,$ +,& !e& e +"& "+#($"& 6$#!%, e& e+ #$!>)(+, e e$*-e#$, -*)!-, !)&%$!#, e) e+ #$!>)(+, ,$!!)"+
L"& "+#($"& e+ #$!>)(+, ,$!!)"+ &,) =!&e%#$!%e& e+ #$!>)(+, 6$#!%,. E+ !)%e)#$, e+ #$!>)(+, 6$#!%, %,!)%!e %,) e+ ,$#,%e)#$, e+ #$!>)(+, ,$!!)"+ E+ %e)#$, e+ %*$%(+, e +,& )(e0e ()#,& e(!!&#" e+ O$#,%e)#$, / e+
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T/P/N ! 9#da/ Parte3" TRANS+ORMACIONES GEOMETRICASACTIFIDADES CONTENIDOS
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S! ()" &e-e9")7" "+!%" %"" $e%#"' e) ()" $e%#" "$"+e+"' e)#,)%e& e& ()" #$"&+"%!6) ( ,-,#e%!".
T," &e-e9")7" (e ), &e" !&,-?#$!%" #!e)e () ()#,8!9, / &,+, (),' ++"-", %e)#$, e +" &e-e9")7".
T," &e-e9")7" !$e%#" (e ), &e" !&,-?#$!%" e& ()"
$,#"%!6) !+"#"" e) "$#!%(+"$ ()" ,-,#e%!".
T," &e-e9")7" ,(e&#" (e ), &e" !&,-?#$!%" e& ()"&!-e#$*" !+"#"".
TRAA8O PRACTICO N ! 9PRIMERA PARTE3
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PUNTOS H RECTAS NOTALES EN EL TRIANGULO
!3 Conc*rrencia de Mediatrices; A.t*ras - isectrices"
De-,&#$"$ (e +"& -e!"#$!%e&' "+#($"&' =!&e%#$!%e& e () #$!>)(+, &,) %,)%($$e)#e& (ee&%,)&(+#"$ e) #e3#,&
#3 Medianas
" C,)&#$(!$ () ∆ ABC
.
= C,)&#$(!$ +,& ()#,& -e!,& e +,& +",& e+
' ' BC CA AC
. ' A B′ ′
/C ′
$e&e%#!0"-e)#e.
% T$"7"$ +,& &e-e)#,&' AA BB′ ′
/CC ′
. HE) %(>)#,& ()#,& &e %,$#") HTe ")!-"$*"& " e%!$ ,$ (?
A +" !)#e$&e%%!6) ++"-"$+"G
' / %,)&#$(!$ +,& &e-e)#,&' ' ' ' A G GA B G GB C G′ ′ ′
/GC
.e Me!$+,&' H(? $e+"%!6) #!e)e) H,$*"& e-,&#$"$+, H%6-,
8 HP,$*"& e-,&#$"$ (e +"& >$e"& e +,& &e!& #$!")(+!#,& e) (e (e" !0!!, ABC
&,)!("+e& H%6-,
$3 Tri&ng*.o de .os )*ntos Medios
" C$e"$ () ∆
ABC
/ +,& ()#,& -e!,& e &(& +",&'
' A B′ ′
/
C ′
.
= T$"7"$ e+ #$!>)(+, e +,& ()#,& -e!,&.
% Me!$ &(& +",& / +,& e+ #$!>)(+, ,$!!)"+. H(? $e+"%!6) e)%(e)#$"&
E+ ∆ ABC
(e" !0!!, e) %("#$, #$!>)(+,& e(eQ,& / !&9()#,&. HC6-, &,) e&#,&#$!>)(+,& $e&e%#, e +"& $e+"%!,)e& e &e-e9")7" / %,)$(e)%!" %,-"$",& e)#$e &* / %,) e+#$!>)(+, $")e
e C,)&#$(!$ +,& ="$!%e)#$,& e ABC
/ e A B C ′ ′ ′ . HC6-, &,)
8 C,)&#$(!$ e+ ,$#,%e)#$, e ∆ A B C ′ ′ ′
/ e+ %!$%()%e)#$, e ∆ ABC
. HC6-, &,)
T$"#"$ e e-,&#$"$ +"& $,!e"e& (e (!&#e e&%(=$!$ e) e&#" "%#!0!".
%3 Tri&ng*.o Órtico
" E) () ∆ ABC
"%(#>)(+,' %,)&#$(!$ +"& "+#($"&.
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= L+"-"$' A B′ ′
/C ′
" +,& !e& e +"& "+#($"& %,$$e&,)!e)#e& "' A B
/C
$e&e%#!0"-e)#e.
% U)!$ +,& !e& e +"& "+#($"&. E&e #$!>)(+, &e ++"-" T$!>)(+, Ó$#!%,.
L"& "+#($"& !0!e) e) ,& >)(+,& +,& >)(+,& e+ #$!>)(+, 6$#!%,. HC6-, &,) e&,& >)(+,&e)#$e &*
e C,)&#$(!$ e+ !)%e)#$, e ∆ A B C ′ ′ ′
/ e+ ,$#,%e)#$, e+ ∆ ABC
. HC6-, &,) Tratar de demostrar
usando que
' ' A B C ′ ′ y
H están en una circunferencia (análogamente para cada vértice) y
las propiedades de los ángulos inscriptos para ver que los ángulos en que queda dividido B′
son
FU B° − los de
A′ son
FU A° − y los de
C ′ son
FU C ° −!
8 H(? "&" &! e+ #$!>)(+, e& ,=#(&>)(+,
?3 Tri&ng*.o inscri)to de )er0metro m0nimo
" C$e"$ e+ ∆ ABC
.
= T$"7"$ X' Y / "
()#,& e)' T BC AC AB
$e&e%#!0"-e)#e.
% T$"7"$ e+ ∆ #$" / -e!$ &(& +",&. HC"), e& -*)!-, e+ e$*-e#$, e !%, #$!>)(+, HP,$*"& e-,&#$"$+, HC6-,J3 Recta de E*.er
" C$e"$ () #$!>)(+,' / %,)&#$(!$ &( ,$#,%e)#$, H
' ="$!%e)#$,G
/ %!$%()%e)#$,%
. = M,0e$ e+ #$!>)(+, / ,=&e$0"$ e) (? ,&!%!6) &e e)%(e)#$") e&#,& #$e& ()#,&.
% Me!$ +,& &e-e)#,& HG
/G%
. H(? $e+"%!6) "/ P"$" e-,&#$"$+,' %,)&#$(* e) +" 8!($" e+
#$!>)(+, e +,& ()#,& -e!,& A B C ′ ′ ′
/ $e%,$"), (e%
e& &( ,$#,%e)#$, /G
&( ="$!%e)#$,'
#$"#> e e)%,)#$"$ $e+"%!,)e& e)#$e AH
/ A %′
/ e)#$e AG
/GA′
.
C,)&#$(!$ e+ ()#, -e!, e H%
/ ++"-"$ &
.e C,)&#$(!$ e+ #$!>)(+, e +,& ()#,& -e!,& / &( %!$%()%e)#$,. H(? "&"K3 La circ*n1erencia de .os n*e7e )*ntos
" C$e"$ () ∆ ABC
"%(#>)(+, / -"$%"$ &( %!$%()%e)#$,.
= T$"7"$ +,& ()#,& -e!,& e &(& +",&'' A B′ ′
/C ′
.
% C,)&#$(!$ +"& "+#($"& e+ #$!>)(+, / -"$%"$ e+ ,$#,%e)#$, H
.
