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Curso de actualización en Ingeniería de calidad
I. VI. FASE DE MEDICIÓNII. 2. Probabilidad
Dr. Primitivo Reyes Aguilar / febrero 2009
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VI. FASE DE MEDICIÓN - PROBABILIDAD
1. Conclusiones estadísticas
válidas
2. Teorema del límite central
3. Conceptos de probabilidad
4. Distribuciones de probabilidad
5. Distribuciones de probabilidad
discretas
6. Distribuciones de probabilidad
continuas
7. Distribuciones de prob. para
decisión
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1. Conclusiones estadísticas válidasEstudios enumerativos :Los datos enumerativos son los
que pueden ser contados.
Para Deming:◦En un Estudio enumerativo la acción
se toma en el universo.◦En un estudio analítico la acción será
tomada en un proceso para mejorar su desempeño
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Obteniendo conclusiones válidasEl objetivo de la estadística inferencial es
obtener conclusiones válidas acerca de las características de la población (parámetros , , ) con base en la información obtenida de muestras (estadísticos X, s, r)
Los pasos de la estadística inferencial son:◦La inferencia ◦La evaluación de su validez
http://www.hrc.es/bioest/Introducion.html
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2. Teorema del límite centralLas medias muestrales son
normales
http://serc.carleton.edu/introgeo/teachingwdata/Statcentral.html
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2. Teorema del límite centralLas medias muestrales son
normales
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3. Probabilidad
resultadosTotal
EFavorableEP
#
#
8
Probabilidades de Eventos 1. P(E) 0 2. P(S) = 1 3. Si E1,En son mutuamente disjuntos
entonces
n
ii
n
ii EPEP
11
)(
Resultados 1. Si A B entonces P(A) P(B) 2. Si P(Ec)=1-P(E) 3. P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) 4. Si B1B2…Bn = S entonces
n
iiBEPEP
1
)()(
ABPAPBAP
9
3. Probabilidad
7.AP
P(A)=.3
P(B) =.98P(A) =.98
A B
P(B/A)=.97B
A
P(A) =.98
http://www.math.gatech.edu/~bourbaki/math1711/html/
bayes.html
BZPBPAZPAP
BZPBPZBP
10
)()(
).(.2
1)(0.1
xXPxf
yP
yP
X
ytoda
4. Distribuciones de probabilidadVariable aleatoria: es cualquier regla que
relaciona un número con cada resultado en el espacio muestral SS.
= 1
xx
XX xXxPxxfXE )()()(
x
XXX xXPxXE )()(])[( 222
)()( xXPxFX
0)(
1)(
1)(0
xFLim
xFLim
xF
x
x
11
5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
1. Distribución hipergeométrica
2. Distribución Binomial
3. Distribución de Poisson
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Distribución hipergeométrica
Se aplica cuando n > 0.1NEl muestreo se hace sin reemplazo
P(x,N,n,D) es la probabilidad de exactamente x éxitos en una muestra de n elementos tomados de una población de tamaño N que contiene D éxitos. La función de densidad de distribución hipergeométrica:
Nn
DNxn
Dx
C
CCxP
)(
)!(!
!
xnx
nC n
x
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Distribución hipergeométrica
La media y la varianza de la distribución hipergeométrica son:
N
nD
112
N
nN
N
D
N
nD
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Distribución hipergeométricaEjemplo: De un grupo de 20 productos, 10
se seleccionan al azar para prueba. ¿Cuál es la probabilidad de que 10 productos seleccionados contengan 5 productos buenos? Los productos defectivos son 5 en el lote.
N = 20, n = 10, D = 5, (N-D) = 15, x = 5
P(x=5) = 0.0183 = 1.83% 0183.0
!10!10
!20!10!5
!15
!0!5
!5
)5(
P
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Distribución binomialSe aplica para poblaciones grandes
N>50 y n<0.1N con p >= 0.1.
El muestreo binomial es con reemplazo
La binomial es una aproximación de la hipergeométrica
La distribución normal se aproxima a la binomial cuando np > 5
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nxppx
nxXPxf xnx ,...,1,0)1()()(
La variable aleatoria X tiene una distribución binomial
)1()(
)(2 pnpXV
npXE
X
X
Tiene media y varianza.
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Distribución de PoissonSe utiliza para modelar datos
discretos
Se aproxima a la binomial cuando p es igual o menor a 0.1, y el tamaño de muestra es grande (n > 16) por tanto np > 1.6
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Distribución de Poisson
Una Variable aleatoria X tiene distribución Poisson si toma probabilidades con.
,...1,0!
)(
xx
exf
x
pn
pn
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6. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS
1. Distribución exponencial
2. Distribución normal
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Distribución ExponencialModela artículos con una tasa de falla
constante y está relacionada con Poisson.
Modela el tiempo medio entre llegadas
Si x se distribuye exponencialmente, y=1/x sigue una distribución de Poisson
La función de densidad de probabilidad exponencial es: Para x >= 0
xx
eexf
1)(
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Distribución ExponencialDonde Lambda es la tasa de falla
y theta es la mediaLa función de densidad de la
distribución exponencial
El modelo exponencial, con un solo parámetro, es el más simple de todo los modelos de distribución del tiempo de vida.
Distribución Exponencial
lh =)(:FALLA DETASA t
l
l
=
-=-
-
)(:DADCONFIABILI
1)(:CDF
etR
etFt
t
Función de Densidad de Probabilidad Exponencial
0.0000
0.0005
0.0010
0.0015
0.0020
0.0025
0.0030
0.0035
0 500 1,000 1,500 2,000Tiempo
f(t)
= 0.003, MEDIA = 333
= 0.002, MEDIA = 500
= 0.001, MEDIA = 1,000
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La distribución Normal estándar
• Tiene media 0 y desviación estándar de 1.
• El área bajo la curva de infinito a más infinito vale 1.
• Es simétrica, cada mitad de curva tiene un área de 0.5.
• La escala horizontal se mide en desviaciones estándar, Z.
• Para cada valor Z se asigna una probabilidad en Tabla normal
CARACTERISTICAS DE UNA DISTRIBUCION NORMALCARACTERISTICAS DE UNA DISTRIBUCION NORMAL
Teóricamente, la curva se extiende a - infinito
Teóricamente, la curva se extiende a + infinito
Media, mediana, y moda son iguales
ColaCola
La Normal is simétrica - -
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z0 1 2 3-1-2-3
x x+s x+2s x+s3x-sx-2sx-3s
X
La desviación estándarsigma representa la distancia de la media alpunto de inflexión de la curva normal
La Distribución Normal Estándar
Normales con Medias y Desviaciones estándar diferentes
Normales con Medias y Desviaciones estándar diferentes
m = 5, s = 3m = 9, s = 6m = 14, s = 10
m = 5, s = 3m = 9, s = 6m = 14, s = 10
m +1m s +2m s +3m s-1m s-2m s+3m s
Entre:
1. 68.26%
2. 95.44%
3. 99.97%
Entre:
1. 68.26%
2. 95.44%
3. 99.97%
0.80.8
P(0 < z < 0.8) = 0.2881.
P(0 < z < 0.8) = 0.2881.
z = x -
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7. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA DECISIÓN
1. Distribución Chi Cuadrada
2. Distribución t de Student
3. Distribución F de Fisher
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Distribución Chi CuadradaPrueba un varianza e igualdad de
proporciones
31
Distribución t de StudentPrueba igualdad de medias.
32
Distribución FPrueba igualdad de varianzas