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TRAA8O PRACTICO N ! 9SEGUNDA PARTE3TRANS+ORMACIONES GEOMETRICAS EN EL PLANO
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ILIOGRA+,A
BPOR U GEOMETR,A PROPUESTAS DIDACTICAS PARA LA ESO; C.a*diA.sina Cata.&; 8ose) M/ +ort*n- A-mem0; Ra1ae. P2re6 Góme6; Editoria. S0ntesis/Madrid !>>K
APUNTES DE CLASE/ Ace7edo; A.e(andra
CURSO DE GEOMETR,A MTRICA/ TOMO !/ +UNDAMENTOS; P*ig Adam;Editoria. i'.ioteca Matem&tica; Madrid !>J>/
E:PLORANDO LA GEOMETR,A EN LOS CLUES CAR,; +.a7ia onomo;Car.os DAndrea; Santiago La).agne; Mart0n S6e/ Editoria. Red O.0m)ica/ Argentina!>>J
+UNDAMENTOS DE LA GEOMETR,A/ Co4eter /S/M/ Edit/ Lim*sa/ M24ico/ !>K!
GEOMETR,A UNIFERSITARIA; I/ Martin Isaacs ; Editoria. T5omson Learning/M24ico ##
RETORNO A LA GEOMETR,A; Co4eter; /S/M/ Greit6er; S/L/ Edit E*.er/ Co./ LaTort*ga de A@*i.es/ Madrid !>>%/
TRATADO DE GEOMETR,A; Ga'rie. Fe.a6co Sotoma-or; Editoria. Lim*sa; M24ico!>$/
TRATADO DE GEOMETR,A; Ga'rie. Fe.a6co Sotoma-or/ Edit/ Lim*sa; M24ico!>$/
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ANE:O I
PUNTOS H RECTAS NOTALES DEL TRINGULO•
•
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14
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•
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• De e&#,& ()#,&: A' B' C / ;. %("+(!e$" e e++,& e& e+ ,$#,%e)#$, e+ #$!>)(+, 8,$-", ,$ +,& ,#$,& #$e&.
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• Teorema• L,& #$!>)(+,& 6$#!%,& e %"" (), e %("#$, #$!>)(+,& e#e$-!)",& ,$ () %("$#e#,
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Demostración• V!-,& (e ,& ()#,& e +,& %("#$,&: A' B' C / ; e#e$-!)") $e%#"& e$e)!%(+"$e& "
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••
••
#/ $ ISECTRICES
•• De1inición:
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• Teorema" e +" =!&e%#$!7 !)#e$!,$• L" =!&e%#$!7 e () >)(+,' e3%e#(", &( e3#$e-, e& e+ %,)9()#, e #,,& +,& ()#,& e+
!)#e$!,$ e+ >)(+, (e e(!!&#" e +,& +",& e+ >)(+,.• Demostración
• P e&#> e) e+ !)#e$!,$ e+C A B X
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•
1
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•
• Re%*$,%"-e)#e:• AFIRMACIONES • RAZONES
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• P e& !)#e$!,$ "C A B X • De 1 e8. e =!&e%#$!7
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2 A ' & A ' XX ≅
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Teorema %,)%($$e)%!" e +"& =!&e%#$!%e&:• L"& =!&e%#$!%e& e +,& >)(+,& !)#e$!,$e& e () #$!>)(+, &,) %,)%($$e)#e& e) () ()#,(e e(!!&#" e +,& #$e& +",& e+ #$!>)(+,' ++"-", !)%e)#$,.
Demostración
• E) e+C B A
∆
' I e& +" !)#e$&e%%!6) e +"& =!&e%#$!%e& e B A XX ∧
• AFIRMACIONES • RAZONES
• 1 P e& !)#e$!,$ "+C A B X • D"#,
• AB '& ⊥
/ AC '2 ⊥ • De8. e !&#")%!"
• 2 2 & XX ∧
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• 4 2 & XX ≅ • L,& >). $e%#,& &,) %,)$(e)#e&
• < PM W PN • D"#,
• A & ' A 2 '
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≅ • Te,$. C,)$. !,#e)(&"%"#e#,
• 2 A ' & A ' XX ≅ • P"$#e& %,$$e&,)!e)#e&
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e& =!&e%#$!7 eC A B X • P"&, 1 / e8!)!%!6) e =!&e%#$!7
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• E)#,)%e& I e&#> e) e+ !)#e$!,$ e+ AX
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• !)#e$!,$ e+C X
.
• E) %,)&e%(e)%!": I e(!!&#" e
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• I e(!!&#" e BC AB ∧
• L(e, I e(!!&#" e BC AC ∧
' e)#,)%e& I e&#" e) +" =!&e%#$!7 e+C X
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Coro.ario" E+ !)%e)#$, e& e+ %e)#$, e+ %*$%(+, !)&%$!#, "+ #$!>)(+,' #"-=!?)e),-!)", !)%*$%(+,' / e $"!, $ !)$"!,
•• Notas" &e 0e$>) e) e+ $>%#!%,
L"& "+#($"& e+ #$!>)(+, ,$!!)"+ &,) =!&e%#$!%e& e+ #$!>)(+, 6$#!%,.
E+ !)%e)#$, e+ #$!>)(+, 6$#!%, %,!)%!e %,) e+ ,$#,%e)#$, e+ #$!>)(+, ,$!!)"+
•• Lema
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21
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• Demostración
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• Demostración
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•• O'ser7aciones:
• F ()#, e e(!+!=$!,.• L,& #$e& %e)#$,& e +,& %!$%()%*$%(+,& e#e$-!)") () #$!>)(+, e(!+>#e$, Te,$.
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4
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ANE:O II
• TRANS+ORMACIONES GEOMTRICAS• Introducción•• Una transformación en el lano es !na f!nción "!e asocia a cada !nto del lano !n
!nto de #ste$
• %eamos& or e'emlo al(!nas de las transformaciones "!e odemos reali)ar con !na
fi(!ra*
• + odemos mo,erlo - cam.iar s! osición/
• + odemos amliarlo o red!cirlo/
• + odemos ro-ectarlos en ersecti,as so.re el ael/
• + odemos di.!'arlo en !na l0mina el0stica - estirarlo 1asta deformarlo
ar.itrariamente$
• 2os interesa est!diar*
• +En c!0les de estas transformaciones se mantiene las lon(it!des 3distancias4
• +En c!0les se mantiene los 0n(!los
• +En c!0les se mantiene los !ntos alineados
• +En c!0les se mantiene el ordenamiento de los !ntos
• +En c!0les se mantiene las aralelas& 0reas& etc$
•
• 2osotros tra.a'aremos en el lano e!clidianoπ
$
•
• Definición* Una transformación (eom#trica es !na f!nción o alicación: / π π →
"!e adem0s conser,a roiedades li(adas a la (eometr5a del lano$•• Es decir consideraremos los mo,imientos como !na corresondencia de !ntos& la
desi(naremos con la letra ma-6sc!la /
& sea '
!n !nto del lanoπ
& el !nto "!e la
transformación /
asocia a '
se denota or
( ) / '
- se llama ima(en o transformado
de '
or la transformación /
•
( ) Z / ' ' =
• Propiedades:•7$ Comosición o rod!cto de transformaciones* es la oeración de alicar
s!cesi,amente dos 3o m0s4 transformaciones en el mismo lano$ Es decir& dadas dos
transformaciones&
1 / / /
& la transformación "!e se asi(na a cada !nto '
del lano
42
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π
el !nto
( )( ) 1 / / '
se llama comosición o rod!cto de las transformaciones
1 / / /
& se nota or 1
/ / o
$ Es decir
( ) ( )( ) 1 1 / / ' / / ' =o
•8$ El rod!cto o comosición de transformaciones (o)a de la roiedad asociati,a*
( ) ( )2 1 2 1 2 1 / / / / / / / / / = =o o o o o o
• 9$ 2o necesariamente es conm!tati,a la comosición de transformaciones
•:$ ;e llama transformación identidad a la transformación del lano or la c!al cada
!nto del lano se corresonde consi(o mismo& la denotamos con 3
& se ,erifica* 3 / / 3 / = =o o
& con
/
transformada c!al"!iera$
<$ ;i la transformación es .i-ecti,a& tenemos*
• /
es !na f!nción .i-ecti,a ⇒
1 / −∃ transformación inversa 3 es a"!ella "!e a
cada !nto del lano le asi(na s! 6nica reima(en or /
4 tal "!e
•
1 1 / / / / 3 − −= =o o
donde 3
* transformación identidad
•$ C!ando se formen rod!ctos de !na transformación or si misma& tales como
, / / / / / o o o
& !tili)aremos la notación
2 , / / & resecti,amente
• Involución o transformación in,ol!ti,a*
• /
es in,ol!ti,a ⇔
/ 3 = o sea
1 / / − =
•
>$ Punto fijo o invariante 3do.le o !nido4* ' π ∈
& transformación de /
& se dice "!e
' es fi'o si
( ) / ' ' =
3al alicarle la transformación se o.tiene el mismo !nto4$
•
?$ Recta fijo o invariante: ;e dice "!er
es recta fi'a si *
( ) / r r =
• @o c!al no "!iere decir "!e si ' r ∈
-r
es fi'a ⇒
( ) / ' ' =
•• Transformaciones Rígidas•
44
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P
Q
A
B
• ;i se considera en el lano !na fi(!ra r5(ida& es decir "!e no !eda cam.iar de
tamao ni de forma& lo 6nico "!e !ede ,ariar en ella es s! osición en el lano$@lamamos a estas transformaciones mo,imientos r5(idos& !es es !n mo,imientodonde la 6nica transformación "!e se o.ser,a es el cam.io de osición& es decir& "!ela fi(!ra no se deforma$
• + E'emlos* con(r!encia traslaciones + rotaciones simetr5as$• + Contrae'emlo* seme'an)a + 1omotecia
• enemos las si(!ientes roiedades en las transformaciones r5(idas*
+ @as transformaciones r5(idas del lano son transformaciones .i-ecti,as tales "!edada c!al"!ier recta s! ima(en es !na recta -& an0lo(amente& dada c!al"!ier semirrecta s! ima(en es !na semirrecta$
+ @a transformación "!e se o.tiene de comoner dos transformaciones r5(idas esr5(ida$
+ @a in,ersa de !na transformación r5(ida es r5(ida$+ ;i !n se(mento se transforma en otro se(mento or !na transformación r5(ida& - !no
c!al"!iera de ellos est0 incl!ido en el otro& entonces dic1os se(mentos son i(!ales$ An0lo(amente ara 0n(!los$
+ Dadas dos semirrectas c!ales"!iera& eiste !na transformación r5(ida - sólo !na "!etransforma !na semirrecta en la otra& - !n determinado semilano limitado or larimera en !n determinado semilano limitado or la se(!nda$
•••••
• TRANSFR!A"IN#S $#!%TRI"AS #N #& P&AN•
• I' TRAS&A"I(N
•
• Definición: ;e tiene !n se(mento orientado AB
& la traslación definida or ese
se(mento AB
es 3P4=
'<
es e"!iolente al AB
••
••
•••
4<
E"!iolente*i(!al mod!lo&
dirección -sentido
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• ó .ien dado !n ,ector li.rev
& !na traslación de ,ector v
en el lano es tam.i#n !na
f!nción en la "!e a cada !nto P del lano le corresonde como ima(en otro !nto P&
de modo "!e el ,ectorZ '' es e"!iolente a
v
• 3P4= P = P v
• )servaciones:•• + C!ando la traslación se alica a !na recta si(nifica alicarla a cada !na de
s!s !ntos 3.asta trasladar dos !ntos c!ales"!iera de ella4$
• + Para alicar !na traslación a !n ol5(ono& .asta 1acerlo con cada !no de s!s
,#rtices$
• + Para o.tener el trasladado de !n c5rc!lo .asta trasladar s! centro - tra)ar con
este n!e,o centro otro c5rc!lo del mismo radio
• + @as traslaciones conser,an las distancias& los 0n(!los& alineación - orden de!ntos& 0reas$
••
•••••••
•• Traslación id*ntica' +ector nulo•• Definición: ;e llama ,ector n!lo al ,ector c!-o ori(en coincide con s! etremo$
• 2otación AA
&%
•• Definición: @a traslación "!e transforma todo !nto del lano en si mismo se llama
traslación id#ntica o identidad$
• 2otación
T T AA %
T T 3 uuur ur
•• )servación
• + En la traslación id#ntica todos los !ntos son !nidos
' ' T %
=O
4
A
B
C
,
CG
AG
BG
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• + ;iov ≠
entonces no tiene !ntos fi'os$
• + ;ivr cc
entonces r es recta fi'a$
• "omposición de traslaciones•• + @a comosición de dos traslaciones es otra traslación 3es !n caso artic!lar de la
comosición de f!nciones4$
• + @a comosición de traslaciones es conm!tati,a*vuvuuv
T T T T T +
==
• P
PG
PGG
!
,
!H,
•
• Tras.ación in7ersa T1"vv
T T −
− =1O
• +7 o = o +7 = I
• 3P4 = P ⇒ +7 3P4 = P
• +7 o 3P4 = P - o +73P4 = P
•
•
• Propiedades de la adición de vectores , la composición de traslaciones'•• P!esto "!e la traslación "!eda determinada or !n ,ector& odemos ded!cir las
roiedades de la comosición de traslaciones& de las roiedades de la adición de,ectores$
••• + @a adición de dos ,ectores es otro
,ector$
•• + @a adición de ,ectores es asociati,a$
•
• + El ,ector n!lo es elemento ne!tro ara laadición de ,ectores
•• + @a s!ma de !n ,ector - s! o!esto es !n
,ector n!lo
•• + @a adición de ,ectores es conm!tati,a
•• ∴@a estr!ct!ra del con'!nto de los
•• + @a comosición de dos traslaciones es
otra traslación$
• + @a comosición de traslaciones es
asociati,a$
•
• + @a traslación id#ntica es elemento ne!troara la comosición de traslación
•• + @a comosición de !na traslación - s!
in,ersa es la identidad$
•• + @a comosición de traslaciones es
conm!tati,a$
•
4
N O ZN O ZZ
N ZO ZZ
u
u v
v
T ' ' T ' '
T ' ' +
= =
=
r
r r
r
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,ectores del lanocon la adición 3%$4 es (r!o a.eliano
•
• ∴Estr!ct!ra del con'!nto de traslaciones en el
lano con la comosición 3& o4 es (r!oa.eliano$
•
••
•
• II. ROTACIÓN
•
• Definición* Dado !n !nto fi'o O ∈π - !n 0n(!lo orientado α
• R 3O& α43P4 = tal "!e
X X
%< %'
'%< α
=
=
•
P
OPG
)servaciones•
• + Para o.tener las rectas trasformada mediante !na rotación& .asta o.tener los
trasformados de dos !ntos de la recta mediante esa rotación$ Un rocedimiento m0scómodo ara el anterior& es tra)ar desde el centro de rotación la distancia a la recta
dada& 1acer (irar esta distancia el 0n(!lo de (iro corresondiente& - or el ie de ladistancia "!e 1a (irado& tra)ar la erendic!lar
• + ;i dos ,ectores son aralelas& s!s transformadas or !na rotación& son tam.i#n
aralelas
• + ;i dos rectas son erendic!lares& s!s resecti,as trasformadas or !na rotación
tam.i#n son erendic!lares$
• + Para alicar la rotación a !n ol5(ono& .asta 1acerlo con cada !no de s!s
,#rtices$
• + @as rotaciones conser,an la distancia& los 0n(!los$
••
•••
••••
Rotación Id*ntica' -ngulo Nulo
4
A
C
B
O
AG CG
BG
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•• Definición: ;e llama 0n(!lo n!lo al 0n(!lo c!-os lados coinciden$
X XX U\ T T A%A %µ =
•
• Definición: @a "!e trasforma todo !nto del lano en si mismo se llama rotaciónid#ntica o identidad$
• ' ' % ' % + 3 == X'N
••
•
)servación•• + ;i P = O s! ima(en es O& entonces P es !nto fi'o$
• + ;al,o en los casos
\1EU'\UX =∝& no 1a- rectas fi'as$
•• "omposición de Rotaciones "onc*ntricas$
•• ;i tenemos dos rotaciones del mismo centro O* R3O& α4& R3O& β4
• @a comosición de dos rotaciones conc#ntricas es otra rotación del mismo centro
c!-o 0n(!lo de (iro es la s!ma de los 0n(!los de (iro de las rotaciones dadas$
• R3O& β4 o R3O& α4 = R3O& α β4 = R3O& α4 o R3O& β4
••
• Rotación inversa
• R3O& α4J+7 = R3O& + α4
•
• R+7 o R = R o R+7 = I / R+7 o R 3P4 = P / R o R+7 3P4 = P
Propiedades de las adición de los .ngulos orientados , de la composición de
rotaciones del mismo centro
• + @a adición de 0n(!los orientados es otro
0n(!lo orientado$
• + @a adición de 0n(!los orientados es
asociati,a$
• + El 0n(!lo n!lo es ne!tro ara la
adición de 0n(!los$
• + @a s!ma de dos 0n(!los o!estos es el
0n(!lo n!lo$
• + @a comosición de dos rotaciones
conc#ntricas es otra rotación$
• + @a comosición de rotaciones conc#ntricas
es asociati,a
• + @a rotación id#ntica es el elemento ne!tro
ara la comosición de rotaciones
• + @a comosición de dos rotaciones in,ersas
es la identidad$
4
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• + @a adición de 0n(!los orientados es
conm!tati,a$
•• ∴@a estr!ct!ra del con'!nto de 0n(!los
orientados con la adición 3A&4 es (r!o a.eliano
• + @a comosición de rotaciones del mismo
centro es conm!tati,a
•• ∴ Estr!ct!ra del con'!nto de rotaciones del
mismo centro con la le- de comosición3R& o4 es (r!o a.eliano
•••
)servaciones•• + Comosición de rotación con traslación no es conm!tati,a*
vvT % +% +T OX'OX' ∝≠∝
•
•••••
III' SI!#TR/A "#NTRA&•
•
• Definición: Dado !n !nto O∈π& la simetr5a del centro O es
tal "!e
• ;o 3P4=P ⇔ O es el !nto medio de PP••••• Propiedades*
•
• + Es in,ol!ti,a* ;O o ;O =
%>
= I ⇒ %% > > =−1
•• + iene !n 6nico !nto fi'o "!e es O$ @as rectas "!e asan or O& son rectas fi'as$
•• + R3O&7?KL4 = ;O
•• + Comosición de dos simetr5as centrales 3de distintos centros4 es !na traslación de
,ector
%%
<
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•Z.Z %%%% T > > =
• En efecto*
• PPP es !n tri0n(!lo&Z%% es .ase media del tri0n(!lo& entonces
ZZZ %% '' = -
ZccZZ %% '' $ @!e(o
ZZZ %% '' =
•
P
O
OG
PG
PGG
•
•
( )ZZ Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z '' '' ' ' %' ' % %' ' % %%= + = + = + =
••
• IF/ SIMETR,A A:IAL
•• Definición* Dada !na recta r& se llama simetr5a aial de e'e r a la transformación ;r
definida or ;r 3P4 = P ⇔ r es mediatri) deZ ''
•
•
=G
P
s=sG
PG
• r
••• "omposición de dos simetrías a0iales*
<1
)servaciones*
+ ;O o ;O = 8OO
+ 2o es conm!tati,a* ;O o ;O ≠ ;O o ;O
+ , o ;O ≠ ;O o ,
Propiedades
+ odos los !ntos del e'e son !ntos fi'os&or lo tanto r es !na recta fi'a$+ @as rectas erendic!lares al e'e sonrectas fi'as$
+ Es in,ol!ti,a* ;r o ;r = ;r 8 = I ⇒ ;r
+7 = ;r
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•• Primer caso* @os e'es se cortan
•• 74 @os e'es son o.lic!os - forman !n 0n(!lo α
• ;r o ;r = R 3O& 8α4
• ;r o ;r = R 3O& +8α4
•• E) e8e%#,
•
r
O
P
PG
PGG rG
• 84 @os e'es son erendic!lares
•
•
r
r
P
PP
O
••• "onclusión: • Al comoner dos simetr5as aiales de e'es conc!rrentes se o.tiene !na rotación de
centro en el !nto de intersección de los e'es - de 0n(!lo do.le del "!e forman dic1oe'es$ Rec5rocamente dada !na rotación R3O& γ 4 es osi.le eresarla como rod!cto
3o comosición4 de dos simetr5as aiales ;r - ;r de e'es r - r "!e asen or O -
tales "!e
γ X
1ZX =r r
la recta r 3ó r4 !ede ele(irse ar.itrariamente$
••
<
C,-, ZZZ %' %' %' ==
,$ e8!)!%!6)e &!-e#$*" /
En efecto* alicando como !n caso artic!lar delrimero
;r o ;r = R 3O& 8$MKL4 = R3O&7?KL4 =;O 3simetr5a central de centro O& intersección de lose'es4
rGr
O
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•••••
••• ;e(!ndo caso* E'es aralelos
•
r
rG
P
PG
PGG
R
RG
;
•
••
• "onclusión*
• Al comoner dos simetr5as aiales de e'es aralelos se o.tiene !na traslación de
,ectores erendic!lares a los e'es - de mod!lo i(!al al do.le de las distancias entre los
e'es$ Rec5rocamente toda traslación , !ede eresarse como el rod!cto
3comosición4 de dos simetr5as aiales de e'es aralelos 3r r4 - erendic!lar av
&
tales "!e el ,ector orto(onal a ellos "!e ,a de r a r es i(!al a
v
.
1
$ El e'e r 3ó r4!ede ele(irse ar.itrariamente$
•
•
•
•
•
• + @a simetr5a aial* no es conm!tati,a& ni asociati,a* ;r o ;r ≠ ;r o ;r 3sal,o si r ⊥r4
•
<2
;r o ;r = 8RR siendo R∈r R∈ r - RR⊥ r
En Efecto*
;ea r r& el !nto R∈ r$ ;e tra)a la erendic!lar a
r or R - o.tenemos R∈ r
;r 3P4 = P - ;r 3P4=P
enemos*ZZZZZZZZZ ++>T T ' >' ' ' '' '' ==+=+=
++r r T > > iZ =
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+' SI!#TR/A D#S&I1ADA
•
• Definición* sea r !na recta - ,ectorv
aralelo a r$ @a simetr5a desli)ada de e'e r
- ,ectorv
se define or
• D3r&v
4 = v
o ;r = ;r o v
•
r
, P
PG
EG PGG
•
•
"omposición de una simetría a0ial , una central•• enemos dos casos se(6n "!e O∈ r& O ∉ r
•• Primer caso* Donde O∈ r
•• enemos la recta r - el !nto O∈ r/ sea la recta s⊥ r or O
• Entonces* ;O = R3O& 7?KL4
• = ;s o ;r
• = ;r o ;s
•• @!e(o* ;r o ;O = ;r o ;r o ;s = I o ;s = ;s
• ;O o ;r = ;s o ;r o ;r = ;s o I = ;s
••
"onclusión:• En c!al"!ier caso& ;r o ;O = ;O o ;r = ;s da !na simetr5a aial de e'e erendic!lar a r
or O$
••• ;e(!ndo caso* O ∉ r
<4
Propiedades
+ ;iendo v
≠ K ⇒ no tiene !ntos fi'os& - r es
la 6nica recta fi'a$
+ D3r&v
4 J+7 = 3 v
o ;r 4+7
= ;r +7 o
v
+7
r O
P
PG
PGG
G
s
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•• ;e tra)an las rectas s ⊥ r - t r & am.as or O
• Entonces ;O = ; t o ;s 374
• = ;s o ; t 384
•
• @!e(o* ;r o ;O = ;r o ; t o ;s alico 374
• =Z%%
T
o ;s como r t
• = D 3s&
%%4
Z%% s
•
• ;O o ;r = ;s o ; t o ;r alico 384
• = ;s o%%
T
t r
• = D 3s&
%%
4 s
%%Z
•• Entonces ;O o ;r ≠ ;r o ;O
•• "onclusión*
• @a comosición de !na simetr5a aial - !na central es !na simetr5a desli)ada de e'e
erendic!lar a r or O con !na traslación 3"!e es diferente se(6n el orden en "!e setome& los ,ectores son o!estos4 i(!al a 8 ,eces el ,ector "!e determinan la distanciadel !nto O a la recta r$ Rec5rocamente& toda simetr5a desli)ada !ede eresarsecomo el rod!cto de !na simetr5a central or !na aial - ,ice,ersa
•
•
"omposición de una Simetría A0ial , una Rotación•
• O∈ r ⇒ ;r o R 3O& α 4 = R3O& α4 o ;r = ;imetr5a Aial
• O ∉ r ⇒ ;r o R 3O& α 4 ≠ R3O& α4 o ;r
••
"omposición de una Simetría A0ial , Traslación•
• r no aralelo av
⇒ ;r o v
≠ v
o ;r
• r v
⇒ ;r o v
= v
o ;r = D3r&v
4
•• +I' 2!T#"IA
•• Definición*
<<
t
s
OG
O
r
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•• Dados !n !nto O - !n n6mero real N ≠ K& se llama 1omotecia de centro O - ra)ón
N& a la transformación "!e alica P en P tal "!e
%' 7 %' .Z =& es decir*
+ P
%' ∈3recta4
+ P%' ∈
& si N K$
+ P ∈ semirrecta o!esta de%'
& si N K
+
%' 7 %' . =$
• )servaciones:•
+ 2otación* H3O& N4+ El !nto O es !nto fi'o/ las rectas "!e asan or O& son rectas fi'as$
•• Geom#tricamente*
•a3 Imagen de un punto
• H3O& N43P4 = P Z%' 7 %' =
•
%+%+7
%<%<7
%' %' 7
.2
Z......2c
.Z.......
.Z........
==
−=−=
==
•)3 Imagen de un segmento
•• H3O&N43P4=P∧ H3O&N434=
• ⇒
7 %<
%<
%'
%' ==
374 ⇒
ZZcc < ' '<
• ra)amos or P la aralela a O&• "!eda determinado el !nto R
• En el ∆OP *
+<
< '
%'
%' ZZZ=
384
• En el aralelo(ramo PR*
'< +< =Z
394
<
O
P
PG
RG R
G
O
P
PG
G
R
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• Reemla)ando 394 en 384 - 374 *
7 '<
< '
%'
%' ==
ZZZ
• En consec!encia* la ima(en de !n se(mento
'<
or !na 1omotecia de centro O -
ra)on N es otro se(mento
ZZ< '
tal "!e* i$
'<< ' ccZZ
• ii$
7 '<
< ' =
ZZ
3la ra)ón entre los se(mentos es i(!al a la ra)ón
de la 1omotecia4
•c3 Imagen de un vector
•
7 '<
< ' '<< '
< ' '<7 % H
=
→
ZZccZZ
ZZ:O'N
••
•d3 Imagen de una recta
•
ZccZ:'N r r r r 7 % H ⇒→
• oda recta se transforma en !na recta
• aralela a ella$
••e3 Imagen de un .ngulo•
• + ;i N K los 0n(!los tienen los lados aralelos -
• diri(idos en el mismo sentido$
•• + ;i N K& los lados son aralelos - diri(idos en
• sentido contrario$•• + Dos 0n(!los 1omot#ticos son con(r!entes$
••f3 Imagen de un polígono
••
<
O
PG
G
P
O
P
PG
G
r
r G
O
P R
PG
G
RG
GG
RGG PGG
o
A
B
C
CG
BG
AG
CGG
BGG
AGG
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• @as 1omotecias son transformaciones directas&
• conser,an la orientación del lano
•
••
"omposición de 2omotecias del mismo centro•• H3O& N84 o H3O& N74 = H3O& N74 o H3O& N84 = H3O& N8$ N74
• En efecto$
• H3O& N84 o H3O& N74 J 3P4 = H3O& N84 H3O& N74 3P4 J
• = H3O& N843P4 /
%' 7 %' .Z 1=
• = P /
%' 7 7 %' 7 %' ..Z.ZZ 1 == como N7 - N8 son
n6meros reales$
• = H3O& N7$N84 3P4•+ oda Homotecia tiene in,erso* H3O& N4 J +7 = H3O& 7N 4$
• En efecto* H3O& N4 3P4 = P tal "!e
[ ] %' 7
%' %' 7 %' %' 7 %' .1
Z.Z.Z 11
=⇒=⇒= −−
+ Eiste 2e!tro*
• N=7 ⇒ H3O& 74 = I 3Identidad4 / N = +7 ⇒ H3O&+74 = ;O
•+ @as 1omotecias del mismo centro forman !n (r!o a.eliano$
•
• RTA"I(N DI&ATADA 4 2!&$/A 5directa3•• Dado !n !nto O& !n n6mero real N& - !n 0n(!lo α& se define *
•• R3O& N& α4 = H3O& N4 o R3 O& α4 = R3 O& α4 o H3O& N4
•• SI!#TR/A DI&ATADA 5opuesta3•
• ;iendo O ∈ r& se define*• ;3O& N & r4 = H3O& N4 o ;r = ;r o H3O& N4
• )servaciones
+ De am.as se !ede decir* "!e m!ltilican las lon(it!des or | N | / alican rectas
en rectas/ conser,an el orden de los !ntos/ conser,an los 0n(!los/ O es !ntofi'o$
<
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+ En rotación dilatada* no 1a- otro !nto fi'o/ no 1a- rectas fi'as& eceto si α =
7?KL& en este caso R3O& N& 7?KL4 = H3O& +N4$+ En simetr5a dilatada* 2o 1a- otro !nto fi'o& eceto en simetr5a aial recta fi'a r - s
⊥ r or O
• Inversas•• R3O& N& α4 J +7 = R3O& α4 J+7 o H3O& N4 J+7 = R3O& +α4 o H3O& 7N 4 = R3O& 7N& +α4
•• ;3O& N& r 4 J+7 = ;r
+7 o H3O& N4 J+7 = ;r o H3O& 7N4 = ;3O& 7N & r4
•• En las rotaciones - simetr5as dilatadas& siemre !ede s!onerse N K
•+ N K ⇒ R3O& N & α 4 = H3O& N 4 o R3O& α4
• = H3O& +N 4 o H3O& +74 o R3O& α4
• = H3O& +N 4 o R3O& 7?KL4 o R3O& α4
• = H3O& +N 4 o R3O& 7?KL α4• = R3O& +N & α 7?KL4
+ N K ⇒ ;3 O& N& r 4 = H3O& N 4 o ;r
• = H3O& +N 4 o H3O& +7 4 o ;r
• = H3O& +N 4 o ;O o ;r
• = H3O& +N 4 o ;s donde s ⊥ r or O
• = ;3O& +N& s 4
••• FII/ ISOMETRIAS•
• Definición: Una transformación del lano se llama isometr5a ⇔ conser,a la distancia
entre los !ntos
• F*π π es isometr5a ⇔ ∀ P& ∈ π *
'<< / ' / =NN
•
P
8&7= cm
F3P4
F34 F3P4
F34
8&7= cm 8&7= cm
•• Propiedades•• 74 oda isometr5a conser,a la alineación - orden de !ntos
<
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a4 ;i esta entre P - R& entonces esta entre P - R& es decir& conser,a la relaciónQestar entre& or lo tanto alica semirrectas en semirrectas - se(mentos ense(mentos$
.4 ;i P& & R son !ntos alineados$ Entonces P& & R tam.i#n de.en estar alineados& es decir alica !ntos de !na recta en !ntos de !na recta$
c4 oda isometr5a transforma rectas aralelas en rectas aralelas& de a"!5 "!e si se
!ne con .4 res!lta "!e si se alica en semilanos se o.tiene semilanos$• d4 oda isometr5a conser,a el 0n(!lo de dos semirrectas& en artic!lar alicar
rectas erendic!lares en rectas erendic!lares$
•
4 Dadas dos semirrectas AB
-ZZ B A ele(idas ara cada !na de ellas !no de los
semilanos "!e determina& eiste !na - sola !na isometr5a "!e lle,a AB
aZZ B A - el
semilano ele(ido limitado or AB
en el semilano limitado orZZ B A
•
• A
AGB
BG
rientar el plano significa:• Orientar el sentido del 1a) del ra-o "!e sale de cada !nto$
Orientar el recorrido del contorno de c!al"!ier ol5(ono con,eo$
O .ien ara cada semirrecta ele(ir !na de s!s lados 3derec1a o i)"!ierda4••• En (eneral ara orientar el lano& .asta ele(ir !n sentido del recorrido ara !n 1a) en
artic!lar& !n ol5(ono& o ele(ir !n lado de !na semirrecta ara "!e "!ede orientado ellano& !es todas las elecciones se transmiten a c!al"!ier 1a)& ol5(ono o semirrecta$4$
•• @!e(o& las isometr5as !eden mantener o cam.iar la orientación del lano$ @as
isometr5as se clasifican en directas - o!estas se(6n conser,an o no la orientación dellano$
•
• Primer m#todo*
")#!,$"$!,
,$"$!,
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•
A
B
C
AG CG
BG
AG
CG
BG
Isometr5adirecta
Isometr5ao!esta
•• ;e(!ndo m#todo*
• Podemos indicar !na isometr5a oniendo !na ra-a en los lados de las semirrectas "!e
de.en corresonderse$
•••
••
•
•
•
•
•
•
• @a comosición de isometr5as directas - o!estas si(!en !na re(la an0lo(a a la de los
si(nos del rod!cto de n6meros& asi(nando 34 a las directas - 3+4 a las o!estas$• dir $ dir = dir o$ o= dir dir$ o= o
••• )servación: • ;i .ien !na transformación es !na corresondencia& en la r0ctica lo ,emos
f5sicamente como mo,imientos& las isometr5as directas corresonden a mo,imientos"!e !eden rod!cir !n imacto desli)ando el lano so.re si mismo& las o!estas encam.io ei(en !n re.ote en el lano$
•• @as transformaciones est!diadas 3son isometr5as4 de ac!erdo a la clasificación son*
• + @as isometr5as Directas* raslación Rotación+ ;imetr5a Central$• + Isometr5as O!estas* ;imetr5as aiales+ ;imetr5a desli)ada$
••• Propiedad*
•
1
I&.D!$e%#"
B B !7.
!7 e$A A
I&. O(e&#"
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• Dados dos se(mentos con(r!entes AB
- ZZ B A& eisten eactamente dos isometr5as
"!e lle,an A a A - B a B& !na es directa - la otra es o!esta$
••
• Teorema 6*•• oda isometr5a es !na simetr5a aial o !ede eresarse como rod!cto de a lo s!mo
tres simetr5as aiales$ ;i la isometr5a tiene !n !nto fi'o& es !na simetr5a aial o !edeeresarse como rod!cto de dos simetr5as aiales$
• Demostración
•
• ;ean∆
ABC -∆
ABC& dos tri0n(!los con(r!entes "!e se corresonden en la
isometr5a F dada$
• O sea*
=
=
=
ZN
ZN
ZN
C C /
B B /
A A /
or la con(r!encia se ,erifica "!e *
==
=
ZZ
ZZ
ZZ
C B BC
C A AC
B A AB
& Y
≅≅
≅
C C
B B
A A
••• Distin(!imos tres casos*
•• "aso I* ;i A ≡ A - B≡ B& entonces*
••••••••••••
• "aso II* ;i A = A - B ≠ B$•••••••
AG=A BG= B
CG= C
CG
+ C ≡ C⇒ F = I 3identidad4& la c!0l se !ede
considerar como el rod!cto de !na simetr5aaial consi(o mismo$
+ C ≠ C ⇒ C - C son sim#tricos resecto
AB
AB>
;ea r .isectri) deZX B A B & o sea r mediatri) de
Z BB$
;ea G la isometr5a definida or G = ;r o F 374
@!e(o G3A4 = A - G3B4 = B ⇒ G es !na isometr5a "!e
est0 en las condiciones del Caso I *
==
t AB > >
3 G
⇒ De 374& tenemos* ;r +7 o G = F ⇒
== r r > 3 >
/
AG= A
B
BG
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•••••
• "aso III* ;i A ≠ A & B≠ B - C≠ C 3esto no imlica "!e 1a-a otros !ntos "!e no seanin,ariantes4 $
•••••••••
•••••••••••
•• )servación*
•• Considerando F no id#ntica& o sea I = ;7 o ;7&
• enemos*
=
opuesta> > >
fi?o punto@natiene / directa> >
fi?o punto@natiene / opuesta>
/
+ '
+ '
21
1
1
• @a directa reresenta el rod!cto de 8 simetr5as aiales/
• @a o!esta reresenta !na simetr5a aial o rod!cto de 9 simetr5as aiales
••• Teorema 7*
•
• oda isometr5a directa es !na traslación o rotación$
•
2
;ea t la mediatri) deZ AA$
Dada la isometr5a H = ;t o F 384
H3A4 = 3;t o F 4 3A4 = ;t F3A4J = ;t3A4 = A ⇒ H es !na
isometr5a "!e de'a fi'o a A ⇒ H est0 en el Caso II 3 o en
el Caso I 4$
⇒
=
2
1
r r
r
> >
>
3
H
⇒ De 384& tenemos* ;t+7 o H = F
==t 3 >
#
A A
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• Demostración$
• ;i F es !na isometr5a directa 3or o.ser,ación del eorema 74 ⇒
=r r > >
3 /
Z
• @a Identidad !ede considerarse !na raslación de ,ector n!lo o como !na rotacióncon α = KL
•
• ;i F = ;r o ;r & entonces *
⇒⇒
rotaci)nunaes> > r a paralelaesnor
traslaci)nunaes> > r r
r r
r r
Z
Zcc
Z
Z
•• "orolario*
•• Una isometr5a directa "!e ten(a al(6n !nto fi'o - no sea la identidad es !na rotación
alrededor de este !nto fi'o 3- no es traslación or"!e si 1a- al(6n !nto fi'o& lo tienea todos - en ese caso es la identidad4$
••• Teorema 8: •• oda isometr5a o!esta "!e ten(a !n !nto fi'o es !na simetr5a aial$
• Demostración
•• Como tiene 7 !nto fi'o/ se elimina el caso III del teorema 7& comosición de tres
simetr5as aiales& entonces or la o.ser,ación 1ec1a de.e ser la simetr5a aial3o!esta4$
•• Teorema 9:•• oda isometr5a o!esta es !na simetr5a aial o !na simetr5a desli)ada$
• Demostración
•
• ;ea F isometr5a o!esta ⇒
= 1N
1N
12 333 CasoTeorema> > >
3 CasoTeorema> /
r r r
r
•• El 7er$ caso es simetr5a aial con lo "!e "!eda ro.ado el teorema& falta ,er el caso de
la comosición de 9 simetr5as aiales& si .ien se !ede tratar directamente estacomosición 3se 1ace en r0ctica4& ro.aremos el teorema or !n camino diferente$
• ;ean A - B dos !ntos distintos - A& B s!s im0(enes tal "!eZZ B A AB = or ser
isometr5a
• Por el teorema * F "!eda fi'ada con estos datos* A → A & B→ B - F o!esta
4
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•
• ;ea O !nto medio de
Z AA
- sea G = ;O o F ⇒ G eso!esta
•
• Dir$ O$
• ;O=R3O&7?KL4
•• Como G3A4 = 3;O o F43A4 = ;O F3A4 J = ;O 3A4 = A ⇒ G es !na isometr5a o!esta
con !n !nto fi'o ⇒ G es !na simetr5a aial or eorema anterior* G = ;r ⇒ G = ;O o
F
• ⇒ F = ;O+7 o ;r = ;O o ;r ⇒
∉
∈desliada simetrar %
axial simetrar %
.
•
• "orolario:
•
• Una isometr5a o!esta "!e no ten(a !nto fi'o es !na simetr5a desli)ada de ,ector no
n!lo$
•
•• %eamos en detalle la constr!cción corresondiente al teorema anterior*
•
•
A
B
3 S 4
BG
AG
3 S 4
O
BGG
r
s
OG
••
<
Para esecificar !na isometr5a damos !n
se(mento AB
& - marcamos con !na ra-a 3+4 loslados de dic1o se(mento "!e de.encorresonderse$
7$ ;e determina O !nto medio deZ AA
8$ ;e alica G = ;O o F a los !ntos A - BG3A4 = AG3B4 = B 3simetr5a de B resecto de O4
9$ ;e constr!-e la mediatri) de ZZ BB & "!e
asa or A& llamada r$ 3 B = B ⇒ r = AB 4
:$ A1ora 1acemos ;O o ;r & tra)amos la
erendic!lar a r or O& denominada s* s ⊥
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+III' S#!#AN1A•• Definición*
•• ;e llama seme'an)a a toda transformación del lano tal "!e eiste !na constante k
ositi,a 3ra)ón de la seme'an)a4& tal "!e si A → A& B→ B imlica "!e AB7 B A .ZZ =
•• Propiedades• @as isometr5as son caso artic!lares de las seme'an)as c!ando N = 7
Conser,an la alineación de los !ntos 3alica recta en rectas4$
Conser,a orientación de !ntos$
Conser,a el aralelismo - erendic!laridad de las rectas$
Conser,a 0n(!lo de las semirrectas$
@a comosición de 8 seme'an)as es otra seme'an)a c!-a ra)ón es el rod!cto de las
ra)ones de las seme'an)as dadas$
@a in,ersa de !na seme'an)a de ra)ón N es !na seme'an)a de ra)ón 7N 3
AB B A7
=ZZ1
4$ En res!men* el con'!nto de las seme'an)as es !n (r!o$
•• ;e clasifican en directas 34 - o!estas 3+4 se(6n conser,en o in,iertan la
orientación del lano$
•• @as 1omotecias - las rotaciones dilatadas son directas$
• @as simetr5as dilatadas son o!estas$••• Propiedad: !*todo de determinación•
7$ Dados dos ∆ ABC - ∆ ABC seme'antes eiste !na seme'an)a "!e alica el
rimero en el se(!ndo$
8$ Dado dos se(mentos AB
-ZZ B A eisten dos seme'an)as& !na directa - la otra
o!esta& "!e lle,an A→ A - B→ B
• *
••
En el di.!'o* Dados AB
-ZZ B A& el !nto P
comleto el ∆ APB - constr!-o so.reZZ B A
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•••
••
a4 En el di.!'o se indica los semilanos corresondientes con !na ra-a 3+4 araesecificar !na seme'an)a directa$.4 ;e o.tiene el !nto P$
•
• 2ota* @as dos seme'an)as est0n relacionadas or la simetr5a aial de e'eZZ B A& es
decir& ;i ;7 es !na de las seme'an)as& la otra esZZ B A
>
$ Es decir*ZZ B A
>
o ;7 $ En cada
semilano 'B
B '
'A
A ' '
ZZZZZcM =∃
••• Teorema*
•• ;i !na seme'an)a alica cada recta& en !na recta aralela& entonces es !na
traslación o !na 1omotecia$
•• 32ota* ;e !ede s!rimir la condición de seme'an)a& esto es& se !ede decir "!e
si !na transformación en !n lano alica cada recta en !na recta aralela& entonces es!na traslación o !na 1omotecia$4
•
• Demostración$•• ;ea F !na transformación tal "!e ∀ recta r * F3r4 r$
• ;i F 3A4= A - s =Z AA& entonces F3s4 s - F3s4 asa or A
• o sea F3s4 = s es decir ∀ !nto A con A ≠ A& la rectaZ AA es fi'a$
•• Es e,idente "!e si dos rectas fi'as se cortan en !n !nto& dic1o !nto es fi'o& - "!e
todas las rectas "!e asen or !n !nto fi'o son fi'as$
•• ;i todas las rectas son fi'as& entonces F= I 3identidad4& ecl!-endo este caso$
•• ;ea r !na recta tal "!e F3r4= r ≠ r con r r$
• omamos A& B ∈ r ⇒ A& B ∈ r ⇒ Z AA -
Z BB son rectas fi'as$
• Distin(!imos dos casos*
•
$ F$& ≡F&
A A
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• Primer caso*
•Z AA no aralela a
Z BB ⇒ O =
Z AA∩
Z BB 3!nto de intersección4 es !nto fi'o$
• ;ea N =
%A
%AZ
3se(mentos orientados& as5 N !ede ser ositi,o o ne(ati,o4••••••••••
• ;i P ∈ %A
& se ra)ona en forma an0lo(a !sando la recta%B
$
•• Segundo "aso:
•Z AA
Z BB ⇒ AA BB es !n aralelo(ramo - la traslación
Z AAT
lle,a A a A - B
a B
••
••••••••
• ;i P ∈ Z AA se ra)ona en forma an0lo(a& !sando la recta
Z BB$
••• "entro de una semejan;a' No Isom*trica$
•• Teorema I*•• oda seme'an)a "!e no sea isom#trica tiene !n !nto fi'o 3in,ariante4 - solo !no$
Ese !nto se llama centro de la seme'an)a$
A
A P P O
;ea P∈ r - P ∉ %A
⇒ P ∈ %'
- como P ∈ A'
⇒ P∈ a la recta aralela a A'
or A& o sea P
es la intersección de esa aralela con%'
$
%A%' ZZ
A
A P P
B B $ $
;ea P ∉
Z AA
& si f!era
Z ''
no aralela a
Z AA
& el !nto deintersección ser5a fi'o - tal como se ,io en el rimer caso
Z BB asar5a or dic1o !nto& lo c!al ser5a !na
contradicción "!e es Z AA$
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•• Demostración
•• Demostraremos la !nicidad& des!#s ,eremos la eistencia
• ;ean O - O7 !ntos fi'os distintos ⇒ O = O - O7 = O7 /
1 1
Z
1 1
Z1
% % %%7
%% %%
= = = ⇒
Isometr5a 3contradicción !es se s!one "!e no es isometr5a4$
••• Teorema II •• oda seme'an)a directa "!e no sea isom#trica es !na rotación dilatada en
artic!lar !na 1omotecia$ 3En la rotación dilatada& si el 0n(!lo es cero& entonces"!eda sola la 1omotecia or eso es !n caso artic!lar$4
•
• Demostración•• ;ea ; !na seme'an)a directa de ra)ón N ≠7& sea O* !nto fi'o& centro de la
seme'an)a ;$
• ;ea ;7= H3O& 7N4 o ; / ;7 es seme'an)a directa or ser el rod!cto de 8 directas
de ra)ón 7 o sea ;7 es !na isometr5a directa ⇒ es traslación o rotación
• Pero ;7 tiene a O como !nto fi'o ⇒ ;7 es !na rotación de centro O ⇒ ;7 = R3O&
α4 ⇒ ; = H3O& 7N4 J +7 o ;7 = H3O& N4 o R3O& α4 = R3O& N & α4 rotación dilatada$
• En el caso de α = K ⇒ es !na 1omotecia
••
•• Teorema III *•• oda seme'an)a o!esta "!e no sea isom#trica es !na simetr5a dilatada$
•• Demostración$
•• ;ea ; seme'an)a o!esta de ra)ón N ≠7$ ;ea O centro de seme'an)a ;7
• ;7= H3O& 7N4 o ; ⇒ ;7 es !na isometr5a o!esta "!e tiene a O como !nto fi'o ⇒;7 es !na simetr5a aial* ;r con O ∈ r
• ⇒ ; = H3O& 7N4 J
+7
o ;r = H3O& N4 o ;r = ;3O& N &r4 simetr5a dilatada$
••
S! # ⊥$ ,$ O' e)#,)%e& S W H3O& N4 o ;r
= H3O& N4 o ;O o ;O o ;r
= H3O& N 4 o H3O& +74 o ;t
= H3O& +N 4 o ;t
= ; O +N t
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••••
•
• enemos as5 otra eresión como !na simetr5a dilatada$ @as rectas r - t son rectasfi'as$
•• Teorema I: 3Demostración de la Eistencia4
• ;i la seme'an)a alica cada recta en !na aralela imlica or !n teorema re,io
"!e es !na 1omotecia$ 3no !ede ser !na traslación or"!e ser5a !na isometr5a4& lac!al imlica "!e tiene !n !nto fi'o4$
2os resta ,er el caso en "!e no 1a-a al(!na recta "!e se alica en !na recta
aralela a ella$ O sea eiste A& B tal "!e AB no aralela AB$
• A& B → A& B constr!imos so.re ellos aralelo(ramos seme'antes en los
semilanos corresondientes& se(6n sean directas ! o!estas& la seme'an)a ABCD → ABCD$ Determinamos los !ntos de intersección*
••• P = AB ∩ AB
• = BC ∩ BC
• R = CD ∩ CD
• ; = DA ∩ DA
•• ;ean P& R - P& R s!s im0(enes&
• ó sea O = PR ∩ PR• Como AB CD se !ede alicar el
• teorema de 1ales
• Z
Z
%+
%'
%+
%' =
374
••• 2ota* no !eden ser PR PR& !es ⇒ PR= PR 3!es PRRP ser5a !n
aralelo(ramo4 lo c!al contradice la s!osición de "!e no es !na transformaciónisom#trica$
•
• ;i O ∈ PR ⇒ O ∈ PR *
Z Z
Z Z
%' % '
%+ % +=
384 de la definición de seme'an)a$$
•
• De 374 - 384ZZ
ZZ
Z
Z
ZZ
ZZ
Z
Z
' %
+%
%'
%+
+%
' %
%+
%' =⇒=
D C
B A
AG
DG
CG
BG
PG
RG
P
R
E
O
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•• Por lo tanto es ,0lido la si(!iente eresión
Z
Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z
% ' % + %' %+ + ' + '
% ' %' % ' %'
+ += ⇒ =
⇒ OP = O P ⇒ O = O lo c!al r!e.a
"!e O es !n !nto fi'o$•• ;e !ede dar !na interretación (eom#trica del teorema de eistencia del
centro de !na seme'an)a no isom#trica de la si(!iente manera*
• ;e tiene 8 maas de la misma re(ión en diferentes escalas& si !na de ellos
se coloca de c!al"!ier forma so.re el otro 3sea de ad,erso o re,erso4& entonceseiste eactamente !n l!(ar& tal "!e los !ntos "!e lo reresentan en cada maase s!eronen 3nat!ralmente& en al(!nos casos dic1o l!(ar odr0 caer f!era delos l5mites de los maas4$
• @o anterior se '!stifica sencillamente* la corresondencia "!e asocia a
cada !nto de !n maa del otro maa "!e reresenta el mismo l!(ar es !naseme'an)a no isom#trica& 3-a "!e s!s escalas son diferentes4& directa si se coloca
del ad,erso& o!esta si se coloca del re,erso$• El centro de dic1a seme'an)a reresenta or lo tanto el mismo l!(ar en
am.os maas$
••
Transformaciones en el espacio de tres dimensiones'•
raslación*v
T
3i(!al "!e en el lano4$
•
;imetr5as Centrales* ;O 3i(!al "!e en el lano4$• Rotación alrededor de !n e'e* R 3e& α4
•• ;imetr5a resecto a !n e'e* R 3e& 7?KL4$
• ;imetr5a resecto a !na lano π* ;π
•• Homotecia H3O&N4 3i(!al "!e en el lano4$
• ;O = H3O&+74• Isometr5as - seme'an)as con la clasificación de directas - o!estas$
• Directas* conser,an la orientación el esacio 3se le da orientación al
esacio con !na terna de e'es& o .ien ordenando los ,#rtices de !n tetraedro4$
••
•
1
e
O
PG
P
O
P
PG
el lano es mediatri)del PPG
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• $
•
••
••
•
• Derec1a I)"!ierda•• O!estas* or el contrario no reser,an la orientación del esacio$
•• raslaciones
• ;on directas Rotaciones alrededor de !n e'e
• Homotecia de ra)ón N K
••
• ;imetr5a central
• O!estas ;imetr5a resecto a !n lano
• Homotecia de ra)ón N K•• "omposiciones importantes•I4 Desla)amiento Helicoidal* Comosición de !na rotación alrededor de !n e'e
con !na traslación aralela al e'e$ Como la comosición de dostransformaciones directas& esta lo es& en c!al"!ier orden
•
v
•
••••
••
PG
P
PGG
PT
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•II4 ;imetr5a Desli)ada* es la comosición de !na simetr5a
• resecto a !n lano con !na traslación$
• @a comosición es o!esta$
•
••••
•••••III4 ;imetr5a Rotada* es la comosición de !na simetr5a resecto a !n lano con
!na rotación de e'e erendic!lar al lano$
• @a transformación es o!esta$•••••••••
•
•I%4 Rotación Dilatada* es la comosición de !na rotación alrededor del !n e'e con
!na 1omotecia c!-o centro ertenece al e'e$
•••••
•••
••• "omposición de simetrías respecto a un plano$
•
7$ Planos Paralelos* raslación
Z'NZ π π π π d T > > =
8$ Planos ;ecantes* Rotación alrededor de la recta en "!e se cortan los lanos$
2
P ePT
PGG
PG
O e
PGG
PT
P
PG
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• En artic!lar si los lanos son erendic!lares imlican !na rotación de
7?KL& simetr5a resecto a !na recta$$
• )servación•
7$ ;i comonemos tres simetr5as resecto a lanos erendic!lares de a dos res!ltala simetr5a central resecto al !nto com6n a los tres lanos$
•
•( ) %
%e
%
> e +
> > >
> > > >
=
=
=
1EU\'
ZZZ
π
π π π
•
• oda simetr5a central es !n caso artic!lar de simetr5a rotada$
••
•
•
8$ oda comosición de !na simetr5a resecto a !n lano con !na 1omotecia de
centro en !n !nto del lano 3simetr5a dilatada4 es !na rotación dilatada$
•
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) O ,$e TO%,)'\1EU'
'U
'
'
'1''
π π
π π
π
π π
⊥∈−=
−=
−=
−=
−−=
7 % H e +
7 H >
7 % H > > >
7 % H > >
7 % H % H > 7 % H >
e
e
%
••• "lasificación de las Isometrías$
•7$ oda isometr5a es !na traslación& !na rotación alrededor de !n e'e o !n
desla)amiento 1elicoidal$8$ oda isometr5a o!esta es !na simetr5a resecto a !n lano& simetr5a desli)ada o
!na simetr5a rotada$9$ oda seme'an)a no isom#trica es !na 1omotecia o !na rotación dilatada$
•••
•
4
e
O
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